Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama

Transkript

1 Kocaeli Üniversiesi Sosyal Bilimler Ensiüsü Dergisi (6) 2003 / 2 : Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama Hüdaverdi Bircan * Yalçın Karagöz ** Öze: Bu çalışmada geleceği ahmin meolarından Box Jenkins meoduyla döviz kurları üzerinde bir uygulama yapılmışır. Zaman serileri hakkında genel bilgiler verilmiş, Box- Jenkins modelleri incelenmiş ve Box-Jenkins meodunun uygulama safhaları izah edilmişir. Ocak 1991 ve Aralık 2002 dönemini kapsayan 132 aylık döviz kuru serisi için en uygun ahmin modeli espi edilmişir. Anahar Kelimeler: Zaman Serileri, Box-Jenkins Modeli, Tahmin 1. Giriş Geleceği ahmin sosyo-ekonomik gelişmenin vazgeçilmez bir unsurudur. Karar verme durumunda olan büün özel veya kamu kuruluşlarının gelecek zamanda durumlarını muhafaza emeleri ve gelişirebilmeleri, gelecekeki olayları ahmin edebilmeleri ve iyi bir plan çerçevesinde uygun çözümler bulmaları ile mümkündür. Geleceği ahminde zaman serileri kullanılmakadır. Geleceği ahmin; incelenen bir zaman serisinin bugünkü ve geçmiş değerlerine bakarak bu serinin geleceke alacağı değerleri espi emeye çalışma işlemidir. Modern zaman serisi Box-Jenkins ile önem kazanmışır. Bilgisayar imkanlarının gelişmesi ile bu meodun kullanımı daha da kolaylaşmış ve yaygınlaşmışır. Box-Jenkins meodu, her bir zaman serisinin, geçmişeki değerlerin bir fonksiyonu olduğu ve onlarla izah edilebileceği emel prensibine dayanmakadır. Bazı varsayımlara dayalı ekonomerik modellerin uygulanamadığı durumlarda, kısılayıcı varsayımı olmayan Box-Jenkins meodu, başarı ile kullanılabilmekedir. * Yrd.Doç.Dr. H. Bircan, Cumhuriye Üniversiesi İşleme Bölümü nde öğreim üyesidir. ** Yrd.Doç.Dr. Y. Karagöz, Aban İzze Baysal Üniversiesi Bolu MYO nda öğreim üyesidir.

2 50 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz Zaman serileri belirli bir zaman aralığına göre dizilmiş ve arka arkaya oplanmış gözlem değerlerinden meydana gelmişir. Yani gözlem değerleri birbirine bağımlıdır. Bu bağlılığa iç bağlılık da denir. Bu özellik, bir zaman serisini bağımsız gözlem değerlerinden oluşan serilerden ayıran önemli bir özellikir. Bu özellik sayesinde bir zaman serisiyle, geçmiş ve bugünkü değerlere bakılarak geleceği ahmin eme imkanı elde edilir. Sıralamada, bugünkü zamanı (dönemi), X ise zamanındaki gözlem değerini göserir. Ayrıca = 1, 2, 3, için geçmiş zaman (dönem), - 1, -2, ile, geçmiş zaman gözlem değeri de X -ı, X -2 ile göserilir. Gelecek zaman değerleri +1, +2 şeklinde ve gelecek zaman (ahmin edilecek) gözlem değerleri de X +1, X +2 ile göserilir. Bir zaman serisinin sokasik bir seri olarak oralaması, varyansı, kovaryansı ve daha yüksek dereceden momenleri incelenen zaman süresince değişmiyorsa veya seri periyodik dalgalanmalardan arınmışsa bu seriye durağan seri ve bu olaya da durağanlık denir. Başka bir ifadeyle durağanlık serinin isaisiksel olarak dengeye gelmesi de denilebilir (Özmen, 1986: 4-5). 2. Box-Jenkins Tahmin Modelleri Box-Jenkins meodu ek değişkenli bir model olarak, geleceği ahmin eme meolarından biridir. Kısa dönem ahmininde oldukça başarılı olan bu meodun uygulandığı serinin, eşi zaman aralıklarıyla elde edilen gözlem değerlerinden oluşan kesikli ve durağan bir seri olması bu meodun önemli bir varsayımıdır. Bu ür serilerde durağanlık kavramı da Box-Jenkins meodunun önemli varsayımlarındandır. Box-Jenkins meodunun ihiva eiği modeller; zamana bağlı esadüfi karakerde olaylar ve bu olaylarla ilgili zaman serilerinin ise sokasik süreç olduğu varsayımına bina edilerek gelişirilmişir. Ayrıca iç bağımlılık en ekili biçimde dikkae a- lınmakadır. Bu özelliklerinden dolayı Box-Jenkins modellerine doğrusal durağan sokasik modeller de denmekedir. Box-Jenkins modelleri üç grupa incelenebilir. Bunlar; doğrusal durağan sokosik modeller, durağan olmayan doğrusal sokasik modeller ve mevsimlik modellerdir Doğrusal Durağan Sokosik Modeller Bu modeller isaisiki bir dengeyi ifade emekedir. Özellikle gözlem değerleri sabi bir oralama erafında değişim gösermekedir (Kayım, 1985: 71). Ooregresif Harekeli Oralama Modeli [ARMA (p, q)] Zaman serisi modellerinde esneklik sağlamak için en az sayıda paramere kullanma ilkesini gerçekleşirmek amacıyla bazı hallerde modele hem ooregresif hem de ha-

3 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama 51 rekeli oralama paramerelerenin alınması birçok faydalar sağlamakadır. Bu düşünce ARMA (p, q) modelini oraya çıkarmışır (Kayım, 1985: 72). Bu modelin, bir zaman serisinin herhangi bir dönemine ai x gözlem değeri, ondan önceki belirli sayıda x -1, x -2, x -p gözlem değerlerinin ve a, a -1, a -2, a -q haa erimlerinin doğrusal birleşiminden meydana gelmekedir. ARMA (p, q) modelinin genel ifadesi x = ϕ 1 x -1 + ϕ 2 x ϕ p x -p + a - θ 1 a -1 - θ 2 a θ q a -q (1) x -( ϕ 1 x -1 + ϕ 2 x ϕ p x -p ) = a - θ 1 a -1 - θ 2 a θ q a -q (2) şeklinde yazılır Durağan Olmayan Doğrusal Sokasik Modeller [ARIMA(p, d, q)] Durağan olmayan bir zaman serisini durağan hale geirmek için ihiyaç durumuna göre serinin genellikle 1 veya 2 defa farkı alınır ve d ile göserilir. Durağan olmayıp farkı alınarak durağan hale geirilmiş serilere uygulanan modellere durağan olmayan doğrusal sokasik modeller veya kısaca enegre modeller denir (Box-Jenkins, 1976: 90). Bu enegre modeller belirli sayıda farkı alınmış serilere uygulanan AR ve MA modellerinin birleşimidir. Eğer AR modelinin derecesi p, MA modelin derecesi q ve serinin de d kez farkı alınmışsa bu modele (p, d, q) dereceden ooregresif enegre harekeli oralama modeli denir ve ARIMA (p, d, q) şeklinde göserilir (Box-Jenkins, 1976: 90). ARIMA (p, d, q) modelinin genel ifadesi w = ϕ 1 w -1 + ϕ 2 w ϕ p w -p + a - θ 1 a -1 - θ 2 a θ q a -q (3) şeklindedir. Bu ifadede (5) eşiliğindeki x, x -1 x -p gözlem değerlerinin yerini, farkı alınmış w, w -1, w -p gözlem değerleri almışır. Yani d x = w dir. Burada = Fark alma operaörü, d = Fark alma derecesi, w, w -1, w -p = Farkı alınmış seri. Fark derecesi d = 0 ise zaen seri durağandır. Eğer d = 1 ise, x = w = x - x -1 (4) veya geriye öeleme operasyonu ile, x = w = ( 1 - B ) x

4 52 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz yazılır. Bu ifade d. dereceye genelleşirilirse, d x = w = (1 - B ) d x (5) şeklini alır. Ookorelasyon Kasayısı Örnek ookorelasyon kasayısı r(k) ile göserilir ve k gecikmesi için, r(k) n (X X )(X X ) k = k+ 1 = (6) n 2 (X X ) = 1 şeklinde yazılır. Tesadüfi bir değişkenin k = 1, 2, 3, gecikme değerleri için hesaplanan örnek ookorelasyon kasayılarının örnekleme dağılımının oralaması sıfır, sandar haası yaklaşık olarak 1 n dır. Faka gecikme değeri k 1 için örnek ookorelasyon kasayısının sandar haası, ( ) = 1 K 1+ 2 (r(k)) n k=1 Sr [ k] 2 k 1 (7) formülüne göre hasaplanır (Box ve Jenkins, 1976: 35-36). Eğer çeşili gecikmeler için örnekleme dağılımından hesaplanan ookorelasyonlar ±Zc. aralıkları içinde ise ookorelasyon değerlerinin sıfır olduğu ve seri- 1 n nin esadüfi olduğuna karar verilir. Eğer bir seri için hesaplanan ookorelasyon kasayılarının değerleri birkaç gecikmeden sonra sıfıra yaklaşıyor, yani ± Z c 1 n limileri arasında kalıyorsa bu seri durağandır, aksi akdirde serinin durağan olmadığına karar verilir. Tahmin Haalarının Ookorelasyonu Geleceği ahmin işleminde bir modelin, incelenen bir seri için uygunluğuna karar vermede ahmin haalarının ookorelasyon analizi yapılır. Tahmin haası, ahmin

5 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama 53 modeline dayanarak her gözlem değeri için elde edilen ahmin değerini ilgili gözlem değerinden çıkarılmasıyla bulunur ve a harfiyle göserilir. a = X X Gözlem değerleri için hesaplanan ahmin haalarının ardı ardına sıralanmasıyla meydana gelen seriye ahmin haaları zaman serisi veya haalar serisi denir (Özmen, 1986: 40). Haalar serisinin farklı k-gecikmelerindeki ookorelasyon kasayıları, n k (a a ) (a a ) + k = 1 r a (k) = (8) n 2 (a a ) = 1 ile hesaplanır. Burada; a : dönemine ai ahmin haası, a +k : +k dönemine ai ahmin haası, a : Haalar serisinin oralamasıdır. 1 Tahmin haaları ookorelasyon kasayıları ± Z c limileri arasında kalıyorsa model uygun modeldir ve haalar esadüfidir. Aksi halde model geçersizdir. n Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu Bir zaman serisinin gözlem değerleri için başlangıça p ve q nun kaçıncı dereceden olması gerekiği bilinemez. Bu derecelerin espii kısmi ookorelasyon ile yapılır. Kısmi korelasyon diğer büün gecikmeli gözlemlerin ekisinden arındırıldıkan sonra x değişkeni ile bu değişkenden herhangi bir k-gecikmesiyle elde edilen x +k değişkeni arasındaki ilişkiyi inceler. Bu ilişkinin derecesini belirleyen kasayıya da kısmi ookorelasyon kasayısı denir ve ϕ kk sembolü ile göserilir. Kısmi korelasyon kasayısının kullanılması özellikle ooregresif modeller için büyük önem aşır. Kısmi ookorelasyon kasayısı, AR(p) modeller için Yule- Walker denklemi kullanılarak hesaplanır (Kayım, 1985: 79). Kısmi ookorelasyon kasayıları ϕ 11, ϕ 22, ϕ 33,, ϕ kk olmak üzere Yule- Walker denklem sisemiyle, P j = ϕ k1 P j ϕ k(k-1) P j-k+1 + ϕ kk P j-k (9) biçiminde yazılabilir. Zaman serilerini ekileyen fakörlerin belirlenmesi korelogram adı verilen grafik ile yapılır. Korelogram bir serinin k sayıda (k sayısı rend

6 54 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz ekisinin belirlenmesi için en az on, mevsim ekisinin belirlenmesi için ise en az yirmi dör olmalıdır) zaman aralıkları için hesaplanan ookorelasyon kasayıları ile bu kasayıların k gecikme değerlerinin eşleşirilmesiyle belirlenen nokaların belirlenmesi sureiyle elde edilir (Özmen, 1988: 74). Modelin Uygunluk Tesi Uygunluk esleri; modelin seri için uygun olup olmadığını göserir. Bu iş için paramere ahminleri geçici uygun modelde yerine konularak ahminler yapılır. Tahmin haaları serisi meydana geirilir ve bu serilerin ookorelasyonları hesaplanarak inceleme yapılır. İnceleme sonunda bu ookorelasyonlar zaman serisi unsuru ihiva emiyorsa ve bu kasayılar isaisiki olarak sıfırdan anlamlı değillerse geçici model, uygun model olarak kabul edilir, aksi halde yeniden uygun model aramak gerekir. Haa ookorelasyon kasayılarının her birini ayrı ayrı kendi sandar haalarıyla karşılaşırmak küçük gecikmelerde hesaplanan ookorelasyonların sıfırdan farklılığının önemini açıkça oraya koyamaz. Bundan dolayı ookorelasyon kasayılarını ek ek incelemek yerine belirli sayıda ookorelasyon kasayılarını bir arada incelemek modelin uygunluğunu daha ne bir şekilde oraya çıkarır. Bu amaçla Box- Pierce arafından gelişirilmiş olan Q isaisiği kullanılır. Bu eşilik, K Q = n r 2 k (a) k= 1, 2, 3, K (10) k=1 formülü ile hesaplanır(kular, 2000: 20). Burada; n= N-d ve N örnek hacmi, d fark alma derecesi, K= Hesaplanan ookorelasyon kasayılarının sayısı, r k (a) = Çeşili gecikmeler için hesaplanan ahmin haalarının ookorelasyon kasayılarıdır. Q isaisiği yaklaşık olarak χ 2 dağılımı göserir Serbeslik derecesi mevsimlik 2 olmayan modellerde K-p-q dır. Eğer hesaplanan Q isaisiğinin değeri χ α ;K-p-q 2 kriik değerinden büyükse yani Q > χ α ; K-p-q oluyorsa, haalar serisinin esadüfi dağılmadığı, yani haalar serisinin ookorelasyon kasayılarının mzc / n limileri arasında kalmadığı ve uygulanan modelin uygun olmadığı anlaşılır. Bu durumda ekrar geçici uygun model belirleme safhasına dönülür. Eğer Q < χ ;K-p-q ise haalar serisi esadüfi dağılmışır ve kasayılar mz 2 α limileri arasındadır, denilir. Bu durumda seçilen modelin uygun model olduğuna karar verilir. Dolayısıyla bu model ahmin amacıyla kullanılabilir. c / n

7 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama 55 Şekil 1 : Döviz Kuru Serisinin Grafiği Tablo 1 : Döviz Kuru (TL / $) Serisinin Ookorelasyon Değerleri Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) 33 Ookorelasyon (r k ) Modelin Belirlenmesi 132 aylık oralama döviz kuru değerleri TC Merkez Bankası, Aylık İsaisik Büleni nden alınmışır. Bu verilere dayanılarak model belirlemesi yapılacakır. Bu verilerin zamana göre grafiği çizildiğinde (Şekil 1) döviz kuru serisinin rende sahip olduğu görülmekedir Dolayısıyla bu durum serinin durağan olmadığını göserir. Serinin durağan olup olmadığını daha güvenli espi edebilmek için oo-

8 56 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz korelasyon fonksiyonunun incelenmesi gerekir. Döviz kuru serisinin orjinal değerleri için hesaplanan 33 gecikme değerinin ookorelasyon fonksiyonunun kasayıları EViews bilgisayar pake programından faydalanılarak aşağıdaki ablo (1) düzenlenmişir. Tabloya ai korelogram ise Şekil 2 de verilmişir. Şekil 2 : Döviz Kuru Serisinin Ookorelasyon Fonksiyonun Korelogranı r(k) 1 0,8 0,6 0,4 0, k Tabloya veya grafiğe dikka edecek olursak hesaplanan orjinal değerlerin ilk 29 gecikme için ookorelasyon kasayılarının değerleri %5 anlam seviyesinde ±2S[r(k)] = ± 1 =±2(0.087)=± limileri dışından kaldığından 2 = 132 isaisiksel olarak sıfırdan farklıdır denir. (%95 anlam seviyesinde sandar haa limileri ±2 / n alınmışır). Ayrıca Şekil 2 de grafiğin doğrusal bir azalma gösermesi seride rendin olduğunu doğrulamakadır. Yine Tablo 1 ve Şekil 2 den serinin mevsimlik unsur ihiva emediği anlaşılmakadır. Elde edilen büün bu bilgiler serinin durağan olmadığını gösermekedir. Dolayısıyla seriyi durağan hale geirmek ve uygun ARIMA (p,d,q) grubunu araşırmak gerekir. Bunun için önce serinin e abanına göre logariması alınmış, daha sonra da logariması alınan serinin birinci dereceden farkı bulunmuşur. Farkı alınmış seri

9 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama 57 W ile göserilecekir. Farkı alınmış serinin grafiği Şekil 3 de görüldüğü gibi oralarda ve sonda bir sıçrama gösermesine rağmen genel olarak belli bir değer erafında oplandığı görülmekedir. Dolaysıyla W serisi durağandır. Durağanlık için daha güvenli bir yol olan W serisinin ookorelasyon fonksiyonunun 33 değeri elde edilerek Tablo 2 de verilmişir. Şekil 3 : Birinci Dereceden Farkı Alınmış Döviz Kuru Serisinin Grafiği Tablo 2 den anlaşılacağı üzere ookorelasyon değerleri sadece k=1 için ±2S[r(k)] = ±2 (0.087)= ±0.174 limileri dışında, diğer değerler bu limi değerleri arasındadır. Dolayısıyla ookorelasyon fonksiyonu k=1 den sonra kesilerek sıfır olmakadır. Yani W serisi birinci gecikmeden sonra verilen limiler arasında elde edildiğinden durağandır. Yine Şekil 4 de ookorelasyon fonksiyonunun grafiğinde de serinin durağanlığı görülmekedir. Ayrıca işlemin bu safhasında kısmi ookorelasyon fonksiyonunun da incelenmesi gerekir. Kısmi ookorelasyon fonksiyonunun değerleri hesaplanarak Tablo3 de göserilmişir.

10 58 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz Tablo 2 : Birinci Dereceden Farkı Alınmış Serinin Ookorelasyon Değerleri Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Gecikme (k) Ookorelasyon (r k ) Şekil 4 : Birinci Dereceden Farkı Alınmış Serinin Ookorelasyon Fonksiyonun Korelogramı r(k) 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0, k Tablo 3 de ve Şekil 5 de görüldüğü üzere kısmi ookorelasyon fonksiyonunun değerleri, sadece k=1 için ±2S[r(k)] = ±0.174 limii dışında kalmaka diğerleri ise bu limi içinde bulunmakadır. Yani kısmi ookorelasyon fonksiyonu k=1 'den sonra kesilerek sıfır olmakadır. Bu durumu kısmi ookorelasyon fonksiyonunun korelogramında da görebiliriz. Ayrıca farkı alınmış seri çok düzgün olmayan bir azalma gösermekedir.

11 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama 59 Tablo 3 : Birinci Dereceden Farkı Alınmış Serinin Kısmi Ookorelasyon Değerleri Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon(ϕ kk ) Şekil 5 : Birinci Dereceden Farkı Alınmış Serinin Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonunun Korelogramı r(k) ϕ0,35 kk 0,25 0,15 0,05-0,05-0, k 4.2. Paramerelerin Tahmini Eviews programı kullanılarak en uygun model için analiz sonuçları; Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C AR(1) AR(2) MA(1)

12 60 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Invered AR Roos Invered MA Roos.98 şeklinde bulunmuşur. Verilerimiz için en uygun model; W = ϕ 1 W -1 +ϕ 2 W -2 + a - θ 1 a -1 = W W a -1 şeklinde yazılır. Verilerimize uyan model için, gerçek veriler, kalını ve ahmin değerleri ne ai grafik Şekil 6 da verilmişir. Şekil 6 : Verilere Uygun Model için Kalını ve Tahmin Grafiği Kalini Gerçek Seri Tahmin

13 Box-Jenkıns Modelleri ile Aylık Döviz Kuru Tahmini Üzerine Bir Uygulama Uygunluk Tesi Bu safhada AR(1), AR(2), MA(1) modelinin döviz kuru ahminlerine uygunluğunun esi yapılır.bu işlem için (19.) no lu eşileken faydalanılarak elde edilen ahminlerin ahmin haalarının ookorelasyon kasayıları Tablo 4 ve bu kasayılar yardımıyla Box-Pierce Q isaisiği kullanılacakır. Tablo 4 : Döviz Kuru (TL/$) Değerleriyle Gerçekleşen Değerleri Arasındaki (Haa) Ookorelasyon Değerleri Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Gecikme (k) Ookorelasyon (ϕ kk ) Dolayısıyla Q isaisiği Q= (132-1)[(0.006) 2 +(-0.001) 2 + +(-0.013) 2 ]= 5.39 olarak bulunur. Bulunan bu Q değeri serbeslik derecesi K-p-q = =130 olan 2 χ 0.05,130 =124.3 değeri ile karşılaşırıldığında Q< χ 2 olduğundan ahmin haalarının esadüfi olarak dağıldığı ve modelin döviz kuru ahminine uygun olduğu %5 anlam seviyesinde kabul edilir. Sonuç Ocak 1991 ve Aralık 2002 dönemini kapsayan 132 aylık döviz kuru serisi üzerinde uygulanan Box-Jenkıns meodu ile yapılan ahminde döviz kuru serisinin logarimik değerleri alınarak model ARIMA(2,1,1) olarak espi edilmişir. Modelin uygunluğu için Q isaisiği hesaplanarak, ahmin haalarının esadüfi olarak dağıldığına ve modelin döviz kuru ahminine uygun olduğuna yüzde 5 anlam seviyesinde karar verilmişir.

14 62 Hüdaverdi Bircan, Yalçın Karagöz Absrac: In his sudy, Box-Jenkins mehod of fuure forecasing processes was applied on he exchange rae. General informaion abou ime series has been given, Box-Jenkins models are analyzed and applicaion sages of Box- Jenkins mehod is explained. The mos convenien forecas model is deermined for he exchange rae series including 132-monh period beween January 1991 and December Key Words: Time Series, Box-Jenkins Models, Forecas Kaynakça BOX ve JENKINS: Time Series Analysis Forecasing and Conrol Lanceser U.K., JHONSON ve MONTOGOMERY: Operaion in Producion Planning, Newyork, KAYIM, Halil: Isaiksel Ön Tahmin Yönemleri, H.Ü.Ik.ve Idr.Bil.Fak.Yayınları, No:11, Ankara:1985. KUTLAR, Aziz: Ekonomerik Zaman Serileri, Gazi Kiapevi, Ankara:2000. ÖZMEN, Ahme: Anadolu Ü. Fen-Edb. Fak. Dergisi, Eşkişehir: 1988, Cil: 1. ÖZMEN, Ahme: Box-Jenkins Yönemi ve Banka Mevdua Tahmininde Uygulamalar Denemesi, Anadolu Üniversiesi, Eşkişehir: 1986.