KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

Transkript

1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? kümeler ailesi tanımlandığına göre, N A k i N ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) (A XA) (A XB) kümesinin eleman sayısı 16 dır. B) (A XA) (A XB) kümesinin eleman sayısı 8 dir. C) B A kümesi boş kümedir. D) A B kümesinin öz alt küme sayısı 7 dir. E) A B kümesinin eleman sayısı 6 dır. A) N B) N C) Z D) Q E) R 5. A = { a, b, c, d, e } kümesinde β bağıntısı,. A ve B sayılabilir iki kümedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B sayılabilirdir. B) A B sayılabilirdir. C) Q A sayılabilirdir. (Q : rasyonel sayılar kümesi) D) N B sayılabilirdir. (N: doğal sayılar kümesi) E) R A sayılabilirdir. (R : reel sayılar kümesi) { β = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,b),(a,d), (a,e),(a,c),(d,e),(d,c) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) minimal eleman a dır. B) maksimal elemanlar b, c ve e dir. C) sup A yoktur. D) inf A a dır. E) β tam sıralamadır. } 3. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Tam sıralı bir küme iyi sıralıdır. B) Denklik sınıfı boş küme olabilir. C) Bir kümenin bir tek ayrışımı vardır. D) Birden fazla maksimal eleman varsa supremum yoktur. E) İyi sıralı iki küme arasında birden fazla sırasal izomorfizma olabilir. 6. x N olmak üzere, x ten küçük ve x ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı Φ(x) ile gös - terilir ve " Euler " fonksiyonu olarak adlandırılır. Buna göre, Φ(1000) kaçtır? A) 500 B) 400 C) 300 D) 50 E) 40

2 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 7. I doğal sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kü - mesi olmak üzere, { Ak} k I A damgalanmış bir ı kümeler ailesi ve A A nın tümleyenidir. Buna göre, x A k önermesi aşağıdakilerden k I hangisine denktir? ı A) x A k B) k (k I x A k ) k I ı C) x Ak D) x Ak k I k I ı E) x Ak k I 10. G = { 0,1, } kümesinde işlemi, a b = a b a b şeklinde tanımlandığına göre, aşağıdakilerden han - gisi yanlıştır? A) ( G, ) bir yarı gruptur. B) ( G, ) değişmeli bir gruptur. C) işlemi değişmelidir. D) işlemi birim elemana sahiptir. E) işlemi yutan elemana sahiptir N pozitif tam sayılar kümesi ve Q rasyonel sayılar kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi ilgili işlem yönünden yarı grup değildir? A) ( Q, ), : çarpma B) ( Q, ), : toplama C) ( N, ), : çıkarma D) N,, : çarpma E) N,, : çarpma A) İyi sıralı bir küme tam sıralıdır. B) Tam sıralı bir küme iyi sıralı olmayabilir. C) Bir kümenin her alt kümesi iyi sıralı ise bu küme iyi sıralıdır. D) Tam sıralı bir kümenin en çok bir maksimal ele - manı vardır. E) Sıralı bir kümenin sonlu elemanlı bir zincirinin supremumu varsa bu eleman en büyük ele - man olmayabilir. 1. n N, 1 a n, (a,n) = 1 olmak üzere, OBEB 9. Z tam sayılar kümesi ve Q rasyonel sayılar kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi belirtilen işlem bakımından gruptur? A) ( Q, ), : çarpma C) ( Q, ), : çıkarma B) Z,, : çarpma D) ( Q, ), : çarpma, Q = Q { 0} E) ( Z, ), : çarpma Φ(n) = { a ların sayısı } biçiminde tanımlı Φ(n) Euler fonksiyonu için aşağıda - kilerden hangisi yanlıştır? A) Φ(3) = B) Φ (10) = 4 C) Φ(8) = Φ(4) Φ(7) D) Φ(49) = E) Φ ( ) =

3 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-) 1. Aşağıdaki direkt çarpımlardan hangisinin mertebesi diğerlerinden farklıdır? A) Z6 XZ10 B) Z3 X Z0 C) Z15 X Z4 D) Z1 X Z5 E) Z X Z60 4. A = { 1, 0, 1 } kümesinde, ( ) A,, B) A, yarı grup cebirsel yapısı tanımlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) ( A, ) yarı gruptur. tur. C) ( A,, ) değişmeli halkadır. D) 0 = 0 dır. A E) 1 = 0 dır. A. Z n, (mod n) kalan sınıflarının kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi devirli grup değildir? A) Z 3, B) Z 4, C) Z 6, D) Z3 X Z E) Z4 X Z6 5. A) p asal ise kesinlikle Z devirli bir gruptur. B) x 3 (mod 5) lineer kongrüansının tek çözümü vardır. C) ( Z, ) tam sayılar grubunun üreteci 1 dir. D) Z (mod 3) kalan sınıfları kümesi, 1 ile 3 üretilmiş. mertebeden devirli bir gruptur. E) Z = < 1 > dir. p 3. Z n, (mod n) kalan sınıflarının kümesi ve Z n ise (mod n) asal kalan sınıflarının kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi devirli grup değildir? 6. A= < a > o(a) = 6 A) Z 10, B) Z 6 C) Z 10 D) Z 15 E) Z3 X Z4 olduğuna göre, A, devirli grubu için tüm üreteç - lerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { a } 1 { } B) a 3 { } C) a, a, a 3 5 { } D) a, a, a 5 { } E) a, a

4 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-) A) Bir cismin sıfır ya da kendisinden başka ideali yoktur. B) Her mertebeden cisim bulunamaz. C) Sonlu elemanlı bir tamlık bölgesi cisimdir. D) Her cisim kendi üzerinde bir vektör uzayı olmayabilir. E) Her cisim bir tamlık bölgesidir. A) Bir halkanın alt halkalarının arakesiti halkadır. B) Birimli halkanın bir ideali halkanın birimini içeriyor - sa bu ideal halkanın kendisidir. C) Her halka kendisinin bir idealidir. D) Cismin kendisinden ve sıfırdan başka idealleri olabilir. E) Z de 3 ün ürettiği alt halka 3Z dir F bir cisim ve x,y F için aşağıdakilerden hangisi, a b c d sayısı hesaplandığında sondan üçüncü basamağın - daki rakam kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 5 E) 8 x boyutundaki matrisler için bir sağ idealdir? x 0 0 x x y A) B) C) y 0 0 y 0 0 x 0 0 y D) 0 y E) x 0 1. Boş kümeden farklı bir A kümesinde, f : A A ve g : A A fonksiyonları tanımlanmıştır. ( fog )(x) = f( g(x) ) ile verilen fog bileşke fonksiyonu bire - bir olduğuna göre, 9. A) 6x 88y = 1 B) 6x 88y = 1 C) 1x 88y = 6 D) 88x 1y = 6 E) 1x 6y = 88 6x 1 (mod 88) lineer kongrüansının Diophant denklemi aşağıdakiler - den hangisidir? a) f örtendir. b) f bire birdir. c) g örtendir. d) g bire birdir. e) gof örtendir. f) gof bire birdir. ifadelerinden hangisi ya da hangileri kesinlikle doğrudur? A) a,b,d B) c,d C) a,b,f D) b E) d

5 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-3) 1. Aşağıdakilerden hangisi tanımlandığı kümede sırasal izomorfizma değildir? A) f : R R, f(x) = ln x x B) f : R R, f(x) = 5 π C) f : [ 0, ] [ 0,1 ], f(x) = cos x D) f : R R, f(x) = x E) f : R R, f(x) = x 4. A) Her mertebeden cisim yoktur. B) Bir cismin ideali ya sıfır ya da kendisidir. C) Her tamlık bölgesi cisimdir. D) (A, ) değişmeli grubu F - vektör uzayı ise A F - modüldür. E) (A, ) değişmeli grubu F - vektör uzayı ise F ci - simdir x 19y = 8 ( x,y Z ) A) Z X Z 3 kümesi Z 1 kümesine homomorf olamaz. B) Z= < 1 > dir. C) ( Z, ) tam sayılar grubunun tüm üreteçleri kü - mesi { 1, 1 } dir. D) Z[x] te her ideal temel ideal değildir. E) C[x] te ikinci dereceden asal polinom olabilir. diophant denkleminin lineer kongrüansı aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x 3 6 (mod 19) B) 6x 8 19 (mod 19) C) 8x 19 6 (mod 8) D) 6x 19 3 (mod 3) E) 3x 16 8 (mod 19) 3. 6x 3 16 (mod 77) lineer kongrüansının çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 14 } B) { 9 } C) { 37 } D) { 46 } E) { 57} 6. A) ( Z, ), : toplama ile tanımlı sistem gruptur. B) ( N, ), : toplama ile tanımlı sistem yarı gruptur. C) ( Z 5, ), : toplama ile tanımlı sistem gruptur. D) ( Z 10, ), : çarpma ile tanımlı sistem gruptur. E) ( Z6 { 0 }, ), : çarpma ile tanımlı sistem gruptur.

6 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-3) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) E) ( R,, ) sistemi cisimdir. A) Z,, sistemi halkadır. B) Z,, sistemi cisimdir. C) N,, sistemi halka değildir. D) Q,, sistemi cisim değildir. A) H birimli halkası çarpmaya göre H- modül değildir. B) R xr bir R - vektör uzayıdır. C) Her cisim kendi üzerinde bir vektör uzayıdır. D) n. derecen polinomlar R[x] bir R - vektör uzayıdır. E) Her cisim kendi üzerinde bir cebirdir. 11. Çin Kalan Teoremi : n, k Z, (n,k) = c ise, 8. OBEB x a (mod n) x b (mod k) sisteminde a b (mod c) ise çözüm tek aksi taktir - de çözüm yoktur. A) C, R ve Q nun karakteristiği sıfırdır. B) Tamlık bölgesinin karakteristiği sıfır değilse asaldır. C) p asal ise Z p tamlık bölgesinin karakteristiği p dir. D) Halkanın ideali bir alt halkadır. E) Her alt halka bir idealdir. Buna göre, aşağıdaki sistemlerin hangisinin çözümü yoktur? A) x 3 (mod 8) B) x 4 (mod 1) x 4 (mod 9) x 4 (mod 16) C) x 5 (mod 1) D) x 4 (mod 15) x 3 (mod 35) x 7 (mod 18) E) x 3 (mod 9) x 4 (mod 1) 1. I) p asal sayı, (a,p) = 1, a Z için, p 1 a 1 (mod p ) dir. II) k Z, (a,k) = 1 olmak üzere, a Z için, φ(k) a 1 (mod k) III) p asal olmak üzere, (p 1)! 1 (mod p) IV) Sonlu bir grubun her alt grubunun mertebesi grubun mertebesini böler. Yukarıdaki teoremlerin doğru isimlendirilişi sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? 9. Aşağıdakilerden hangisi tamlık bölgesi olduğu halde cisim değildir? A) ( N,, ) B) ( Z,, ) C) ( Q,, ) D) ( R,, ) E) ( C,, ) A) Euler Fermat Lagrange Teoremi Wilson B) Fermat Wilson Euler Lagrange Teoremi C) Fermat Euler Lagrange Çin Kalan Teoremi D) Euler Fermat Galois Lagrange Teoremi E) Fermat Euler Wilson Lagrange Teoremi

7 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-4) 1. Aşağıdakilerden hangisi, 4. ( ) Z,, tam sayılar halkasının bir ideali değildir? { } { } { } { } { } A) 6, 4,, 0,, 4, 6 B) 8, 5,, 1, 4, 7, 10 C) 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15 D) 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9 E) 4, 16, 8, 0, 8, 16, 4 A) Z[x] bir TAÇ fakat TİB değildir. B) F bir cisim ise F[x] bir EB dir. C) Z[i] Gauss tam sayılar halkası bir EB dir. D) Z[i] nin birim grubu { i, i} dir. E) Z tam sayılar kümesi Q rasyonel sayılar kümesi içine gömülebilir veya Q, Z nin genişlemesidir x 1 polinomu için,. Aşağıdakilerden hangisi, ( Z,, ) tam sayılar halkası için yanlıştır? A) Z Z = Z B) Z Z = Z C) 4Z 6Z = 1Z D) 4Z 6Z = Z E) Z 3Z = Z I) Z[x] te asaldır. II) Q[x] te asaldır. III) R[x] te asaldır. IV) C[x] te asaldır. ifadelerinden hangisi ya da hangileri yanlıştır? A) Yalnız I B) I, II ve III C) III ve IV D) I ve IV E) I, II, III ve IV 6. G= < a > o(a) = M 1 asal iken M de asal ise M asal sayısı aşa - ğıdakilerden hangisi ile adlandırılır. A) Euler asal sayısı. B) Fermat asal sayısı. C) Lagrange asal sayısı. D) Mersenne asal sayısı. E) Gauss asal sayısı. olduğuna göre, G, devirli grubunun. mertebe - den alt grubu aşağıdakilerden hangisidir? A) < a > B) < a > 4 C) < a > 5 D) < a > 10 E) < a >

8 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-4) 7. G= < a > 5 H= < a > o(a) = 10 / olduğuna göre, G, devirli grubu için G H bölüm grubunun tam temsilci sistemi aşağıdakilerden hangisidir? 10. A) Z bir TİB dir. B) Z bir TAÇ tır. C) Z bir EB dir. D) Z de ( 6) ( 9) ( 1) = ( 36 ) dır. E) Z de ( 4) ( 6) ( 10) = ( 8 ) dir A) { 1, a } B) { e, a } C) { e, a, a } 5 10 { } D) e, a, a, a 3 4 { } E) e, a, a, a, a elemanlı bir küme üzerinde değişme özelliğine sa - hip olan kaç farklı ikili işlem tanımlanabilir? A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3 8. G= Z X Z 4 grubunda, (1,3) elemanının mertebesi kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 1. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 9. A) Q da 3 ün ürettiği alt halka 3Z ve ideal Z dir. B) Z de 5 in ürettiği alt halka ve ideal 5Z dir. C) 3Z, Z nin içine gömülebilir. 3 D) 6x 5x polimomu ilkel polinomdur. E) x 4x 6 polimomu monik polinomdur. A) Q sayılabilir bir kümedir. B) Z[x] sayılabilir bir kümedir. C) Z[ ] sayılabilir bir kümedir. D) Z 6 kalan sınıfları halkasının aritmetik birimleri (birim grubu) Z 6 dır. E) Z tam sayılar halkasının aritmetik birimleri (birim grubu) kümesi { 1 } dir.

9 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-5) 1. S 5 te, 4. S 6 da, = f permütasyonunun ayrık devirlerin çarpımı olarak ifa - desi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) C) D) E) ( ) permütasyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ( 4 )( 1 3 ) A) B) C) D) E) S 6 da, ( 4 6 )( 1 5 ) permütasyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 5. S 7 de, I) permütasyonunun mertebesi 5 tir. II) permütasyonunun mertebesi 6 dır. III) permütasyonunun mertebesi 6 dır. IV) permütasyonunun mertebesi dir A) B) ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur? C) D) A) Yalnız I B) I, II ve IV C) III ve IV D) I, II, III ve IV E) Hepsi doğru E) S 5 te, 6. S 6 da aşağıdaki permütasyonlardan hangisi çifttir? ( ) permütasyonunun transpozisyonların çarpımı olarak ifadesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E)

10 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-5) 7. S de çift permütasyon sayısı 360 olduğuna göre, n 4 lü devirlerin sayısı kaçtır? A) 15 B) 0 C) 36 D) 45 E) p asal ise bütün kuadratik rezidüler (mod p) de, 1,, 3,, p 1 yardımıyla bulunur ve diğerleri ise kuadratik nonrezidülerdir. ( a p) Legendre sembolü olduğuna göre, aşağıdakiler - den hangisi 1 e eşittir? 8. Tanım : a,p Z, (a,p) = 1, p > 0 olmak üzere, obeb x a (mod p) denkleminin çözümü varsa a ya (mod p) de " kuadra - tik rezidü (kalan) ", çözüm yoksa " kuadratik nonre - zidü (kalmayan) " denir. 1 4 A) B) C) D) ( 7 ) E) ( 16 ) 3 3 Buna göre, Z de kuadratik rezidülerin (kalanların) sa - 7 yısı kaçtır? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) p asal ise (mod p) de Φ(p 1) tane primitif (ilkel) kök vardır ve a bir ilkel kök ise, p 1 a 1 (mod p) dir. ( Φ(n) Euler fonksiyonudur ) Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kök değildir? (mod 13) te ilkel 9. Tanım: p asal olmak üzere, a p gösterimine " Legendre sembolü " denir ve a (mod p) de kuadratik rezidü ise 1 e kuadratik nonrezidü ise 1 e eşittir. A) B) 6 C) 7 D) 9 E) 11 Euler ölçütü : p > ve p asal olmak üzere, dir. p 1 a = a p (mod p) a (mod 13) olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir? Buna göre, ifadesinin eşiti kaçtır? 17 A) B) C) D) E) A) 3 B) 1 C) 0 D) 1 E) 3

11 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-6) 1. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 4. Z tam sayılar kümesi olmak üzere, 1 A) A < G, a A ve x G için x a x A veya x A = A x ise A ya " normal alt grup " denir ve A G biçiminde gösterilir. B) A G ise G/ A bir gruptur ve G / A ya " bölüm grubu " denir. C) Bir G grubunun hiçbir normal has alt grubu yoksa G ye " basit grup " denir. 8Z / 0Z bölüm grubunun eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 D) Mertebesi asal olan grup basit olmayabilir. E) A = < 3 > = 3Z ise Z / A = { A, A 1, A } dir.. I. 8Z alt halkası, 4Z halkasında maksimal ide - aldir ancak Z halkasında asal ideal değildir. 5. Mertebesi 70 olan devirli bir grubun tüm alt grupla - rının sayısı kaçtır? A) 10 B) 1 C) 15 D) 4 E) 30 II. 7Z alt halkası Z halkasının maksimal idea - lidir ve dolayısıyla Z / 7Z cisimdir. III. Birimli ve değişmeli bir halkanın maksimal ide - ali vardır. IV. Her cismin maksimal ve asal ideali vardır. Yukarıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) I ve II B) I ve IV C) II ve IV 6. k bir rakamdır. D) I, II ve III E) Hepsi Z18 X Z5k direkt çarpımı devirli olduğuna göre k nın alabile - ceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 4 B) 8 C) 1 D) 13 E) 1 3. x x Z 10 Z 16 Z 30 direkt çarpımında ( 4, 6, 8 ) elemanının mertebesi kaçtır? A) 40 B) 60 C) 10 D) 180 E) 40

12 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-6) 7. I. 45 mertebeli bir grubun 9 mertebeli bir normal alt grubu vardır. 10. p asal ise Z p de Φ(p 1) tane primitif (ilkel) kök var - dır. ( Φ(n) Euler fonksiyonudur. ) II. Mertebesi 360 olan ve izomorf olmayan 6 tane değişmeli grup vardır. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinde 16 tane primitif kök vardır? III. A alt grubu G grubunun tek Sylow - p alt grubu ise A normal alt gruptur. A) Z 101 B) Z 97 C) Z 59 D) Z41 E) Z37 β IV. S 7 de, α= ve = ise α çift permütasyon β tek permütasyondur. Yukarıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri doğrudur? 11. I. Z 13 te kuadratik rezidülerin toplamı 39 dur. A) I ve II B) II ve III C) I ve III D) I, II ve III E) Hepsi II. 9x 3 = 17 ( mod 0) lineer kongrüansının tek çözümü vardır. III. x 1 (mod 16) x 13 (mod 0 ) lineer kongrüans sisteminin çözümü boş kümedir. 8. S 5 te, ( 4 5 ), ( 1 3 ), ( 4 3 ) α= β= γ= permütasyonları verildiğine göre aşağıdakilerden han - gisi yanlıştır? A) αβ = βα ve γβ βγ dır. ( αβ) 3 6 B) α = dır. C) α ve βγ eşleniktir. D) 4 oβ= βo 4 tür. E) αβ nın mertebesi 5 tir. IV. S 9 da, tipinde 50 tane eşlenik permütasyon vardır. Yukarıdaki önermelerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) I ve II B) I ve III C) II ve IV D) I, II ve IV E) Hepsi Z 60 grubundan Z 0 grubuna homomorfizma sayısı k ve örten homomorfizma sayısı n olduğuna göre, (k,n) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (0,8) B) (4,0) C) (0,4) A) Z[ 5] halkası bir TAÇ ve bir TİB dir. B) Alt halka bir ideal olmayabilir. C) Z[ ] halkası bir EB dir. D) Z iyi sıralıdır ve tam sıralıdır fakat Z tam sıralı olduğu halde iyi sıralı değildir. E) A ve B sayılabilir iki küme ise A XB kümesinden R ye bir izomorfizma vardır. D) (10,8) E) (8,0)