KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT"

Esin Dikmen
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT.. KENDİNE BENZERLİK VE AFİNİTE Fraktal özelliklerinden bir diğeri de kendine benzerlikdir. Geometrik açıdan, aynı şekle sahip olan geometrik şekiller birbirine benzerdirler. Bundan şu anlaşılmamalı, bütün dikdörtgenler veya bütün üçgenler birbirine benzerdir. Fakat görünümleri aynıdır. Fraktalların çarpıcı bir özelliği doğada sık olarak rastladığımız kendine benzerlik özelliğidir. Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bi cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yenilenir ve tümüyle soyut nesneler de sonsuza kadar sürdürülebilir. Bu tip fraktal olgusu kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Ayrıca fraktallar aynı matematiksel formülün defalarca tekrarlanması ile oluştuğundan şekle hangi ölçekte bakarsak bakalım yine aynı şekli görürüz. Kendine benzerlik üç farklı şekilde olabilir... TAM KENDİNE BENZERLİK Tekrarlanan fonksiyon sistemleriyle tanımlanan fraktallar çoğu kez tam kendine benzerlik gösterir. Kendine benzer bir nesne dönüşümlerle elde edilmiş, kendisinin belli bir oranda küçültülmüş N kopyasından oluşmaktadır. E boyutlu bir uzayda x, x x E (x,..., ) konumunda bulunan noktalar kümesi S ile gösterilsin. Bu kümeye 0 < r < olacak biçimde belirlenen bir r küçültme oranı ile benzerlik dönüşümü uygulandığında S kümesi rx ( rx, rx,..., rx E ) şeklindeki rs kümesine dönüşür. S kümesi N tane birbirinden farklı rx ( rx, rx,..., rx E ) noktalarından oluşan rs kümelerinin bileşiminden oluşuyorsa tam olarak kendine benzer bir kümedir.

2 .. YARI KENDİNE BENZERLİK Kendine benzerliğin zayıf bir formudur. Farklı ölçeklerde fraktal hemen hemen aynı görünür. Yarı kendine benzer fraktallar bozulmuş formlarda tüm fraktalın küçük kopyalarını içerir. Tekrarlanan fraktallar genellikle tam kendine benzer değil yarı kendine benzerdir..4. İSTATİSTİKSEL KENDİNE BENZERLİK İstatiksel kendine benzerlik,kendine benzerliğin en zayıf formudur. İstatistiksel kendine benzerlik farklı ölçeklerde değil ölçek boyunca korunur. Bir parça büyütülüp incelendiğinde elde edilen parçaların orjinali ile aynı olmadığı görülür. Bütünün küçük bir parçası bütüne benzer fakat onun bir eşi değildir. Bu durum istatistiksel kendine benzerlik olarak adlandırılır. Değişik ölçeklerdeki pek çok detay içeren objenin istatistiksel kendine benzer olma özelliği doğadaki fraktalların ortak özelliğidir. Detaylar büyüyüp küçüldükçe değişir. Rastgele (random ) fraktallar istatistiksel kendine benzerliğin en güzel örnekleridir..5. BAZI ÖZEL FRAKTALLARDA BOYUT.5. DOLAMBAÇLILIĞIN DERECESİ : Boyut kavramı çeşitli matematiksel yan anlamlara sahiptir. Bunlardan en yaygın olanı topolojik boyut olarak bilinendir. Çoğu zaman bir tamsayıdır. Örneğin nokta,doğru ve düzlem, sırası ile 0, ve boyutludur. Biz - boyutlu uzayda yaşarız. Bir küçük ölçü birimi a olarak seçilir. Daha sonra dolambaçlı çizginin uzunluğu a cinsinden ölçülür. Kabul edelim ki a ölçütü N defa kullanılmış olsun, yani total ölçü Na olsun. O zaman Mandelbrot un tanımına göre fraktal boyut D lim log N a 0 log a (I) İle verilir. Burada D ye dolambaçlı çizginin dolambaşlılık derecesi denir. Daha sonra boyut kavramını daha iyi ve daha genel olarak tanıtacağız. Burada

3 log a = log a Uygulamada ekseriye a ölçütünü küçük adımlarda, her defasında, örneğin ün bir katı olarak alırız. log N log a kesri sabit bir değer olan D limitine yaklaşır. Bazı hallerde kesrin değeri her adımda aynı olur. O zaman (I) formülü log N D log a log N D.log a, log. N log a D (II) Biçiminde daha basit olarak yazabiliriz, bu da N= D a demektir. Ölçülen total uzunluk Na ise ; D Na= a olur. Bu da bize ölçüt birimi olan a nın azalması halinde ölçülen Na uzunluğunun nasıl arttığını göstermektedir..5. KAPASİTE Mandelbrot 977 de fraktal kavramını ortaya koyduğunda, fraktal boyut kavramını da Hausdorff tarafından 99 da verilen boyut kavramını esas alarak vermiştir. Mandelbrot un kullandığı bu boyut kavramı, Kolmogorov (90-987) tarafından 958 de verilen bir geometrik şeklin kapasitesine karşılık gelen, Hausdorff un basitleştirdiği boyut kavramıdır. Boyut kavramı matematik litarütüründe farklı anlamlarda kullanılmasına karşılık Kolmogorov un terminolojisine bağlı kalmak isteyenler boyut yerine kapasite de derler. Biz boyut ifadesini seçiyoruz.

4 .6. KESİRSEL BOYUT Bir noktanın boyutu yoktur,uzunluğu, genişliği hatta yüksekliği de yoktur. Bir doğrunun boyutu dir, bu boyut onun uzunluğuna karşılık gelir. Doğrunun da genişliği ve yüksekliği yoktur. Fakat uzunluğu sonsuzdur. Bir düzlem boyutludur, bunlar uzunluk ve genişliktir, fakat derinlik (ya da yükseklik) yoktur. Düzlemi, masanın üst yüzü olarak düşürseniz uzunluğunu ve genişliğini sınırlamayız. Uzay, öyle büyük fakat boş bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinliği her yönde istenildiği kadar genişletilebilir. Dolayısıyla uzay boyutludur. Fraktallar, kesirsel boyutlara fraktal.6 veya.7 boyutlu olabileceğini görelim. sahip olabilirler. Örneğin bir olabilir. Bunun nasıl böyle.7. SİERPİNSKİ ÜÇGENİ VE BOYUTUNUN HESABI Kenar uzunlukları er cm olan bir Sierpinski Üçgeni ile başlayalım. Kenarların uzunluklarını katlayalım. Siyah üçgenler Sierpinski Üçgeninin bir parçası olmadıklarından bu katlama işi bize üç kopya verecektir. O halde d yazabiliriz, burada d boyuttur. O halde buradan formülü kullanılabilir. ve d olur. Fraktal boyutu elde etmek için log log( benzerparçasayısı) d log( küçültmekatsayısı) 4 olduğuna göre d deki d değeri ile arasındaki bir değerdir. O halde Sierpinski Üçgeninin boyutu ile arasındaki bir sayıdır.

5 d eşitliğinde d ye. verirseniz yerine.4547 ve e daha yakın bir değer için d ye. verirseniz yerine.974 elde edersiniz. Bu ikincisi e daha yakın bir değerdir. Bu şekilde devam ederseniz d ye daha yakın bir değer bulursunuz. e yakın değeri veren d sayısı Sierpinski Üçgeni denen fraktalın boyutudur, bu da d = log log dir. Bu ifade bize fraktalların boyutlarının kesirli boyut olabileceklerini göstermektedir..8. KOCH EĞRİSİ VE BOYUTUNUN HESABI Koch eğrisi Helge Von Koch tarafından 904 yılında ortaya atılmıştır.van Koch eğrisi her yerde sürekli fakat hiçbir yerde sürekl olmayan bir eğridir. Bir doğru parçası ile başlanır. Doğru parçası üç eşit parçaya ayrılır, ortadaki parça atılıp atılan parça üstünde dışa doğru bir eşkenar üçgen kurulur. Böylece dört doğru parçasından oluşan bir kırık çizgi oluşturulur. Oluşan bu parçaya motif denir. Eğer ilk parça birim uzunluğunda seçilirse motif her biri uzunlukta 4 parçadan oluşur. Sonuçta elde edilen motifin uzunluğu 4 olur. Benzer şekilde 4 parçadan her birine aynı işlem uygulanarak her parçada birer motif elde edilir. Bu son halde 44 6 eş doğru parçası yer alır. Bu eğrinin toplam uzunluğu olur. Benzer şekilde bir adım daha devam edilirse üçüncü adımda 4 64 doğru parçası elde edilir. Her birinin uzunluğu 7 olan eş doğru parçalarından oluşan bir eğridir. Bu eğrinin toplam uzunluğu olur.

6 Şekil.8 Elde edilen Von Koch eğrisi Von Koch eğrisinin fraktalının boyutu log N D log L ile hesaplanır. Burada L küçültme katsayısı N benzer parça sayısıdır. İlk motife göre N =4, L = olduğundan log 4 D,6... İkinci motife göre ; N 6 4, L olduğundan 9 log 4 log 4,6... D Olur. Dolayısıyla D log 4 log 4...,6... bulunur. (Hacısalihoğlu ve Yaz 00)..9. MİNKOWSKİ FRAKTALI VE BOYUTUNUN HESABI Bir doğru parçası ile başlayalım. Bu doğru parçasını 4 eş parçaya bölelim ve ortadaki iki parçayı I. Adımdaki gibi işleyelim. Burada a ve N 8dir. 4

7 log N log8 D,5 log 4 log a Şimdi bu fraktalların boyutlarını tabloda gösterelim: Şekil Boyut Kopya sayısı Kantor cümlesi log d 0,6 d Koch Eğrisi log 4 d 4 d Minkowski Fraktalı log8 d log d

Benzer belgeler

FRAKTAL GEOMETRİVE UYGULAMALARI

FRAKTAL GEOMETRİVE UYGULAMALARI 4.1 Vonkoch Eğrisi Şekil 4.1. Von Koch Eğrisi Burada bir doğru parçası ile başlanır. Doğru parçası üç eşit parçaya ayrılır, ortadaki parça alınır ve bir eşkenar üçgen şeklinde