DİNAMİK. Ders_2. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

Transkript

1 DİNAMİK Ders_2 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: GÜZ EĞRİSEL HAREKET: GENEL TANIM VE DİK BİLEŞENLER Bugünün hedefleri: 1. Eğrisel bir yörünge boyunca hareket eden bir parçacığın hareketini tanımlama. 2. Kinematik büyüklükleri vektörlerin dik bileşenleri ile ifade etme. Ders etkinliği: Sözel yoklama Uygulamalar Genel Eğrisel Hareket Kinematik Vektörlerin Dik Bileşenleri Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması 2-2/72 1

2 SÖZEL YOKLAMA 1. Eğrisel harekette, anlık hızın doğrultusu her zaman A) hodograma teğettir. B) hodograma diktir. C) yörüngeye teğettir. D) yörüngeye diktir. 2. Eğrisel harekette, anlık ivmenin doğrultusu her zaman A) hodograma teğettir. B) hodograma diktir. C) yörüngeye teğettir. D) yörüngeye diktir. 2-3/72 UYGULAMALAR Bir uçağın hareketinin yörüngesi bir radar ile izlenebilir ve bunun x,y ve z koordinatları (yerdeki bir noktaya göre) zamanın bir fonksiyonu olarak kaydedilebilir. Uçağın herhangi bir andaki hızı ve ivmesi nasıl hesaplayabiliriz? 2-4/72 2

3 UYGULAMALAR (devam) Bir hız treni sabit bir hızla helisel bir yörünge üzerinde aşağı doğru hareket etmektedir. Herhangi bir andaki pozisyonunu veya ivmesini nasıl bulabiliriz? Eğer yolu tasarlıyor olsaydık, aracın ivmesini tahmin edebilmek neden önemli olurdu (hem aracın tasarımı hem de yapısal sistemin tasarımı açısından!)? 2-5/72 GENEL EĞRİSEL HAREKET (Hibbeler, Bölüm 12.3) Eğrisel hareket bir parçacığın eğrisel bir yörünge üzerindeki hareketi olarak tanımlanır. Bu yörünge genel olarak üç boyutlu olduğundan parçacığın hızı, konumu ve ivmesinin formülasyonu için vektörel analiz gerekecektir. Parçacık, yörünge fonksiyonu s ile tanımlanan bir eğri üzerinde ilerler. Bu parçacığın konumu/pozisyonu sabit bir O noktasından uzanan r = r(t) konum vektörü ile tanımlanabilir. r nin hem büyüklüğü hem de doğrultusu zamanla değişmektedir. Eğer parçacık t zaman aralığı içerisinde eğri üzerinde s kadar yol almışsa, yerdeğiştirme r = r' r vektör farkı ile hesaplanabilir. 2-6/72 3

4 HIZ Hız parçacığın konumunun zamana göre değişim oranıdır. Parçacığın t zaman artımı boyunca ortalama hızı v ort = r/ t. Anlık hız konumun zamana göre birinci türevidir v = dr/dt. Hız vektörü, v, her zaman hareketin yörüngesine teğettir. v nin büyüklüğü (şiddeti) sürat olarak isimlendirilir. t 0 yay uzunluğu s, r nin büyüklüğüne yaklaşacağından (bkz.önceki slayt), sürat, yörünge fonksiyonunun zamana göre türevi ile elde edilebilir (v = ds/dt) => Fakat bunun bir vektör olmadığına dikkat edin!! 2-7/72 İVME İvme, parçacığın hızının zamana göre değişimin oranıdır. Eğer parçacığın hızı t zaman artışı içerisinde v den v' değerine değişiyorsa, bu zaman artışı boyunca ortalama hız : Hodogram a ort = v/ t = (v' v)/ t Anlık ivme hızın zamana göre türevidir : a = dv/dt = d 2 r/dt 2 İvme 2-8/72 Yörünge 4

5 İVME Hız vektörlerinin başlangıç noktaları aynı O' merkezine alınırsa, oklarının taradığı eğriye (geometrik yer) hodogram (hodograf) ismi verilir, s yörüngesi konum vektörleri için neyse, hodogram da hız vektörleri için odur, Hodogram İvme vektörü hodograma teğettir fakat genellikle yörünge fonksiyonuna teğet değildir. Yörünge Hodogram İvme 2-9/72 Yörünge EĞRİSEL HAREKET: DİK BİLEŞENLER (Bölüm 12.4) Parçacık hareketi genellikle sabit bir referans çerçeveye göre x, y, z kartezyen takımı kullanılarak veya diğer ismiyle dik bileşenler cinsinden kolayca tanımlanabilir. Parçacığın herhangi bir andaki konumu konum vektörü r ile tanımlanabilir: r = x i + y j + z k x, y, z bileşenleri zamanın bir fonksiyonu olabilir, örneğin, x = x(t), y = y(t) ve z = z(t) Dolayısıyla r = r(t) dir. Konum vektörünün büyüklüğü: r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 0.5 r nin yönü birim vektör ile tanımlanır: u r = (1/r) r 2-10/72 5

6 DİK BİLEŞENLER: HIZ Hız vektörü, konum vektörünün zamana göre birinci türevidir: v = dr/dt = d(xi)/dt + d(yj)/dt + d(zk)/dt Zamana göre türev alınırken, hem şiddet hem de yöndeki değişimi dikkate almak gerekir, fakat örneğin; d(xi)/dt=dx/dt i +xdi/dt = v x i i, j, k birim vektörlerinin yönü ve büyüklüğü sabit olduğundan, bu denklem v = v x i + v y j + v z k olarak sadeleşir. Burada v x = x = dx/dt, v y = y = dy/dt, v z = z = dz/dt zamana göre birinci türevdir Hız vektörünün büyüklüğü v = [(v x ) 2 + (v y ) 2 + (v z ) 2 ] 0.5 v nin doğrultusu hareketin yörüngesine teğettir, u v = (1/v) v 2-11/72 DİK BİLEŞENLER: İVME İvme vektörü, hız vektörünün zamana göre birinci türevidir (konum vektörünün ikinci türevidir): a = dv/dt = d 2 r/dt 2 = a x i + a y j + a z k Burada a x = v x = x = dv x /dt İvme vektörünün büyüklüğü a a = [(a x ) 2 + (a y ) 2 + (a z ) 2 ] 0.5 y = v y = y = dv y /dt a z = v z = z = dv z /dt a hızın değişim oranı olduğu, hem şiddet hem de yön değişimiyle ilgili bileşenler içerdiğinden dolayı, a nın yönü genellikle parçacığın yörüngesine teğet değildir. 2-12/72 6

7 DİK BİLEŞENLER: İVME Matematiksel hatırlatma: Zincir kuralı: Kompozit fonksiyonların türevini bulmak için kullanılır. y, x in, x de t nin fonsiyonu ise; Bazen çarpım kuralı da yukarıdaki kurala eklenerek zamana göre türev alınır: 2-13/72 ÖRNEK I Verilen: İki parçacığın (A ve B) hareketleri aşağıdaki konum vektörleri ile tanımlanmaktadır: r A = [3t i + 9t(2 t) j] m ve r B = [3(t 2 2t +2) i + 3(t 2) j] m. İstenen: İki parçacığın çarpıştığı nokta ve çarpışmadan hemen önceki süratleri. Plan: 1) Parçacıklar, konum vektörleri eşit olduğunda çarpışacaklardır, diğer bir ifadeyle r A = r B. 2) Konum vektörlerinin zamana göre türevleri alınarak süratleri bulunabilir. 2-14/72 7

8 ÖRNEK I (devam) Çözüm: 1) Çarpışma noktası r A = r B eşitliğini gerektirir, dolayısıyla x A = x B ve y A = y B. x-bileşenleri eşitlenir: 3t = 3(t 2 2t + 2) Düzenlenir: t 2 3t + 2 = 0 Çözülür: t = {3 [3 2 4(1)(2)] 0.5 }/2(1) => t = 2 veya 1 s y-bileşenleri eşitlenir : 9t(2 t) = 3(t 2) Düzenlenir: 3t 2 5t 2 = 0 Çözülür : t = {5 [5 2 4(3)( 2)] 0.5 }/2(3) => t = 2 veya 1/3 s Dolayısıyla, parçacıklar tek ortak zaman olan t = 2 s de çarpışırlar. Bu değer r A veya r B de yerine konulursa x A = x B = 6 m ve y A = y B = /72 ÖRNEK I (devam) 2) Hız vektörlerini elde etmek için r A ve r B yi türet. v A = dr A /dt = x. A i y A t = 2 s de: v A = [ 3i 18 j ] m/s j = [ 3 i + (18 18t) j ] m/s v B = dr B /dt = x B i + y B j = [ (6t 6) i + 3 j ] m/s t = 2 s de: v B = [ 6 i + 3 j ] m/s Sürat, hız vetörünün büyüklüğüdür (Şiddeti). v A = ( ) 0.5 = 18.2 m/s v B = ( ) 0.5 = 6.71 m/s 2-16/72 8

9 DİKKAT YOKLAMASI 1. Eğer bir parçacığın konumu aşağıdaki şekilde tanımlanıyorsa, r = [(1.5t 2 + 1) i + (4t 1) j ] (m), t = 1 s deki sürati: A) 2 m/s B) 3 m/s C) 5 m/s D) 7 m/s 2. Parçacığın yörüngesi y = 0.5x 2 ile tanımlanıyor. Eğer x = 2 m iken x-ekseni doğrultusundaki hızı v x = 1 m/s ise, aynı noktada y-ekseni doğrultusundaki hızı; A) 0.25 m/s B) 0.5 m/s C) 1 m/s D) 2 m/s 2-17/72 ÖRNEK II Verilen: Parçacığın hızı; v = [ 16 t 2 i + 4 t 3 j + (5 t + 2) k] m/s. t = 0 anında, x = y = z = 0. İstenen: t = 2 s anında parçacığın koordinat pozisyonu ve ivmesinin büyüklüğü. Plan: Hız vektörünün zamanın bir fonksiyonu olduğuna dikkat edilmelidir. 1) v yi integre ederek ve türevini alarak sırasıyla konum ve ivmeyi başlangıç koşullarını da dikkate alarak hesaplayınız. 2) t = 2 s için ivme vektörünün büyüklüğünü hesaplayınız. 2-18/72 9

10 ÖRNEK II (devam) Çözüm: 1) x-bileşenleri: Hız: v x = x = dx/dt = (16 t 2 ) m/s Konum : x dx= t (16 t 2 ) dt x = (16/3)t 3 = 42.7 m, t = 2 s 0 0 İvme: a x = x = v x = d/dt (16 t 2 ) = 32 t = 64 m/s 2 2) y-bileşenleri: Hız: v y = y = dy/dt = (4 t 3 ) m/s Konum : y dy= t (4 t 3 ) dt y = t 4 = 16 m, t = 2 s 0 0 İvme: a y = y = v y = d/dt (4 t 3 ) = 12 t 2 = 48 m/s /72 ÖRNEK II (devam) 3) z-bileşenleri: Hız: Konum : v z = z = dz/dt = (5 t + 2) m/s z dz 0 t 0 = (5 t + 2) dt z = (5/2) t 2 + 2t = 14 m, t=2s İvme: a z = z = v z = d/dt (5 t + 2) = 5 m/s 2 4) Yukarıda bulunan bileşenlerle ilgili bilgiler kullanılırak konum vektörü, ivme vektörü ve ivmenin büyüklüğü: Konum vektörü: r = [ 42.7 i + 16 j + 14 k] m. İvme vektörü: a = [ 64 i + 48 j + 5 k] m/s 2 Büyüklüğü: a = ( ) 0.5 = 80.2 m/s /72 10

11 DİKKAT YOKLAMASI 1. Eğer bir parçacık dairesel yörünge üzerindeki A dan B ye 4 s de ulaşıyorsa parçacığın ortalama hızı nedir?? A) 2.5 i m/s y B) 2.5 i +1.25j m/s C) 1.25 i m/s D) 1.25 j m/s R=5m A B x 2. Bir parçacığın konumu r = (4t 2 i 2t j) m olarak veriliyor. Parçacığın ivmesini hesaplayın. A) (4 i +8 j ) m/s 2 B) (8 i -16 j ) m/s 2 C) (8 i) m/s 2 D) (8 j ) m/s /72 ÖRNEK III Kısa bir süre için uçağın yörüngesi olarak tanımlanmıştır. Uçak 10 m/s sabit hızla yükseldiğine göre, y=100 m deki hız ve ivmesini bulunuz. 2-22/72 11

12 ÖRNEK III (devam) Noktasal Parçacık (bu yörünge problemi için cismin hareketi ağırlık merkezinin hareketi ile incelenebilir) x 2-23/ /72 12

13 ÖRNEK III (devam) 10 m/s m/s m/s 2-25/72 EĞİK ATIŞ HAREKETİ MERMİ HAREKETİ (Bölüm 12.5) Bugünün Hedefi: 1. Eğik atılmış top, mermi vb. parçacıkların serbest atış hareketinin analizi. Sınıf Etkinliği: Sözel yoklama Uygulamalar Eğik Atış Hareketinin Kinematik Denklemleri Kavramsal yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat yoklaması 2-26/72 13

14 SÖZEL YOKLAMA 1. Bir cismin serbest atış hareketi sırasındaki aşağı yönlü ivmesi: A) sıfır. B) zamanla artan. C) 9.81 m/s 2. D) 9.81 ft/s Serbest uçuş hareketi boyunca hızın yatay bileşeni. A) sıfırdır B) sabittir C) 9.81 m/s 2 dir D) 32.2 ft/s 2 dir 2-27/72 UYGULAMALAR İyi bir futbolcu gol atmak için hangi açısı ve v A başlangıç hızı ile topa vurması gerektiğini içgüdüsel olarak bilir. Belirli bir kuvvet ile vurulan topun en büyük mesafeyi alması için topa hangi açı ile vurulmalıdır? 2-28/72 14

15 UYGULAMALAR (devam) Basketbolda topu belirli bir açı ile yollamak gerekir. Basket atmak için oyuncunun hangi parametreleri dikkate alması gerekir? Uzaklık, sürat, basket potasının konumu,..başka?? 2-29/72 UYGULAMALAR (devam) Bir itfaiyecinin hortumuyla bir duvarın hangi yüksekliğine kadar suyu yönlendirebileceğini bilmesi gerekir. Hortumu tutmak için hangi açıyı kullanması gerektiğini bulmak için bir bilgisayar kodu yazmanız gerekse hangi parametreleri dikkate alırdınız? 2-30/72 15

16 EĞİK ATIŞ HAREKETİ (Bölüm 12.6) Eğik atış hareketi iki kartezyen eksen doğrultusunda ayrı hareket olarak düşünülebilir, biri sıfır ivme altındaki yatay hareket, diğeri ise sabit ivme altındaki düşey hareket (yerçekimi sebebiyle). Görülen ardışık resimler aynı zaman aralıklarında çekilmiştir. Kırmızı top durağan halde iken, sarı top ise yatay bir ilk hız ile bırakılmıştır. Her iki top da düşey doğrultuda aynı miktar düşey ivmelenmeye maruzdur. Bu sebeple her ardışık zamanda aynı yatay seviyeden geçerler. Ayrıca sarı top için çizilen düşey çizgilere bakılacak olursa bunların aralıklarının sabit olduğu görülür, çünkü yatay doğrultudaki hız sabit kalmaktadır. 2-31/72 KİNEMATİK DENKLEMLER: YATAY HAREKET a x = 0 olduğundan, yatay doğrultudaki hız sabit kalır (v x = v ox ) ve x doğrultusundaki konum aşağıdaki şekilde bulunabilir: x = x o + (v ox ) t (1) a x neden sıfıra eşittir (hava içerisinde hareket ediyor!)? 2-32/72 16

17 KİNEMATİK DENKLEMLER: DÜŞEY HAREKET Pozitif y ekseni yukarı yönlü olduğunda, a y = g dir. Sabit ivme denklemlerinin uygulanması ile: v y =v oy gt (2) y = y o + (v oy ) t ½ g t 2 (3) v y2 =v oy2 2g(y y o ) (4) Verilen bir problem için bu üç denklemden sadece ikisi kullanılabilir. Neden? 2-33/72 ÖRNEK I Verilen: v o ve θ İstenen: x in bir fonksiyonu olarak y denklemi. Plan: Kinematik denklemlerden zamanı sadeleştirelim. Çözüm: v x = v o cos θ ve v y = v o sin θ kullanılarak x x = (v o cos θ)t veya t = v o cos θ y = (v o sin θ) t ½ g (t) 2 t ifadesi y de yerine konularak: y = (v o sin θ) { x } g { x } v 2 o cos θ 2 v o cos θ 2-34/72 17

18 ÖRNEK I (devam) Son denklem sadeleştirilerek: y = (x tan ) gx 2 2v o 2 (1 + tan 2 ) (5) Yukarıdaki denklem eğik atış hareketi yapmakta olan bir parçacığın yörüngesini tanımlayan yörünge denklemi olarak bilinir. Denklemden, yörüngenin bir parabol olduğu görülüyor. Bu denklem de ilk üç denklem kullanılarak türetildi, bağımlıdır! 2-35/72 ÖRNEK II Verilen: Parçacık A noktasından v A =150 m/s lik bir ilk hız ile eğik olarak atılmıştır. İstenen: Alacağı toplam yatay mesafe (R) ve havada geçirdiği zaman nedir. Plan: Sabit bir (x, y) koordinat sistemi yerleştirelim (bu çözümde, koordinat sisteminin merkezi A noktasına yerleştirildi). x ve y doğrultularında kinematik ilişkileri uygulayalım. 2-36/72 18

19 ÖRNEK II (devam) Çözüm: 1) Koordinat sistemini A noktasına yerleştir, sonra, yatay hareketin denklemini yaz + x B = x A + v Ax t AB (1) nolu denk. ile Burada x B = R, x A = 0 ve v Ax = 150 (4/5) m/s R mesafesi x B = R = 120 t AB olacaktır 2) Şimdi düşey hareketin denklemini yazalım. Mesafe denklemi ile + y B = y A + v Ay t AB 0.5 gt 2 AB (3) nolu denk. ile Burada y B = 150, y A = 0 ve v Ay = 150(3/5) m/s kullanılarak yukarıdaki eşitlik: 150 = 90 t AB ( 9.81) t 2 AB t AB için çözüm yapılırsa öncelikle, t AB = s. (negatif kök s) Sonra, R = 120 t AB = 120 (19.89) = 2387 m 2-37/72 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Bir eğik atış probleminde, çözülmesi gereken en fazla bilinmeyen sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 2. Yer seviyesinden ateşlenen ve ilk hızı V o, yatayla açısı θ olan bir eğik atışın uçuş süresi dir. A) (v o sin )/g B) (2v o sin )/g C) (v o cos )/g D) (2v o cos )/g v y = v oy g t (2) nolu denklem 2-38/72 19

20 y x ÖRNEK III Verilen: Bir kayakçı, kayakla atlama rampasından A = 25 o ile ayrılıyor ve eğik yüzey üzerindeki B noktasına iniyor. İstenen: Kayakçının v A başlangıçtaki sürati nedir? Plan: Sabit bir (x, y) koordinat ekseni yerleştirin (Bu çözümde koordinat sisteminin orijini A noktasına yerleştirildi) x ve y yönleri için kinematik ilişkileri uygulayın. 2-39/72 ÖRNEK III (devam) Çözüm: x yönünde hareket: (1) nolu denklem ile x B = x A + v ox (t AB ) => (4/5)100 = 0 + v A (cos 25 ) t AB ile; t AB = 80 v A (cos 25 ) y yönünde hareket : (3) nolu denklem ile y B = y A + v oy (t AB ) ½ g (t AB ) 2 (4m lik ilave yüks. dikkat) = 0 + v A (sin 25 ) { } ½ (9.81) { } v 2 A = v A v A v A = m/s 2-40/72 20

21 DİKKAT YOKLAMASI 1. Ilk hızı v o ve yatayla açısı olan bir eğik atış yapılıyor. Parçacığın eğik düzlemi vurduğu andaki hızı, başlangıç hızı v o. A) dan daha küçüktür B) a eşittir C) dan daha büyüktür D) hiçbiri 2. Bir parçacığın ilk hızı v 0 ve yatayla açısı θ dır. Ulaşabileceği en büyük yükseklik için yatayla açısı ne olmalıdır? A) = 30 B) = 45 C) = 60 D) = /72 ÖDEV I eğik atış 5 1 V 0 = 40 m/s Φ= 30 o Verilen başlangıç şartları ve geometrik durum için topun yere düşeceği d mesafesini hesaplayınız. d = 94.1 m 2-42/72 21

22 EĞRİSEL HAREKET: NORMAL VE TEĞETSEL BİLEŞENLER Bugünün Hedefleri: 1. Eğrisel bir yörüge üzerinde hareket eden parçacığın hız ve ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerinin hesaplanması. Sınıf Etkinliği: Sözel yoklama Uygulamalar Hız ve İvmenin Normal ve Teğetsel Bileşenleri Hareketin Özel Durumları Kavramsal yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat yoklaması 2-43/72 SÖZEL YOKLAMA 1. Eğer bir parçacık bir eğri üzerinde sabit hızla hareket ediyorsa, bu durumda ivmesinin teğetsel bileşeni; A) pozitiftir. B) negatiftir. C) sıfırdır. D) sabittir. 2. İvmenin normal bileşeni; A) hızın büyüklüğünün zamanla değişim oranıdır. B) hızın yönünün zamanla değişim oranıdır. C) hızın büyüklüğüdür. D) bileşke ivmenin yönündedir. 2-44/72 22

23 UYGULAMALAR Yonca yaprağı formundaki bağlantı yollarında seyahat eden arabalar hem hızlarındaki değişimden hem de hızlarının yönündeki değişimden dolayı bir ivmeye maruz kalırlar. Eğer arabaların hızı eğri boyunca bilinen bir oranda artıyorsa, bileşke ivmenin büyüklüğünü ve yönünü nasıl hesaplarız? Arabaların bileşke ivmesi neden önemlidir?? 2-45/72 UYGULAMALAR (devam) Bir hız treni yaklaşık olarak y = f(x) fonksiyonu ile tanımlanabilecek bir yörünge üzerinde aşağı doğru seyahat ediyor. Hız treni durağan halden harekete başlıyor ve hızını sabit bir oranda artırıryor Rayların en alt noktasında hızını ve ivmesini nasıl hesaplarız? Bu değerleri neden bilmek isteriz? 2-46/72 23

24 NORMAL VE TEĞETSEL BİLEŞENLER (Bölüm 12.6) Bir parçacık eğri bir yörünge üzerinde hareket ettiğinde bazen hareketini Kartezyen yerine başka bir koordinat sistemi ile tanımlamak daha uygun olur. Hareketin yörüngesi bilindiğinde, genellikle normal(n) ve teğetsel (t) koordinatlar kullanılır. n-t koordinat sisteminde, orijin yani koordinat ekseninin merkezi parçacık üzerine yerleştirilir (orijin parçacıkla birlikte hareket eder). t-ekseni yörüngeye her an teğet ve s nin artış yönünde pozitiftir. n-ekseni, t-eksenine dik ve eğrinin eğrilik merkezi yönünde pozitiftir. n ve t koordinatları parçacık üzerinde kesişir. 2-47/72 NORMAL VE TEĞETSEL BİLEŞENLER (devam) Pozitif n ve t yönleri sırasıyla u n and u t birim vektörleri ile tanımlanır. Eğriliğin merkezi, O, her zaman eğrinin konkav (içbükey) tarafına doğru uzanır. Eğrilik yarıçapı,, o anki noktanın eğrilik merkezi ile eğri arasındaki dik uzaklıktır (yarıçap). Konum: Parçacığın herhangi bir andaki konumu, sabit referans bir noktadan eğri boyunca uzaklık, s, olarak tanımlanır. 2-48/72 24

25 NORMAL VE TEĞETSEL BİLEŞENLER (devam) Normal eksen (n) ise yandaki şekile referansla anlatılabilir: Yörüngenin diferansiyel büyüklükte ds yaylarından oluştuğu düşünülebilir. Bu durumda her ds segmentine karşılık gelecek şekilde eğrilik yarıçapı ve merkezi O' olan çember yayları yanyana dizilmiş olur. n-koordinatı t-koordinatına dik, pozitif yönü ise O' merkezine doğrudur. Pozitif yön u n birim vektörü ile belirtilir. 2-49/72 n-t KORDİNAT SİSTEMİNDE HIZ O s(t) Hız vektörü her zaman hareketin yörüngesine teğettir (t - yönündedir). u t Hız vektörünün büyüklüğü, s(t) yörünge fonksiyonunun, zamana göre türevi alınarak hesaplanır.. v = s = ds/dt => v = v u t (1) v, hızın büyüklüğü (sürat) ve u t de hız vektörünün yönüdür. 2-50/72 25

26 n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME İvme, hızın zamanla değişim oranıdır: a = dv/dt = d(v u t )/dt = v v (2) v = v u t (1) Burada v hızın büyüklüğündeki değişim, de nin yönündeki değişim oranını ifade eder. Parçacık yörünge üzerinde hareket ettiğinde birim vektörü şiddetini koruyacak, ancak yönü değişerek olacaktır, Burada, yarıçapı (1) olan bir çemberin yayıdır. Bu durumda şiddeti 1 ve yönü de u n doğrultusundadır: du t = dθ u n (3) 2-51/72 n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME / / (3) / / <= (4) v v (2) v v, 2-52/72 26

27 S1 n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME (devam) Dolayısıyla, ivme vektörünün iki bileşeni vardır: a = a t u t + a n u n Teğetsel bileşen yörünge eğrisine teğet ve yönü ise hızın artan ya da azalan yönündedir. v v. a t = v veya a t ds = v dv a t ds/dt = v dv/dt Normal veya merkezcil bileşen ise her zaman eğrinin eğrilik merkezine doğru yönelmiştir (merkeze doğrudur): a n = v 2 / İvme vektörünün büyüklüğü: a = [(a t ) 2 + (a n ) 2 ] 0.5 (işareti pozitif) 2-53/72 HAREKETİN ÖZEL DURUMLARI Hareketin, incelenebilecek bazı özel durumları vardır: 1) Parçacık doğrusal hareket ediyorsa; => a n = v 2 / a = a t = v Teğetsel bileşen, hızın büyüklüğünün zamanla değişim oranıdır. 2) Parçacık bir eğri üzerinde sabit hızla ilerliyorsa;. a t = v = 0 => a = a n = v 2 / sadece normal bileşen vardır Normal bileşen, hızın doğrultusunun zamanla değişim oranıdır. Artan hız Hızın doğrultusundaki değişim a = a n a = a t Artan hız Artan hız Hızın büyüklüğündeki değişim 1 Sabit hız, = sonlu büyüklükte, sabit bir değer 2-54/72 27

28 Slayt 53 S1 1. ŞUBE BURADA KALDIM Serkan;

29 HAREKETİN ÖZEL DURUMLARI (devam) Normal ivme bileşeni için eğrilik yarıçapı formülünü bilmemiz gerekmektedir, Parçacık y = f(x) ile ifade edilen bir fonksiyonla tanımlı yörünge üzerindeyse, bu yörüngenin üzerindeki herhangi bir noktanın eğrilik yarıçapı, aşağıdaki formülle bulunur: 1 / / / 2-55/72 Çocuk bir v hızıyla yukarı yönde salınıyor olduğundan, bu hareket n-t koordinatları kullanılarak analiz edilebilir. Salıncak yükselirken hızın büyüklüğü (sürat) azalmakta ve negatif olmaktadır. Her zaman pozitif olan ve hızın doğrultusundaki değişim oranını ifade eden ise dönme merkezi yönündedir. 2-56/72 28

30 ÖRNEK III Verilen:Bir bot dairesel bir yörüngede = 40 m ve zamanla artan bir hız ile, v(t) = ( t 2 ) m/s, seyahat etmektedir. İstenen: t = 10 s anında botun hız ve ivmesinin büyüklüğü nedir? Plan: Bot başlangıçta durağan haldedir (t = 0 da v = 0). 1) v(t) eşitliğini kullanarak t = 0 için hızın şiddetini hesapla. 2) İvmenin teğetsel ve normal bileşenini ve sonra da ivme vektörünün büyüklüğünü hesapla. 2-57/72 Çözüm: ÖRNEK III (devam) 1) Hızın büyüklüğü v = (0.0625t 2 ) m/s olarak verildiğinden hız vektörü v = v u t ile bulunur. t = 10 s de: v = t 2 = (10) 2 = 6.25 m/s (skaler). 2) İvme vektörü: a = a t u t + a n u n = v u t + (v 2 / ) u n. Teğetsel bileşen: a t = v = d( t 2 )/dt = t m/s 2 t = 10s de: a t = 0.125t = 0.125(10) = 1.25 m/s 2 Normal bileşen: a n = v 2 / m/s 2 t = 10s de: a n = (6.25) 2 / (40 = m/s 2 İvmenin büyüklüğü ise: a = [(a t ) 2 + (a n ) 2 ] 0.5 = [(1.25) 2 + (0.9766) 2 ] 0.5 = 1.59 m/s /72 29

31 DİKKAT YOKLAMASI? 1. Yarıçapı 300 m olan eğrisel bir yörüngede hareket eden bir parçacık, 30 m/s anlık hıza sahiptir ve hızı 4 m/s 2 sabit oranda artmaktadır. Tam o andaki bileşke ivmesinin büyüklüğü nedir? A) 3 m/s 2 B) 4 m/s 2 C) 5 m/s 2 D) -5 m/s 2 2. Yarıçapı 5 m olan dairesel bir yörünge üzerinde hareket eden bir parçacığın hız fonksiyonu v = 4t 2 m/s ile verilmişse, t = 1 s anındaki bileşke ivmesinin büyüklüğü nedir? A) 8 m/s B) 8.6 m/s C) 3.2 m/s D) 11.2 m/s 2-59/72 ÖRNEK IV Verilen: Bir hız treni y = 0.01x 2 parabolik fonksiyonu ile verilen düşey bir yörünge üzerinde seyahat etmektedir. B noktasından, artış oranı 3 m/s 2 olan 25 m/s hız ile geçmektedir. İstenen: B noktasındayken hız treninin ivmesinin büyüklüğü? Plan: 1. Aracın hızındaki değişim (3 m/s 2 ), bileşke ivmenin teğetsel bileşenidir. 2. Yörüngenin B noktasındaki eğrilik yarçapını bulunuz. 3. İvmenin normal bileşenini hesaplayınız. 4. İvme vektörünün büyüklüğünü hesaplayınız. 2-60/72 30

32 ÖRNEK IV (devam) Çözüm: 1) İvmenin teğetsel. bileşeni, trenin hızındaki artış oranıdır, dolayısıyla: a t = v = 3 m/s 2. 2) B noktasındaki eğrilik yarıçapını hesaplayınız (x = 30 m): dy/dx = d(0.01x 2 )/dx = 0.02x, d 2 y/dx 2 = d (0.02x)/dx = 0.02 x =30 m de, dy/dx = 0.02(30) = 0.6, d 2 y/dx 2 = 0.02 [1+(dy/dx) 2 ] 3/2 => = = [1 + (0.6) 2 ] 3/2 /(0.02 = 79.3 m d 2 y/dx 2 3) İvmenin normal bileşeni; a n = v 2 / = (25) 2 /(79.3 = m/s 2 4) İvme vektörünün büyüklüğü ise; a = [(a t ) 2 + (a n ) 2 ] 0.5 = [(3) 2 + (7.881) 2 ] 0.5 = 8.43 m/s /72 DİKKAT YOKLAMASI 1. İvmenin normal bileşeninin büyüklüğü. A) eğrilik yarıçapı ile doğru orantılıdır. B) eğrilik yarıçapı ile ters orantılıdır. C) bazen negatiftir. D) hız sabit olduğunda sıfırdır. 2. Hızın yönü ve teğetsel ivmenin yönü her zaman A) birbirine diktir. B) aynı doğrultudadır. C) aynı yöndedir. D) ters yönlüdür. 2-62/72 31

33 ÖRNEK V ders dışında incelenecek Kayak yapan kişi A noktasına ulaştığında hızı 6 m/s ve teğetsel ivmesi 2 m/s 2 dir. Hızın yönünü ve ivmenin şiddetini bulunuz. 2-63/72 ÖRNEK V (devam) 2-64/72 32

34 ÖRNEK V (devam) Eğrilik yarıçapı doğrultusundaki merkezkaç ivmesi Yatayla yaptığı açı = = 12.5 derecedir! 2-65/72 ÖRNEK VI ders dışında incelenecek Şekilde gösterilen araba A dan geçerken 30 m/s hızla sahiptir. Sürücü tam A noktasındayken frene basarak arabanın hızını 0.08 ile azaltmaktadır ( / cinsinden). A da C ye 15 sn de geldiğine göre, arabanın C noktasındaki ivmesini hesaplayınız. 2-66/72 33

35 ÖRNEK VI (devam) t = (ln. 30 t ln / /72 ÖRNEK VI (devam) 2-68/72 34

36 ÖRNEK VI (devam) 2 (0.3957) /72 ÖDEV Şekilde gösterilen güzergahta ilerleyen trenin A noktasındaki hızı 30 m/s dir. Tren tam bu noktadayken hızını sabit a t = m/s 2 ivme ile azaltmaya başlamıştır. Trenin B noktasına ulaştığı andaki ivmesini bulunuz. S AB = 412 m dir. (12-122) Sonuç: 2-70/72 35

37 ÖDEV II eğrisel hareket dik koord. Araç, şekilde verilen yörünge fonksiyonuna uygun olarak yol almaktadır. Aracın yörünge boyuncaki hızı sabit 75 ft/s ise x = 50 ft anında aracın hız ve ivmesinin x ve y bileşenleri nedir? 2-71/72 Hız her zaman yörüngeye teğet! ÖDEV II (İpucu) y Kabul edilen pozitif yönler! x Araç sabit hızla (her zaman yörüngeye teğet) hareket ettiği için aracın ivmesinin teğet bileşeni sıfır olmalıdır! Cevap: v x = 74.2 ft/s (sola doğru), v y = 11.1 ft/s (yukarıya doğru) a x = 2.42 ft/s2 (sola doğru), a y = ft/s2 (aşağıya doğru) 2-72/72 36