İşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri

Transkript

1 İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri

2 Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler 2

3 Laplace Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların Laplace dönüşümlerini alınız. u(t) e at (t ) u(t) İşaret ve Sistemler 3

4 Laplace Dönüşümü u(t) İşaret ve Sistemler 4

5 Laplace Dönüşümü u( t). e at İşaret ve Sistemler 5

6 Laplace Dönüşümü (t) İşaret ve Sistemler 6

7 Laplace Dönüşümü İşaret ve Sistemler 7

8 Laplace Dönüşüm Özellikleri Doğrusallık f 1( t) ile f 2 ( t) fonksiyonunun Laplace dönüşümleri sırası ile F ( ) ve 1 s F 2 ( s) olsun; Bilindiğine göre; İşaret ve Sistemler 8

9 Laplace Dönüşüm Özellikleri Ölçeklendirme f (t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F 1 ( s) ise İşaret ve Sistemler 9

10 Laplace Dönüşüm Özellikleri Ölçeklendirme İşaret ve Sistemler 10

11 Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Öteleme f (t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F(s) ise İşaret ve Sistemler 11

12 Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Öteleme Eğer x = t - a olarak tanımlanırsa, dx = dt ve t = x + a olur. İşaret ve Sistemler 12

13 Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Öteleme Örneğin; olduğu biliniyor ise,? Özelliği kullanılarak; İşaret ve Sistemler 13

14 Laplace Dönüşüm Özellikleri Frekansta Kaydırma f (t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F(s) ise İşaret ve Sistemler 14

15 Laplace Dönüşüm Özellikleri Türev Almak İşaret ve Sistemler 15

16 Laplace Dönüşüm Özellikleri Türev Almak Örneğin; ise İşaret ve Sistemler 16

17 Laplace Dönüşüm Özellikleri İntegral Almak İşaret ve Sistemler 17

18 Laplace Dönüşüm Özellikleri İntegral Almak Örneğin; f(t)=u(t) iken Laplace dönüşümü alınırsa F[s]=1/s olur. İşaret ve Sistemler 18

19 Laplace Dönüşüm Özellikleri Frekans Düzleminde Türev Almak f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F[s] ise s- düzleminde türevi alınırsa; İşaret ve Sistemler 19

20 Laplace Dönüşüm Özellikleri Frekans Düzleminde Türev Almak Örneğin; bilindiğine göre; İşaret ve Sistemler 20

21 Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Periyodiklik İşaret ve Sistemler 21

22 Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Periyodiklik Her bir terimin Laplace Dönüşümü alınırsa; İşaret ve Sistemler 22

23 Başlangıç Değer Teoremi f(t) fonksiyonun t değeri 0 a giderken alacağı değer: Örnek : İşaret ve Sistemler 23

24 Son Değer Teoremi f(t) fonksiyonun t değeri a giderken alacağı değer: Örnek : İşaret ve Sistemler 24

25 Başlangıç ve Son Değer Teoremi Fonksiyonun Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi olsun: Son değer teoreminin uygulanması Başlangıç değer teoreminin uygulanması İşaret ve Sistemler 25

26 Laplace Dönüşüm Örnekleri İşaret ve Sistemler 26

27 Laplace Dönüşüm Örnekleri Frekansta türevini alma özelliği kullanılır olduğu biliniyor ise; İşaret ve Sistemler 27

28 Laplace Dönüşüm Örnekleri İşaret ve Sistemler 28

29 Laplace Dönüşüm Örnekleri İşaret ve Sistemler 29

30 Laplace Dönüşüm Örnekleri Özelliği kullanılarak; İşaret ve Sistemler 30

31 Ters Laplace Dönüşümleri S-düzlemindeki fonksiyon pay ve payda olarak ifade edilebilir. Ters Laplace dönüşümünü elde edebilmek için; Fonksiyonun pay ve paydası çarpanlara ayrılır. Her bir terimin Ters-Laplace dönüşümü bulunur. İşaret ve Sistemler 31

32 Basit Kutuplar Denklemin kutupları Denklemde N(s) in derecesinin D(s)den az olduğu kabul edilerek; 1. Kutuptaki sabiti bulmak için İşaret ve Sistemler 32

33 Basit Kutuplar k1 değeri için Herhangi bir değeri için k i Sonuç itibarı ile F(s) fonksiyonunun ters laplace dönüşümü; İşaret ve Sistemler 33

34 Tekrarlanan Kutuplar F(s) fonksiyonunun n- tane tekrarlanan kutbunun olduğunu varsayalım: kn kn 1 değeri için değeri için kn m değeri için İşaret ve Sistemler 34

35 Tekrarlanan Kutuplar İşaret ve Sistemler 35

36 Kompleks Kutuplar Kompleks kutbu olmayan kısmı için basit veya tekrarlanan kutuplardaki gibi işlem yapılır. Kompleks kutbu olanlar için ise kendi kutup değeri haricinde özel değerler verilerek bulunur. İşaret ve Sistemler 36

37 Ters Laplace Dönüşümü Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun ters laplace ifadesini bulunuz. Çözüm: Ters Laplace ifadesi her bir terimin ayrı ayrı dönüşümü alınarak bulunabilir. İşaret ve Sistemler 37

38 Ters Laplace Dönüşümü Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun ters laplace ifadesini bulunuz. Çözüm: Öncelikli olarak çarpanlara ayırarak fonksiyon ayrıştırılır. Bu fonksiyon basit kutup ifadelerine sahiptir. İşaret ve Sistemler 38

39 Ters Laplace Dönüşümü 1. Yol İşaret ve Sistemler 39

40 Ters Laplace Dönüşümü 2. Yol s in kuvvetlerine göre denklem katsayılarını eşitlersek; İşaret ve Sistemler 40

41 Ters Laplace Dönüşümü İşaret ve Sistemler 41

42 Ters Laplace Dönüşümü İşaret ve Sistemler 42

43 Ters Laplace Dönüşümü 1.Yol İşaret ve Sistemler 43

44 Ters Laplace Dönüşümü 2.Yol: Denklemin her iki tarafı ile çarpılır. İşaret ve Sistemler 44

45 Kısa Sınav Aşağıdaki fonksiyonların laplace dönüşümlerini bulunuz. İşaret ve Sistemler 45

46 Kısa Sınav Cevapları Aşağıdaki fonksiyonların laplace dönüşümlerini bulunuz. İşaret ve Sistemler 46