Türkiye zorunlu trafik sigortas dalnda toplam hasar rezervi tahminlerinin hata kareler ortalamas

Transkript

1 statistikçiler Dergisi 4 (0) 9-5 statistikçiler Dergisi Türkiye zorunlu trafik sigortas dalnda toplam hasar rezervi tahminlerinin hata kareler ortalamas Gülen Demir Ay T.C. Babakanlk Hazine Müstearl nönü Bulvar No: Emek/ANKARA gulsen.dmr@gmail.com Murat Büyükyazc Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi, Aktüerya Bilimleri Bölümü Beytepe, Ankara muratby@hacettepe.edu.tr Özet Bu çalmada, gelecek yllar boyunca kademeli yaplacak olan hasar ödemeleri ve bu ödemelerin toplamndan oluan hasar rezervleri, zincir merdiven yöntemi ile tahmin edilmitir. Ayrca bu yöntem ile elde edilen hasar rezervlerinin hata kareler ortalamas için Wüthrich ve Merz (008) in çalmasnda ortaya konan koullu tahmin edici ile Mack (993) in çalmasnda ortaya konan tahmin edici anlatlmtr. Uygulama ksmnda, Türkiye de zorunlu trafik sigortas dalnda hizmet veren sigorta irketinin yllar için birikimli hasar miktar geliim üçgeni verileri kullanlmtr. irketin tamamna, söz konusu iki tahmin edici uygulanarak hata kareler ortalamalar hesaplanm, zorunlu trafik sigortas sektöründeki herhangi bir irket için toplam rezerv miktarnn ortalama deiim katsays elde edilmitir. Bu deerin tahmin edilmesiyle, sigorta irketlerinin zorunlu trafik sigortas hasar rezervi tahminlerine ilikin stokastik bir deerlendirme yapmalarna olanak salanm olmaktadr. Anahtar sözcükler: Hasar rezervi tahmini, zincir merdiven yöntemi, hata kareler ortalamas, zorunlu trafik sigortas. Abstract Mean Square Error of Total Claims Reserve Prediction in the Mandatory Traffic nsurance of Turkey n this study, claims payments which will be made over the years gradually in the future and loss reserves which are total of these claims payments will be predicted by using chain ladder method. Also, estimators that were introduced in the studies of Wüthrich and Merz (008) and Mack (993) will be given for the mean square error of the ultimate claim reserve. n application part of this study, the cumulative claims triangle data of companies serving in the mandatory traffic insurance for the period are used. Two aforementioned estimators were applied and mean square error predictions and variational coefficients were computed for companies. Finally, average variational coefficient for total claims reserves for any company working in this insurance sector was calculated. Thus, an opportunity will be given to the insurance companies for making a stochastical assessment of the total claim reserve estimate s quality. Keywords: Prediction of loss reserve, chain-ladder method, mean square error, mandatory traffic insurance.. Giri Sigortacnn hasara ilikin olarak ödemek zorunda olduu miktara, hasar miktar (claim amount ya da loss amount) denir. Toplamda hasar miktarn oluturan ödemeler ise, hasar ödemeleri olarak bilinmektedir. Hasar ödemeleri, literatürde claims payments, loss payments, paid claims ya da paid losses olarak karmza çkabilmektedir [5]. Genellikle, sigorta irketleri hasar, 3 ana nedenden dolay kolaylkla tespit edememektedir. Bunlar:

2 G. Demir Ay, M. Büyükyazc / statistikçiler Dergisi 4 (0) Hasarn raporlanmasnda gecikmeler yaanabilmektedir. Yani, hasarn meydana gelmesi ile raporlanmas arasnda geçen süre birkaç yl bulabilmektedir.. Hasar sigortacya raporlandktan sonra, hasarn nihai olarak ortaya konmasndan önce birkaç yl geçebilmektedir. 3. Kapanm bir hasar, yeni gelimelerden dolay yeniden açlabilmektedir. Meydana gelmi ve sigorta irketine bildirilmi bir hasara ilikin olarak ileride ödenmesi muhtemel, ancak henüz tasfiyesi yaplmam yaklak hasar miktar ise muallak hasar (outstanding loss) ifade etmektedir. Sigorta irketleri, her mali yln sonunda, muallak hasarlarn toplam üzerinden, belli yöntemlerle bir karlk miktar belirlemektedir. Muhtemel ödeme için ayrlan bu miktara da muallak hasar rezervi denilmektedir. Hasar rezervleri ya da dier bir deyile hasar karlklar, irketlerin geçmi verilerinden gelecee yönelik tahminler yaplarak hesaplanr. Sigorta irketleri, risklerini azaltmak ve kendilerini beklenmeyen hasarlara kar koruyabilmek için hasar karl miktarn en uygun ekilde belirlemelidir. Hasar karl miktarnn doru belirlenmesi, uygun iletme kararlarnn alnabilmesinde ve faaliyet kârnn doru tespit edilebilmesinde önemli rol oynamaktadr. Zincir merdiven yöntemi (ZMY), en çok kullanlan hasar karl hesaplama yöntemidir. Ayn zamanda, ülkemizde sigorta irketlerinin teknik karlk hesaplamada kulland ve Hazine Müstearl nn tarih ve 00/ sayl Genelgesi [6] ile belirlenmi olan 5 yöntemden bir tanesidir. Bunun en önemli sebebi, yöntemin basit olmas, dalmdan bamsz olmas ve neredeyse hiçbir varsayma bal olmakszn kullanlabilmesidir. Dier taraftan, bu yöntem ile tahmin edilen hasar rezervleri nokta tahmini vermektedir ve gerçek deerlerden olas bir sapma da, irketi zor durumda brakabilmektedir. Yani, gerçek deerin tahmin deerinden çok az farkl olmas dahi rezerv tahmininde ciddi sorunlara sebep olmaktadr. Bu sorunlar ile karlalmas sonucunda, rezerv tahminlerine stokastik bir bak açsyla yaklama ihtiyac ortaya çkmtr. Alk stokastik hasar rezervi modeli muhtemelen, Hachemeister ve Stanard (975) tarafndan literatüre kazandrlmtr [7]. Bu modelde, birikimli hasar miktarlarnn bamsz ve Poisson dalml olduu varsaylm olup, bu varsaymla elde edilen en çok olabilirlik tahmin edicileri, bize ZMY deki kestiriciler ile ayn sonuçlar vermektedir. Mack in 99 ylndaki çalmasnda da Hachemeister ve Stanard (975) tarafndan elde edilen bu sonuçlar dorulanmaktadr. Poisson dalm varsaym nedeniyle, bu yöntem hasar miktarlar yerine ancak hasar saylarna uygulanabilmektedir. Kremer (98), ZMY için stokastik model gelitirme konusunda bir dönüm noktas olarak görülmektedir [5]. Bu çalmada, parametreler ile ifade edilmi model yaps ile dorusal istatistiksel modelin birbirinin ayns olduuna vurgu yaplmtr. Renshaw (989) ve Renshaw ve Verrall (998), ZMY yi dorudan genelletirilmi dorusal modellerle ilikilendirmitir. Verrall n (989) çalmasnda ise, ZMY nin bir durum uzay gösterimi verilmi ve nihai hasar tahmin etmek için Kalman filtresi kullanlmtr. Zincir Merdiven (ZM) algoritmasna dayal bir dier önemli modeller ailesi ise, Mack (993) in çalmasnda bahsedilen dalmdan bamsz ZMY ve Gisler (006) ile Gisler ve Wüthrich (007) çalmalarnda sunulan Bayesçi (Bayesian) modellerdir. Tüm bu modeller, farkl matematiksel özelliklere sahiptir. Dier taraftan, bu modeller ile bulunan sonuçlar, ZMY algoritmas ile ayn rezerv miktarlarn vermektedir. Toplam nihai hasar miktarn tahmin etmekte kullanlan hasar rezervi modellerini olutururken, hasar verilerinin birkaç farkl biçimi kullanlabilmektedir. Örnek olarak, birikimli hasar miktar verileri, ödenmi veya gerçeklemi hasarlarn verileri, hasar says verileri vb. verilebilir. ZMY, birikimli ödemeler, gerçeklemi hasarlar vb. verilere uygulanabilmektedir. Basit olduu ve ZM faktörlerinin uygun

3 G. Demir Ay, M. Büyükyazc / statistikçiler Dergisi 4 (0) 9-5 tahminleri kullanldnda, güvenilir hasar rezervleri elde edilebildii için, uygulamada en çok kullanlan yöntemdir. Farkl yöntemler ya da farkl özellie sahip veri kümeleri ile yaplan hesaplamalar, genellikle farkl sonuçlar üretmektedir. Gelecek yükümlülüklerin yani rezervlerin doru ekilde tahmin edilebilmesi için hangi veri setinin ve hangi yöntemin göz önüne alnmas gerektiine, ancak tecrübeli bir aktüer karar verebilmektedir ve bu muhtemelen uygulamada karlalan en zor sorun olmaktadr. Bu nedenle, elimizdeki veri kümesine herhangi bir hasar karl tahmin etme yöntemini uygulamadan önce, veri setinin iyi tannmas gerekir. Hasar karl ayrma literatüründe model seçme konusu oldukça snrldr. Örnein Barnett ve Zehnwirth (000) ve Venter (998) de, hasar rezervi modellerinin uygunluu aratrlmaktadr. Yine Barnett, Odell ve Zehnwirth in 008 ylndaki çalmalarnda, hasar karl modellerinin, verileri doru ekilde tanmlayp tanmlamadnn nasl gösterilebilecei ve doru tanmlamad takdirde, aralk tahminlerinin oldukça hatal olabilecei ortaya koyulmaktadr. Ancak bu çalmada hangi yöntemin seçilmesi gerektii aratrlmayacak, uygulamadaki rezerv tahminleri, ZMY kullanlarak elde edilecektir. Klasik hasar karl ayrma literatüründe, ZMY ile tahmin edilen hasar rezervinin, ödenmemi hasar yükümlülükleri için en iyi tahmini salad ifade edilmektedir. Bu en iyi tahmin, bu sayy ya da miktar veren bir algoritma uygulayarak temin edilmektedir. Dolays ile ZMY nin eksikliklerinden kaynaklanan tahminde meydana gelebilecek sapmalar göz ard edilmektedir. Son yllarda özellikle yeni Solvency (mali yeterlilik) reimi altnda, en iyi rezerv tahminlerinin, gelecekte ortaya çkacak gerçek deerleri ile arasndaki farklardan kaynaklanan potansiyel kayplarn tahmini ile de ilgilenilmektedir. Dolaysyla aratrmaclar, hasar rezervi algoritmalarnn sonuçlarn deerlendirme imkan veren ve bu algoritmalardaki belirsizlikleri ölçmekte olan stokastik hasar rezervi modellerine ihtiyaç duymulardr. Ancak, stokastik hasar rezervi modelleri, deterministik algoritmalarn hatal tahmin üretmesi durumunda bir çözüm salamamakta, bundan ziyade, deterministik hasar rezervi algoritmalarndaki belirsizlikleri ölçmektedir. Bu çalmada, gelecek yllar boyunca kademeli yaplacak olan hasar ödemeleri ve bu ödemelerin toplamndan oluan hasar rezervleri, ZMY ile tahmin edilmitir. Ayrca bu yöntem ile elde edilen hasar rezervlerinin hata kareler ortalamas (HKO) için Wüthrich ve Merz (008) in çalmasnda ortaya konan koullu tahmin edici ile Mack (993) in çalmasnda ortaya konan tahmin edici ifade edilmitir. Uygulamada ise HKO ya ilikin hesaplamalar, Türkiye de zorunlu trafik sigortas brannda hizmet veren sigorta irketinin yllar için birikimli hasar miktar geliim üçgeni verileri kullanlarak yaplm, zorunlu trafik sigortas sektöründeki herhangi bir irket için toplam rezerv miktarnn ortalama deiim katsays elde edilmitir. Trafik Sigortasna ilikin rezerv miktarndaki sapma tahmin edilerek, sigorta irketlerinin hasar rezervi tahminlerine ilikin stokastik bir deerlendirme yapmasna olanak salanm olmaktadr.. Stokastik zincir merdiven yöntemi C, Bu çalmada, i i kaza ylna ait. geliim ylna kadar ödenmi birikimli hasar miktar rastlant deikeninin kestirimi, Mack (993) in dalmdan bamsz ZM tahmin yöntemine göre f geliim faktörleri ile aadaki ekilde elde edilmektedir: [ i, Ci,0,..., Ci, ] = E[ Ci, Ci, ] = f C i, E C Hasar rezerv tahminlerindeki belirsizlikleri ölçebilmek için, dalmdan bamsz ZMY ile elde edilen rezerv miktar tahmin deerlerinin gerçek deerden sapmalarnn incelenmesi gerekmektedir. Bu nedenle, hasar miktar ve hasar rezervi tahmin edicilerinin HKO lar hesaplanacaktr... Hasar rezervinin hata kareler ortalamas zamanndaki tüm gözlem deerlerinin kümesi,

4 G. Demir Ay, M. Büyükyazc / statistikçiler Dergisi 4 (0) 9-5 D { C ; i + J} = 0, i, ile gösterilsin. Wüthrich ve Merz in (008) çalmasnda verildii üzere koullu süreç varyans ve koullu tahmin hatasnn toplamndan oluan hasar rezervinin koullu HKO tahmin edicisi (hko WM ), herhangi bir kaza yl i,..., olmak üzere aadaki gibidir: için { } hko C C C f f J J J f WM ZM ZM C, / (, ) (, ) ij D i J = i J + ZM i, i + [ ] i C = ij, = i S = i () Mack in (993) çalmasnda ortaya konan hasar rezervinin HKO tahmin edicisi (hko M ) ise, i {,..., } olmak üzere belli bir kaza yl için, aadaki tahmin edici ile elde edilmektedir: M ZM ZM CiJ, / D ij, ij, ZM i f = Ci, S J ( ) = ( ) + [ ] hko C C () Burada ve [ ] S parametreleri aadaki ekilde hesaplanmaktadr: C i, + = Ci, f i= 0 Ci, [ ] i= 0 S = C i,.. Toplam hasar rezervinin hata kareler ortalamas Tüm kaza yllar için nihai hasar miktarlarnn koullu HKO tahmin edicisi, Wüthrich ve Merz in (008) çalmasnda verildii üzere aadaki ekilde elde edilmektedir: WM ( ZM ) ZM hko Ci,J = E C C i,j C i,j D i,j D i i = i = i = = i= WM ZM hko (C ) C D i,j i,j J H J ZM + C C f + f [ ] i< k = i S = i i, i k, -i (3) Toplam rezerv miktar R nin deiim katsaysnn tahmin edicisi, DK hko hko i = C i,j D i = ( ZM C ) R i,j / (5) eklindedir ve toplam hasar rezervinin HKO sunun karekökü toplam rezerv miktarna bölünerek, tahmin edilen rezerv miktarnn, gerçekte % kaç deiim gösterebilecei bulunmaktadr.

5 G. Demir Ay, M. Büyükyazc / statistikçiler Dergisi 4 (0) Mack (993) in çalmasnda, toplam hasar rezervi için verilen HKO tahmin edicisi ise, M ZM M ZM i,j = C i,j D C i,j D i,j i = i = hko ( C ) hko (C ) i + H f [ ] S J ZM ZM Ci,J Ck,J i k = -i (6) eklindedir. 3. Zorunlu trafik sigortas$ dal$na ilikin uygulama sonuçlar$ Bu bölümde, Türkiye Zorunlu Trafik Sigortas sektörünü temsil ettii düünülen sigorta irketine ait veriler kullanlarak irketlerin ZMY ile toplam rezerv tahminleri (R) ve tahminlerin her iki yönteme göre HKO lar (hko WM ve hko M )ve bunlarn deiim katsaylar (DK WM ve DK M ) hesaplanm, ayrca sektöre ilikin rezerv miktar tahminleri için deiim katsaylarnn ortalamas belirlenmitir. Çizelge. irkete ilikin rezerv tahminleri, tahminlerin HKO lar ve ilgili DK lar Pirket No R hko WM DK WM hko M DK M Çizelge de, irketlere ilikin rezerv miktarlarnn HKO lar, Wüthrich ve Merz (008) ve Mack (993) in yöntemleri ile elde edilmitir. Bu iki tahmin edici ile bulunan deerler karlatrldnda, toplam nihai hasar miktarna ilikin HKO deerlerinin birbirine çok yakn olduu ve aradaki farkn ihmal edilebilecei görülmektedir. HKO larn deiim katsaylarnn, her iki tahmin edici için ayn çkt da çizelgeden görülmektedir. Sektörü temsil ettii düünülen bu irketin HKO deiim katsaylar bulunarak, Türkiye zorunlu trafik sigortas sektörüne ilikin yorumlar yaplabilir. DK deerleri incelendiinde baz irketlere ilikin DK

6 G. Demir Ay, M. Büyükyazc / statistikçiler Dergisi 4 (0) deerlerinin çok yüksek olduu görülmektedir. Bu nedenle, verilere aykr deer (outlier) analizi uygulanmtr. 50 Kutu Grafigi Vco (%) &ekil. DK deerlerine ilikin kutu grafii. Pekil ve Çizelge birlikte incelendiinde, Pirket 8 ve Pirket ye ilikin DK deerlerinin, aykr deerler olduu görülmektedir. Verilerin betimsel istatistiklerine bakldnda ise, HKO larn DK ortalamasnn %7, ortanca deerinin ise %5 olduu görülmektedir. Aykr deerler atlp betimsel istatistikler tekrar hesaplanmtr. Sonuçta DK deerlerinin ortalamas %4 olarak bulunmutur. Ortanca deer ise %5 olarak elde edilmitir. 4. Sonuç ve öneriler Bu çalmada Türkiye de zorunlu trafik sigortas sektöründe hizmet vermekte olan irketlerin, geçmi kaza yllarna ait henüz ödenmemi hasarlar için ayracaklar rezerv miktarlarnn, deterministik bir yöntemle yaplan tahmin deerinden ortalama %4 orannda deiim gösterebileceini göz önünde bulundurmas gerektii sonucu elde edilmitir. Böylelikle, irketlerin kar-zarar durumunu bu belirsizlii de dikkate alarak daha gerçekçi analiz edebilecei söylenebilir. Ayrca, toplam nihai hasar miktar tahminin HKO su, Solvency- deki rezerv risk miktarn belirlemede alternatif bir yol olarak görülebilir. Kaynaklar [] G. Barnett, B. Zehnwirth, 000, Best Estimates for Reserves, Proceedings of Casualty Actuarial Society, Vol.LXXXV, Part, No.67, [] G. Barnett, D. Odell, B. Zehnwirth, 008, Meaningful ntervals, Casualty Actuarial Society E-Forum, Fall 008. [3] A. Gisler, 006, The Estimation Error in the Chain Ladder Reserving Method:A Bayesian Approach. Astin Bulletin 36/, [4] A. Gisler, M.V. Wüthrich, 007, Credibility for the Chain Ladder Reserving Method. Conference Paper, 37th. Astin Colloquium 007, Orlando, USA. [5] C.A. Hachemeister, J.N. Stanard, 975, BNR Claims Count Estimation with Static Lag Functions. Astin Colloquium 975, Portimão, Portugal. [6] Hazine Müstearl nn Aktüeryal Zincirleme Merdiven Metoduna Alikin tarih ve 00/ sayl Genelgesi.

7 G. Demir Ay, M. Büyükyazc / statistikçiler Dergisi 4 (0) d0df&lightdtnknobd= [7] A. Ludwig, K.D. Schmidt, 00, Gauss-Markov Loss Prediction in a Linear Model. Casualty Actuarial Society E-Forum, Fall 00. [8] T. Mack, 99, A Simple Parametric Model for Rating Automobile nsurance or Estimating BNR Claims Reserves. Astin Bulletin /, [9] T. Mack, 993, Distrubution-free calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, Astin Bulletin 3/, 3-5. [0] A.E. Renshaw, 989, Chain Ladder and nteractive Modelling (Claims Reserving and GLM). J.nstitute Actuaries 6, [] A.E. Renshaw, R.J. Verrall, 998, A Stochastic Model Underlying the Chain Ladder Technique. British Actuarial J. 4/4, [] R. Schnieper, 99, Separating True BNR and BNER Claims. Astin Bulletin /7, -7. [3] G.G. Venter, 998, Testing the Assumptions of Age-to-age Factors. Proc. CAS, Vol. LXXXV, [4] R.J. Verrall, 989, A State Space Representaiton of the Chain Ladder Linear Model. J.nstitute Actuaries 6, [5] M.V. Wütrich, M. Merz, 008, Stochastic Claims Reserving Methods in nsurance, -90.