Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Transkript

1 Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN

2 Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : Baskı Eylül İSTANBUL ISBN Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları BETA Basım Yayım Dağıtım A.Ş. ye aittir. Her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya başka herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur. Dizgi : B e t a B a s ı m A. Ş. Baskı-Cilt : Yazın Basın Yayın Matbaacılık Trz.Tic.Ltd.Şti. (Sertifika No ) Çiftehavuzlar Cd. Maltepe Mh. Prestij İş Merkezi No: 27/806 K:9 (0-212) Kapak Tasarım : Nur Baylav Beta Basım Yayım Dağıtım A.Ş. Narlıbahçe Sok. Damga Binası No: 11 Cağaloğlu -İSTANBUL Tel : (0-212) Fax: (0-212)

3 ÖNSÖZ Nümerik analiz yöntemleri, ileri düzeyde matematiksel ve mühendislik problemlerini bilgisayar programları kullanılarak çözmek için kullanılan bir yoldur. Bu sayısal teknikler, mühendislerin ve fencilerin kendine özgü problemlerini çözmek için sık sık başvurdukları bir alan halini almıştır. Bu yöntemlerin en büyük avantajı analitik çözümü olmayan veya analitik olarak çözülmesi çok zaman alan problemlerin bile sonuçlarının bu yöntemlerle elde edilebilmesidir. Analitik metotlar genellikle matematiksel fonksiyonlar şeklinde çözümler üretirler. Sonra bu genel çözümler bazı belirli veriler için sayısal sonuçlar şekline dönüştürülürler. Nümerik çözümlerde sonuçlar daima sayısaldırlar. Sayısal çözümlerin bir önemli farkı da yaklaşık çözüm üretmeleridir. Ancak bu yaklaşık çözümler istenildiği ölçüde hassas elde edilebilmektedir. Hassasiyet artırıldıkça işlem adımları artmakta fakat artan işlem adımları karşısında, çok hızlı olan günümüz bilgisayarları kısa sürede sonuca gidebilmektedir. Bazen analitik çözümlerde bile aynı değerleri elde etmek için yapılan hesaplamalarda da aynı düzeylerde hatalar bulunabilmektedir. Burada bilgisayar hatalarının analizi ve sayısal çözüm yöntemlerinin hata kaynakları da nümerik analizin bir uğraşı alanı olarak görülmelidir. Nümerik analizin temel konuları olan ve aşağıda kısaca özetlenmeye çalışılan konular bu kitabın içerisinde lisans ve lisansüstü düzeyinde bulunmaktadır. Eşitliklerin köklerinin bulunması, doğrusal ve doğrusal olmayan denklem takımlarının çözümleri. Bir dizi veri kullanılarak iç değer(enterpolasyon) ve dış değerlerin(ekstrapolasyon) bulunması. Herhangi bir mertebede fonksiyonun türevinin matematiksel türev kurallarını kullanmadan bulunması. Belirli noktasal değerleri bilinen deneysel çalışmaların eşitlikler elde edilmeden türevlerinin alınması.

4 Fonksiyonların veya bir dizi deneysel ölçüm sonucu elde edilen noktaların integralinin alınması. Bayağı diferansiyel eşitliklerin çözümleri. Sınır değer problemlerinin çözümüne yönelik uygulamalar. Kısmi türevli eşitliklerin fiziksel ve matematiksel gösterimleriyle çözüm yöntemleri. Bilinen bir dizi değer ve deneysel çalışmada elde edilen ölçüm noktaları için uygun bir eğri uydurulması. Sayısal yöntemlerin uygulanması sırasında bilgisayar programlarının yazılacağı ve bir bilgisayar sisteminin kullanılacağı hiç bir zaman unutulmamalıdır. Böylece bu kitabın içerisinde zaman zaman problemin çözüm algoritmaları, programlamaya temel oluşturacak taslak kodlar ve değişik programlama dillerinde(visual Basic, Fortran, Pascal) yazılmış programlar görülecektir. Bu program ve algoritmalar öğrenciye yol gösterecek ve kendi özel problemine ilişkin program yazmada ışık tutacaktır. Kitap içerisinde mühendislik problemlerinde sıkça karşılaşılan matematiksel ifadelerin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş programlama dilleri dışında hazır matematiksel yazılımların kullanımı da az sayıda yer verilmiştir. Öğrencilerimize ve araştırmacılara yararlı bir kaynak olacağını umar başarı dileklerimi sunarım. Prof. Dr. İbrahim UZUN Kırıkkale-2012

5 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii 1. GİRİŞ Mühendislik Problemlerinin Çözümü Programlama Dilleri ve Hazır Yazılımlar Excel Matlab Mathematica Sayısal Hesaplama ve Hatalar Bağıl hata Mutlak hata Yaklaşım hatası Kesme hatası Yuvarlatma hatası Bölüm Soruları EŞİTLİKLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI Grafik Yöntemler Aralık Yarılama Yöntemi Kiriş yöntemi (Yer Değiştirme) Basit iterasyon yöntemi Newton-Raphson yöntemi Programlar DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Matrisler ve Matrislerle İlgili İşlemler Alt ve üst üçgen matris Birim ve Köşegen matris Bant matris Transpoze matris... 61

6 3.1.5 Simetrik matris Kofaktör matris Ek matris Ters matris Ortogonal Matris Matrislerde Toplama Matrislerde Çarpma Ters matris alarak denklem takımlarının çözümü Gramer yöntemi Gauss Eleme yöntemi Pivotlama Gauss Jordan yöntemi Ayrıştırma Yöntemi Gauss Siedel yöntemi DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ İki değişkenli eşitlikler (Newton Raphson) Üç değişkenli eşitlikler (Newton Raphson) Basit İterasyon Yöntemi Programlar SONLU FARK TABLOLARI İleri yön sonlu farklar Geri yön sonlu farklar Merkezi Farklar ENTERPOLASYON İleri yön Sonlu Fark Enterpolasyon Geri Yön Enterpolasyon Merkezi farklarla enterpolasyon (Bessel Bağıntısı) Lagrange enterpolasyon İki nokta için Lagrange enterpolasyon

7 6.4.2 İkiden fazla nokta için Lagrange enterpolasyon Ters Enterpolasyon İki boyutlu Lagrange enterpolasyon SAYISAL TÜREV Geri yön sayısal türev ifadesi İleri yön sayısal türev ifadesi Merkezi yön sayısal türev ifadesi Taylor Serisiyle Sayısal Türev Çok Noktalı Türev Bağıntıları Enterpolasyon Bağıntısıyla Sayısal Türev (Gregory-Newton) Bessel Bağıntısı İle Sayısal Türev Programlar SAYISAL ENTEGRAL Trapez (yamuk) yöntemi Simpson Yöntemi Simpson 1/3 Kuralı(2.dereceden polinom) Simpson 3/8 Kuralı(3.dereceden polinom) Belirsiz Katsayılarla Sayısal Entegral İki Katlı Entegrallerin Sayısal Çözümleri Programlar EĞRİ UYDURMA En Küçük Kareler Yöntemi En Küçük Kareler Yöntemi ile Doğru Uydurma En Küçük Kareler Yöntemi ile 2. Dereceden Polinom Uydurma Üstel Dağılımlı Verilere En Küçük Kareler Yönteminin Uygulanması Rasyonel Dağılımlı Verilere En Küçük Kareler Yöntemiyle Eğri Uydurma Çok Değişkenli Doğrusal Eğri Uydurma Programlar

8 10. BAYAĞI DİFERANSİYEL DENKLEMLER Bayağı Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri Taylor Serisi Yöntemi Euler ve Düzeltilmiş Euler Yöntemi Runge-Kutta Yöntemleri İki Adımlı Runge-Kutta Yöntemi Dört Adımlı Runge-Kutta Yöntemi Runge-Kutta-Fehlberg Yöntemi Çok Adımlı Yöntemler Adams Yöntemleri Entegral Yöntemleri(Newton-Cotes) Milne Yöntemi Çok Değerli Yöntemler Yüksek Mertebeden Bayağı Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümleri Taylor Serisi Yöntemi Düzeltilmiş EulerYöntemi Runge-Kutta Yöntemi Adams-Moulton Yöntemi Eşitliklerin Yakınsama Zorlukları Sınır Değer Problemleri Kestirme Düzeltme Yöntemi(Shooting) Programlar KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ Eliptik Tip Kısmi Diferansiyel Denklemler Kısmi Türevli İfadelerin Sonlu Fark Çözümleri Kısmi Türevli İfadelerin İterasyonla Çözümleri Gauss Seidel Yöntemi SOR Yöntemi Poisson Eşitliklerinin İterasyonla Çözümleri Türev Sınır Şartı Altında Çözüm

9 11.5 Düzensiz Sınırlı geometrik Sistemlerin Çözümü PARABOLİK TİP KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Açık Çözüm Yöntemi Crank-Nicolson Yöntemi Theta ( ) Yöntemi İki ve Üç Boyutlu Parabolik Tip Kısmi Türevli İfadeler Programlar ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Kaynaklar Dizin......