HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.

Transkript

1 HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem kısmi türevli denklemlerin sınıflandırılmasında eliptik tip denklem grubuna girer. Eliptik denklem genellikle denge ve kararlı hal (steady-state) problemlerinin matematiksel modellenmesinde ortaya çıkar. Gravitasyonel, ideal sıvı hareketleri, elektrostatik, kararlı ısı akımı, sıvılarda yüzey dalgaları, burulma problemlerinde eliptik denklem ile karşılaşılır. Sayısal çözüm yöntemleri bakımından Poisson denklemi ile Laplace denklemi arasında fark yoktur. Bu nedenle Poisson denkleminin çözümü incelenecektir u u u f( x, y) 2 2 x y (15.167) şeklinde yazılan Poisson denklemini göz önüne alalım. Isı iletiminde, kararlı hale (steadystate)e ait denklem 2 T=Q/k şeklindedir. Burada; T, sıcaklık, Q, kaynak terimi olup birim hacımda birim zamanda üretilen ısı miktarı ve k, ısı iletkenlik katsayısıdır. Kaynak terimi bulunmadığında kararlı ısı iletim denklemi Laplace denklemine dönüşür. Burulma probleminde ise gerilme fonksiyonu adı verilen büyüklük 2 φ=2gω denklemini sağlar; gerilmeler ise τ zx = φ/ y, τ zy =- φ/ x bağıntılarından bulunur. Burulma probleminde basit bölgelerde φ değişkeni sınırlarda sıfırdır. İki boyutlu eliptik denklemlerin çözüm bölgesi daima kapalı bir C eğrisi ile sınırlıdır. Sınır şartları olarak, bilinmeyen fonksiyonun kendisi veya normal doğrultuda türevi veya kendisi ile normal doğrultudaki türevinin kombinasyonu verilebilir; kısaca Dirichlet, Neumann ve üçüncü tip (Robbin) sınır şartları altında. Eliptik denklemlerde, hiperbolik denklemlerden farklı olarak sınırın aynı bölgesinde iki şart birden verilemez. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir.

2 2 Elastisite Sonlu farklar yöntemi ile Poisson denkleminin çözümü: (15.167) ile verilen Poisson denklemi ayrıklaştırıldığında u 2u u u 2u u ( x) ( y) i1, j ij, i1, j ij, 1 ij, ij, f ij, (15.172) şeklinde sonlu farklar denklemi elde edilir. Bu fark denkleminde hata mertebesi O[(x) 2 ]+O[(y) 2 ]dir. x=y alındığında aşağıda verilen şekilde beş nokta arasında bağıntıyı veren denklem elde edilir. u u u u 4 u ( x) 2 f (15.173) i1, j i1, j i, j1 i, j1 i, j i, j Bu denkleme ait şablon şekil da verilmektedir N 2 y 1 1 x M Şekil Şekil Poisson denkleminin, şekil da görülen dikdörtgen bölgede Dirichlet şartları altında sayısal çözümünü inceleyelim. Dikdörtgen bölge üzerine çizilen ağın iki yöndeki aralıkları eşit olsun. Bölgenin sınırlarında, kare ile gösterilen noktalarda, bilinmeyen fonksiyonun değerleri bilinmektedir. Bölgenin köşelerindeki noktalar hesaplarda kullanılmayacağından şekilde işaretlenmemiştir. İleride görüleceği gibi başka tip şablon (dokuz noktalı şablon) kullanıldığında bu tip noktalardaki değerler kullanılabilir. Bu gibi durumlarda sınır şartlarının köşe noktalarındaki değerlerinde süreksizlikler var ise ortalama değer alınır. Şekil de daire ile gösterilen noktalarda fonksiyonun değerleri hesaplanacaktır. x doğrultusunda M ve y doğrultusunda N aralık bulunduğunda bilinmeyen (daire ile gösterilen nokta) sayısı (M1).(N1) dir. (15.173) ile

3 Sonlu Farklar 3 verilen fark denkleminde u i,j ile gösterilen noktalar daire ile belirtilen noktalar üzerine uyguladığında bilinmeyen sayısı kadar denklem elde edilir. Örnek Problem 15.11: Laplace denkleminin 0x1, 0y0,75 bölgesinde x=y=0,25 alarak u(0,y)=u(x,0)=u(x,0,75)=0 ve u(1,y)=100 sınır şartları altında çözünüz. Çözüm: Ağ üzerindeki noktalar şekil de görülmektedir. Noktalar tek indisle işaretlenmiş olup (15.173) fark denklemi, pivot nokta 1,2,3,4,5 ve 6 noktalarına gelecek şekilde yazıldığında elde edilen denklem takımı ve çözümünden elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir. 00u u 4u u u u 4u u u 1004u u u 4u u u u 4u u u 4u u u u u u u u 1 =4,7619 u 2 =14,2857 u 3 =38,0952 u 4 =4,7619 u 5 =14,2857 u 6 =38,0952

4 4 Elastisite Sonlu fark denkleminin çözümde kullanılan yöntemler: Sonlu fark denklemlerinde kullanılan yöntemler biharmonik denklemin ayrıklaştırılmış halinin çözümünde kullanılan yöntemlerin aynıdır. Aşağıda, hatırlatma bakımından aynı yöntemler tekrar edilmiş ve küçük değişiklikler belirtilmiştir. Dolaysız yöntemler: Bilinmeyen sayısı küçük ise Gauss eliminasyon yöntemi uygulanır. Bunun dışında; katsayılar matrisinin tekil matrise çok yakın olması durumunda küçük kalanların hataları göstermediği veya aynı denklem takımının farklı sağ taraf ile çok kez çözülmesi hallerinde dolaysız yöntemler uygulanır: Bant matris çözümü: Katsayılar matrisinin bant genişliği fazla değil ise üçlü blok bant matrisinin çözümüne ait yöntemler kullanılır. Büyük mertebeli bant matrisleri bellekte önemli yer işgal ettiğinden bunlar özel yöntemler ile bellekte saklanırlar. Bant matrisin bant genişliği fazla ise matrisin seyrek matris oluşu göz önüne alınarak bellekte saklanır. Ardışık yaklaşım yöntemleri: Katsayılar matrisinin bant genişliği fazla ise bandın içinde fazla miktarda sıfırlar bulunur ve bunlar Gauss eliminasyonda kaybolurlar. Bu sıfırları muhafaza etmek için en iyi yöntem ardışık yaklaşım yöntemidir. Ayrıca katsayılar matrisinin mertebesi büyük ise, örneğin 100 den fazla, ardışık yaklaşım yöntemi önerilir. İleride görüleceği gibi, ardışık yaklaşım, elektronik tablolarda düşük mertebeli matrisler için de uygun çözüm olmaktadır. Ardışık yaklaşım yöntemleri, (15.173) bağıntısı aşağıda verilen şekilde yazılarak uygulanır. u 1 [ ( ) 2 ] ij, ui 1, j ui 1, j uij, 1 uij, 1 x f ij, (15.178) 4 Ardışık yaklaşım yöntemi içinde en fazla kullanılan yöntemler Jacobi ve GaussSeidel yöntemleridir. Bu yöntemler hakkında Bölüm 4 de geniş olarak bilgi verildi. Poisson denkleminin çözümünde, GaussSeidel yöntemi ilk kez Liebmann tarafından kullanıldığında GaussSeidel yönteminin Poisson denkleminin çözümünde kullanılmasına Liebmann yöntemi adı da verilir.

5 Sonlu Farklar 5 Excel tablolarının kullanılması: Excel tablosunda, Poisson denkleminin çözümü için özel bir komut olmamakla birlikte Excel tablosunun dairesel döngü özelliği kullanılarak Poisson denklemi ardışık yaklaşım ile kolay bir şekilde çözülür. Tabloya kontrol altında tutabilmek için bilinmeyenler çok fazla olmamalıdır. Excel tablolarında bilinmeyenlerin çok fazla olmamasına karşın fark denklemleri çok kolay bir şekilde yazılır ve sonuçlar bir matris şeklinde elde edildiğinden yorumlanması da çok kolaydır. Excel tablolarının kullanımının esası, her ağ noktasına bir hücre karşı getirip bu hücrede aranan fonksiyonun değerini saklamaktır. Ardışık yaklaşımda aranan fonksiyonun değeri işlem sırasında bu hücrede değiştirilir. Hücrelerin dizilişi ağ noktalarının dizilişi ile aynıdır. Excel tablosunda önce her ağ noktasına karşı gelen hücreler belirlenir. Bu hücrelerden sınır üzerindeki noktalara karşı gelen hücrelerdeki değerler (Dirichlet şartlarında) bellidir ve yerlerine yazılır. İç noktalara karşı gelen hücrelere ise başlangıç değerleri, genelde sıfır, yazılır. Daha sonra iç noktalardan birine (15.178) bağıntısı formül olarak yazılır ve sonra bu formül bütün iç noktalara kopyalanır. Kopyalama işlemi bittikten sonra dairesel döngü çalışarak, hücrelerdeki değerleri ardışık yaklaşım ile hesaplayıp yerlerine yazar. Dairesel döngünün çalışabilmesi için Exel in, Araçlar, Seçenekler, Hesaplama menüsünde Yineleme düğmesine onay verilmiş olması gerekir. Ayrıca aynı menüde En büyük değişiklik kısmına yazılan sayı ile iki yinelenen değer arasında fark belirlenir; bu fark sağlanınca yineleme durur. Bu kısım ile istenilen hesap inceliği ayarlanır. Yine aynı menüde En fazla yineleme sayısı ile yineleme sayısına bir sınır konulur. Yineleme yeterli olmadığı takdirde, yineleme sayısı büyültülür veya F9 tuşuna basılarak tekrar aynı miktarda yineleme yaptırılır. Burada görüldüğü gibi denklemler formül olarak yazılmakta sonuçlar ise ilgili hücrelerde matrisi formunda elde edilmektedir.

6 6 Elastisite Örnek Problem 15.12: 2 u=0 denklemini 0x1; 0y0,80 bölgesinde x=y=0,20 alarak u(0,y)=u(x,0)= u(1,y)=0 ve u(x,0,80)=100 sınır şartları altında Excel tablosu ile çözünüz. Çözüm: x=y=0,20 olduğundan problemde kullanılacak ağ her satırda 6 nokta olmak üzere beş satırdan oluşacaktır. Bu ağ noktalarına karşı gelen hücreler şekil de çift çizgi ile sınırlanan bölge içinde bulunmaktadır. İç noktalar ise tek çizgi ile sınırlanan bölge içinde bulunmaktadır. Fonksiyonun sınır noktalarındaki değerleri bilindiğinden bu değerler tabloda ilgili hücrelere yazılmıştır. Süreksizlik bulunan sınır noktalarında sınır değerlerinin ortalaması alınmıştır. Bu problemdeki süreksizlik noktaları hesaplarda kullanılmamasına karşın bu gibi durumlarda nasıl hareket edileceğini belirmek için tabloda gösterilmiştir. İç noktalarda ise fonksiyonun başlangıç değerleri yazılır. Tabloda bu değerler sıfır olarak yazılmıştır. İkinci etapta iç noktalardan birine örneğin C3 hücresine (15.178) bağıntısı (D3+B3+C2+C4)/4 şeklinde yazıldık

7 Sonlu Farklar 7 tan sonra bu formül bütün iç noktalara kopyalanınca dairesel döngü çalışarak şekil de görülen sonuçlar elde edilir. Sonuçlar iki ondalık olarak görüntülenmiştir. (15.171) bağıntısı kullanılarak problemin kesin sonucu sh( n y) uxt (, ) sin( n x) nshn (.0,8) n1,3,5 olarak bulunur. Bu seri çok hızlı yakınsar. Kesin değerler ve yüzde hatalar tablo de verilmiştir. Simetriden dolayı tabloda x=0,60 ve x=0,80 değerleri verilmemiştir. Tablo Kesin DeğerlerYüzde Hatalar x=0,2 x=0,4 x=0,2 x=0,4 y=0,6 45,16 59,84-0,005-0,02 y=0,4 20,63 31,31 0,024-0,01 y=0,2 8,32 13,15 0,031 0,003