tmoz.info ozeldersci.com 1 PERMÜTASYON Not Örnek 1.1 FAKTÖRİYEL Örnek Örnek Çözüm Çözüm

Transkript

1 Tüm hakları yazarı Bora Arslantürk'e aittir. Kaynak belirtmek şartı ile tüm öğretmen ve öğrencilerimizin - 1 permütasyon kombinasyon olasılık kullanımına açıktır.007 yılı sonuna dek kaynak belirtmek şartı ile çoğaltılıp dağıtılabilir. Tüm yayınlar Kartal 1.noterine yayın tarihini müteakip kısa sürede onaylatılmaktadır PERMÜTASYON Permütasyon kavramına girmeden önce aktöriyel kavramını inceleyelim; 1.1 FAKTÖRİYEL n N olmak üzere aşağıdaki iki özelliği sağlayan işleme denir; I. ` a n! = n A 1!, n 0 II. 1!=1 ilk özellikte n yerine 0 alamayız çünkü bu durumda sağ tara negati bir aktöriyel olur ancak aktöriyel doğal sayılarda tanımlıdır. n=1 alırsak; ` a 1! = 1 A 1! [ 1 = 0! o halde 0!=1 elde edilir. Şu ana dek elde ettiklerimizden aydalanarak daha kolay anlaşılır bir anlam bulmaya çalışalım; ` a! = 1! = A 1 ` a 3! = 3 A 1! = 3 A! = 3 A A 1... ` a n! = n A 1 AAA3 A A 1 gösterimi ile 0! den geriye kalanlar için aktöriyel kavramını aktöriyeli alınan sayıya kadar poziti doğal sayıların çarpımı olarak da düşünebiliriz. 5! = 5 A 4 A 3 A A 1 4! = 4 A 3 A A Not 5! Sonu sıır ile biten en küçük aktöriyeldir, daha büyük aktöriyeller sıır veya sıırlarla biter. 5! = 5 A 4 A 3 A A 1 = 10 6! = 6 A 5! = 6 A 10 = 70 7! = 7 A 6! = ! = 8 A 7! = Örnek Aşağıdaki iadeleri hesaplayınız; a) 5! 7!@ 5! k! k! =? b) =? c) =? d) =? 4! 4! k + 1! 3! a) 5! 5 A 4 A 3 A A 1 5! 5.4! = = 5 veya = = 5 4! 4 A 3 A A 1 4! 4! 7!@ 5! 7 A 6 A 5!@ 5! 41 A 5! b) = = = 41 A 5 = 05 4! 4! 4! k! k! 1 c) = = k + 1! k + 1 A k! k + 1 k! k A 1 A A 3! d) = 3! 3! = k A 1 A Örnek ` a n +! = 4 [ n =? n! ` a ` a ` a n +! n + A n + 1 n! ` a ` a = 4 [ = n + A n + 1 = 4 = 7.6 n! n! n = Örnek ` a n +! ` a = 5 [ n =? n + 1! + n! ` a ` a ` a ` a n + A n + 1 A n! n + A n + 1 A n! ` a = ` a = n + 1 = 5 [ n = 4 n + 1 A n! + n! n + A n! - 1 permütasyon kombinasyon olasılık 1

2 1.1.5 ASAL ÇARPAN SAYISI Faktöriyeldeki bir asal çarpandan kaç adet olduğu bulmaya çalışalım; asal çarpanın her katında bir tane en azından kendisinden olacaktır ama kuvvetlerine karşılık gelen katlarında daha azla olacaktır örneğin; yi düşünelim; 1 tane 4 tane 6 1 tane 8 3 tane tane 1 tane 14 1 tane 16 4 tane 4 dikkat edilirse kuvvetlerde miktarı artmaktadır, bir örnekle durumu incelemeye devam edelim; 30! de kaç tane çarpanı olduğunu bulalım; aşağıdaki işlem ile tüm ler sayılmış olur = Not Asal olmayan çarpan sayısı için sayı, asal çarpanlarına ayrılır, bir asal sayının kuvveti var ise kuvveti ile beraber düşünülür ve çarpan sayısı, az olan çarpanının sayısı kadardır Örnek 5! de kaç tane 6 çarpanı vardır? 6 = 3. olduğundan içindeki en büyük asal çarpan 3 tür dolayısı ile artık 3 sayısını arıyoruz; = Örnek 48! = 14 a A b a,b N olduğuna göre a nın en büyük değeri nedir? - permütasyon kombinasyon olasılık 1 Bk permütasyon kombinasyon olasılık 48! = b olduğundan sorulan 48 içindeki 14 çarpanı sayısıdır; 14 a 14 = 7. en büyük asal çarpan 7; a= Örnek 4! de kaç tane 4 çarpanı vardır? 4 = 8.3, burada 8 = 3 olduğu için ayırmadık 8 ile 3 ten en az sayıda olan kadar 4 olacaktır; = tane dolayısı ile 7 tane 8 vardır; tane 3 vardır, dolayısı ile az olan 7 dir ve cevap da 7 dir SIFIR SAYISI 5! den sonra son basamaklarda sıır olduğundan bahsetmiştik 1, kaç tane sıır olduğunu da bulabiliriz. Sıır 10 çarpanlarından elde edilir yani sıır sayısı 10 çarpanı sayısı kadardır, 10 çarpanı da 5 ile nin çarpımı olduğundan ve 5 daha az olduğundan 5 çarpanı sayısı kadardır, o halde 5 çarpanının sayısını bulmalıyız Örnek 7! sayısının sondan kaç basamağı sıırdır? =0 tane sıır vardır.

3 - 3 permütasyon kombinasyon olasılık Örnek 1!+!+3!+..+40! Sayısının 1 ler basamağı kaçtır? 1!=1,!=, 3!=6, 4!=4, 5!=10 daha büyük aktöriyeller de sıırla biter dolayısı ile ilk dört aktöriyelinin toplamının 1 ler basamağı istenileni verecektir =33 ise 1 ler basamağı 3 tür. - 3 permütasyon kombinasyon olasılık 3

4 - 4 permütasyon kombinasyon olasılık 1. PERMÜTASYON Sonlu bir kümede tanımlı birebir ve örten onksiyonlara permütasyon denir R S Χ= a,b kümesinde tanımlı permütasyonları bulalım; 1 = ab g, = ab g dikkat edilirse burada bir nevi bir ab ba sıralama söz konusudur, yani permütasyonlar, küme elemanlarının sıralanışlarıdır Örnek R S Υ= a,b,c kümesinin permütasyonlarını bulunuz. 1 = abc g, = abc g, 3 = abc g abc acb bac 4 = abc g, 5 = abc g, 6 = abc g bca caba sıralama açısından bakacak olursak, 3 eleman 6 arklı şekilde sıralanır sonucunu da çıkarabiliriz. 1.. Permütasyonlarda Bileşke Permütasyonlar bir onksiyon çeşidi olduğundan bileşkeleri de onksiyonlardaki gibi alınabilir. Bir örnekle inceleyelim; 1..3 Örnek R S Χ= 1,,3 kümesinde tanımlı aşağıdaki permütasyonlar için istenen bileşkeleri bulunuz? 1 = 13 g, = 13 g, 3 = 13 g a) 1 N b) 1 N 3, c) 1 N 3 N a) 1 N = 13 g N 13 g = 13 g b) 1 N 3 = 13 g N 13 g = 13 g c) 1 N 3 N = 13 g N 13 g N Permütasyonlar Grubu g = 13 g 13 Permütasyonlar birebir ve örten onksiyonlardır dolayısı ile tersleri onksiyondur, tersleri ile bileşkeleri birim elemanı verir, yani birim elemanları herhangi bir kümede tanımlı permütasyonlar için vardır, ayrıca tanımlı olduğu kümede kapalılık ve birleşme özelliklerini de sağlarlar dolayısı ile bileşke işlemine göre tanımlandıkları kümede grup oluştururlar Örnek = abc g 1 =? cab Her eleman tersine gidecektir o = cab g abc Üst sırayı = abc g elde edilir. bca 1..6 Örnek 1 = adcb g 1 1, = ve 1 N 3 = ise 3 =? cabd cabd Üst sıranın karışık verildiğine dikkat edelim ki hata yapmayalım; = abcd g elde edilir; dcab 1 N 3 = adcb g N abcd g = abcd g = bu denkleme cabd???? dcab dikkat edersek a, d ye gitmiş, 1 de d ye giden b olduğuna göre, 3 de a, b ye gitmelidir, bu mantıkla hareke edersek 3 ü buluruz; 3 = abcd g abcd [ 3 = (tersi de kendisine eşit) badc badc - 4 permütasyon kombinasyon olasılık 4

5 - 5 permütasyon kombinasyon olasılık 1..7 Örnek Örnek Aşağıdakilerden hangisi A={a,b,c} kümesinin birim permütasyonudur? A) 1 = abcd g B) = ab g C) 3 = abc g abcd ab abb D) 4 = bac g E) 5 = abc g bac acb Tanımlı olduğu kümedeki her elemanı kendine götüren onksiyon birim onksiyon olduğuna göre yanıt D şıkkıdır Permütasyon Sayısı n elemanlı bir kümenin n! adet permütasyonu yani sıralanışı vardır.örneğin 3 elemanlı bir kümenin sıralanışlarını yazalım; Elemanlar a,b,c olsun; a,b,c a,c,b b,a,c b,c,a c,a,,b,a 6 adet sıralanış mevcut; 3!=6 genel olarak n adet sıralanış için aşağıdaki mantık kullanılabilir; ilk sıra için n adet, ikinci sıra için n-1 adet. Sondan üçüncü sıra için 3 adet, sonran ikinci sıra için adet, son sıra için de 1 adet aday vardır. Dolayısı ile sıralanış sayısı; n! olacaktır. Sonuç olarak; örneğin 3 elemanlı bir kümenin 3!, 4 elemanlı bir kümenin 4! sıralanışı veya permütasyonu vardır Tekrarlı Permütasyon n arklı elemanın n! adet sıralanışı olduğunu öğrendik. Eğer r tane aynı eleman var ise her sıralanış için r! adet aynı durum ortaya çıkacaktır örneğin; a, b, c, d, e için 5! sıralanış var iken, a, a, a, b, c için a ların kendi arasındaki yer değişimleri aynı olacağından ve 3 tane a olduğundan 3! aynı diziliş söz konusudur. dolayısı ile 3! diziliş 1 diziliş demektir, bu aynı dizilişleri elemek için 3! e böleriz. 5! = 0 arklı durum vardır. Yani n elemandan r tanesi aynı 3! ise n!, r! ile bölünmelidir. Benzer şekilde p,q,r ayrı üç türdeki aynı eleman sayıları ise oluşabilecek sıralanış sayısı; n! adet sıralanış elde edilir; yani p! A q! A r! g n n! P = = olur. pqr p! A q! A r! MATEMATİK kelimesindeki harlerle 7 harli kaç arklı diziliş elde edilir? tane M tane A tane T Örnek PENCERE kelimesindeki harler kullanılarak P ile başlayıp E ile biten kaç arklı sıralanış elde edilir? P _ E geriye ENCER kalır, bunların sıralanışını düşünmeliyiz; 5! 5 A 4 A 3 A = = 60 arklı sıralanış vardır.! 1..1 Örnek 4455 sayısının rakamları ile 5 basamaklı kaç çit sayı yazılabilir? 4 g 7 7! P = = ` a ` a ` a = 630! A! A! 4! = 6 ile bitenler!a! 4! = 1 4 ile bitenler! 6+1= n Elemanlı Bir Kümenin r Elemanlı Permütasyonu n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümeler seçip bunların sıralanışını da arklı kabul edersek n in r li permütasyonlarını elde ederiz. Kümeler konusundan n elemanlı bir kümede r elemanlı alt kümelerin sayısının; g ` a n n! C n,r = = ` a olduğunu biliyoruz. Burada sıra r r! A r! önemsizdir, her r eleman r! adet sıralanış içerebileceğinden iadeyi r! İle çarparsak istediğimizi elde ederiz; - 5 permütasyon kombinasyon olasılık 5

6 - 6 permütasyon kombinasyon olasılık n! n! ` a A r! = ` a elde edilir o halde r! A r! r! n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı ; ` a n! P n,r = ` a r! şeklindedir. Burada işlem pratikliği için bir gösterim elde edebiliriz; ` a ` a ` a ` a ` a n! n A 1 A r + 1 A r! P n,r = ` a = ` a r! r! ` a ` a ` a ` a P n,r = n A 1 A r + 1 yani kaçlı permütasyon alınırsa o kadar n den geri gidilecek örneğin; ` a P n, = n A 1 li permütasyon çarpan elde ettik. ` a ` a P n,3 = n A 1 A 3 lü permütasyon 3 çarpan elde ettik. P 10,4 = 10.9 A Not P(n,n)=P(n,n-1) olduğuna dikkat ediniz; İspat; n! P n,n@ 1 = = n! n Örnek Elimizde 4 kitap var. a) Bunları kaç arklı şekilde kitaplığa dizebiliriz? b) Rata kitaplık yer var ise kaç arklı şekilde dizebiliriz? c) Kitaplardan ikisi aynı ise kaç arklı şekilde kitaplığa dizebiliriz? a) 4 kitabın sıralanışı p(4,4)=4! dir veya 1. sıraya 4 ihtimal,. sıraya kitaplardan biri kullanıldığı için 3 ihtimal mantığında da düşünebiliriz. İstenen; 4.3 A = 4 b) 4 elemanın si sıralanacağı için istenen; P(4,)= 4.3 =1 veya ilk yere 4 ihtimal ikinci yere 3 ihtimal olduğundan ; = 1 c) bu durumda tekrarlı permütasyon düşünmeliyiz; 4! 4.3 = = 6! Örnek a) 0 kişilik bir gruptan, bir nöbetçi ve bir gözcü kaç arklı şekilde seçilebilir? b) 0 kişilik bir gruptan, bir nöbetçi veya bir gözcü kaç arklı şekilde seçilebilir? c) 0 kişilik bir gruptan, bir nöbetçi ve iki gözcü kaç arklı şekilde seçilebilir? a) Burada 0 elemanın sıralı ikilileri aranmaktadır çünkü sıra önemlidir, birinci nöbetçi ikinci gözcü olarak düşünebiliriz dolayısı ile sıra önemli olur [ 0.19 = 380 b) İlk şıktan arkı ve yerine veya gelmesidir. dolayısı ile tek bir iş yapılacaktır. "Veya akla toplamayı getirmelidir, ve ise çarpmayı, hiçbir bağlaç yok ise yine ve varmış gibi düşünülür. İstenen; 0+0=40 arklı durum. c) Burada 3 eleman seçicez 1 ancak gözcü için sıra önemsizdir, nöbetçi seçimi ile gözcülerin seçimi arasında sıra önemlidir, dolayısı ile oluşturabileceğimiz ikililer ile yanına gelecek bir elemanın sıralanması söz konusudur; gözcülerin yer değişimi bir arklılık iade etmeyecektir o halde sıralı üçlü seçimini! e bölmeliyiz A 18 = 340! Örnek P(3n,)= 5 A P n + 1, + 1 ise n=? 1 Türkçe yazım kurallarına göre seçeceğiz demem gerekir ama dil canlıdır ve gittikçe pratikleşmektedir; bilgisayar dilleri de bir dildir bilgisayarla iletişimi sağlar, pratiktir ve büyük har kullanımı yoktur, konuşurken de büyük harle cümleye başlamayız, gereksiz olduğunu düşünüyorum, azladan alabe ve yazım zorluğu bence, ilerde büyük har kullanımının da kalkacağını düşünüyorum burada da günlük hayatta kullandığımız gibi kullandım. - 6 permütasyon kombinasyon olasılık 6

7 P(3n,)= 5 A P n + 1, + 1 [ ` a ` a 3n A 1 = 5 A n + 1 A n + 1 [ 1 = 0 3 = 0 n= Örnek A kentinden B kentine 4 yol, B kentinden C kentine 5 yol vardır. a) A dan C ye kaç arklı yolla gidilebilir? b) A dan C ye kaç arklı yolla gidip dönülebilir? c) Gidilen yoldan dönmemek kaydıyla A dan C ye kaç arklı yolla gidip dönülebilir? a) A dan B ye her bir yola karşın B den C ye 4 arklı ihtimal olduğundan çarpım söz konusudur istenen; 4A 5 = 0 b) 0 gidiş güzergahı 0 de dönüş güzergahı olduğuna göre istenen; 0 A 0 = 400 c) 0 gidiş güzergahı 19 da dönüş güzergahı olduğuna göre istenen; 0 A 19 = Örnek A kentinden B kentine 4 yol, B kentinden C kentine 5 yol, A dan C ye B ye uğramadan yol vardır. a) A dan C ye kaç arklı yolla gidilebilir? b) A dan C ye kaç arklı yolla gidip dönülebilir? A B C A B C - 7 permütasyon kombinasyon olasılık - 7 permütasyon kombinasyon olasılık a) direk yollar veya gibi düşünülmelidir, B den geçen yollar ise ve gibi, ardı ardına yapılan yani yani; 4 yol ile B ye ve 5 yol ile C ye veya yol ile C ye direk gidilir iadesinin matematiksel hali; 4A 5 + = olur. b) A = Örnek A kentinden B kentine 4 yol, B kentinden C kentine 5 yol, A dan C ye B ye uğramadan, C den de D ye 3 yol vardır. a) A dan D ye kaç arklı yolla gidilebilir? b) A dan D ye kaç arklı yolla gidip dönülebilir? A B C D a) 4 A 5 A 3 + A 3 = 66 b) 66 A 65 = Örnek 4579 sayısındaki rakamlar kullanılarak; a) 5 basamaklı kaç arklı sayı? b) 4 basamaklı kaç arklı sayı? c) 5 basamaklı ve her rakam bir kez kullanılarak(tekrarsız) kaç arklı sayı? d) 6 basamaklı kaç arklı sayı? e) rakamları tekrarsız 6 basamaklı kaç arklı sayı? ) 3 basamaklı kaç çit sayı? g) 4 basamaklı kaç tek sayı? h) rakamları tekrarsız 5 basamaklı kaç tek sayı? elde edilir? Tekrarsız olarak belirtilmemiş ise bir rakamı istediğimiz kadar kullanabiliriz anlamını çıkarmalıyız. a) Her kutuya 5 ihtimal var istenen; 5 5 b) basamağa da 5 er ihtimal var istenen; 5 4 c) İlk kutuya 5 ihtimal,. kutuya bir sayı kullanıldığından 4 ihtimal vs.. mantığı ile (daha önce de aynı yaklaşımda soru çözmüştük) istenen; 5! dir. d) istenen; 5 6 7

8 e) 5 sayı olduğundan 6 basamaklı rakamlar tekrarsız sayı yazmamız mümkün değildir cevap sıır. ) 5 5 Birler basamağına ile 4 gelmelidir, diğer,4 basamaklara 5 rakam da gelir. istenen; 5 A 5 A = 50 g) ,7,9 h) ,7,9 1.. Örnek istenen; 5 A 5 A 5 A 3 = ler basamağına 3 ihtimal var diğerleri 1 er azalarak gider; 4A 3 A A 3 = sayısındaki rakamlar en azla sayıdaki adetleri kadar kullanılarak; a) 8 basamaklı kaç arklı sayı? b) 7 basamaklı kaç arklı sayı? c) 8 basamaklı kaç arklı çit sayı? elde edilir? a) tekrarlı permütasyon olarak düşünmeliyiz; 8! 8 A 7 A 6 A 5 A 4 A 3! = = 8 A 7 A 6 A 5 A = !A! 3!A! 7! 7 A 6 A 5 A 4 A 3! b) hariç; = = 7 A 6 A 5 A = 40 3!A! 3!A! 7 hariç ve 9 hariç durumlarda aynı 40 A 3 = 160 7! 7 A 6 A 5 A 4 A 3 A! 4 hariç; = = 7 A 6 A 5 A 3 A = 160!A!!A! 5 hariç; 7! 7 A 6 A 5 A 4 A 3! = = 7 A 6 A 5 A 4 = 840 3! 3! =3360 P(n,n)=P(n,n-1) olduğundan a şıkkı ile aynı durumdur c) 4 ile biten; 160 (b şıkkında hesaplandı) ile biten; 40 istenen; = Örnek 3 öğretmen 5 öğrenci ; a) kaç arklı şekilde sıralanır? b) öğretmenler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanır? c) öğrenciler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanır? - 8 permütasyon kombinasyon olasılık - 8 permütasyon kombinasyon olasılık a) 8! b) öğretmenleri tek elemen olarak düşünürsek, 5 de öğrenci olduğundan 6 eleman olur, ayrıca öğretmenler kendi aralarında 3! arklı sıra oluştururlar 6! A 3! c) b şıkkı ile aynı mantıkta düşünürsek; 4!. 5! 1..4 Örnek A={1,,3} kümesindeki rakamlar kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı tüm sayıların toplamı kaçtır? Tekrarsız denmediği için bir rakamı istediğimiz kadar kullanabiliriz dolayısı ile; 1 ler basamağı 9 A A + 9 A 3 = 9 A 6 = lar basamağı 9A 6 = 54 tane 10 ise ler basamağı 54 tane 100 ise = Örnek R={0,,4,9} kümesindeki rakamlar kullanılarak yazılabilecek kaç arklı 3 basamaklı sayı vardır? yüzler basamağına gelemez diğer basamaklara gelebilir; 3 A 4 A 4 = 48 sayı vardır Örnek 4 top 10 kutuya kaç arklı şekilde atılabilir? = 7 adet sayı elde edebiliriz. Bu sayılarda basamaklara A kümesinin elemanları eşit sayıda bulunacaktır yani 9 tane 1, 9 tane, 9 tane 3 olacaktır. her top için 10 ihtimal olduğundan istenen; 10 A 10 A 10 A 10 = Örnek 4 top 10 kutuya, bir kutuya en azla bir top atılmak koşulu ile kaç arklı şekilde atılabilir? 8

9 - 9 permütasyon kombinasyon olasılık 1. top için 10 ihtimal,. top için 9 ihtimal, şeklinde düşünülürse istenen; 10 A 9 A 8 A 7 = Örnek A sınıında 10, B sınıında 7, C sınıında resme yetenekli 5 öğrenci vardır. Bunlar arasından iki öğrenci A sınıından olmak üzere resme yetenekli 4 öğrenci seçilecektir, bu seçim kaç arklı şekilde yapılabilir? Sırasıyla A-A-B-C sınılarından seçelim dolayısı ile sıra önemlidir ve çarpım söz konusudur; [ 10 A 9 A 7 A 5 = permütasyon kombinasyon olasılık 9

10 - 10 permütasyon kombinasyon olasılık 1.3 PEKİŞTİRME SORULARI bölümlerini anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlamanız gerekmektedir. 1) Aşağıdakilerden hangileri tanımsızdır? ) 3) I. 0! II. (-1)! III. (-n+5)!, n>6 IV. (-n+5)!, n<4 5! =? 3! k! =? 1! 4) Sonu sıır ile biten en küçük aktöriyel kaçtır? 5) ` a ` a n + 1 A n! ` a = 4 [ n =? n A 6) 40! içinde a) 3 çarpanı kaç tanedir? b) 4 çarpanı kaç tanedir? 7) 55! = 15 a A b, a,b N denklemini sağlayan en büyük a sayısınız bulunuz. 8) 100! sayısının sondan kaç basmağı sıırdır? 9) Permütasyon ne demektir? Tanımlayınız. 10) 1 = abc g, = abc g ise acb abc a) 1 N =? b) 1 =? 11) Bir işlemin bir küme üzerinde grup olabilmesi için gerekli şartlar nelerdir? 1) anakara kelimesindeki harler sıralanarak a ile başlayan kaç arklı 7 harli diziliş elde edilir 13) 1 = adcb g = ve 1 N 3 = ise 3 =? cadb bacd 14) Sonu sıır ile biten en küçük aktöriyel kaça eşittir? 15) A={a,b,c} kümesi üzerinde tanımlı permütasyonları yazınız. 1 = abc g, = abc g, 3 = abc g, 4 = abc g, abc 5 = abc g, 6 = abc g 16) tencere kelimesindeki harlerin tümü kullanılarak kaç arklı diziliş elde edilebilir? 17) tencere kelimesindeki harler kullanılarak 6 harli kaç arklı diziliş elde edilebilir? 18) A={1,,4} kümesindeki rakamlar kullanılarak yazılabilecek iki basamaklı tüm sayıların toplamı kaçtır? - 10 permütasyon kombinasyon olasılık 10

11 - 11 permütasyon kombinasyon olasılık 19) A kentinden B kentine 5 yol, B kentinden C kentine 6 yol, A dan C ye B ye uğramadan 3 yol vardır. a) A dan C ye kaç arklı yolla gidilebilir? b) A dan C ye kaç arklı yolla gidip dönülebilir? 0) 4 öğretmen 6 öğrenci; a) kaç arklı şekilde sıralanır? b) öğretmenler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanır? c) öğrenciler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanır? 1) sayısındaki rakamlar en azla sayıdaki adetleri kadar kullanılarak; a) 9 basamaklı kaç sayı elde edilir? b) 8 basamaklı kaç sayı elde edilir? 1.4 DÖNEL PERMÜTASYON Yanyana dizilişte ABC, CAB, BCA arklı iken dönel sıralamada aynı olmaktadır yani tek durum olur; Örnek Anne, baba ve 3 çocuk için; Dolayısı ile arklı durum azalmaktadır, bir eleman sabitlenerek diğer elemanlar yanyana sıralanıyor gibi düşünülebilir. O halde n elemanın dönel sıralanışı ; (n-1)! olur a) kaç arklı şekilde sıralanırlar? b) yuvarlak masa etraında kaç arklı şekilde sıralanırlar? c) anne ile baba yanyana olmak şartı ile yuvarlak masa etraında kaç arklı şekilde sıralanırlar? d) çocuklar yanyana olmak şartı ile yuvarlak masa etraında kaç arklı şekilde sıralanırlar? a) herhangi bir şart olmadığından yanyana sıralama söz konusu; 5!=10 b) (5-1)!=4!=4 c) anne ile baba tek eleman gibi düşünülebilir, ayrıca yer de değiştirebileceklerinden! ile de çarpım gelir, istenen; ` a 1! A! = 3!A! = 1 başka bir mantıkla düşünelim; anne babayı sabitleyelim, gerikalanlar 3!, anne baba yer değişimi! ise sonuç; 3!A! = 1 olur. d) bu şıktaki durum c şıkkı ile aynıdır çünkü anne baba yanyana ise çocuklar da yanyana olacaktır cevap yine 1 olur Örnek 3 evli çit yuvarlak masa etraında; a) hiçbir ek koşul olmadan; b) belli bir çit yanyana olmak üzere; c) iki bayan yanyana olmamak üzere; d) tüm evli çitler yanyana olmak üzere kaç arklı şekilde sıralanır? a) (6-1)!=5!=10 b) çiti sabitleyelim; kalanlar 4!, çitimiz! ise; 4! A! = 48 c) 3 kişiyi sabitleyelim kalanlar; 3!, üç kişi 3! ise 3! A 3! = 36 d) B E B E e) BE BE E B BE sabit sabit Bayanlardan birini sabit düşünelim; kalan bayan!, 3 erkek 3! ise;! A 3! = 1 Çitleri tek eleman gibi düşünebiliriz her biri! kendi içinde sıralanır, gruplar da! Olarak sıralanır;! A!A!A! = Taban Olmadan Dönel Sıralama Yuvarlak anahtarlık, bilezik gibi yuvarlak nesneler üzerindeki sıralamada ön ve arkadan bakma söz konusu olduğundan arklı diziliş sayısı yarıya iner, n eleman var ise; ` a 1! arklı şekilde sıralanır permütasyon kombinasyon olasılık 11

12 - 1 permütasyon kombinasyon olasılık Örnek 4 anahtar yuvarlak maskotsuz anahtarlığa; a) ek koşul olmadan; b) belli ikisi yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sırlanır? ` a 1! a) = 3 ` b) belli ikisi tek eleman gibi düşünülür; 1 a! A! = KOMBİNASYON Kümeler konusunda da bahsi geçen kombinasyon kavramında permütasyondaki gibi sıralama önemli değildir. Kombinasyon sadece seçme mantığına dayanır, permütasyonda ise hem seçme hem de sıralama söz konusudur. Bir kümenin her alt kümesine o kümenin bir kombinasyonu denir. Örneğin A={a,b,c} kümesinin permütasyon ve kombinasyonlarını bulalım; permütasyon kombinasyon O elemanlı 1 elemanlı {a},{b},{c} {a},{b},{c} elemanlı {a,b},{b,a},{a,c}, {c,a},{b,c},{c,b} {a,b},{a,c},{b,c} 3 elemanlı {a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {a,b,c} {c,a,b}, {c,b,a}.1.1 n Elemanlı Bir Kümenin r Elemanlı Kombinasyonu de de belirttiğimiz gibi kombinasyon ormülümüz; g ` a n n n! C n,r = = C r = ` a şeklindedir. r elemanın sıralanışlarını elemek için r! ile permütasyon ormülü bölünerek r r! A r! de bulunabilir. g 5 5 A 4 A 3! = ` a = 10 veya 5 ten geri gidip(5 dahil)! İle A! bölme olarak da düşünebiliriz; g 5 = 5 A 4 A = 10! İspat g n r - 1 permütasyon kombinasyon olasılık = n g r dir. yani g 5 3 = 5 g, g n n! = ` a (1) r r! A r! g n n! n! = b ` ac ` a = ` a () r r! A r! r! A r! (1)=() olduğundan istenilen ispatlanmıştır..1. Örnek a) 10 g =? b) 8 g 8 8 =? c) 4 7 a) 10 g = 10 g = 10 A 9 = 45 8! b) 8 g = 8 A 7 A 6 A 5 = 7 A A 5 = ! c) 8 g = 8 g = 8 = ! g n d) = n g = n Örnek g =? d) g 10 4 g n =? 1 4 elemanlı bir kümenin tüm kombinasyonlarının sayısı kaçtır? Tüm kombinasyonlar tüm alt kümeler demek olduğundan istenen tüm alt kümelerin sayısıdır. 4 = Örnek = 10 g gibi 6 1

13 30 kişilik bir sınıtan 3 kişilik kaç arklı izci grubu oluşturulabilir? Burada 30 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümeleri söz konusudur, istenen; g A 9 A 8 = = 5 A 9 A 8 = !.1.5 Not Eğer bu 30 kişiden bir başkan bir yardımcı seçilse idi, sıra önemli olacak ve permütasyon söz konusu olacaktı..1.6 Örnek 7 kişilik bir sınıtan en az kişilik kaç arklı izci grubu o- luşturulabilir? Burada,3,4,5,6 ve 7 kişilik seçimlerin sayısını bulmalıyız ama bu biraz zaman alır. Daha pratik yapmak için tüm alt kümelerden 0 ve 1 elemanlı olanlarını da çıkarabiliriz geriye istediklerimiz kalacaktır, istenilen; 7 7 g = 7 = Örnek 6 arklı nokta en azla; a) kaç arklı doğru belirtir? b) köşeleri bu noktalar olan kaç arklı üçgen belirtir? - 13 permütasyon kombinasyon olasılık Şekilde görüldüğü gibi herhangi nokta bir doğru, herhangi 3 nokta bir üçgen belirtmektedir permütasyon kombinasyon olasılık İstenilenlerin en azla olabilmesi için noktaların herhangi üçünün doğrusal olmaması gerekir (çembersel olarak düşünebiliriz). g 6 a) = 6 A 5 = 15! g 6 b) = 6 A 5 A 4 = 0 3 3!.1.8 Örnek Bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı 5 elemanlı kombinasyonlarının sayısına eşittir. Bu kümeden kaç arklı 5 kişilik grup seçilebilir? g 5+=7 elemanı vardır 1 7, istenen; = 7 g = 7 A 6 = Örnek Bir çember üzerindeki 6 noktanın belirttiği doğrular çember içinde en azla kaç noktada kesişir?.1.10 Örnek Şekilde görüldüğü gibi herhangi dört nokta çember içinde kesişim sonucu oluşmuş bir nokta belirtir.istenen; g 6 = 6 g = 6 A 5 = tane kendi arasındaki paralel doğrudan herhangi ikisi ve 4 tane kendi arasında paralel doğruda tanesi bir paralel kenar belirtir, istenen; g 1 7 = 7 5 g olduğuna dikkat Yandaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır? 13

14 g 6 A 4 g = 6 A Örnek 4 A 3 A = 15 A 6 = 90 6 erkek 8 kız öğrenciden oluşan topluluktan; a) 3 erkek kız bulunan 5 kişilik, b) en az 3 erkek bulunan 6 kişilik kaç arklı grup seçilebilir? a) sıra önemli değil, 6 erkekten 3 erkek seçimi ve 8 kızdan kız seçimi var, istenen; g g 6 8 A = 6 A 5 A 4 8 A 7 A = 0 A 8 = !! b) erkek Q E, kızq K ile gösterilsin bu şık için seçimler; 3E-3K, 4E-K, 5E-1K, 6E şeklinde olmaktadır o halde istenen; g g 6 8 A + 6 g g 8 A + 6 g g g = 0 A A A = Örnek 0,1,,4,5 rakamları kullanılarak 500 den küçük kaç çit sayı yazılabilir? Sayı 1, veya 3 basamaklı olabilir; 1 basamaklı; 3 tane basamaklı; 4 3 [ 4 A 3 = 1 tane 3 basamaklı; [ 3 A 5 A 3 = 45 tane 1,,4 Toplam; 60 sayı yazılabilir Örnek 0,,5,7,8 rakamları kullanılarak 3 basamaklı, rakamları arklı kaç sayı yazılabilir? [ 5 A 4 A 3 = [ 1 A 4 A 3 = 1 0 İstenen; 60-1=48 0 ın başta olduklarını çıkaralım; - 14 permütasyon kombinasyon olasılık.1.14 Örnek bk permütasyon kombinasyon olasılık 0,1,,3,4 rakamları kullanılarak 4 basamaklı 4 ile bölünebilen kaç sayı yazılabilir? 4 ile bölünebilme için son iki basamak önemlidir, son iki basamağı grup olarak tek eleman gibi düşünebiliriz, o halde 3 basamaklı gibi olur; sonu 00,04,1,4,3,40,44,0 ile bitebilir (5 tane).1.15 Örnek 3 izik, 5 matematik, 3 Türkçe kitabı aynı tür kitaplar yanyana gelmek koşulu ile kaç arklı şekilde raa dizilir? F F F M M M M M T T T Fizikler kendi aralarında 3! Matematikler kendi aralarında 5!, Türkçeler kendi aralarında 3! sıralanır ayrıca 3 grup da 3! sıralanır, istenen; 3! A 3!A 5!A 3! olur Örnek 7 kişilik grup, grubun elemanı olan Rasim tam ortada olmak kaydıyla yanyana kaç arklı şekilde oturabilir? Ortadaki hariç diğerleri yer değiştirecektir; 6!.1.17 Örnek 14 doğru ile en azla kaç paralelkenar oluşturulabilir? [ 4 A 5 A 8 = 160 S 0 gelemez şer paralel 4 doğrunun bir paralelkenar belirttiğini görmüştük dolayısı ile 14 doğru kendi içlerinde paralel olan gruba ayrılmalı ama bu grupların ikili kombinasyonları çarpımı en 14

15 - 15 permütasyon kombinasyon olasılık azla olmalıdır, bunun için gruptaki doğru sayıları birbirine yakın seçilir; 7+7=14; 7 şerli iki gruba ayırırız; istenen; g g 7 7 A = 7 A 6 7 A 6 A = 441. PEKİŞTİRME SORULARI arası bölümleri anlamış olmanız için aşağıdaki soruları doğru yanıtlayabilmeniz gerekmektedir. 1) n eleman kaç arklı şekilde dönel sıralanır? ) n boncuk bir bileziğe kaç arklı şekilde dizilir? 3) Anne, baba ve 4 çocuk için; a) kaç arklı şekilde sıralanırlar? b) yuvarlak masa etraında kaç arklı şekilde sıralanırlar? c) anne ile baba yanyana olmak şartı ile yuvarlak masa etraında kaç arklı şekilde sıralanırlar? d) çocuklar yanyana olmak şartı ile yuvarlak masa etraında kaç arklı şekilde sıralanırlar? 4) 4 evli çit tüm çitler yanyana olmak kaydıyla kaç arklı şekilde sıralanır? 5) 5 anahtar yuvarlak bir anahtarlığa, belli üç tanesi yanyana olmak üzere, kaç arklı şekilde sıralanır? 6) Kombinasyon nedir? Tanımlayınız. 7) A={1,,3} kümesinin tüm permütasyon ve kombinasyonlarını yazınız. 8) n Elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonu ile ilgili ormülü yazınız. 9) a) 10 g =? b) 9 g 8 7 =? c) 6 g =? d) g n + 1 =? 1 10) 5 elemanlı kümenin en az 3 elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır? 11) 17 kişilik topluluktan 5 kişilik kaç arklı grup seçilebilir? 1) 10 kişilik topluluktan en az 3 kişilik kaç arklı grup seçilebilir? 13) Bir çember üzerindeki 7 noktanın belirttiği doğrular çember içinde en azla kaç noktada kesişir? 14) O elemanlı 1 elemanlı elemanlı 3 elemanlı permütasyon kombinasyon Yandaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır? 15) 10 doğru kullanılarak en azla kaç paralelkenar elde edilir? - 15 permütasyon kombinasyon olasılık 15

16 16) 0,,4,6,8,7 rakamları kullanılarak 1000 den küçük kaç doğal sayı elde edilir? - 16 permütasyon kombinasyon olasılık 17) 1,,3,4 rakamları kullanılarak ile bölünebilen 3 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? 18) 0,1,3,4,5 rakamları kullanılarak 4 basamaklı 4 ile bölünebilen kaç doğal sayı yazılabilir? 19) 4 biyoloji, 5 kimya kitabı, biyoloji kitapları yanyana olmak kaydıyla kaç arklı şekilde yanyana dizilebilir? 0) 6 kişilik bir grup grubun belli iki eleman yanyana olmak üzere kaç arklı şekilde yuvarlak masa etraında oturur? - 16 permütasyon kombinasyon olasılık 16

17 3-D 4-E 5-A 8 -B 9 -D.3 lü Test 1) ) 3) 10!@ 8! =? 1 7! A) 147 B)5 C) 71 D) 103 E)! 1! =? k + 1! A) 1 1 B) C) k D) k+1 E) k-1 k + 1 A k k + 1 A k n! ` a = 84 3 olduğuna göre n=? 3! A 4 A) 14 B)1 C) 10 D) 8 E) 6 4) 100! Sayısının sondan kaç basamağı sıırdır? 4 A) 11 B)10 C) 1 D) 5 E) 4 5) 5! = 1 a A b ve a,b N olduğuna göre a yerine gelebilecek doğal sayıların toplamı kaçtır? 5 A) 76 B)3 C) 53 D) 50 E) 4 1-E -A 3-D 4-E 5-A -A - 17 permütasyon kombinasyon olasılık - 17 permütasyon kombinasyon olasılık 6) 5 elemanlı bir kümede tanımlanabilecek permütasyonların sayısı kaçtır? 6 A) 4 B)10 C) 3 D) 64 E)119 7) 1 = abcd g abcd, =, 3 = abcd g dcab dcab acdb d permütasyonları için; 1 N 3 N =? 7 g g g abcd abcd abcd A) B) C) acdb bcabda g g abcd abcd D) E) abcd adbc 8) Aşağıdakilerden hangisi permütasyon olamaz? 8 g g g axce abcd 1c A) B) C) acex bca 1 g g abcd s c ç D) E) abcd csç 9) Aşağıdakilerden hangisi birim permütasyondur? 9 g g g axce acd 1c A) B) C) acex bca c 1 g g bid s c ç D) E) bid csç 6-B 7-E 8-B 9-D 7-E 17

18 1 -e 13-C 14-D 17-B 18-D 19-B - 18 permütasyon kombinasyon olasılık 10) TENCERE kelimesindeki harlerin hepsi birden kullanılarak kaç arklı diziliş elde edilir? 10 15) A dan D ye kaç arklı yolla gidilip dönülebilir? 15 A) 40 B)480 C) 840 D) 10 E)110 11) 4035 sayısının rakamları ile 5 basamaklı kaç çit sayı yazılabilir? 11 A) 60 B)80 C) 70 D) 36 E)54 1) 10 kişilik bir gruptan 1 başkan 3 üye kaç arklı şekilde seçilir? 1 A) 10 B)60 C) 40 D) 10 E)840 ` a 13) P n, = n + 5 A P 1,1 ise p(n+1,)=? 13 A) 30 B)60 C) 30 D) 0 E) 5 A kentinden B kentine 5 yol, B kentinden C kentine 4 yol, A dan C ye B ye uğramadan 3, C den de D ye 4 yol vardır. (takib eden soru için) 14) A dan D ye kaç arklı yolla gidilebilir? 14 A) 30 B)60 C) 95 D) 9 E) C 11-A 1-E 13-C 14-D 11 -A - 18 permütasyon kombinasyon olasılık A) 8464 B)6400 C) 43 D) 300 E) sayısındaki rakamlar en azla sayıdaki a- detleri kadar kullanılarak;(takib eden 3 soru için) 16) 9 basamaklı kaç arklı sayı yazılabilir elde edilir? 16 A) 5040 B)1510 C) 400 D) 300 E) ) 8 basamaklı kaç arklı sayı elde edilir? 17 A) 5040 B)1510 C) 400 D) 300 E) ) 9 basamaklı kaç arklı çit sayı elde edilir? 18 A) 3030 B)60 C) 5040 D) 3360 E) ) A={0,,3} kümesindeki rakamlar kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı tüm sayıların toplamı kaçtır? 19 A) 5000 B) 4830 C) 4990 D) 4985 E) A 16-B 17-B 18-D 19-B 16-B 18

19 -E 3-B 4-A 7 -C 8-E 9-D 0) 3 mektup 5 posta kutusuna her posta kutusuna en azla bir mektup atılmak suretiyle kaç arklı şekilde atılabilir? 0 A) 15 B) 7 C) 80 D) 40 E) 60 1) 4 mektup 5 posta kutusuna, her posta kutusuna en azla mektup atmak koşulu ile kaç arklı şekilde atılabilir? 1 A) 10 B) 540 C) 600 D) 360 E) 660 ) İçlerinde evli çit olan 7 kişi, yuvarlak masa etraına evli çitler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanır? A) 10 B) 4 C) 60 D) 48 E) 96 3) Aynı renklerin özdeş olduğu 3 mavi sarı boncuk bir bileziğe kaç arklı şekilde dizilebilir? 3 A)3 B) C) 4 D) 5 E) 6 4) Bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 4 elemanlı kombinasyonlarının sayısına eşittir. Bu kümeden kaç arklı bir başkan üyeden oluşan 3 kişilik grup seçilebilir? 4 A) 5 B) 504 C) 84 D) 56 E) E 1-B -E 3-B 4-A 1-B - 19 permütasyon kombinasyon olasılık - 19 permütasyon kombinasyon olasılık 5) Bir çember üzerindeki 10 nokta birleştirilerek doğrular elde ediliyor. Bu doğrular çember içerisinde en azla kaç noktada kesişirler? 5 6) A) 45 B) 10 C) 80 D) 400 E) A) 45 B) 4 C) 80 D) 40 E) 53 7) 0,,4,5,8,9 rakamları kullanılarak, den büyük, rakamları arklı 6 basamaklı kaç sayı yazılabilir? 7 A) 405 B) 40 C) 480 D) 40 E) 80 8) 0,3,5,8 rakamları kullanılarak 4 ile bölünebilen kaç 4 basamaklı arklı sayı yazılabilir? 8 A) 40 B) 4 C) 48 D) 40 E) 48 9) 3 izik, 5 matematik, 4 Türkçe kitabı izik kitapları yanyana gelmemek koşulu ile kaç arklı şekilde raa dizilir? 9 A) 1! B) C 9,3 A 3!A 9! C) C 10,3 A 9! D) C 10,3 A 3!A 9! E) 3! A 9! 5-B 6-E 7-C 5-E 9-D 6-E Yandaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır? 19

20 3-A 33-B 34-D 37-E 38-A 30) 8 kişilik grup, grubun belli iki elemanı tam ortada olmak kaydıyla yanyana kaç arklı şekilde oturabilir? 30 A) 1440 B) 10 C) 800 D) 540 E) ) 1 kişilik grup, en önde 3, ortada 4 arkada 5 olmak üzere 3 sıra halinde dizileceklerdir, kaç arklı diziliş elde edilir? 31 A) 3! A 4! B) 3! A 4!A 5! C) 1! D) C 1,3 A C 9,4 Takip eden iki soru için 4 kırmızı, 5 mavi, 3 sarı top bulunan bir torbadan; 3) Farklı renkli 3 top kaç arklı şekilde seçilebilir? 3 A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) permütasyon kombinasyon olasılık E) 10 33) Farklı renkleri içeren 5 top kaç arklı şekilde seçilebilir? 33 A) 160 B) 175 C) 87 D) 90 E) 00 34) 6 tanesi d doğrusu üzerinde, 5 tanesi k doğrusu üzerinde olan 11 noktayı köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir? 34 A) 170 B) 175 C) 140 D) 135 E) A 31-C 3-A 30-B 34-D 31-C 35) - 0 permütasyon kombinasyon olasılık 35 A) 160 B) 70 C) 100 D) 90 E) ) İki basamağı tek, iki basamağı çit olan 4 basamaklı rakamları arklı kaç sayı yazılabilir? 36 A) 8080 B) 160 C) 1008 D) 1100 E) 10 37) 10 kişilik grubun katıldığı yarışmada en başarılı 4 kişi yuvarlak masada yemek yiyecektir. Masada kaç arkı diziliş olabilir? 37 A) 180 B) 90 C) 100 D) 1100 E) ) 6 kişilik grubun katıldığı yarışmada en başarılı 4 kişi yuvarlak masada yemek yiyecektir.ayrıca 3 çeşit yemek vardır, çeşit yemek seçilecektir, kaç arklı durum oluşabilir? 38 A) 10 A3 6 B) 5 A3 6 C) 4! A 3 D) 6! A 3! E) E 36-B 35-E 38-A 36-B Yandaki şekilde kaç tane üçgen vardır? 0

21 40-D 41-D 4-A 43-B 46-A 47-E 39) C n,4 + C n, + C n,3 = n - 1 permütasyon kombinasyon olasılık olduğuna göre C(n,5)=? 39 A) 6 B) 4 C) 1 D) 1 E) 56 40) 5 çember en azla kaç noktada kesişebilir? 40 A) 1 B) 10 C) 4 D) 0 E) 10 41) 4 çember, içiçe olmamak ve herhangi ikisi en az bir noktada kesişmek şartı ile en az kaç noktada kesişir? 41 A) B) 1 C) 6 D) 3 E) 5 4) Düzlemdeki 10 doğrudan 4'ü bir noktada, 5'i başka bir noktada kesişmektedir. bu doğrular en azla kaç noktada kesişirler? 4 A) 31 B) 41 C) 5 D) 30 E) 35 43) 3 öğretmen 5 öğrenci, 4 kişi önde 4 kişi arkada ve öğretmenler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanabilir? 43 A) 1440 B) 880 C) 50 D) 70 E) C 40-D 41-D 39-A 43-B - 1 permütasyon kombinasyon olasılık 44) 14, 1 ve 10 kişilik 3 grup dağ yürüyüşü için belli bir yerde buluşacaklardır. Ancak daha önce her gruptan 1 kişinin katılımı ile 3 kişilik bir öncü grubu göndereceklerdir. Öncüler kaç arklı şekilde seçilebilir? 44 A) 140 B) 80 C) 50 D) 1680 E) ) A 6 elemanlı bir küme ve x A olduğuna göre, A nın x elemanın bulunduğu kaç tane 4 lü permütasyonu vardır? 45 A) 40 B) 80 C) 10 D) 60 E) 35 46) A={1,,3,4,5} kümesinin elemanları ile tek ve çit sayıların kendi aralarında soldan sağa küçükten büyüğe sıralı olduğu (tek ve çit sayıların yanyana zorunluluğu olmadan) kaç arklı 5 basamaklı sayı elde edilir? örneğin; 1345 veya A) 10 B) 0 C) 1 D) 6 E) 5 47) 4 mühendis, 3 doktor, 5 öğretmen arasından her meslekten 1 kişi bulunduran 3 kişi seçilecektir. Bu üç kişi katılacakları koneransta yanyana oturacaklardır. Küs olan bir doktor ile bir öğretmenin yanyana olmadığı kaç arklı durum oluşabilir? 47 A) 104 B) 00 C) 130 D) 604 E) D 45-A 46-A 47-E 45-A 1

22 50-B 51-C 48) 3 kız 3 erkek aynı cinsiyetten olanlar yanyana olmamak üzere kaç arklı şekilde yanyana otururlar? 48 A) 78 B) 104 C) 13 D) 64 E) 7 49) 3 kız 3 erkek aynı cinsiyetten olanlar yanyana olmamak üzere kaç arklı şekilde yuvarlak masada otururlar? 49 A) 1 B) 14 C) 5 D) 66 E) 7 Takip eden soru için; Özdeş 1 kırmızı, 3 mavi, 3 siyah bilyemiz var; 50) Yanyana kaç arklı şekilde sıralanabilir? 50 A) 5 B) 140 C) 50 D) 66 E) 7 51) Çembersel kaç arklı şekilde sıralanabilir? 51 A) 18 B) 140 C) 0 D) 60 E) 7 48-E 49-A 50-B 51-C 49-A - permütasyon kombinasyon olasılık 5) A 53). 5-D 53-A - permütasyon kombinasyon olasılık B Çizgiler üzerinde ilerleyerek A dan B ye kaç arklı şekilde gidilebilir? 5 A) 118 B) 140 C) 0 D) 16 E) 400 Şekildeki kutucuklara 1 den 4 e kadar rakamlar, her satır ve sütuna en azla bir rakam gelmek kaydı ile kaç arklı şekilde yerleştirilebilir? 53 A) 880 B) 576 C) 00 D) 160 E) 400

23 - 3 permütasyon kombinasyon olasılık.3.1 ler 1) ) 3) 10!@ 8! =? 7! 10!@ 8! 10 A 9 A 8!@ 8! = = 89 A 8 = 71 yanıt C 7! 7! 1! =? k + 1! 1! 1! 1 = = yanıt A k + 1! k + 1 A k A 1! k + 1 A k n! ` a = 84 olduğuna göre n=? 3! A 4 ` a ` a ` a n! n A 1 A A 3! ` a = ` a = 84 A 4 3! A 4 3! ` a ` a n A 1 A = 6 A 7 A 8 [ n = 8 yanıt D 4) 100! Sayısının sondan kaç basamağı sıırdır? 4 basamağı sıırdır yanıt E 5) 5! = 1 a A b ve a,b N olduğuna göre a yerine gelebilecek doğal sayıların toplamı kaçtır? 49 tane demek 4 tane 4 demektir, ayrıca 3 tane de 3 var, dolayısı ile en azla 3 tane 1 çarpımı söz konusu a en azla 3 olabilir, 1 den 3 e kadar değerler olabilir. 3 A = = 76 yanıt A 6) 5 elemanlı bir kümede tanımlanabilecek permütasyonların sayısı kaçtır? 5!=10 yanıt B 7) 1 = abcd g abcd, =, 3 = abcd g dcab dcab permütasyonları için; 1 N 3 N =? abcd = [ = abcd g dcadba 1 = abcd g abcd [ 1 = dcab g g abcd abcd 1 N 3 N = N N abcd g cdba acddba yanıt E 8) = abcd g adbc g abcd görüldüğü gibi B şıkkında alt sırada d yoktur bcab dolayısı ile permütasyon olamaz. yanıt B 9) Her eleman kendine gitmelidir yanıt D 10) Tekrarlı permütasyon söz konusu; 7! = 840 yanıt C 3! 11) 4035 sayısının rakamları ile 5 basamaklı kaç çit sayı yazılabilir? 0 ile biten [ 4! = 4 tane veya 4 ile biten (başa tane gelemez) Toplam; 4+36=60 1) 10 kişilik bir gruptan 1 başkan 3 üye kaç arklı şekilde seçilir? 3 üye seçiminde sıra önemsizdir, 4 kişiyi sıra önemli gibi seçip 3 kişi için sıra önemsiz olduğundan 3! ile bölebiliriz; 10 A 9 A 8 A 7 = 840 yanıt E 3! ` a b c 13) P n, = n + 5 A P 1,1 ise p(n+1,)=? ` a ` a ` a n A 1 = 1 A n + 5 [ n = 5 b p 6, c = 6 A 5 = 30 yanıt C yanıt A A kentinden B kentine 5 yol, B kentinden C kentine 4 yol, A dan C ye B ye uğramadan 3, C den de D ye 4 yol vardır. (takib eden soru için) 14) A dan D ye kaç arklı yolla gidilebilir? - 3 permütasyon kombinasyon olasılık 3

24 A--5--B--4--C--4--D 3 yanıt D ` a 5 A 4 A 4 = 80 D ` a 3 A 4 = 1 D 80+1=9 15) A dan D ye kaç arklı yolla gidilip dönülebilir? 9 A 9 = 8464 yanıt A Aşağıdaki paragra TAKİB EDEN 3 SORU içindir; sayısındaki rakamlar sayıdaki adetleri kadar kullanılarak; 16) 9 basamaklı kaç arklı sayı yazılabilir elde edilir? 9!!A!A 3! = 1510 yanıt B 17) 8 basamaklı kaç arklı sayı elde edilir? 3 hariç 8! = 3360!A 3! 4 hariç 3 ile aynı hariç 8! = 5040!A!A! 7 hariç 8! = 1680!A!A 3! 9 hariç 7 ile aynı 1680 toplam 1510 burada tek tek hesaplamamızın nedeni bir nevi ispat için idi, n elemanın n inin sıralanışı ile n-1 inin sarılanış adedi aynıdır, o halde istenen; 9! = 1510 yanıt B!A!A 3! 18) 9 basamaklı kaç arklı çit sayı elde edilir? 8! 4 ile bitecektir, = 3360 yanıt D!A 3! 19) A={0,,3} kümesindeki rakamlar kullanılarak yazılabilecek üç basamaklı tüm sayıların toplamı kaçtır? Başa sıır gelemez; 3 3 [ A 3 A 3 = 18 tane sayı yazılabilir. 1 ler basamağı; 6 tane 6 tane 3 ` a 6 tane 0 [ 6 A + 3 = lar basamağı; 1 ler basamağı ile aynı basamak değeri 10 ile çarpmak yeterli; [ 30 A 10 = ler basamağı; 9 tane 9 tane 3 ` a [ 9 A + 3 = 45 [ 45 A 100 = 4500 toplam =4830 yanıt B - 4 permütasyon kombinasyon olasılık - 4 permütasyon kombinasyon olasılık 0) 3 mektup 5 posta kutusuna her posta kutusuna en azla bir mektup atılmak suretiyle kaç arklı şekilde atılabilir? 1. mektup için 5 ihtimal. mektup için 4 ihtimal 3. mektup için 3 ihtimal 1) 4 mektup 5 posta kutusuna, her posta kutusuna en azla mektup atmak koşulu ile kaç arklı şekilde atılabilir? ) İçlerinde evli çit olan 7 kişi, yuvarlak masa etraına evli çitler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanır? Evli çitleri birer kişi gibi düşünelim; bir kişi de sabitlenirse; 4!; çitler kendi içinde yer değiştirebilir;!a![ istenen; 4!A!A! = 96 yanıt E 3) Özdeş 3 mavi sarı boncuk bir bileziğe kaç arklı şekilde dizilebilir? Ya sarı yanyana olacaktır veya olmayacaktır, dolayısı ile arklı diziliş olur. yanıt B 4) Bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 4 elemanlı kombinasyonlarının sayısına eşittir. Bu kümeden kaç arklı bir başkan üyeden oluşan 3 kişilik grup seçilebilir? 5+4=9 elemanlıdır; 9 A C 8, = 5 yanıt A 5A 4 A 3 = 60 arklı şekilde yanıt E Hepsi arklı kutuya 5 A 4 A 3 A = ( si aynı diğer ikisi arklı kutuya);üç mektup gibi düşünebiliriz + ( si aynı kutuya diğer ikisi de beraber başka bir kutuya); mektup gibi düşünebiliriz; ancak burada simetrik bir ayrım söz konusudur + ayrımı; g 4 = 3 tane ikili çit olacaktır; g 4 A 5 A 4 A 3 = A 5 A 4 = 60 toplam 540 yanıt B 5) Bir çember üzerindeki 10 nokta birleştirilerek doğrular elde ediliyor. Bu doğrular çember içerisinde en azla kaç noktada kesişirler? 4

25 6) 4 nokta iki doğrunun kesiştiği bir noktayı belirtir; C 10,4 = 10 yanıt B Yandaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır? g g 4 4 Taralı kısımdan; A = 36, Sadece 1 nolu kısmı içeren; 4 Sadece 1 ve olan; 4, Sadece olan; 1 1, ve 3 olan; 4 sadece 3 olan; 4 olduğuna göre toplam; 53 tane yanıt E 7) 0,,4,5,8,9 rakamları kullanılarak, den büyük, rakamları arklı 6 basamaklı kaç sayı yazılabilir? A 5! = 480 yanıt C 8) 0,3,5,8 rakamları kullanılarak 4 ile bölünebilen kaç 4 basamaklı arklı sayı yazılabilir? 4 ile bölünebilme için sayının; 00, 88, 80 ile bitmesi gerekir bu çitleri tek eleman gibi düşünürsek sanki 3 basamaklı sayı arar gibi oluruz; A 4 A 4 = yanıt E ) 3 izik, 5 matematik, 4 Türkçe kitabı izik kitapları yanyana gelmemek koşulu ile kaç arklı şekilde raa dizilir? _ M _ M _ M _ M _ M _ T _ T _ T _ T _ izikler 10 boşluktan 3 üne gelir ve yer değiştirebilirler, diğer b 9 kitap da yer değiştirebilir; C 10,3 c A 3!A 9! yanıt D 30) 8 kişilik grup, grubun belli iki elemanı tam ortada olmak kaydıyla yanyana kaç arklı şekilde oturabilir? - 5 permütasyon kombinasyon olasılık - 5 permütasyon kombinasyon olasılık belli iki eleman! yer değiştirir; istenen; 6! A! = 1440 yanıt A 31) 1 kişilik grup, en önde 3, ortada 4 arkada 5 olmak üzere 3 sıra halinde dizileceklerdir, kaç arklı diziliş elde edilir? 1 kişiyi sıralama ile bu sorunun bir arkı yoktur; 1! yanıt C Takip eden iki soru için 4 kırmızı, 5 mavi, 3 sarı top bulunan bir torbadan; 3) Farklı renkli 3 top kaç arklı şekilde seçilebilir? g 4 A g g 3 A 1 = 60 yanıt A 33) Farklı renkleri içeren 5 top kaç arklı şekilde seçilebilir? Kırmızı olmayan; C(8,3) mavi olmayan; C(7,3) sarı olmayan; C(9,3) kırmızı ve sarı olmayan; 1 kırmızı ve sarı olmayan iki kez sayıldı ise istenen; C(8,3)+ C(7,3)+ C(9,3)-1=175 yanıt B 34) 6 tanesi d doğrusu üzerinde, 5 tanesi k doğrusu üzerinde olan 11 noktayı köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir? 35) 11 noktadan en azla C(11,3) üçgen çizilir, aynı doğrudaki 3 nokta üçgen belirtmeyeceğinden çıkarırız, istenen; C(11,3)-C(6,3)-C(5,3)=135 yanıt D Yandaki şekilde kaç tane üçgen vardır? A) 160 B) 70 C) 100 D) 90 E) 110 B ve C köşelerinden geçişlerine göre doğruları sınılandıralım; B den 1, C den doğru seçimi veya B den, C den 1 doğru seçimi ile üçgenleri elde ederiz; 5

26 - 6 permütasyon kombinasyon olasılık g 5 A 1 5 g + 6 g A 4 1 g = 110 yanıt E 36) İki basamağı tek, iki basamağı çit olan 4 basamaklı, rakamları arklı kaç sayı yazılabilir? C 5, A C 5, = 100 arklı 4 basamaklı sayı seçilir, 4! Yer değiştirirler, bu sayıların 1/10 u 0 ile başlar bunları elemeliyiz, istenen; 9 A 100 A 4! = 160 yanıt B 10 37) 10 kişilik grubun katıldığı yarışmada en başarılı 4 kişi yuvarlak masada yemek yiyecektir. Masada kaç arkı diziliş olabilir? Önce 4 kişi seçmeli sonra masada sıralamalıyız; g 10 A 3! = 160 yanıt E 4 38) 6 kişilik grubun katıldığı yarışmada en başarılı 4 kişi yuvarlak masada yemek yiyecektir.ayrıca 3 çeşit yemek vardır, çeşit yemek seçilecektir, kaç arklı durum oluşabilir? A) 10 A3 6 B) 5 A3 6 C) 4! A 3 D) 6! A 3! E) kişiden 4 kişi seçmeli, seçtiklerimizi sıralamalı yemek seçimi ile çarpmalıyız; 4 6 C 6,4 A 3! C 3, = 10.3 yanıt A 39) C n,4 + C n, + C n,3 = n C(n,5)=? olduğuna göre ` a ` a ` a ` a C n,4 + C n, + C n,3 = n A 1 A A 3 + n A 1 ` a ` a + n A 1 A = n n ler sadeleşirse; ` a ` a ` a ` a ` a ` a 1 A A A = n düzenlenirse n=5 olduğu görülür, istenen; C(5,5)=1 yanıt C 40) 5 çember en azla kaç noktada kesişebilir? Kesişim sayısı için li seçimleri bulmalı ve her kesişimde nokta söz konusu olduğundan ile çarpmalıyız; C 5, A = 0 41) 4 çember, içiçe olmamak ve herhangi ikisi en az bir noktada kesişmek şartı ile en az kaç noktada kesişir? İstenilene uygun şekil yandadır o halde cevap 3 yanıt D 4) Düzlemdeki 10 doğrudan 4'ü bir noktada, 5'i başka bir noktada kesişmektedir. bu doğrular en azla kaç noktada kesişirler? soruda verilen kesişim noktaları; nokta, 4 lü gruptan 1 doğru, 5 li gruptan bir doğru kesişimi sonucu; 5.4 = 0 nokta, geri kaln 1 doğru da diğer 9 unu birden keser ise; 9 nokta, toplam; +0+9=31 yanıt A 43) 3 öğretmen 5 öğrenci, 4 kişi önde 4 kişi arkada ve öğretmenler yanyana olmak koşulu ile kaç arklı şekilde sıralanabilir? Öğretmenler önde;.3! A 5.4!, Öğretmenler arkada; aynı, İstenen;. A 3!A 5.4! = 880 yanıt B 44) 14, 1 ve 10 kişilik 3 grup dağ yürüyüşü için belli bir yerde buluşacaklardır. Ancak daha önce her gruptan 1 kişinin katılımı ile 3 kişilik bir öncü grubu göndereceklerdir. Öncüler kaç arklı şekilde seçilebilir? 14 A 1 A 10 = 1680 yanıt D 45) A 6 elemanlı bir küme ve x A olduğuna göre, A nın x elemanın bulunduğu kaç tane 4 lü permütasyonu vardır? Tüm dörtlüler; P(6,4)=360 X in olmadığı; p(5,4)=10 İstenen; =40 yanıt A 46) A={1,,3,4,5} kümesinin elemanları ile tek ve çit sayıların kendi aralarında soldan sağa küçükten büyüğe sıralı olduğu (tek ve çit sayıların yanyana zorunluluğu olmadan) kaç arklı 5 basamaklı sayı elde edilir? örneğin; 1345 veya ,3,5 i herhangi 3 yere yerleştirsek,ve 4 için kalan yerler artık bellidir istenilen; C(5,3)=c(5,)=10 yanıt A - 6 permütasyon kombinasyon olasılık 6

27 47) 4 mühendis, 3 doktor, 5 öğretmen arasından her meslekten 1 kişi bulunduran 3 kişi seçilecektir. Bu üç kişi katılacakları koneransta yanyana oturacaklardır. Küs olan bir doktor ile bir öğretmenin yanyana olmadığı kaç arklı durum oluşabilir? Tüm durumlar; 4 A 3 A 5 A 3! = 360 Yanyana oldukları; 4 A A = 16 ise istenen; =344 yanıt E 48) 3 kız 3 erkek aynı cinsiyetten olanlar yanyana olmamak üzere kaç arklı şekilde yanyana otururlar? A) 78 B) 104 C) 13 D) 64 E) 7 K E K E K E şeklinde 3! A 3! = 36 E K E K E K olarak 3!A 3! = =7 yanıt E 49) 3 kız 3 erkek aynı cinsiyetten olanlar yanyana olmamak üzere kaç arklı şekilde yuvarlak masada otururlar? A) 1 B) 14 C) 5 D) 66 E) 7 E K K E E K sabit 3!A! = 1 yanıt A 50) Yanyana kaç arklı şekilde sıralanabilir? 7! 3!A 3! = 140 yanıt B 51) Çembersel kaç arklı şekilde sıralanabilir? A) 18 B) 140 C) 0 D) 60 E) 7 6! 3!A 3! 5) A = 0 yanıt C B Küçük dikdörtgenlerin bir kenarına bir birim dersek B ye gitmek için 4 birim aşağıya 5 birim sağa gitmek gerekir, aşağıya gitmesi a ile, sağa gitmeyi "s" ile işaretlersek; aaaasssss harlerinin diziliş sayısı bize isteneni verecektir. 9! = 16 4!A 5! 1-A Çizgiler üzerinde ilerleyerek A dan B ye kaç arklı şekilde gidilebilir? - 7 permütasyon kombinasyon olasılık 53) Ç - 7 permütasyon kombinasyon olasılık İlk rakam için 0 ikinci rakam için 1 3. rakam için 6 son rakam için ise yer vardır, dolayısı ile istenen; 0 A 1 A 6 A = 880 yanıt A Şekildeki kutucuklara 1 den 4 e kadar rakamlar, her satır ve sütuna en azla bir rakam gelmek kaydı ile kaç arklı şekilde yerleştirilebilir? 1 7

28 3-D 4-C 7-B 8 -B 9 -A.4 TEST 1) ) 3) 4) g 10 g =? A) 90 B) 45 C) 1 D) 15 E) 0 g g 7 A g =? 1 1 A) 7 B) 1 C) 5 D) 3 E) 4 ` a P n,n =? 3 P n,n@ 1 A) n B) n-1 C) 0 D) 1 E) n g n = n + 1 g + n [ n g =? A) 3 B)5 C) 7 D) 9 E) C - B 3-D 4-C -B - 8 permütasyon kombinasyon olasılık - 8 permütasyon kombinasyon olasılık 5) n elemanlı bir kümenin 4 elemanlı ve 3 elemanlı altküme sayıları eşittir, n=? 5 A) 15 B) 10 C) 3 D) 7 E) 11 Takip eden 3 soru için; W={ a,b,c,d,e} kümesinin dikkate alalım; 6) W kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur? 6 A) B) 4 C) 8 D) 10 E) 16 7) W kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunmaz? 7 A) B) 4 C) 8 D) 10 E) 16 8) W kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b bulunur? 8 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9) A veya B noktalarının en az birinden geçen 10 doğru, en azla kaç noktada kesişir? 9 A) 7 B) 6 C) 35 D) 40 E) 11 5-E 6-B 7-B 8-B 9-A 6-B 8

29 1-D 13-B 16-B 17-C - 9 permütasyon kombinasyon olasılık 10) A, B veya C noktalarının en az birinden geçen 10 doğru en azla kaç noktada kesişir? 10 14) A) 4 B) 35 C) 40 D) 4 E) 33 11) 10 arklı noktadan 6 sı bir çember üzerindedir. Bu noktalardan geçen en az kaç doğru olabilir? 11 A) 30 B)8 C) 31 D) 3 E) 33 1) 5 öğretmen 10 öğrenci, 5 er kişilik 3 sıra halinde kaç arklı şekilde sıralanabilirler? 1 A) 10 B) 10! A 5! C) C 10,5 A 5!A 5! D) 15! E) 5! A 5!A 5! 13) 5 öğretmen 10 öğrenci, öğretmenler yanyana olmak koşulu ile, 5 er kişilik 3 sıra halinde kaç arklı şekilde sıralanabilirler? 13 A) 10 B) 3 A 10!A 5! C) C 10,5 A 5!A 5! D) 15! E) 5! A 5!A 5! 10-E 11-C 1-D 13-B 11-C - 9 permütasyon kombinasyon olasılık 14 A) 54 B)8 C) 3 D) 50 E) 35 15) 5 evli çit içinden, içinde evli çit olmayan 5 kişilik kaç arklı grup seçilebilir? 15 A) 8 B) 16 C) 4 D) 3 E) 64 16) 4 arklı kalem 3 kişiye kaç arklı şekilde dağıtılabilir? 16 A) 8 B) 81 C) 56 D) 3 E) 64 17) 6 özdeş kalem 4 öğrenciye kaç arklı şekilde dağıtılabilir? 17 A) 8 B) 81 C) 84 D) 3 E) A 15-D 16-B 17-C 15-D Şekilde kaç tane üçgen vardır? 9