Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3"

Gizem Ayik
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z = a + bi karmaşık sayısını, uzunluğunu değiştirmeden orijin etrafında pozitif yönde β kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karm aşık sa yı w olsun. İm (z) w Örnek...3 : z = 2.cis karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde döndürülmesiyle oluşan sayıyı standart biçimde ya zın ız. O β θ w = IzI.[cos(θ+β)+i.sin(θ+β)] olur. Gerekli dü zenlem eler ya pılırsa, w = z. [cos β + i.sin β] olduğu kola yca görülür. Kısaca eğer z sayısı pozitif yönde β kadar döndürülürse oluşacak yeni sayı w=z.cis(β) olur. Benzer biçimde eğer z sayısı negatif yönde β kadar döndürülürse oluşacak yeni sayısı w=z.cis( β) olur. Örnek...1 : z= 3+i sayısının orijin etrafında pozitif yönde 60 o döndürülmesiyle elde edilen karm aşık sa yıyı bulunu z. z Re (z) KARMAŞIK SAYILARIN N. KUVVETTEN KÖKLERİ z ve w karmaşık sayıları için w n =z eşitliğini sağlayan w sayılarına z sayısının n. kuvvetten kökleri denir ve bu kökler w i = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } olarak elde edilir. Bir z karmaşık sayısının n. kuvvetten kökleri bulmak için A) VERİLEN Z KARMAŞIK SAYISI KUTUPSAL BİÇİME ÇEVRİLEBİLİYORSA Adım 1 z= z cisɵ verilmiştir. w=rcisα kabul edilerek w n =r n cisnα = z= z cisɵ yazılır. Adım 2 r n = z ve nα=ɵ eşitliklerinden r ve α değerleri bulunur. Örnek...2 : z= 3+i sayısının orijin etrafında negatif yönde 120 o döndürülmesiyle elde edilen karm aşık sa yıyı bulunu z. Adım 3 Aranan kökler w k= z (1 n ).cis(( Ɵ n +k.360 n )) k=0,1,2...,(n 1) olarak elde edilir. (Modül değişmezken ilk kök argümentinin 360 artt ırıldığ ına dikk at ediniz) n 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

2 Örnek...4 : 1 + i sayısının kareköklerini bulalım. UYARI Köklerin modülleri eşit olduğundan, kökler karmaşık düzlemde merkezi 1 n orijinde olan ve z yarıçaplı çember üzerindedir. n=2 için bu çemberin bir çapının uç nok talarıdır. n>2 için ise düzgün n genin köşeleridir. Örnek...6 : z= 3+i sayısının kareköklerini bulunuz. Örnek...5 : w 2 = 3 3 i eşitliğini sağlayan w sayılarını bulalım. Örnek...7 : i sa yısının küpk ök lerini bulunuz. Örnek...8 : 4 i =? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

3 Örnek...9 : z= 4 3+i karmaşık sayısının karekökleri w 0,w 1 olsun. w 0 w 1 =? Örnek...12 : Koordinat düzleminde z 4 =i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarına karşılık gelen noktaları köşe kabul eden çokgenin alanı kaç br 2 dir? Örnek...10 : z=5 6i karmaşık sayısının karekökleri w 0,w 1 olsun. w 0.w 1+ w 0+w 1 =? Örnek...13 : z= 5 i. 39 karmaşık sayısının sayısının 6. kuvvetten köklerinin oluşturduğu kapalı bölgenin çevresi ne olur? Örnek...11 : z= 4i+ 11 karmaşık sayısının küp köklerinin herhangi ikisi arası uzaklık kaç birimdir? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

4 B) VERİLEN Z KARMAŞIK SAYISI KUTUPSAL BİÇİME ÇEVRİLEMİYORSA Aranan kökler a+ib olsun denilip istenen kuvvet alınır. Ardından karmaşık sayıların eşitliğini de kullanarak a ve b yi elde ederiz. Örnek...16 : z 2 +(3 i)z+4 3i=0 denklemin çözüm kümesini bulunu z. Örnek...14 : z 2 = 3 + 4i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarını bulalım. UYARI z = a + bi karmaşık sayısı için kökler w 0 ve w 1 olsun. b > 0 için; W 0 ;1 =±( lzl+a 2 +i lzl a 2 ) b < 0 için; W 0 ;1 =±( lzl+a 2 i lzl a 2 ) bağıntıları da kök bulunurken k ullan ıla bilir. Örnek...15 : z = 1 + 2i karmaşık sayısının kare köklerini bulunuz? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

5 DEĞERLENDİRME 1 1) z= 3+ 3 sayısının orijin etrafında pozitif yönde 120 o döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı nedir? 5) z= 64i karmaşık sayısının 12. kuvvetten köklerine karşılık gelen noktaları köşe kabul eden çokgenin alanı kaç br 2 dir? 2) z karmaşık sayısının orijin etrafında, negatif yönde döndürülmesiyle oluşan sayı 4+i 2 ise z sayısının reel kısmı nedir? 6) 12i 5 sa yıs ın ın karek ökleri nelerdir? 3) 2 2 i sayısının karekökleri nelerdir? 7) z 2 +(1+2i)z+3 i=0 denklemin çözüm küm esini bulunu z? 4) z=7+i karmaşık sayısının karekökleri arasındaki mesafe kaç birimdir? 8) 3+ 5i sa yıs ın ın karek öklerini bulunu z? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

6 DEĞERLENDİRME 2 1) Karesi 7+24i olan sayıları bulunuz? 5) cisθ=cosθ+isinθ=e iθ olmak üzere, 1+i sayısını üstel formda gösteriniz? 2) Z 3 =1 denkleminin bir kökü w ( w 1 ) olsun. w 2 +w+1=? 6) cisθ=cosθ+isinθ=e iθ olmak üzere, i i =? 3) z 6 =125i köklerinin toplamını bulunuz? 7) Karmaşık sayılardan yararlanarak 1+cis72 0 +cis cis cis288 0 =? 4) z 1, z 2, z 3 karmaşık düzlemde bir eşkenar üçgenin köşe noktaları olsun. z 1 2 +z 2 2 +z 3 2 =z 1.z 2 +z 2.z 3 +z 3. z 1 olduğunu gösteriniz? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

Benzer belgeler

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle