FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ

Transkript

1 FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ

2 GRADİYENT: f(,y,z) her noktada sürekli ve türevlenebilir bir skaler alan olsun. Herhangi bir (,y,z) noktasından (+d,y+dy,z+dz) noktasına gidildiğinde skaler alandaki değişim f f f df = d+ dy+ dz y z f f f = ˆ + y ˆ + zˆ d+ ˆ ydy+ ˆ zdz y z ( ˆ ) = f dl f dl f : bir vektördür ve f skaler alanının gradiyentidir. dl : (, y, z) noktasından ( + d, y + dy, z + dz) noktasına yerdeğiştirme vektörüdür.

3 = ˆ + y ˆ + zˆ " del" operatörü y z del operatörünün kendisi bir vektör değildir ve tek başına bir anlamı yoktur. Skaler bir alana uygulandığında, o alanın gradiyent vektörünü verir. df df = f dl = f dl cos θ = f dl Gradiyent vektörü doğrultusunda gidildiğinde (θ = 0) f skaler alanındaki artış (df) maksimum olur. Skaler alanın bir noktadaki gradiyent vektörü, alandaki maksimum artışın gerçekleştiği yöndedir. Gradiyent vektörünün büyüklüğü ise, konuma göre skaler alandaki maksimum artış hızıdır. cosθ df dl ma. = f f(,y,z) = sabit olması durumunda skaler alan bir yüzeyi temsil eder. Yüzey üzerindeki herhangi bir yerdeğiştirme sonucunda alanda bir değişim olmaz. df = f dl = 0 f dl dl f Gradiyent vektörü yüzeye her noktada diktir.

4 NOT: Herhangi bir (,y,z) noktasında skaler alanın gradiyenti sıfır ise, o nokta civarındaki küçük yer değiştirmelerde skaler alan değişmez kalır (df 0). Bu durumda, söz konusu nokta skaler alanın durgun noktası olarak adlandırılır.

5 Q f = C2 > C1 P f = C 1 Q P Q df = f dl = C C P 2 1 Q P f dl = f ( Q) f ( P) Gradiyent için temel teorem

6 (del) operatörü, Bir f skaler alanına etkirse: Bir Bir A f A A GRADİYENT vektör alanı ile skaler çarpılırsa: DİVERJANS vektör alanı ile vektörel çarpılırsa: A ROTASYONEL

7 DİVERJANS: A= A yz ˆ+ A yz yˆ+ A yz zˆ (,, ) (,, ) (,, ) y z biçiminde tanımlı herhangi bir vektör alanı olsun. (,y,z) noktasını merkez kabul eden d,dy,dz boyutlarında bir küpün tüm yüzeylerinden geçen akıyı hesaplayalım. z ˆn L (,y,z) dy dz R d y ˆn dy d R A da A Φ = = y, y +, z ddz R 2 Ay dy = Ay + ddz y 2 dy d L A da A Φ = = y, y, z ddz L 2 Ay dy = Ay ddz y 2 Ay A Az dφ R+ L= ddydz dφ F+ B= ddydz dφ T+ B= y z ddydz

8 Küpün yüzeyinden dışarı doğru çıkan toplam akı: A A A y z y z dφ tot = dφ F + B + dφ R+ L + dφ T + B = + + ddydz A, A vektör alanının diverjansıdır : A S yüzeyinin çevrelediği dτ hacmi sonsuz küçük seçilirse ( A ) önemli ölçüde değişmez. Böylece diverjans için, 1 A = lim A da τ 0 τ S A da S dτ = A dτ ( ) = Adτ ( ) yazılabilir. Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, hacim sıfıra giderken, noktayı çevreleyen yüzeyi birim hacim başına terkeden akı miktarıdır.

9 S yüzeyinin çevrelediği V hacmini sonsuz küçük küplere böldüğümüzü varsayalım. Dolayısıyla komşu küpleri de hesaba katmamız gerekecektir. Komşu küplerin birbirine temas eden yüzeylerinden geçen net akı sıfır olacaktır. Bu durumda toplam akı, V hacmini çevreleyen dış yüzeyden çıkan akı kadar olur. A da A dτ ( ) Φ = = tot S i i i i i= 1 i= 1 S V Diverjans A da ( A ) d = τ Gauss teoremi S τ Green Diverjans için temel teorem

10 Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansı, vektör alanının ilgili noktadan ne kadar ıraksadığınınveya ilgili noktaya ne kadar yakınsadığının bir ölçüsüsüdür. A > 0 A, ilgili noktadan ıraksar. A < 0 A, ilgili noktaya yakınsar. A= 0 A, ilgili noktadan ne ıraksar ne de ilgili noktaya yakınsar. Bu tür alanlara " solenoidal" denir.

11 ROTASYONEL (KÖRL): A= A yz ˆ+ A yz yˆ+ A yz zˆ (,, ) (,, ) (,, ) y z biçiminde tanımlı herhangi bir vektör alanı olsun. y-düzleminde, (,y) noktasını merkez kabul eden d,dy boyutlarında dikdörtgensel bir halka boyunca vektör alanının çizgi integralini hesaplayalım. y d Ay, y,0 2 y dy A y, +,0 2 4 (,y,0) 1 3 d 2 dy A y,,0 2 dy d Ay +, y,0 2 C y = A dl y Cy = A dl = C1+ C2 + C3+ C4 = ddy y C C y dy A dy C1 = A, y,0 d = A d 2 y 2 d Ay d C2 = Ay +, y, 0 dy = Ay + dy 2 2 dy A dy C3 = A, y +,0 d = A + d 2 y 2 d Ay d C4 = Ay, y,0 dy = Ay dy 2 2 A A

12 Benzer işlemler, sırasıyla, z-düzleminde ve yz-düzleminde bulunan halkalar için yapılırsa aşağıdaki bağıntılar bulunurdu. A Az Cz = A dl = C1+ C2 + C3+ C4 = ddz z C z z y Cyz = A dl = C1+ C2 + C3+ C4 = dydz y z C yz A En genel durumda, yz-eksen takımındaki herhangi bir kapalı halka için, z y z y C = A dl = dydz + ddz + ddy C sonucuna ulaşılır. A A A A A A A y z z y A Ay z A A Az y A = ˆ+ yˆ zˆ dydz ˆ yddz ˆ zddy y z z y A ( ˆ ) da

13 A, A vektör alanının rotasyonelidir : C halkasının çevrelediği S yüzeyi sonsuz küçük seçilirse ölçüde değişmez. Böylece rotasyonel için, 1 A = lim A dl S 0 S C C A dl = A da ( ) ( A) önemli yazılabilir. Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli, yüzey alanı sıfıra giderken, birim yüzey başına noktayı çevreleyen kapalı halka boyunca vektör alanının çizgi integralidir ve ilgili nokta etrafında ne kadar kıvrıldığının bir ölçüsüdür. Bir vektör alanının rotasyoneli, del operatörü ile vektör alanı arasındaki vektörel çarpma işlemi ile de bulunabilir. ˆ yˆ zˆ A = y z A A A y z

14 C halkasının çevrelediği S yüzeyini sonsuz küçük halkalara böldüğümüzü varsayalım. Bu durumda komşu halkaları da hesaba katmamız gerekecektir. Komşu halkaların birbirine temas eden çizgileri boyunca alınan çizgi integrallerinin toplam katkısı sıfır olacaktır. Bu durumda toplam integral, S yüzeyini çevreleyen dış halka üzerinden alınanla aynı olur. C A dl A da C i i= 1 C i= 1 i ( ) = = A dl = A da S i i C ( ) Stokes teoremi S Rotasyonel için temel teorem

15 Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli, vektör alanının ilgili nokta etrafında hangi yönde ne kadar kıvrıldığının bir ölçüsüsüdür. A > 0 (rotasyon saat ibrelerinin tersi yönünde) A < (rotasyon saat ibreleri yönünde) 0 z z A = 0 ilgili nokta etrafında rotasyon yoktur. Bu tür alanlara " dolanımsız" denir.

16 Bazı önemli vektör özdeşlikler: Bir gradiyentin rotasyoneli her zaman sıfırdır: ˆ yˆ zˆ ( f ) = y z f f f y z f = ( ) f f f f f f = ˆ+ yˆ+ zˆ yz zy z z y y = 0

17 ( ) Bir rotasyonelin diverjansı her zaman sıfırdır: A = 0 A Ay A A z + y+ zˆ y z y z z y Az y A Az ( ) = ˆ +y ˆ + ˆ ˆ ˆ A A A A A A y z y z z y z y z y = A A z y A A A z y A = + + y z yz y z zy = 0

18 Skaler bir alanın gradiyentinin diverjansı, o skaler alanın Laplasyenine eşittir: 2 f = f ( ) f f f +y +z + y+ zˆ y z y z ( f ) = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f f f = + + y z = + + f y z = ( ) f = 2 f

19 KARTEZYEN KOORDİNATLAR: Herhangi bir P noktası, kartezyen koordinatlarda (,y,z) cinsinden verilir. : P noktasının koordinatı y : P noktasının y koordinatı z : P noktasını z koordinatı Kartezyen koordinatlarda yüzey ve hacim elemanları: da da da y z ( dydz) ˆ ( ddz) yˆ ( ddy) zˆ ( )( )( ) = = = dτ = d dy dz ˆ z ẑ ŷ y ˆ z z ẑ ŷ P(,y,z) dl = d ˆ+ dy yˆ+ dz zˆ y y ( ) ( ) ( ) da dy da z dz d da y

20 KARTEZYEN KOORDİNATLAR: GRADİYENT: f f f f = + ˆ y+ ˆ zˆ y z DİVERJANS: F F F y z y F= + + z ROTASYONEL (KÖRL): F F z y F F Fz y F F = ˆ+ yˆ+ zˆ y z z y

21 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR: Herhangi bir P noktası, silindirik koordinatlarda (s,φ,z) cinsinden verilir. z : P noktasının z koordinatı s : P noktasının z-ekseninden olan dik uzaklığı φ : P noktasını z-eksenine birleştiren doğrunun -ekseni ile yaptığı açı Silindirik koordinatlarda yüzey ve hacim elemanları: da da da s z φ ( sdφdz) sˆ ( sdφds) zˆ ( dsdz) ˆ φ ( )( φ )( ) = = = dτ = ds sd dz z dφ s z z sdφ ds dz s P ẑ φˆ y φ dl = ds s + sd + dz zˆ ( ) ˆ ( φ) ˆ φ ( ) ŝ

22 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR: GRADİYENT: f 1 f ˆ ˆ f f = s+ φ + zˆ s s φ z DİVERJANS: 1 1 F = sf s + F φ + F s s s φ z ( ) ( ) ( ) z ROTASYONEL (KÖRL): 1 F F z φ Fs Fz ˆ 1 Fs F = sˆ + φ + ( sfφ ) zˆ s φ z z s s s φ

23 KÜRESEL KOORDİNATLAR: Herhangi bir P noktası, küresel koordinatlarda (r,θ,φ) cinsinden verilir. r : noktanın orijinden olan uzaklığı θ : orijini P noktasına birleştiren doğrunun z-ekseni ile yaptığı açı φ : orijini P noktasına birleştiren doğrunun y-düzlemindeki iz düşümünün -ekseni ile yaptığı açı Küresel koordinatlarda yüzey ve hacim elemanları: 2 da ( sin ) ˆ r = r θdθdφ r daθ = r drd da = φ ( sinθ φθ ) ˆ ( rdrdθ) ˆ φ ( )( )( φ ) dτ = dr rdθ rsinθd z rsinθdφ dr rdθ θ dθ φ y ˆr φˆ z P θ θˆ r y φ dl = dr r + rdθ θ + rsinθdφ ˆ φ ( ) ˆ ( ) ˆ ( )

24 KÜRESEL KOORDİNATLAR: GRADİYENT: f ˆ 1 f = r+ f θ+ ˆ 1 f ˆ φ r r θ rsinθ φ DİVERJANS: Fφ F= 2 ( rfr) + ( sinθ Fθ ) + r r rsinθ θ rsinθ φ ROTASYONEL (KÖRL): 1 F ( sin ) ˆ 1 1 ( ) ˆ 1 θ Fr Fr F = θ F r rf ( rf ) ˆ φ φ θ θ φ rsinθ + + θ φ r sinθ φ r r r θ

25 TEOREM-1: Dolanımsız vektör alanları aşağıdaki özellikleri sağlarlar. F=0 F = V V : skaler potansiyel F dl = 0 C b a F dl SONUÇ: ( ) Kapalı bir halka için çizgi integrali yoldan bağımsızdır. F= 0 F = V

26 TEOREM-2: Solenoidal vektör alanları aşağıdaki özellikleri sağlarlar. F=0 F = A A : vektör potansiyel F da = 0 ( ) S F da S Kapalı bir yüzey için bir sınırı gören tüm yüzeyler için aynıdır. s 1 s 2 SONUÇ: F= 0 F = A

27 HELMHOLTZ TEOREMİ: Uzayın her noktasında tanımlı, sürekli ve türevlenebilir herhangi bir vektör alanı, dolanımsız ve solenoidal olmak üzere iki terimin toplamı şeklinde verilebilir. F=F +F dol. sol. F dol. = 0 F sol. =G F= F dol. =g ve F =g F = 0 F= F =G dol. sol. sol. Helmholtz teoremi: Bir vektör alanını belirlemek, hem diverjansı hem de rotasyoneli biliniyorsa mümkündür.

28 Sınırlandırılmamış bir bölge söz konusu ise, sonsuzdaki bir noktada vektör alanının diverjansı ve rotasyoneli sıfır olmalıdır. Sınırlandırılmış bir bölge söz konusu ise, vektör alanının sınırdaki normal bileşeni, bölgenin her yerindeki diverjansı ve rotasyoneli bilinmelidir. F dol. = 0 Fdol. = V F = 0 F = A sol. sol. V A : Skaler Potansiyel Alanı : Vektör Potansiyel Alanı F= V+ A