B Ö L Ü M. ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir.

Transkript

1 B Ö L Ü M 2 DOĞAL SAYILAR En basit ve temel sayılar doğal sayılardır, sayı kelimesine anlam veren saymak eylemi bu sayılarla başlamıştır. Fakat insanoğlunun var oluşundan beri kullanılan bu sayıların açık bir şekilde tanımlanması modern matematiğe yapılan en son katkılardan biri olmuştur yılında Hermann Grassmann 1 tarafından lise öğrencileri için yazılan bir matematik kitabında, toplama ve çarpma işlemlerinin temel özelliklerinin sadece tümevarım özelliği denilen bir aksiyomdan elde edilebileceği gösteriliyordu. Bu bilgi lise öğrencilerini ne kadar heyecanlandırdı bilinmez ama 1888 yılında Richard Dedekind 2 ve 1889 yılında Guiseppe Peano 3 tarafından tekrar keşfedilinceye kadar matematik camisanının dikkatinden kaçtı. Dedekind ve Peano bu çalışmalarında doğal sayılar kümesini aksiyomatize etmişlerdir, yani asgari sayıda varsayımda bulunarak tüm sistemin sadece bu varsayımlara dayandığını göstermişlerdir. Bu bölümde doğal sayılar kümesini inceleyeceğiz, bu kümeyi elemanlarını tek tek tanımlayarak inşa etmek yerine, kümenin sağlaması gereken asgari özellikleri kabul edip bunlardan diğer tüm özelliklerini elde etmeye çalışacağız. Sadece üç basit varsayımdan hareket ederek tüm doğal sayılar sisteminin (toplama ve çarpma işlemleri ile sıralama ve bunların özellikleri de dahil olmak üzere) inşa edilebiliyor olması ilk okumada sizi şaşırtabilir. 1 HERMANN GÜNTHER GRASSMANN ( ), pek çok disiplinde çok sayıda çalışma yapmış ve kitaplar yayınlamış olan bir bilim adamıdır. 2 JULIUS WILHELM RICHARD DEDEKIND ( ), Gauss un öğrencilerinden biridir. En çok reel sayıların inşası üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. 3 GIUSEPPE PEANO ( ), kümeler teorisine ve matematiksel felsefeye katkıları olmuş bir İtalyan matematikçidir. 25

2 26 ö ü 2 r 2.1 Doğal Sayılar Kümesi Elemanlarını açık olarak bilmediğimiz bir N kümesini ve bir s : N N fonksiyonunu ele alalım. Bu küme ve fonksiyon aşağıdaki koşulları sağlasın: A 1 : s fonksiyonu bire birdir. A 2 : s fonksiyonunun görüntü kümesi N değildir (R(s) N ). A 3 : Bir M N kümesi için, (i) x N R(s) x M, (ii) y M s(y) M, koşulları sağlanıyorsa M = N dir. Bu saydığımız aksiyomlara literatürde Peano aksiyomları denir, 1888 yılında Dedekind tarafından verilmiştir 4. Bu aksyomlardan A 3 aksiyomuna literatürde tümevarım aksiyomu denir. Bu bölümün sonuna kadar N ile Peano aksiyomlarını sağlayan herhangi bir kümeyi göstereceğiz. Aslında önce Peano aksiyomlarını sağlayan bir kümenin var olup olmadığını sorgulamamız gerekir, fakat bu oldukça derin bir sorudur ve Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomarı ile cevaplanabilir. Biz burada böyle bir kümenin var olduğunu kabul ederek yolumuza devam edeceğiz N kümesi yukarıda tanımladığımız gibi olsun ve N R(s) kümesindeki elemanlar bir p özelliğine sahip olsun. Ayrıca varsayalım ki herhangi bir n N elemanı bu p özelliğine sahip ise s(n) elemanı da p özelliğine sahip olsun. Bu durumda N kümesinin tüm elemanları bu özelliğe sahip olur mu? Şimdi N kümesi üzerine ilk gözlemlerimizi yapalım. Öncelikle bu tanımdan N olduğunu açıkça görebiliyoruz, A 2 koşulu bunu garanti ediyor. Sıradaki gözlemimiz oldukça önemli, bir teorem olarak ifade ediyoruz. Teorem N R(s) kümesinin tek bir elemanı vardır. İspat A 2 aksiyomu gereği bir x N R(s) elemanı vardır. M := {x} R(s) olarak tanımlayalım, bu durumda R(s) M olduğundan her n M için s(n) M olacaktır. Buradan A 3 aksiyomu gereği M = N olduğu görülür, yani N = {x} R(s) elde edilmiş olur ki istenendir. 4 Aslında bu koşullar Peano postulatlarının farklı bir ifadesidir, Dedekind bu koşulları çok az da olsa farklı ifade etmiştir. r ç r ü 2 Ö❻ ➑

3 2 r ü s 27 Yukarıdaki sonuçta bahsettiğimiz elemanı bundan sonra e ile göstereceğiz. Yani e doğal sayısı s fonksiyonunun görüntü kümesinde olmayan tek doğal sayı; hiç bir n N için s(n)=e eşitliği sağlanmıyor ve her n e doğal sayısı için s(x)=n olacak şekilde bir x N var Her n e doğal sayısı için s(x) = n olacak şekilde tek bir x N vardır, kanıtlayın Her n N için s(n) n olmalıdır, kanıtlayın. M N bir küme olmak üzere eğer her n M için s(n) M oluyorsa bu M kümesine bir tümevarımsal küme deriz. Dolayısıyla A 3 tümevarım aksiyomunu şu şekilde yeniden ifade edebiliriz: Eğer M kümesi e elemanını içeren tümevarımsal birkümeyse M = N dir Herhangi iki tümevarımsal kümenin kesişimi de bir tümevarımsal kümedir, kanıtlayın. Tümevarım aksiyomunun en önemli sonuçlarından biri de N kümesinde tanımlanmış fonksiyonları özyineleme bağıntılarıyla (rekürans veya indirgeme bağıntıları da denir) ifade etmeye olanak vermesidir. Aşağıdaki teorem ile ifade edeceğimiz bu sonuç, daha sonraki araştırmalarımızda en önemli aracımız olacak. Teorem (Özyineleme Teoremi) A herhangi bir küme, g : A A bir fonksiyon ve a A olsun. Bu durumda f (e)= a ve her n N için f ( s(n) ) = g ( f (n) ) olacak şekilde tek bir f : N A fonksiyonu vardır. İspat N A kümesinin (i) (e, a) T, (ii) eğer (n,b) T ise ( s(n), g (b) ) T koşullarını sağlayan tüm T alt kümelerinin kümesi C olsun. N A kümesinin kendisi bu iki koşulu sağlar, dolayısıyla C dir. Şimdi F := T T C kümesini tanımlayalım, her T C için F T olduğu açık. Ayrıca F kümesinin yukrıdaki iki koşulu sağladığı da kolayca görülebilir, dolayısıyla F C dir. Bu F kümesinin aradığımız f fonksiyonu olduğunu göstereceğiz.

4 28 ö ü 2 r Şimdi M := { n : (n,b) F olacak şekilde tek bir b A vardır. } kümesini tanımlayalım. Amacımız tümevarım aksiyomunu kullanarak M = N olduğunu göstermektir, eğer bunu gösterebilirsek F nin N kümesinden A kümesine tanımlı bir fonksiyon olduğu sonucunu elde edilmiş oluruz. Bu durumda yukarıdaki (i) koşulu gereği F (e) = a olacaktır. Ayrıca bu durumda (ii) koşulu bize her n N için ( s(n), g (b) ) = ( s(n), g ( f (n) )) T olduğunu, yani f ( s(n) ) = g ( f (n) ) olduğunu söyler. Önce e M olduğunu gösterelim. F C olduğundan (i) gereği (e, a) F olur, a dan başka bunu sağlayan eleman olmadığını göstermeliyiz. Varsayalım ki (e, x) F ve a x olacak şekilde bir x A var olsun. F x := F {(e, x)} tanımlayalım, bu durumda (e, a) (e, x) olduğundn (e, a) F x olur. Eğer (n,b) F x ise Teorem gereği ( s(n), g (b) ) (e, x) olacağından yukarıdaki iki koşul sağlanır ve F x C sonucuna varılmış olur. Fakat bu durumda F kümesinin tanımı gereği F F x elde edilir ki bu bir çelişkidir. Dolayısıyla böyle bir x A yoktur. Şimdi n M iken s(n) M olduğunu göstereceğiz. Eğer n M ise M kümesinin tanımı gereği (n,b) F olacak şekilde tek bir b A elemanı vardır. F C olduğundan (ii) gereği ( s(n), g (b) ) F olur, g (b) dışında bunu sağlayan bir elemanın olmadığını göstermeliyiz. Varsayalım ki ( s(n), y ) F ve y g (b) olacak şekilde y A var olsun. F y := F {( s(n), y )} tanımlayalım. Teorem ve (i) koşulu gereği ( s(n), y ) (e, a) F olacağından (e, a) F y olur. Şimdi (m, z) F y olsun, bu durumda ( s(m), g (z) ) ( s(n), y ) olacaktır. Çünkü öyle olmasaydı s(m) = s(n) ve g (z)= y g (b), yani m = n ve z b olurdu. Buradan da (n,b),(n, z) F elde edilir ki bu da n M olmasıyla çelişir, dolayısıyla ( s(m), g (z) ) ( s(n), y ) olmalıdır. Sonuç olarak ( s(m), g (z) ) F y elde edilmiş oldu. Fakat bu durumda F kümesinin tanımı gereği yine F F y çelişkisine varılmış olur, dolayısıyla böyle bir y A yoktur. Böylece F kümesinin istenilen özellikleri sağlayan bir fonksiyon belirttiğini göstermiş olduk, şimdi bu özelliklerde başka bir fonksiyonun var olamayacağını gösterelim. Varsayalım ki f (e) = a ve f (s(n)) = g ( f (n) ) eşitlikleri sağlanacak şekilde bir f : N A fonksiyonu var olsun. L := { n N : f (n)= f (n) } kümesini tanımlayalım, tümevarım aksiyomunu kullanarak L = N olduğunu göstereceğiz. Öncelikle f (e)= a = f (e) olduğundan e L olduğu açıktır. Şimdi n L olsun, yani f (n)= f (n). Bu durumda f (s(n))= g ( f (n) ) = g ( f (n) ) = f (s(n)) olduğu, yani s(n) L olduğu görülür. Böylece ispat tamamlanmış oldu. Buraya kadar Peano aksiyomlarını sağlayan kümelerin var olduğunu kabul edip bu kümelerin bazı özelliklerini elde ettik, fakat bu aksiyomları sağlayan kümeler arasında bir ilişkinin var olup olmadığını henüz sorgulamadık. Aşağıdaki çok r ç r ü 2 Ö❻ ➑

5 2 r ü s 29 önemli sonuç bize uzaylıların da nesneleri bizim gibi saydıklarını (eğer saymayı biliyorlarsa!) söylüyor. Teorem N kümesi, s : N N fonksiyonu ve e N elemanı ile Peano aksiyomlarını sağlasın. Ayrıca N kümesi de s : N N fonksiyonu ve e N elemanı ile Peano aksiyomlarını sağlayan başka bir küme olsun. Bu durumda öyle bir f : N N fonksiyonu vardır ki (i) f bire bir ve örtendir, (ii) f (e)=e, (iii) her n N için f (s(n))= s ( f (n) ) koşulları sağlanır, yani bu kümeler izomorfiktir. İspat Özyineleme teoreminde (Teorem 2.1.1) A = N, a = e ve g (x)=s (x) seçilirse (ii) ve (iii) koşullarını sağlayan tek bir f : N N fonksiyonun var olduğu sonucuna ulaşılır. Bu fonksiyonun bire bir ve örten olduğunu göstermeliyiz. Bire bir olduğunu göstermek için M := { n N : her m N için [ f (n)= f (m) n= m ] sağlanır } kümesini tanımlayalım, bu kümeyi M := { n N : her m N için [ n m f (n) f (m) ] sağlanır } olarak da ifade edebiliriz. Amacımız tümevarım aksiyomunu kullanarak M = N olduğunu göstermektir, bunun için A 3 aksiyomunun her iki koşulunun da sağlandığını görmeliyiz. e M olduğunu görmek için n e olacak şekilde bir n N seçelim, f (n) f (e) olduğunu göstereceğiz. Teorem gereği s(x)=n olacak şekilde bir x N vardır. Bu eşitliğe f fonksiyonunu uygularsak (iii) koşulu gereği f (n)= f (s(x))= s ( f (x) ) elde edilir. Diğer yandan N kümesi de Peano aksiyomlarını sağladığından Teorem ve yukarıdaki (ii) koşulu gereği s ( f (x) ) e = f (e) olur. Son iki eşitlik birleştirilirse f (n) f (e) elde edilmiş olur, bu da e M anlamına gelir. Şimdi n M kabul edelim, yani her n y için f (n) f (y) olsun. Bu durumda s(n) M olduğunu, yani her y s(n) için f (y) f (s(n)) olduğunu göstermeliyiz. Eğer y = e ise, e M olduğunu az önce gösterdiğimizden, y = e s(n) olup f (y) = f (e) f (s(n)) olduğu açıktır. Şimdi y e kabul edelim. Bu durumda Teorem gereği s(z) = y olacak şekilde bir z N vardır. y s(n) olduğundan buradan s(n) s(z) elde edilmiş olur ki s fonksiyonunun bire birliği gereği n z sonucuna ulaşılır. Ayrıca n M kabul ettiğimizden dolayı f (n) f (z) olacaktır. Buradan da (iii) koşulu ve s fonksiyonunun bire bir olduğu kullanılırsa f (y) = f (s(z))= s ( f (z) ) s ( f (n) ) = f (s(n)) elde edilir ki böylece s(n) M olduğu gösterilmiş olur.

6 30 ö ü 2 r Şimdi de f fonksiyonunun örten olduğunu kanıtlayalım. Bunu için L := { u N : u= f (n) olacak şekilde bir n N vardır } kümesini tanımlayalım, tümevarım aksiyomunu kullanarak L= N olduğunu göstereceğiz. Öncelikle (ii) gereği f (e) = e olduğundan e L olduğu açıktır. Şimdi u L kabul edelim, bu durumda f (n) = u olacak şekilde bir n N vardır. Buradan (iii) eşitliği gereği f (s(n))= s ( f (n) ) = s (u) elde edilir, yani s (u) L dir. Böylece tümevarım aksiyomu sağlanmış olur ve ispat tamamlanır. Yukarıdaki teorem bize şunu söylüyor aslında: Peano aksiyomlarını sağlayan kümeler birbirine o kadar benzer ki, elemanlarının gösterimleri dışında hiç bir farkları yoktur. Kısacası Peano aksiyomlarını sağlayan tek bir küme vardır, bu kümeye bir isim verelim. Tanım (Doğal Sayılar) A 1,A 2 ve A 3 Peano aksiyomlarını sağlayannkümesine doğal sayılar kümesi, bu kümenin elemanlarına da doğal sayılar denir. N sembolünü görünce hemen aklınıza 1,2,... sayıları gelmesin, bu kümenin içinde ne olduğunu açıkça bilmiyoruz, ayrıca henüz sayı karamını tanımlamadık. 2.2 Toplama ve Çarpma İşlemleri Bu bölümde N kümesi üzerinde temel ikili işlemleri tanımlayıp bunların bazı özelliklerini araştıracağız. Teorem Aşağıdaki özellikleri sağlayan tek bir F : N N N fonksiyonu vardır (i) her m N için F (m,e)= s(m), (ii) her m,n N için F (m, s(n))= s (F (m,n)). İspat Keyfi bir m N alalım. Özyineleme teoreminde (Teorem 2.1.2) A =N, a = s(m) ve g = s seçersek (1) F m (e)= s(m), (2) hern N için F m (s(n))= s (F m (n)) olacak şekilte tek bir F m :N N fonksiyonunun var olduğunu görürüz. Bu durumda F := {( (m,n),f m (n) ) : (m,n) N N } kümesin N denn ye bir fonksiyon belirtir. Her m N için (1) gereği F (m,e)=f m (e)= s(m) r ç r ü 2 Ö❻ ➑

7 r ➑ r 31 ve (2) gereği F (m, s(n))=f m (s(n))= s (F m (n))= s (F (m,n)) koşulları sağlanır, yani F fonksiyonu (i) ve (ii) özelliklerine sahiptir. Şimdi bu fnksiyonun tek olduğunu gösterelim. Yukarıdaki F nin dışında (i) ve (ii) özelliklerini sağlayan bir F :N N N fonksiyonunu ele alalım ve G := { n N : F (m,n)=f (m,n) } kümesini tanımlayalım. Tümevarım aksiyomunu kullanarak G =N olduğunu göstereceğiz. Öncelikle F (m,e)= s(m)=f (m,e) olduğundan e G olur. Şimdi n G kabul edelim, yani F (m,n)=f (m,n) olsun. Buradan F (m, s(n))= s ( F (m,n) ) = s (F (m,n))=f (m, s(n)) elde edilir, bu da s(n) G demektir. Böylece ispat tamamlanmış oldu. Yukarıdaki teoremle belirlenen F : N N N fonksiyonu N kümesinde bir ikili işlem belirttiğinden bu teoremi şu şekilde ifade edebiliriz. Sonuç N kümesinde aşağıdaki özelliklere sahip tek bir işlemi vardır (i ) her m N için m e = s(m), (i i ) her m,n N için m s(n)= s (m n). Bu ikili işleme artık bir isim verelim. Tanım (Toplama İşlemi) Teorem ile verilen F : N N N fonksiyonnun belirttiği ikili işleme toplama işlemi denir. Bu işlem için sembolünü kullanacağız, yani F (m,n) yerine m n yazacağız. Yani toplama işlemi Sonuç ile verilen özelliklerle tanımlı olan : N N N işlemidir Her m,n N için m n e olduğunu kanıtlayın. Aşağıdaki teoremle toplama işleminin temel özelliklerini elde ediyoruz. Teorem m,n, p N olsun, bu durumda aşağıdakiler sağlanır (i) m p = n p ise m= n olur, (ii) (m n) p = m (n p), (sadeleşme özelliği) (birleşme özelliği) (iii) m n= n m. (değişme özelliği) İspat

8 32 ö ü 2 r (i) G := { p N : m p = n p m= n } kümesini tanımlayalım. Tümevarım aksiyomunu kullanarak G = N olduğunu göstereceğiz. Önce e G olduğunu gösterelim. Eğer m e = n e ise Sonuç (i) gereği s(m) = s(n) olduğu görülür, buradan da A 1 Peano aksiyomu gereği m= n sonucuna varılır. Böylece e G elde edilmiş oldu. Şimdi p G kabul edelim, yani eğer m p = n p ise m= n olsun. Bu durumda s(p) G olduğunu, yani m s(p)=n s(p) ise m = n olduğunu göstermeliyiz. Eğer m s(p)=n s(p) ise Sonuç (ii) gereği s(m p) = s(n p) olur ve buradan da yine A 1 Peano aksiyomu gereği m p = n p elde edilir. Buradan da p G kabulümüz gereği m = n sonucuna ulaşırız ve böylece tümevarım tamamlanmış olur. (ii) H := { p N : (m n) p = m (n p) } olmak üzere tümevarım aksiyomunu kullanarak H =N olduğunu göstereceğiz. Sonuç ile verilen sırasıyla (i), (ii), (i) özellikleri kullanılırsa (m n) e = s (m n)=m s(n)=m (n e) olacağından e H olduğu görülür. Şimdi p H kabul edelim ve s(p) H olduğunu gösterelim. Sonuç (ii) gereği (m n) s(p)= s ( (m n) p ) = s ( m (n p) ) = m s(n p)=m ( n s(p) ) olduğu görülür ki böylece tümevarım tamamlanır. (iii) Önce n = e durumunu ele alalım. M := {m N : m e = e m} olmak üzere tümevarım aksiyomunu kullanarak M = N olduğunu göstereceğiz. e e = e e olduğundan e M olduğu açıktır. Şimdi m M olsun, bu durumda sırasıyla Sonuç (i) özelliği, m M olduğu, bir önceki maddede kanıtladığımız birleşme özelliği ve tekrar Sonuç (i) özelliği kullanılırsa s(m) e = (m e) e = (e m) e = e (m e)=e s(m) elde edilir. Böylece s(m) M elde edilmiş oldu ki bu da tümevarım adımını tamamlar, yani her m N için m e = e m sonucu elde edilmiş olur. Şimdi L := { n N : her m N için m n= n m } olmak üzere tümevarım aksiyomunu kullanarak L=N olduğunu göstereceğiz. Az önce e L olduğunu kanıtladık, şimdi n L kabul edelim, bu durumda s(n) L olduğunu göstermeliyiz. Sonuç ile verilen (i) özelliği, e L olduğu, birleşme özelliği ve n L olduğu kullanılırsa s(n) m = (n e) m= (e n) m= e (n m) = e (m n)=(e m) n= (m e) n = m (e n)=m (n e) = m s(n) elde edilir ki bu da tümevarımı tamamlar. r ç r ü 2 Ö❻ ➑

9 r ➑ r Her m,n N için m n m olduğunu kanıtlayın := s(e), Γ := s( ), Σ := s(γ), Π := s (Σ) ve Ω := s (Π) olarak tanımlayın. Bu durumda e e = ve Σ=Γ Γ=Ω olduklarını gösterin. Şimdi yukarıda tanıttığımız işlemine dayanarak yeni bir işlem tanımlayacağız, bu işleme de çok aşina olduğunuzu göreceksiniz. Teorem Aşağıdaki özellikleri sağlayan tek bir K : N N N fonksiyonu vardır (i) her m N için K (m,e)=m, (ii) her m,n N için K (m, s(n))=k (m,n) m. İspat Özyineleme toereminde (Teorem 2.1.2) A=N, a= m ve g (k)=k m seçersek keyfi bir m N için (1) K m (e)=m, (2) her n N için K m (s(n))=k m (n) m olacak şekilde tek bir K m :N N fonksiyonunun var olduğunu görürüz. Bu durumda K := {( (m,n),k m (n) ) : (m,n) N N } kümesin N denn ye tanımlı olan K (m,n)=k m (n) fonksiyonunu belirtir. Yukarıdaki (1) ve (2) eşitlikleri gereği her m,n N için K (m,e)=k m (e)=m ve K (m, s(n))=k m (s(n))=k m (n) m= K (m,n) m olacağından K fonksiyonunun istenilen özelliklere sahip olduğu görülür. Tekliğin gösterilmesi okuyucuya bırakılmıştır Teorem ispatını tamamlayın; bahsedilen özelliklerde tek bir fonksiyon var olabilir. Yukarıdaki teoremde tanımlanan K fonksiyonu N kümesinde bir ikili işlem belirteceğinden bu teorem aşağıdaki gibi de ifade edilebilir. Daha sonra bu ikili işleme tanıdık bir isim verip temel özelliklerini araştıracağız.