A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48

Transkript

1 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır. Hesap makinesi kullanmak yasaktır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır. Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız. Değerlendirmede 4 yanlış 1 doğruyu götürecektir. Toplam 20 adet soru vardır. Sınav süresi 105 dakikadır. Sınavda her türlü ders notunun kullanımı yasaktır. Başarılar dilerim. Doç. Dr. Emrah AKYAR 3. Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48 SORULAR 1. Aşağıda verilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) köşe noktası olan düzlemsel bir çizgenin en fazla kaç tane kenarı olabilir? A) 16 B) 20 C) 18 D) 24 E) 28

2 5. Aşağıdaki çizgelerden hangisi düzlemsel çizge değildir? 7. Yaprak olmayan köşe noktalarının sayısı tam olarak iki tane olan çizgelere double star denir. Buna göre, 10 köşe noktası olan ve noktaları adlandırılmamış kaç farklı double star vardır? A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 8 A) B) C) D) E) 8. Aşağıdakilerden hangisi 6 köşe noktası olan bir çizgenin köşe noktalarına ait derecelerin bir dizisi olamaz? A) 0, 0, 3, 3, 3, 3 B) 1, 1, 1, 1, 1, 1 C) 1, 1, 1, 2, 2, 2 D) 2, 2, 2, 2, 2, 2 E) 3, 3, 3, 3, 3, 3 6. Düzlemde herhangi üç tanesi aynı doğru üzerinde bulunmayan en az kaç noktadan her zaman beş tanesi seçilerek bir konveks beşgen çizilebilir? A) 10 B) 7 C) 6 D) 8 E) 9 9. K 5,6 iki kümeli tam çizgesinin kaç kenarı vardır? A) 24 B) 15 C) 11 D) 30 E) 55

3 10. K 3,5 tam çizgesindeki en kısa döngünün uzunluğu nedir? A) 4 B) 5 C) 3 D) 7 E) kökü göstermek üzere Prüfer kodu 0, 0, 0, 0, 0, 0 olan ağacın derecesi en büyük olan köşe noktasının derecesi kaçtır? A) 6 B) 5 C) 7 D) 4 E) özdeş elma, 1 armut ve 1 portakal isimleri A, B, C, D ve E olan 5 çocuğa armut ve portakal aynı çocuğa verilmemek ve her çocuğa en az bir meyve vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 812 B) 1200 C) 626 D) 1540 E) Kimya bölümünde kullanılan 6 kimyasal madde (a,..., f ) ve bunların bir arada saklanıp saklanamayacağı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Buna göre bu kimyasal maddeleri saklamak için en az kaç dolap gerekir? ( :Birlikte saklanamaz, :birlikte saklanabilir) a b c d e f a b c d e f A) 3 B) 2 C) 6 D) 5 E) kadın, 5 erkek ve 1 köpek yuvarlak bir masa etrafına iki kadın yan yana olmamak üzere kaç farklı şekilde oturabilir? A) 1800 B) 1256 C) 1024 D) 1264 E) 912

4 A GRUBU (x+ 2y+3z) 6 ifadesinin açılımında x 3 y 2 z nin katsayısı nedir? A) 180 B) 1440 C) 60 D) 1080 E) ? (mod 127) 5 A) 102 B) 51 C) 77 D) 20 E) Aşağıda verilen şekilde A noktasından B noktasına her seferinde bir birim sağa ya da bir birim yukarı gitmek ve CD doğru parçasından geçmemek koşuluyla kaç farklı şekilde gidilebilir? B 19. Rakamları birbirinden farklı ve tek sayı olan kaç tane 4 basamaklı sayı vardır? A) 2280 B) 3024 C) 3240 D) 2240 E) 1220 C D A A) 70 B) 52 C) 61 D) 64 E) x 1 1, x 2 0, x 3 1 ve x 4 2 olmak üzere, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 denkleminin kaç tamsayı çözümü vardır? A) 128 B) 120 C) 165 D) 256 E) n elemanlı bir A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı (onluk sistemde) kaç basamaklıdır? A) log 2 n B) 1+ n log 10 2 C) 1+ n log 2 10 D) 1+ 2 log n 10 E) log n 2

5 ÇÖZÜMLER 1. Çizge içerisinde K 4 tam çizgesini bulundurduğundan 4 den daha az bir renkle boyanamaz. Ayrıca verilen çizge düzlemsel olduğundan 4-renk teoremine göre 4 renk yeterlidir. 2. K 5 tam çizgesinden bir kenar çıkarılarak elde edilen çizgenin düzlemsel olduğunu gördük ayrıca bu çizgenin içinde de K 4 tam çizgesi bulunur. O halde en az 4 renk ile boyanabilir. 3. Düzgün 12 yüzlünün 20 köşesi olduğunu görmek hiç de zor değildir. (Her biri beşgen olan 12 yüz var = 60 köşe eder. Ancak her köşe 3 farklı yüze ait 60 3 = 20) O halde Euler formülünden = k + 2 Böylece kenar sayısı 30 olarak bulunur. 4. n köşe noktası olan bir çizgenin en fazla 3n 6 tane kenarı bulunabilir. Buna göre 8 köşe noktası olan bir çizgenin en fazla = 18 kenarı olabilir. 5. Aşağıda verilen 6 köşe noktalı çizgenin 13 tane kenarı vardır. Oysa 6 köşe noktalı düzlemsel bir çizgenin en fazla = 12 tane kenarı olabilir. 6. Herhangi üçü aynı doğru üzerinde bulunmayan 9 noktadan her zaman konveks beşgen elde edilebilecek şekilde 5 nokta seçilebilir noktadan yaprak olmayacak iki noktayı çıkarırsak geriye 8 nokta kalır. Bu 8 noktayı yaprak olmayan 2 noktaya 1+7, 2+ 6, 3+5, 4+4 şeklinde 4 farklı şekilde dağıtabileceğimizden cevap 4 8. El sıkışma teoremine göre herhangi bir çizgenin tüm köşe noktalarının dereceleri toplamı çift sayıdır. Buna göre dereceleri 1, 1, 1, 2, 2, 2 olacak şekilde bir çizge olamaz. 9. K 5,6 çizgesinin 5 6 = 30 kenarı vardır. 10. K 3,5 çizgesi iki kümeli bir çizge olduğundan en kısa döngünün uzunluğu Verilen tabloya karşılık gelen çizgeyi (beraber saklanamayacak kimyasallar arasına kenar çizerek) çizelim. a b c d e f a b c d e f f e d a b c Bu çizge 4 renk ile boyanabileceğinden en az 4 dolap gereklidir. 12. Prüfer kod 0, 0, 0, 0, 0, 0 şeklinde verildiğine göre ağaç 8 noktalıdır. Bu ağacın bir yıldız çizge olduğu da kolayca görülür. Bu durumda en büyük derece kökün derecesi Armutu 5 çocuktan birine verelim bunu ( 5 1 ) = 5 farklı şekilde yapabiliriz. Portakal ile armutu aynı çocuk alamayacağından portakalı kalan 4 çocuğa ( 4 1 ) = 4 farklı şekilde dağıtabiliriz. Her çocuk en az bir meyve alacağından kalan 3 çocuğa da birer elma verelim. Bunu da ancak bir şekilde yapabiliriz. Böylece 7 3 = 4 elma kalır. Şimdi bu 4 elma hiçbir koşul olmaksızın 5 çocuğa ( ) = (8 4 ) = 70 farklı şekilde dağıtılabileceğinden cevap ( )( )( ) = = Sadece kadınlar için koşul bulunduğundan köpeği de erkek gibi düşünebiliriz. Bu durumda erkek sayısı 5+1 = 6 Bu 6 erkek yuvarlak masa etrafına (6 1)! = 5! = 120 farklı şekilde oturabilir. Şimdi 4 kadını erkeklerin arasına ( 6 4 ) = 15 farklı şekilde oturtursak kadınlar yan yana gelmez. Böylece cevap ( ) 6 5! = 15 5! = (x+2y+3z) 6 ifadesinin açılımında x 3 y 2 z nin katsayısı multinomial teoremi kullanarak hesaplanırsa, ( ) 6 x 3 (2y) 2 (3z) 1 = 6! 3, 2, 1 3! 2! 1! 22 3 = 720 elde edilir.

6 16. Hiç bir koşul olmadan A dan B ye 4! 8! 4! = 70 farklı şekilde gidilebilir. Şimdi bunların kaçının CD doğru parçasından geçtiğini bulalım. 4! A noktasından C noktasına, farklı şekilde gidilebilir. Böylece cevap 2! 2! = 6 şekilde D noktasından B noktasına da 3! 2! 1! = 3 ( ) 8! 4! 4! 4! 2! 2! 3! = 70 (6 3) = 52 2! 1! 17. Değişken dönüşümü yapalım: y 1 = x 1 + 1, y 2 = x 2, y 3 = x 3 1 ve y 4 = x 4 2 dersek, x 1 = y 1 1, x 2 = y 2, x 3 = y ve x 4 = y Bu durumda problem y 1 0, y 2 0, y 3 0 ve y 4 0 koşulları altında (y 1 1)+(y 2 )+(y 3 + 1)+(y 2 + 2) = 10 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 8 denkleminin tamsayı çözümlerini bulma problemine dönüşür. Bu sayının da, ( ) = (11 3 ) = 165 olduğunu biliyoruz. 18. Önce 5 1 (mod 127) sayısını hesaplayalım. (5, 127) = 1 olduğunu kullanarak Euclid bölme algoritmasından 1 = yazabiliriz. Böylece (mod 127) Bu denkliğin her iki tarafını 2 ile çarparsak, (mod 127) elde edilir. 19. Buradan cevap İkinci seçilecek 0 hariç kalan sayılardan biri olabilir. 8 seçenek var. 20. Doğru yanıt 1+ n log = 2240 Üçüncü seçilecek kalan sayılardan biri olabilir. 8 seçenek var. Dördüncü seçilecek kalan sayılardan biri olabilir. 7 seçenek var. İlk seçilecek 1,3,5,7,9 olabilir 5 seçenek var.