T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA Haziran 2012

2 Tezin Başlığı: Bazı Küme-Değerli Fonksiyon Uzayları ve Bu Uzaylar Arasındaki Operatörlerin Analizi Üzerine Tezi Hazırlayan: Fatih TEMİZSU Sınav Tarihi: Haziran 2012 Yukarıda adı geçen tez, Jürimizce değerlendirilerek Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir. Sınav Jürisi Üyeleri (ilk isim jüri başkanı, ikinci isim tez danışmanı) Doç. Dr. İsmet ÖZDEMİR (İnönü Üniv.) Doç. Dr. Yılmaz YILMAZ (İnönü Üniv.) Yrd. Doç. Dr. M. Kemal ÖZDEMİR (İnönü Üniv.) İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Onayı Prof. Dr. Asım KÜNKÜL Enstitü Müdürü

3 Biricik eşime...

4 ONUR SÖZÜ Yüksek Lisans Tezi olarak sunduğum "Bazı Küme-Değerli Fonksiyon Uzayları ve Bu Uzaylar Arasındaki Operatörlerin Analizi Üzerine" başlıklı bu çalışmamın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düşecek bir yardıma başvurmaksızın tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün kaynakların hem metin içinde hem de kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden oluştuğunu belirtir, bunu onurumla doğrularım. Fatih TEMİZSU

5 ÖZET Yüksek Lisans Tezi BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 80+iv sayfa 2012 Danışman: Doç. Dr. Yılmaz YILMAZ Beş bölümden oluşan bu çalışmanın giriş bölümünde; kümeler ve küme-değerli fonksiyon sınıfları ile ilgili bazı kavramlardan bahsedilmiştir. İkinci bölümde; diğer bölümlerde geçen temel tanım, kavram ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde; R n nin kompakt ve konveks alt kümelerinin ailesinden bahsedilmiş, ayrıca Hukuhara farkı, Hausdorff metrik ve küme değerli fonksiyonların sürekliliği kavramları tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde; ilk olarak yarılineer uzay kavramı tanıtılmıştır. Daha sonra küme-değerli fonksiyon aileleri ve kümelerdeki yarılineer yapı incelenmiş ve bazı önemli özellikler gösterilmiştir. Beşinci ve son bölümde ise ağırlıklı olarak quasilineer uzay kavramı ele alınmış, normlu quasilineer uzaylardan ve sınırlı quasilineer operatörlerden söz edilmiştir. Ayrıca lineer fonksiyonel analizin bazı önemli teoremlerinin quasilineer karşılıkları verilmiş, böylece kümelerin ve küme-değerli fonksiyon sınıflarının quasilineer uzaylar teorisiyle çok daha verimli incelenebildiği vurgulanmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Quasilineer uzaylar, küme-değerli fonksiyon uzayları, R n in kompakt-konveks alt kümeleri, yarılineer uzaylar. i

6 ABSTRACT MSc Thesis ON SOME SET-VALUED FUNCTION SPACES AND ANALYSIS OF OPERATORS BETWEEN THOSE SPACES Fatih TEMİZSU İnönü University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics 80+iv pages 2012 Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Yılmaz YILMAZ This thesis consists of five chapters. In the introduction, some notions related to sets and families of set-valued function have been presented. In the second chapter, the basic definitions, concepts, theorems and examples which will be useful in the next chapters have been given. In the third chapter, the family of compact and convex subsets of R n has been mentioned. Also, definitions of Hukuhara difference of subsets of R n, the Hausdorff metric and continuity of set-valued functions have been introduced. In the fourth chapter, firstly, the concept of semilinear space is considered and secondly, semilinear structure on sets and families of set-valued function has been analyzed. Further, some important properties of them have been presented. In the fifth and final chapter, after the introduction of quasilinear spaces, normed quasilinear spaces and bounded quasilinear operators have been considered. Further, quasilinear counterparts of some important theorems in linear functional analysis have been stated. KEY WORDS: Quasilinear spaces, set-valued function spaces, compact-convex subsets of R n, semilinear spaces. ii

7 TEŞEKKÜR Lisansüstü öğrenimime adım attığım ilk gün, öğrencisi olmamı kabul eden, destek ve yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen, gerek bilgi gerekse tecrübeleri ile bana çok büyük katkıları olan danışmanım, çok değerli hocam, Sayın. Doç. Dr. Yılmaz YILMAZ a en içten teşekkürlerimi sunarım. Kendileri, bu konuda beni çalışmaya teşvik ederek yönlendirmiş, öneri ve yardımlarıyla bu tezin olgunlaşmasında büyük katkılar sağlamıştır. Ayrıca lisansüstü eğitimim boyunca beni yönlendiren, Sayın Prof. Dr. Sadık KELEŞ e; Tez ve seminer yazımında bana büyük kolaylık sağlayan Latex programını öğreten ve yardımlarını hiç eksik etmeyen değerli hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. M. Kemal ÖZDEMİR e; İhtiyaç duyduğum zamanlarda değerli vakitlerini ve bilgilerini sunan sevgili arkadaşlarım Arş. Gör. Sümeyye ÇAKAN ve Şahika AYTEKİN e; Çalışmalarım boyunca beni yalnız bırakmayan değerli arkadaşım Arş. Gör. Mehmet Akif AKYOL a; Umutsuzluğa kapıldığım her anda ışığını hiç esirgemeyerek umudum olan biricik eşim Habibe TEMİZSU ya; Hayatım boyunca olduğu gibi yüksek lisans sürecinde de her zaman yanımda olan; dualarını esirgemeyen babam, annem ve kardeşlerim e; Bu süreçte zamanın önemini daima hatırlatan kayınpederim Mehmet NARİN e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. iii

8 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER i ii iii iv 1 GİRİŞ 1 2 TEMEL KAVRAMLAR Sıralama ve Lineer Cebir Kavramları Temel Fonksiyonel Analiz Kavramları Metrik uzaylar Normlu uzaylar R n NİN KOMPAKT ALT KÜMELERİ NİN AİLESİ R n nin Kompakt Alt Kümelerinin Özellikleri Hausdorff Metrik Süreklilik Hukuhara Türevlenebilme YARILİNEER UZAYLAR Yarılineer Uzay Kümelerin ve Küme Değerli Fonksiyonlar Ailesinin Yarılineer Uzay Yapısı Yarılineer Uzaylarda Sınır Kavramı NORMLU QUASİLİNEER UZAYLAR Quasilineer Uzaylar Sınırlı Quasilineer Operatörler KAYNAKLAR 79 ÖZGEÇMİŞ 80 iv

9 BÖLÜM 1 GİRİŞ Klasik analizde lineer uzay kavramı önemli bir yer tutmaktadır. Özellikle fonksiyonel analiz sahasında yer alan normlu uzaylar, Banach uzayları ve Hilbert uzayları temel olarak lineer uzay kavramı üzerine inşa edilmiştir. Bu uzayların kendilerine has bir takım özellikleri sayesinde, klasik tek değerli fonksiyonlarla oluşturulan diferansiyel denklemler birçok bilimsel problemin modellenmesinde etkili araçlar olmuşlardır. Ancak bazı özel doğa problemlerinin, tek değerli fonksiyonların ürettiği diferansiyel denklemler ile modellenemediği görülmüştür. Bu sorunu aşmak için yapılan araştırmalar, küme-değerli fonksiyonlarla elde edilen küme diferansiyel denklemleri ortaya çıkarmıştır. [1] bu tip denklemleri inceleyen önemli bir kaynaktır. Tek değerli fonksiyonlarla elde edilen diferansiyel denklemlerin çözüm kümelerinin analizi ile denklemlerin modellediği fenomenleri açıklamada önemli mesafeler kat edilmiş olmasına rağmen, küme diferansiyel denklemler için benzer analizleri yapmak çok zor veya mümkün değildir. Bunun temel sebebi küme diferansiyel denklemleri meydana getiren fonksiyon uzaylarının lineer uzay yapısına sahip olmayışı ve klasik teorideki analiz araçlarının muadillerinin henüz geliştirilmemiş olmasıdır. Bunu şöyle örnekleyelim: Bir E reel normlu lineer uzayının tüm boştan farklı kompakt-konveks alt kümelerinin ailesi olan K C (E) sınıfı A, B K C (E) ve d H (A, B) değeri A kümesinin B kümesinden Hausdorff ayrımı olmak üzere, D(A, B) = max {d H (A, B), d H (B, A)} Hausdorff metriğiyle bir ayrılabilir tam metrik uzay olmasına rağmen Minkowski işlemleriyle bir lineer uzay teşkil etmez. Ancak yarılineer uzay ya da quasilineer uzay yapısına sahiptir. Bu durum R nin bir I = [a, b] kapalı aralığından K C (E) ye giden tüm sürekli fonksiyonların uzayı C (I, K C (E)) için de geçerlidir. Bahsedilen bu eksiklik, klasik analizdeki tekniklerin küme diferansiyel denklemler için kullanılmasına engel olmaktadır. Bu ise, bu teknikleri lineer uzaylardan daha verimsiz yerler 1

10 olan yarılineer veya quasilineer uzaylarda da geliştirme zorunluluğunu getirmektedir. Bu çalışmada ağırlıklı olarak, yukarıda adı geçen lineer yapıda olmayan uzayların ait olabildiği uzay tiplerinden quasilineer uzay kavramı Aseev in [2] numaralı çalışmasından yararlanılarak ele alınacaktır. Literatürde farklı quasilineer uzay tanımları yer almaktadır. Bunlardan biri Markov un [3] ve [4] numaralı çalışmalarında bulunmaktadır. Ancak Markov un çalışmalarının hem K C (E) hem de C (I, K C (E)) sınıflarının analizinde Aseev in çalışmasına nazaran verimsiz olduğunu düşünmekteyiz. Bundan dolayı biz bu çalışmada Markov un çalışmaları yerine Aseev in çalışmalarını temel aldık. Aseev in verdiği quasilineer uzay tanımının diğer tanımlardan belki de en önemli farkı, tanımda kullanılan kısmi sıralama bağıntısıdır. Zira, Aseev quasilineer uzaylarda norm tanımı yaparken kısmi sıralama bağıntısını da kullanmış, bu sayede klasik fonksiyonel analizin oldukça önemli bazı teoremlerinin tutarlı karşılıklarını quasilineer uzaylar teorisinde de verebilmiştir. Yukarıda bahsedilen lineer uzay teşkil etmeyen küme ailelerinin en önemlilerinden ikisi R n in kompakt ve kompakt-konveks alt kümelerinin sınıfları olan K(R n ) ve K C (R n ) dir. Zira, bir takım doğa problemlerini modelleyen küme diferansiyel denklemlerin oluşmasında C (I, K C (R n )) uzayı önemli rol oynamaktadır. Bu yüzden, K(R n ) ve K C (R n ) sınıflarındaki quasilineer yapıyı daha iyi analiz etmek adına Bölüm 3 te büyük ölçüde [1] numaralı kaynaktan yararlanarak R n in kompakt ve kompakt-konveks alt kümelerinin ailesini inceleyeceğiz. K(R n ) ve K C (R n ) kümelerini tam ayrılabilir metrik uzay yapısına kavuşturması hasebiyle Hausdorff metrik kavramını bu bölümde vereceğiz. Bu kısımda bahsedeceğimiz önemli bir uyarı, toplama (+) işlemi Minkowski toplamı ve skalerle çarpma ( ) işlemi bir reel sayının bir kümeyle çarpımı olmak üzere keyfi bir A K(R n ) için genelde A + ( 1) A {0} olmasıdır. Bu eşitsizlik nedeniyle K(R n ) bir lineer uzay olamaz. Bölüm 3 te ele aldığımız önemli diğer bir konu da bir I R aralığından K C (R n ) e giden fonksiyonların Hukuhara türevlenebilmesidir. Şimdi bunu açalım: U : I K C (R n ) fonksiyonu verilsin. U fonksiyonunun I da Hukuhara türevlene- 2

11 bilmesi için U (t 0 + t) U (t 0 ) lim t 0 + t U (t 0 ) U (t 0 t) lim t 0 + t limitlerinin var ve eşit olması gerekir. Burada önemli olan nokta, U (t 0 + t) U (t 0 ) ve U (t 0 ) U (t 0 t) farklarının Minkowski toplamı ve reel skalerle çarpma işlemlerinin kullanıldığı fark işlemi olmadığıdır. Kastedilen fark işlemi Hukuhara farkı diye tanımlanmış bir başka kümeler arası farktır. Aynı bölümde bu farktan da bahsedeceğiz. K(R n ) in ait olduğu bir diğer disiplin de yarılineer uzaylardır. Yukarıda bahsettiğimiz üzere K(R n ) sınıfı, elemanlarının toplamsal tersi mevcut olmadığından bir yarıgrup teşkil eder. K(R n ) in elemanlarının reel skalerle çarpımını da göz önüne alırsak, bu sınıf Minkowski toplamı ve skalerle çarpma işlemleriyle bir yarılineer uzay yapısına sahiptir. K(R n ) deki yarılineer yapıyı irdelemek adına Bölüm 4 te [5] numaralı kaynaktan yararlanarak yarılineer uzayları ele alacağız. Bu kaynakta bir örnek olarak verilmemiş olmasına rağmen K(R n ) in Hausdorff metrikle bir Banach yarılineer uzay teşkil ettiğini göstereceğiz. Ele alacağımız bir diğer yarılineer uzay örneği C (I, K(R n )) dir. Bu uzay, D Hausdorff metrik ve f, g C (I, K(R n )) olmak üzere, d(f, g) = max {D (f(t), g(t))} t I metriğiyle bir Banach yarılineer uzaydır. Bu uzayı tam uzay yapısına kavuşturan ise K(R n ) in bir tam metrik yarılineer uzay olmasıdır. Yarılineer uzaylara dair incelediğimiz bir başka kavram ise bir topolojik yarılineer uzayın sınırı kavramıdır. Bununla ilgili önemli örneklerden bazıları, n = 1 için K C (R) nin sınırı β (K C (R)) ve C (I, K C (R)) nin sınırı β (C (I, K C (R))) nin boşküme olmasıdır. Öte yandan K C (R) nin bir alt uzayı olan V = {[a, b] R : a < b, a, b R} {0} için β (V ) = {{0}} dir. 3

12 Yarılineer uzaylar teorisi K(E) ve K C (E) sınıfları üzerinde belli bir disiplin oluşturmasına rağmen, lineer uzayların temel birçok faydalı özelliğini yansıtmada yetersiz kalmaktadır. Bu ise yarılineer uzayları birçok doğa problemini modellemede verimsiz kılar. Fakat küme değerli fonksiyonlar için kurgulanan quasilineer uzay kavramı daha verimli bir teori vermektedir. Bu nedenle çalışmamızın son bölümünü Aseev in [2] numaralı çalışmasından yararlanarak quasilineer uzaylar teorisine ayıracağız. Yukarıda söz edildiği gibi Aseev in quasilineer uzay tanımının diğer tanımlardan en önemli farkı bir kısmi sıralama bağıntısı vasıtasıyla sunulmasıdır. Kısmi sıralama bağıntısı kullanılarak verilen norm tanımı lineer uzaylardaki norm tanımı ile uyum içindedir. Çünkü = bağıntısının bir kısmi sıralama bağıntısı olması nedeniyle her reel lineer uzay bir quasilineer uzay teşkil eder. Bu sayede quasilineer uzaylar için tanımlanan norm fonksiyonu olma şartları lineer uzaylardaki norm fonksiyonu olma şartlarına dönüşür. Böylelikle klasik tek değerli fonksiyonların analizinde önemli yer tutan birçok teoremin, kümelerin ve küme-değerli fonksiyonların normlu quasilineer uzaylarındaki karşılıkları tutarlı bir şekilde verilebilmiştir. Bunu bir örnekle açalım: Klasik fonksiyonel analizin en önemli fonksiyon uzaylarından biri I R kapalı aralığından R ye giden tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan C [a, b] dir. Bilindiği üzere bu uzay f C [a, b] olmak üzere, f = max f (t) t I normuyla bir Banach uzayıdır. Bu uzayın quasilineer uzaylar teorisindeki karşılığı ise X bir tam Ω uzayı (Bir normlu quasilineer uzay çeşidi) olmak üzere, I dan X e giden tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan C(I, X) tir. Bu uzay Hausdorff metriğe göre bir tam Ω uzayıdır. Bir başka örnek ise bir X normlu quasilineer uzayından bir Y Ω uzayına giden tüm sınırlı quasilineer operatörlerin uzayı olan Λ(X, Y ) nin, Y Ω uzayının tam olması durumunda bir tam Ω uzayı teşkil etmesidir. Bu gibi örneklerle, lineer fonksiyonel analizin birçok temel sonucunun quasilineer karşılıkları bazı genişlemelerle elde edilmiş ve böylece K(R n ) ve C (I, K(R n )) gibi sınıfların quasilineer yapısal özellikleri de zengin bir şekilde ortaya konmuştur. 4

13 BÖLÜM 2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde temel küme teorisi, lineer cebir, lineer fonksiyonel analiz ve topolojinin temel kavramları verilecektir. Tanım ve teoremlerde geçen K cisminden R veya C anlaşılacaktır. Ayrıca en önemli küme değerli fonksiyon uzaylarını inşa etmeye olanak sağlayan R n nin kompakt konveks alt kümeleri ve bu kümelerin birtakım özellikleri de ele alınacaktır. 2.1 Sıralama ve Lineer Cebir Kavramları Tanım X bir küme olsun., X üzerinde bir bağıntı olmak üzere. Eğer bağıntısı, x, y, z X için aşağıda verilen şartları sağlarsa bu bağıntıya X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı denir: x x; x y, y z x z; x y, y x x = y; X kümesine ise kısmi sıralama bağıntısıyla birlikte bir kısmi sıralı küme denir. Her X kümesi x y x = y bağıntısıyla bir kısmi sıralı kümedir. Tanım (X, ) bir kısmi sıralı küme olsun. a X olmak üzere, a x bağıntısı x = a olmasını gerektiriyorsa a elemanı X in bir maximal elemanıdır denir. b X olmak üzere, x b bağıntısı x = b olmasını gerektiriyorsa b elemanı X in bir minimal elemanıdır denir. 5

14 Tanım (X, ) bir kısmi sıralı küme olsun. a X olmak üzere, x X için x a ise a elemanı X in maximum elemanıdır denir. b X olmak üzere x X için b x ise b elemanı X in minimum elemanıdır denir. Tanım (X, ) bir kısmi sıralı küme ve A X olsun. Eğer a A için, a x ve y X için a y iken x y olacak şekilde bir x X varsa x elemanına A kümesinin en küçük üst sınırı ya da supremumu denir. Eğer a A için, x a ve y X için y a iken y x olacak şekilde bir x X varsa x elemanına A kümesinin en büyük alt sınırı ya da infimumu denir. Tanım Eğer bir (X, ) kısmi sıralı kümesinde x, y için, x y ya da y x oluyorsa bağıntısına X üzerinde bir tam sıralama bağıntısı denir. X kümesine ise tam sıralama bağıntısıyla birlikte bir tam sıralı küme denir. Tanım G boştan farklı bir küme ve + işlemi G üzerinde bir işlem olsun. Eğer G kümesi + işlemine göre kapalı ve birleşmeli ise (G, +) ikilisine bir yarıgrup denir. Ayrıca a G için a + e = e + a = a olacak şekilde e G varsa Gye bir birimli yarıgrup denir. Eğer a, b, c G için a + c = b + c a = b önermesi sağlanıyorsa Gye bir sadeleşmeli yarıgrup denir. Bu kısımdaki tanım ve teoremler [6] numaralı kaynaktan alınmıştır. 6

15 Tanım X boştan farklı bir küme ve K bir cisim olsun. X üzerinde + toplama ve skalerle çarpma diye adlandırılan işlemleri, + : X X X (x, y) x + y : K X X (α, x) α x olarak tanımlayalım. Eğer x, y, z X ve α, β K için aşağıdaki şartlar sağlanırsa X e K üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) denir: (x + y) + z = x + (y + z) x + y = y + x x + θ = x olacak şekilde X in sıfır elemanı denen bir θ X vardır. x X için x + ( x) = θ olacak şekilde x in tersi denen bir x X vardır. α (x + y) = α x + α y (α + β) x = α x + β x α (β x) = (α β) x 1 x = x Tanım X bir K cismi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleriyle bir lineer uzay olsun. Y X alt kümesi de (+) ve ( ) işlemleriyle K üzerinde bir lineer uzay yapısına sahipse Y uzayına X in bir alt vektör uzayı denir. Teorem X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Y X alt kümesi verilsin. Y kümesi Xin bir alt vektör uzayıdır ancak ve ancak Her α, β K ve her y 1, y 2 Y için α y 1 + β y 2 Y dir. Tanım X, K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. A X verilsin. Eğer, x, y A ve λ [0, 1] için λ x + (1 λ) y A oluyorsa A ya konveks küme denir. 7

16 Örnek S = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} birim küresi R 2 nin konveks bir alt kümesidir. Ayrıca her alt vektör uzayının da bir konveks küme olduğu tanımdan açıktır. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. x 1, x 2, x 3,..., x n X ve c 1, c 2, c 3,..., c n K olmak üzere c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n toplamına x 1, x 2, x 3,..., x n vektörlerinin bir lineer kombinasyonu denir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. = A X alt kümesini alalım. A nın vektörlerinin tüm lineer kombinasyonlarının kümesine A nın gereni veya gerdiği alt uzay denir. SpanA ile gösterilir. SpanA = X ise A X i geriyor denir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. {x 1, x 2, x 3,..., x n } = A X alt kümesini alalım. c 1, c 2, c 3,..., c n K olmak üzere c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n = θ olması c 1 = c 2 = c 3 =... = c n = 0 olmasını gerektiriyorsa A kümesi lineer bağımsızdır denir. Aksi taktirde lineer bağımlıdır denir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. X in içerdiği maksimum lineer bağımsız vektör sayısına X in boyutu denir ve dim X ile gösterilir. dim X < ise X e sonlu boyutlu denir. Aksi halde sonsuz boyutlu denir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. X in lineer bağımsız ve X i geren alt kümesine X için bir baz diğer adıyla Hamel bazı denir. Tanım X ve Y bir K cismi üzerinde birer lineer uzay olsunlar. T : X Y 8

17 bir dönüşüm olmak üzere, Eğer x, y X ve α K için T (x + y) = T (x) + T (y) (2.1.1) T (α x) = α T (x) eşitlikleri sağlanıyorsa T ye X ten Y ye bir lineer dönüşüm denir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. f : X K dönüşümü lineer ise f ye bir lineer fonksiyonel denir. Tanım X ve Y bir K cismi üzerinde birer lineer uzay olsunlar. X ten Y ye tüm lineer dönüşümlerin kümesi de fonksiyonların toplama ve skalerle çarpma işlemleriyle K üzerinde bir lineer uzay yapısına sahiptir. Bu uzay L (X, Y ) ile gösterilir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. X ten K ya tüm lineer fonksiyonellerin uzayına X in cebirsel duali denir ve L (X, K) = X ile gösterilir. 2.2 Temel Fonksiyonel Analiz Kavramları Bu kısımdaki tanım ve teoremler [7] ve [8] numaralı kaynaklardan alınmıştır Metrik uzaylar Tanım X boş olmayan bir küme olmak üzere, d : X X R fonksiyonu verilsin. d fonksiyonu x, y, z X için d (x, y) = 0 x = y (2.2.1) d (x, y) = d (y, x) (2.2.2) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) (2.2.3) şartlarını sağlıyorsa d ye X üzerinde bir metrik, (X, d) ikilisine ise bir metrik uzay denir. 9

18 Örnek R reel sayılar kümesi alışılmış d (x, y) = x y fonksiyonuyla bir metrik uzaydır. Bu metriğe R nin alışılmış metriği (mutlak değer metriği) denir. Örnek R 2 üzerinde x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2 olmak üzere d (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 fonksiyonu bir metrik tanımlar. Bu metriğe de R 2 nin Öklid metriği denir. Örnek ω tüm kompleks terimli dizilerin lineer uzayını göstersin. { } l = x ω : sup x n < n üzerinde d (x, y) = sup x n y n n fonksiyonu bir metriktir. Dolayısıyla (l, d) bir metrik uzaydır. Tanım (X, d) bir metrik uzay ve K X olsun. Eğer K nın her noktasının yine K içinde kalacak şekilde bir açık yuvarı var ise K ya açık küme denir. X e göre tümleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. Tanım (X, d) bir metrik uzay, K X ve x X olsun. Eğer K kümesi, x in her delinmiş komşuluğunda en az bir nokta içeriyorsa x e K nın bir yığılma noktası denir. K nın tüm yığılma noktalarının kümesi K ile gösterilir. Tanım (X, d) bir metrik uzay ve K X olsun. K ve K kümelerinin birleşimine K nın kapanışı denir ve K ile gösterilir. Tanım (X, d) bir metrik uzay ve K X olsun. Eğer K = X ise K kümesi X te yoğundur denir. (X in yoğun ve sayılabilir bir alt kümesi varsa X e ayrılabilir uzay denir.) Örnek R alışılmış metrik ile bir ayrılabilir uzaydır. Zira Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilir ve R de yoğundur. 10

19 Tanım (X, d) bir metrik uzay ve K X olsun. Eğer bir x X noktası hem K nın hem de K nın tümleyeninin bir iç noktası değil ise x noktasına Knın bir sınır noktası denir. K nın tüm sınır noktalarının kümesine K nın sınırı denir ve K ile gösterilir. Tanım (X, d) bir metrik uzay ve x = (x n ) X te bir dizi olsun. ε > 0 için, m, n > N iken d (x m, x n ) < ε olacak şekilde bir N (ε) sayısı varsa (x n ) dizisine bir Cauchy dizisi denir. Tanım (X, d) bir metrik uzay olmak üzere X teki her (x n ) Cauchy dizisi Xte yakınsaksa (X, d) ye bir tam metrik uzay denir. Örnek R n ve l birer tam metrik uzaydır. Teorem (X, d) bir metrik uzay ve K X olsun. x X olmak üzere, x K K da bir (x n ) dizisi vardır öyleki x n x olur. Teorem (X, d) bir metrik uzay ve K X olsun. K kapalıdır K daki her (x n ) yakınsak dizisinin limiti K nın bir elemanıdır Teorem (X, d) bir tam metrik uzay ve K kümesi X in bir alt uzayı olsun. Bu durumda, K tamdır K kapalıdır. Tanım (X, τ) bir topolojik uzay olsun. K ise X in bir alt kümesi olsun. Eğer K nın her açık örtüsü sonlu bir alt örtüye sahipse K ya kompakt küme denir. Önerme (X, d) bir metrik uzay olsun. K X verilsin. Bu durumda, K kompakttır K daki her dizi yakınsak bir altdiziye sahiptir. Önerme R n nin bir A alt kümesi verilsin. Bu durumda, A kompakttır A kapalı ve sınırlıdır. 11

20 Örnek a < b olmak üzere R nin [a, b] kapalı aralığı alışılmış topolojiye göre kompakt bir kümedir. Örnek R reel sayılar kümesi alışılmış topolojiye göre kompakt değildir. Zira, {( n, n) : n N} ailesi R nin açık bir örtüsü olmasına rağmen, bu örtünün R yi örtecek şekilde hiçbir sonlu alt örtüsü yoktur Normlu uzaylar Tanım X bir K cismi üzerinde bir lineer uzay ve : X R bir fonksiyon olsun. fonksiyonu x, y X ve α K için x = 0 x = θ (2.2.4) α x = α x (2.2.5) x + y x + y (2.2.6) şartlarını sağlıyorsa fonksiyonuna X üzerinde bir norm, (X, ) ikilisine ise bir normlu uzay denir. Örnek R ve C üzerinde fonksiyonu bir norm tanımlar. Bu norma alışılmış norm ya da Öklid normu denir. Örnek C [a, b] = {f f : [a, b] R, sürekli} kümesi, fonksiyonların toplama ve skalerle çarpma işlemleriyle bir reel lineer uzay yapısına sahiptir. f C [a, b] olmak üzere, f = max f (t) t [a,b] biçiminde tanımlı fonksiyonu C [a, b] üzerinde bir norm teşkil eder. Dolayısıyla (C [a, b], ) bir normlu uzaydır. Teorem (X, ) bir normlu uzay olsun. d : X X R d (x, y) = x y olarak tanımlanan d fonksiyonu X üzerinde bir metrik fonksiyonudur. 12

21 Bu teoremde tanımlanan d metriğine normun ürettiği metrik ya da norm metriği denir. Sonuç Her normlu uzay norm metriğiyle bir metrik uzaydır. Tanım (X, ) bir normlu uzay olsun. Eğer X, normunun ürettiği d (x, y) = x y norm metriğiyle tam ise (X, ) normlu uzayına bir Banach uzayı denir. Örnek p 1 olmak üzere l p = x = { x ω : n ( n x n p ) 1 p normuyla bir normlu uzaydır. Üstelik norm metriği olan, d (x, y) = x y = ( n } x n p < kümesi x n y n p ) 1 p ile bir tam uzay olduğundan bir kompleks Banach uzayı teşkil eder. Örnek R n ve C n x = ( n i=1 x i 2 ) 1 2 Öklid normuyla sırasıyla reel ve kompleks Banach uzaylarıdır. { } Örnek l ve c 0 = x ω : lim x n = 0 dizi uzayları x = sup x n n n normuyla birer Banach uzayıdır. C [a, b], f = max f (t) normuyla bir reel t [a,b] Banach uzayı yapısına sahiptir. Tanım X ve Y birer normlu uzay olsunlar. T : X Y lineer operatörü verilsin. Eğer x X için T (x) Y c x X olacak şekilde bir c R + sayısı varsa T ye sınırlıdır denir. Tanım X ve Y birer normlu uzay olsunlar. operatörü verilsin. { } T (x) Y sup x θ x X T : X Y sınırlı lineer 13

22 değerine T sınırlı lineer operatörünün normu denir. Yani { } T (x) Y T = sup x θ x X dir. Teorem T = sup { T (x) Y : x X = 1} Teorem X ve Y birer normlu uzay ve T : X Y bir lineer operatör olsun. Bu durumda, (a) T süreklidir ancak ve ancak T sınırlıdır. (b) T bir noktada sürekliyse her noktada süreklidir. Tanım X ve Y bir K cismi üzerinde birer normlu uzay olsunlar. B (X, Y ) = {T L (X, Y ) T sınırlı} kümesi, dönüşümlerin toplama ve skalerle çarpma işlemleriyle bir lineer uzaydır. Üstelik, { } T (x) Y T = sup x θ x X normuyla bu uzay bir normlu uzaydır. B (X, Y ) her zaman bir Banach uzayı olmayabilir. Şimdi B (X, Y ) nin hangi şart altında bir Banach uzayı olduğunu ifade eden teoremi verelim: Teorem X ve Y bir K cismi üzerinde birer normlu uzay olsunlar. Eğer Y bir Banach uzayı ise B (X, Y ) de bir Banach uzayıdır. Tanım X bir K cismi üzerinde bir normlu uzay olsun. B (X, K) = {f L (X, K) f sınırlı (sürekli)} kümesi, { } f (x) f = sup x θ x X normuyla bir normlu uzaydır. Bu uzaya X in sürekli duali ya da X in dual uzayı denir ve X ile gösterilir. X, X ın bir alt vektör uzayıdır. Teorem Bir X normlu uzayının X sürekli duali bir Banach uzayıdır. 14

23 BÖLÜM 3 R n NİN KOMPAKT ALT KÜMELERİ NİN AİLESİ Bu bölümde büyük ölçüde [1] numaralı kaynaktan yararlanılmıştır. Küme değerli fonksiyonların en önemli uygulama alanı bu fonksiyonlarla oluşturulan küme diferansiyel denklemlerdir. Küme diferansiyel denklemleri içeren bilimsel problemlerin çözümünde, R nin bir I kapalı aralığından R n nin kompakt konveks alt kümeleri nin ailesine tanımlı sürekli fonksiyonların uzayı çok önemli yer tutmaktadır [1]. Bundan dolayı R n nin kompakt ve konveks alt kümeleri ve bu kümelerin ailesinin oluşturduğu uzaylardan bu kısımda bahsetmenin yararlı olacağını düşünüyoruz. R n nin tüm boştan farklı kompakt alt kümelerinin ailesini K (R n ), tüm boştan farklı kompakt konveks alt kümelerinin ailesini ise K C (R n ) ile göstereceğiz. 3.1 R n nin Kompakt Alt Kümelerinin Özellikleri Tanım A ve B kümeleri R n nin boştan farklı herhangi iki alt kümesi olsun. λ R alalım. Bu kümeler arasında Minkowski toplamı ve skalerle çarpma işlemleri sırasıyla, A + B = {a + b : a A, b B} λ A = {λa : a A}. şekilde tanımlanır. Önerme K (R n ) ve K C (R n ) küme aileleleri yukarıda tanımlanan işlemlere göre kapalıdır. Ayrıca aşağıdaki özellikler sağlanır: A, B, C K C (R n ) ve λ, µ R + için, A + θ = θ + A = A olacak şekilde θ = {0} birim eleman vardır. (3.1.1) A + (B + C) = (A + B) + C (3.1.2) A + B = B + A (3.1.3) 15

24 A + B = A + C B = C (3.1.4) 1 A = A (3.1.5) λ (A + B) = λ A + λ B (3.1.6) (λ + µ) A = λ A + µ A (3.1.7) olur. İspat. Önermenin diğer hükümlerinin ispatı kolay olduğundan sadece toplama işleminin sadeleşme özelliği olan önermesini ispatlayalım; A, B, C K C (R n ) için A + B = A + C eşitliğini kabul edelim. b B keyfi olsun. a A için a + b A + B olur. Hipotezden a A için a + b A + C dir. Buradan, k A ve r C vardır öyleki a + b = k + r eşitliği doğrudur. k = a için de aynı eşitliği yazarsak, k + b = k + r elde edilir. Buradan da b = r olur. Dolayısıyla b C dir. b B keyfi olduğundan B C olur. Şimdi de c C keyfi seçelim. a A için a + c A + C olur. Hipotezden a A için a + c A + B dir. Buradan, l A ve s B vardır öyleki a + c = l + s eşitliği doğrudur. l = a için de aynı eşitliği yazarsak, l+c = l+s elde edilir. Öyleyse c = s olup c B dir. c keyfi olduğundan C B olur. O halde B = C dir. 16

25 Uyarı Genel olarak K C (R n ) nin bir A elemanı için A+( 1) A θ eşitsizliği doğrudur. Bunu aşağıdaki örnekte görebiliriz. Örnek n = 1 için A = [ 2, 1] olsun. O halde ( 1) A = [ 1, 2] olur. Buradan, A + ( 1) A = [ 2, 1] + [ 1, 2] = [ 3, 3] elde edilir. Görüldüğü gibi A + ( 1) A = [ 3, 3] θ dır. Yukarıdaki örnekten anlaşılacağı üzere K C (R n ) nin bir elemanının 1 katının kendisiyle toplamı birim eleman θ = {0} ı vermek zorunda değildir. Bu ise K C (R n ) ve K (R n ) küme ailelerinin lineer uzay yapısına sahip olamayacaklarını gösterir. İşte bundan dolayı bu kümeler ailesi, lineer uzay kavramının kapsamlı genelleştirmeleri olan yarılineer uzay ve quasilineer uzay yapısına uymaktadırlar. Şimdi K C (R n ) nin elemanları arasında Hukuhara farkı denilen kavramı tanımlayalım: Tanım [1] A ve B kümeleri K C (R n ) nin sabit iki elemanı olsun. Eğer, A = B + C olacak şekilde bir C K C (R n ) elemanı varsa A ve B nin Hukuhara farkı vardır denir ve A B ile gösterilir. Önerme (3.1.4) ten kolaylıkla görülebilir ki iki kümenin Hukuhara farkı mevcutsa bu tektir. Örnek n = 1 için A = [ 1, 1], B = [ 1, 0] K C (R) olmak üzere, [ 1, 1] = [ 1, 0] + [0, 1] olduğundan A B vardır ve [0, 1] dir. Ancak bu farkın A + ( 1) B toplamına eşit olmadığına dikkat edilmelidir. Zira, A + ( 1) B = {a + ( 1)b : a A, b B} olarak tanımlandığından, A + ( 1) B = [ 1, 1] + ( 1) [ 1, 0] = [ 1, 1] + [0, 1] = [ 1, 2] elde edilir. Dolayısıyla A B A + ( 1) B dir. 17

26 Önerme [1] A, B K C (R n ) olsun. Bu durumda, A B vardır a A iken a B + c A olacak şekilde c noktası vardır. İspat. A B Hukuhara farkı nın mevcut olduğunu kabul edelim. Öyleyse A = B + C olacak şekilde C K C (R n ) vardır. a A ise A = A A c, A c, Anın tümleyenidir. olduğundan a A dır. Bu ise a = b + c olacak şekilde b B ve c C var demektir. Öyleyse a B + c dir. Öte yandan, A = B + C olduğundan d B için d + c A dır. O halde B + c A dır. Böylece, a B + c A elde edilir. Şimdi de a A iken a B + c A olacak şekilde bir c noktası mevcut olsun. C = {x : B + x A} kümesini ele alalım. C nin boştan farklı ve kompakt olduğu açıktır. Ayrıca C nin tanımlanışı gereği B + C A olur. Bu durumda d, d C için B + d A ve B + d A olur. A konveks olduğundan, λ [0, 1] için (1 λ) (B + d) + λ (B + d ) A yazılabilir. Eşitsizliğin sol tarafı düzenlenirse z = (1 λ) d + λd 18

27 olmak üzere B + z A olur. Öyleyse z = (1 λ) d + λd C dir. Bu ise C konveks demektir. Şimdi A B + C olduğunu gösterelim. u A için u dan geçen bir doğru parçası A yı a ve a diye iki noktada keser. O halde hipotezden a B + d A ve a B + d A olacak şekilde d, d C vardır. Uygun λ (0, 1) ile u = (1 λ) a + λa yazabiliriz. Bu u (1 λ) (B + d) + λ (B + d ) anlamına gelir. Sağ tarafı düzenlersek, u B + (1 λ) d + λd elde edilir. C konveks olduğundan (1 λ) d + λd C dir. Öyleyse u B + C dir. O halde A B + C olur. Dolayısıyla A = B + C olduğundan A B Hukuhara farkı mevcuttur. Uyarı Bu önermeden anlaşıldığı üzere B kümesi nin bir ötelemesinin A nın bir alt kümesi olması durumunda A B Hukuhara farkı mevcuttur. Ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, genelde iki kümenin Hukuhara farkı var olmak zorunda değildir. Örnek [ 1, 1] kümesinin hiçbir ötelemesi {0} tek nokta kümesinin altkümesi 2 olamayacağından, {0} [ 1, 1] mevcut değildir. 2 19

28 3.2 Hausdorff Metrik x R n ve A kümesi R n nin boştan farklı kompakt bir alt kümesi olsun. x noktasının A ya olan d (x, A) uzaklığı, d(x, A) = inf { x a : a A} olarak tanımlanır. Ayrıca, S ε (A) = {x R n : d(x, A) < ε} kümesine A nın bir ε-komşuluğu denir. S ε (A) nın kapanışı ise, S ε (A) = {x R n : d(x, A) ε} alt kümesidir. R n nin θ merkezli 1 yarıçaplı birim küresini ise S n 1 = S 1 (θ) ile gösteririz. Burada ε > 0 ve boştan farklı herhangi bir A R n için S ε (A) = A + ε S n 1 yazılabileceğini göz önünde bulundurmalıyız. Tanım A ve B kümeleri R n nin boştan farklı kompakt alt kümeleri olsun. d H (B, A) = sup {d(b, A) : b B} ya da buna denk olarak d H (B, A) = inf { ε > 0 : B A + ε S n } 1 değerine B nin A dan Hausdorff ayrımı denir. Genelde, d H (A, B) d H (B, A) olduğundan Hausdorff ayrımı bir metrik fonksiyonu teşkil etmez. farklı kompakt A ve B alt kümeleri arasında Hausdorff uzaklığı, R n nin boştan D(A, B) = max {d H (A, B), d H (B, A)} 20

29 ile tanımlarız. Bu D fonksiyonu, D(A, B) 0 D(A, B) = 0 A = B D(A, B) = D(B, A) D(A, B) D(A, C) + D(C, B) bağıntılarını sağladığından dolayı R n nin tüm boştan farklı kompakt alt kümelerinin ailesi üzerinde bir metrik tanımlar. Buna Hausdorff metrik denir. Böylelikle (K (R n ), D) bir metrik uzaydır [1]. Önerme (K (R n ), D) ve (K C (R n ), D) uzayları tam ayrılabilir metrik uzaylardır [1]. Lemma A, B, C K C (R n ) verilsin. Bu durumda, A + C B + C A B olur. İspat. a A için a B olduğunu göstermeliyiz. Hipotezden dolayı verilen herhangi bir c 1 C için a + c 1 B + C olduğu açıktır. Öyleyse, a + c 1 = b 1 + c 2 olacak şekilde b 1 B ve c 2 C noktaları vardır. Aynı nedenden dolayı, a + c 2 = b 2 + c 3 olacak şekilde b 2 B ve c 3 C noktaları vardır. Aynı işlemi sürekli tekrar edip ilk n denklemi taraf tarafa toplarsak, na + n c i = i=1 n n+1 b i + i=1 i=2 c i buradan da na + c 1 = n b i + c n+1. i=1 21

30 elde ederiz. Bu ise demektir. Burada x n = 1 n a = 1 n n i=1 b i + c n+1 n c 1 n n b i olarak alırsak eşitliği i=1 a = x n + c n+1 n c 1 n şeklinde yazabiliriz. B konveks olduğundan n N için x n terimi B nin bir elemanıdır. O halde (x n ) dizisi B dedir. Ayrıca, Önerme den C kümesi R n in kompakt alt kümesi olduğundan sınırlıdır. Doğal olarak (c n+1 ) dizisi sınırlı bir dizidir. Yani n N için c n+1 K olacak şekilde K R vardır. Öyleyse, c n+1 n c 1 c n+1 + c 1 n n n K + c 1 n elde edilir. Burada n için limite geçersek, olur. O halde olur. Şimdi c n+1 n c 1 0 n c n+1 n c 1 n 0 a = x n + c n+1 n c 1 n eşitliğinde limite geçersek x n a elde edilir. Önerme gereğince B kompakt olduğundan kapalıdır. Öyleyse Teorem den a B dir. Böylece A B elde edilir. Önerme A, B ve C kümeleri K C (R n ) in noktaları olsun. aşağıdaki eşitlik vardır: Bu durumda D (A + C, B + C) = D (A, B) dir. 22

31 İspat. D (A, B) = d 1, D (A + C, B + C) = d 2 olsun. S kümesi K C (R n ) in kapalı birim kümesini temsil etsin. K C (R n ) in noktaları arasındaki Hausdorff uzaklığı tanımı gereği, d 1 = inf { λ R + : B A + λ S ve A B + λ S } eşitliği vardır. Öyleyse ε > 0 için, B A + (d 1 + ε) S ve A B + (d 1 + ε) S olur. Her iki kapsamada iki tarafa C eklersek ε > 0 için, B + C A + C + (d 1 + ε) S ve A + C B + C + (d 1 + ε) S elde ederiz. Öte yandan, d 2 = inf { λ R + : B + C A + C + λ S ve A + C B + C + λ S } olduğundan d 2 d 1 + ε olur. Bu ise d 2 d 1 demektir. Tersine d 2 nin tanımından ε > 0 için, B + C A + C + (d 2 + ε) S ve A + C B + C + (d 2 + ε) S yazarız. Lemma den dolayı iki kapsamada da C kümelerini sadeleştirebiliriz. Dolaysıyla ε > 0 için, B A + (d 2 + ε) S ve A B + (d 2 + ε) S olur. d 1 in tanımından ε > 0 için, d 1 d 2 + ε olur. Bu da d 1 d 2 demektir. O halde d 1 = d 2 dir. Önerme A ve B kümeleri K C (R n ) in noktaları olsun. λ R + {0} için, D (λ A, λ B) = λd (A, B) olur. 23

32 İspat. λ = 0 için ispat açıktır. λ 0 olsun. D (λ A, λ B) = d 1 ve D (A, B) = d 2 alalım. S kümesi K C (R n ) in kapalı birim kümesi olmak üzere, d 1 = inf { t R + : λ B λ A + t S ve λ A λ B + t S } demektir. O halde ε > 0 için, d 2 = inf { t R + : B A + t S ve A B + t S } λ B λ A + (d 1 + ε) S ve λ A λ B + (d 1 + ε) S yazabiliriz. Buradan ε > 0 için, B A + d 1 + ε λ elde edilir. Öyleyse ε > 0 için d 2 d 1+ε λ S ve A B + d 1 + ε λ olup, λd 2 d 1 yazılır. Öte yandan d 2 nin tanımından ε > 0 için, S B A + (d 2 + ε) S ve A B + (d 2 + ε) S eşitsizlikleri mevcuttur. Her iki eşitsizlikte de iki tarafı λ ile çarparsak, ε > 0 için; λ B λ A + λ (d 2 + ε) S ve λ A λ B + λ (d 2 + ε) S olur. d 1 in tanımı gereği ε > 0 için d 1 λ (d 2 + ε) olup, yazılır. d 1 = λd 2 dir. d 1 λd Süreklilik Şimdi ele alacağımız fonksiyonların değer kümesi K C (R n ) olacaktır. Tanım A kümesi R k nın bir alt kümesi ve F : A K C (R n ) olmak üzere, a A için F (a) K C (R n ) şeklinde tanımlı F fonksiyonuna A dan K C (R n ) ye bir (kompakt-konveks) küme değerli fonksiyon denir. 24

33 Tanım A R k, a 0 A ve F : A K C (R n ) bir fonksiyon olmak üzere; Eğer ε > 0 için a a 0 < δ iken D (F (a), F (a 0 )) < ε, olacak şekilde bir δ = δ (ε, a 0 ) > 0 sayısı mevcutsa F fonksiyonu a 0 da süreklidir denir. Burada D daha önce tanımını verdiğimiz Hausdorff metriktir. Tanım F : A K C (R n ) fonksiyonu verilsin. a 0 A olmak üzere; 1) Eğer ε > 0 için a a 0 < δ iken d H (F (a), F (a 0 )) < ε, ya da denk olarak S n 1 üzere = {x R n : x < 1} kümesi R n in açık birim yuvarı olmak F (a) F (a 0 ) + ε S1 n olacak şekilde bir δ = δ (ε, a 0 ) > 0 sayısı varsa F fonksiyonu a 0 da üst yarısüreklidir denir. 2) Eğer ε > 0 için a a 0 < δ iken d H (F (a 0 ), F (a)) < ε, ya da denk olarak F (a 0 ) F (a) + ε S1 n olacak şekilde bir δ = δ (ε, a 0 ) > 0 sayısı varsa F fonksiyonu a 0 da alt yarısüreklidir denir. Sonuç (K C (R n ), D) uzayının iki noktası arasındaki Hausdorff uzaklık tanımı d H Hausdorff ayrımına dayandığından, bir F : A K C (R n ) fonksiyonunun bir a 0 noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart F fonksiyonunun a 0 da hem üst hem alt yarısürekli olmasıdır [1]. Uyarı Bir küme değerli fonksiyon alt yarı sürekli iken üst yarı sürekli olmayabilir. Bunun karşıtı da doğrudur. Bunu bir örnekle görelim [1]: 25

34 Örnek F : R K C (R) fonksiyonu, { {0}, a = 0 F (a) = [0, 1], a R\ {0} olarak tanımlansın. Bu durumda F fonksiyonu 0 da alt yarısürekli iken üst yarısürekli değildir. Öte yandan F fonksiyonunu, { [0, 1], a = 0 F (a) = {0}, a R\ {0} olarak tanımlarsak bu kez 0 da üst yarısürekli iken alt yarısürekli değildir. Bunu görelim: ε > 0 için a 0 = a < δ iken, F (a) F (0) + ε [ 1, 1] (3.3.1) olacak şekilde bir δ = δ (ε, 0) > 0 sayısı arıyoruz. a < δ bağıntısı a = 0 için de doğru olduğundan eşitsizliği, [0, 1] [0, 1] + [ ε, ε] = [ ε, ε + 1], a = 0 ise ve {0} [0, 1] + [ ε, ε] = [ ε, ε + 1], a R\ {0} ise olmak üzere iki durumda incelenir. Bu iki bağıntıda ε a bağlı δ > 0 sayısı ne seçilirse seçilsin (sözgelimi δ = ε) her zaman doğru olduğundan, F fonksiyonu a 5 0 = 0 da üst yarı süreklidir. Diğer taraftan ε > 0 için a 0 = a < δ iken, F (0) F (a) + ε [ 1, 1] yani [0, 1] {0} + [ ε, ε] = [ ε, ε] [0, 1] [0, 1] + [ ε, ε] = [ ε, ε + 1] bağıntılarını sağlayacak şekilde δ = δ (ε, 0) > 0 sayısı yoktur. Eğer δ > 0 sayısının var olduğunu kabul edersek, ε = 1 2 seçildiğinde a < δ iken, F (0) F (a) + ε [ 1, 1] 26

35 olacak şekilde bir δ > 0 vardır. Bu durumda a < δ yuvarı 0 dan farklı bir a 0 sayısı ihtiva edeceğinden, yani F (0) F (a 0 ) + [0, 1] {0} + [ 1 2, 1 ] 2 [ 1 2, 1 ] 2 bağıntısı sağlanır. Oysa [0, 1] [ 1 2, 1 2] doğru değildir. O halde kabulümüz yanlıştır. Böylece, F fonksiyonu a 0 = 0 da alt yarı sürekli değildir. Tanım F : A K C (R n ) fonksiyonu her a 0 A noktasında sürekli ya da üst yarısürekli(alt yarısürekli) ise F ye sırasıyla A da sürekli ya da üst yarısürekli(alt yarısürekli) denir. 3.4 Hukuhara Türevlenebilme Şimdi küme değerli fonksiyonların Hukuhara türevlenebilmesinden bahsedeceğiz. Tanım I kümesi R nin bir aralığı olsun. U : I K C (R n ) küme değerli fonksiyonu verilsin. t 0 I olmak üzere, Eğer ve U (t 0 + t) U (t 0 ) lim t 0 + t U (t 0 ) U (t 0 t) lim t 0 + t limitleri mevcut ve eşitse, U fonksiyonu t 0 denir ve bu türev değeri D H U (t 0 ) ile gösterilir. (3.4.1) I da Hukuhara türevlenebilirdir Görüldüğü gibi D H U (t 0 ) Hukuhara türevin varlığı t > 0 için U (t 0 + t) U (t 0 ) ve U (t 0 ) U (t 0 t) Hukuhara farklarının mevcut olmasına bağlıdır. Ayrıca, I R den bir topolojik vektör uzayına tanımlı alışılmış tek değerli fonksiyonlardaki durumun aksine limiti U (t 0 + t) U (t 0 ) lim t 0 t 27

36 limitine denk değildir [9]. Şimdi vereceğimiz önerme Hukuhara türevin önemli bir özelliğini açıklamaktadır. Önerme U : I K C (R n ) küme değerli fonksiyonu I da Hukuhara türevlenebilir ise reel değerli f : I R + t f (t) = diam (U (t)) fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur. Burada diam (U (t)) değeri U (t) nin çapını ifade etmektedir [1]. İspat. Öncelikle, U fonksiyonu keyfi bir t 0 I da Hukuhara türevlenebilir olduğundan t (0, δ (t 0 )) için U (t 0 + t) U (t 0 ) diğer bir deyişle s (t 0, t 0 + δ (t 0 )) iken U (s) U (t 0 ) ve t (0, δ (t 0 )) için yani s (t 0 δ (t 0 ), t 0 ) iken U (t 0 ) U (t 0 t) U (t 0 ) U (s) farkları tanımlı olacak şekilde bir δ (t 0 ) > 0 sayısı mevcuttur. Önerme den A B Hukuhara farkının, B nin bir ötelemesinin A nın bir alt kümesi olması halinde tanımlı olduğunu hatırlayalım. Bu ise diam(a) diam(b) bağıntısının sağlanması durumunda A B nin mevcut olduğunu gösterir. Öyleyse U (s) U (t 0 ) vardır diam(u (s)) diam(u (t 0 )) U (t 0 ) U (s) vardır diam(u (t 0 )) diam(u (s)) önermeleri doğrudur. Şimdi t 1 < t 2 olacak şekilde t 1, t 2 I seçelim. O zaman τ [t 1, t 2 ] için, s [τ, τ + δ(τ)] iken, diam (U (s)) diam (U (τ)) 28

37 ve s [τ δ(τ), τ] iken, diam (U (τ)) diam (U (s)) olacak şekilde bir δ(τ) > 0 sayısı vardır. Öte yandan, {I τ : τ [t 1, t 2 ], I τ = (τ δ(τ), τ + δ(τ))} ailesi aşikar olarak [t 1, t 2 ] nin bir açık örtüsünü oluşturur. [t 1, t 2 ] kümesi R de kompakt olduğundan bu örtünün sonlu bir alt örtüsü mevcuttur. Bu alt örtüyü i için τ i < τ i+1 olmak üzere I τ1, I τ2,..., I τn olarak seçelim. Böylece diam (U (t 1 )) diam (U (τ 1 )) ve diam (U (τ N )) diam (U (t 2 )) (3.4.2) bağıntılarını elde ederiz. Ayrıca i = 1, 2,..., N 1 için I τi I τi+1 dir. O halde i = 1, 2,..., N 1 için τ i < s i < τ i+1 olacak şekilde bir s i I τi I τi+1 elemanı mevcuttur. Öyleyse diam (U (τ i )) diam (U (s i )) diam (U (τ i+1 )) (3.4.3) bağıntısı doğrudur. Buradan, ve bağıntıları birlikte ele alınırsa diam (U (t 1 )) diam (U (t 2 )) elde edilir. Böylece f (t 1 ) f (t 2 ) olur. O halde f azalmayan bir fonksiyondur. Yukarıdaki önermenin kullanılacağı bir örnek verelim: Örnek [1] I = (0, 2π) aralığı verilsin. U fonksiyonu ( U : I K ) C R 2 t U (t) = (2 + sin t) S 2 1 olarak tanımlansın. Bu durumda U fonksiyonu I da Hukuhara türevlenebilir değildir. Görelim: t I için f(t) = diam (U (t)) = 2 (2 + sin t) 29

38 reel değerli fonksiyonudur. t 1 = π 2, t 2 = π seçersek, π 2 < π olmasına rağmen f( π) = 6, f(π) = 4 olduğundan dolayı 2 f(π ) > f(π) dir. Yani f fonksiyonu 2 I da azalmayan değildir. Bu da bize U fonksiyonunun I da Hukuhara türevlenebilir olmadığını gösterir. Uyarı U : I K C (R n ) küme değerli fonksiyonunun I da Hukuhara türevlenebilir olması U fonksiyonunun kümelerde kapsama işlemine göre monoton olmasını gerektirmez. Bunu şu örnekle görelim: Örnek [1] I = (0, 1) olmak üzere U fonksiyonu, U : I K C (R) t U (t) = [t, 2t] şeklinde tanımlansın. Bu durumda t I için, U (t 0 + t) U (t 0 ) lim t 0 + t U (t 0 ) U (t 0 t) lim t 0 + t [t 0 + t, 2 (t 0 + t)] [t 0, 2t 0 ] = lim t 0 + t t [1, 2] = lim = [1, 2] t 0 + t [t 0, 2t 0 ] [t 0 t, 2(t 0 t)] = lim t 0 + t t [1, 2] = lim = [1, 2] t 0 + t olduğundan D H U(t) = [1, 2] dir. Öte yandan 0 < t 1 < t 2 < 1 bağıntısını sağlayan her t 1, t 2 için U (t 1 ) ve U (t 2 ) kümeleri birbirlerini kapsayamaz. Örneğin, t 1 = 1 3 < 1 2 = t 2 seçilirse [ 1 U (t 1 ) = 3, 2 ] [ ] 1 3 2, 1 = U (t 2 ) [ ] [ 1 1 U (t 2 ) = 2, 1 3, 2 ] = U (t 1 ) 3 olur. O halde U fonksiyonu I da Hukuhara türevlenebilir olmasına rağmen kapsama işlemine göre monoton değildir. 30

39 BÖLÜM 4 YARILİNEER UZAYLAR Bu çalışmanın amacı olan küme değerli fonksiyon uzaylarının yapısal özelliklerinin incelenmesi için öncelikle R n Öklid uzayının kompakt ve kompakt-konveks alt kümelerinin sınıfını incelemek gerekir. Bu sınıf küme değerli analizin yaygın olarak ilgilendiği bir konudur. Bu analiz aslında fuzzy kümelerin ve fuzzy sayıların analizini de ihtiva etmektedir. Bu sınıfın yapısı birçok değişik disiplinle verilebilir. Bunlardan ilk göze çarpanı R n de kümelerin daha önce tanımladığımız toplama işlemine göre bu sınıfın bir yarıgrup teşkil etmesidir. Buradaki kümelerin bir reel skalerle çarpımı işlemini de göz önünde bulundurursak, sözkonusu bu iki işlemle bu sınıf bir yarılineer uzay yapısına sahip olmaktadır. Biz bu bölümde yarılineer uzayların teorik incelemesini [5] numaralı kaynaktan yararlanarak vereceğiz. 4.1 Yarılineer Uzay Tanım Üzerinde aşağıdaki şartları sağlayan, toplama ve negatif olmayan reel sayılarla çarpma işlemi tanımlı olan bir X kümesine bir yarılineer uzay denir. x, y X ve α, β R + {0} olmak üzere, (X, +) birimli, sadeleşmeli ve değişmeli bir yarıgrup. α (x + y) = α x + α y (α + β) x = α x + β x α (β x) = (α β) x 1 x = x ve 0 x = 0 Tanım X bir yarılineer uzay olsun. X üzerinde toplamayı ve skalerle çarpma işlemini sürekli kılan bir Hausdorff topolojisi tanımlıysa X e topolojik yarılineer uzay denir. 31

40 Tanım X bir yarılineer uzay olsun. X üzerinde α R + {0} ve x, y, z X için d (α x + z, α y + z) = α d (x, y) olacak şekilde bir d metriği varsa X e bir metrik yarılineer uzay denir. Tanım Bir X tam metrik yarılineer uzayına bir Banach yarılineer uzay denir. Örnek ) Herhangi bir lineer uzay bir yarılineer uzaydır. 2) Herhangi bir topolojik lineer uzay bir topolojik yarılineer uzaydır. 3) Herhangi bir normlu lineer uzay bir metrik-yarılineer uzaydır. 4) Herhangi bir Banach uzayı bir Banach yarılineer uzayıdır. Örnek E + 2 çarpma işlemi ve = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} kümesi alışılmış toplama, skalerle d ((x 0, y 0 ), (x 1, y 1 )) = max { x 0 x 1, y 0 y 1 } metriğiyle lineer olmayan bir Banach yarılineer uzaydır. Örnek S negatif olmayan bir reel sayıya yakınsayan tüm kompleks terimli dizilerin ailesi olsun. Koordinatsal toplama, (non-negatif) reel sayılarla çarpma işlemi ve d (x, y) = sup x n y n metriğiyle S lineer olmayan bir Banach yarılineer uzayı teşkil eder. Örnek E2 r = {(x, y) R 2 : x 0} kümesi alışılmış toplama, skalerle çarpma işlemi ve d ((x 0, y 0 ), (x 1, y 1 )) = max { x 0 x 1, y 0 y 1 } metriğiyle bir Banach yarılineer uzayıdır. Örnek S = {(z n ) C : z n z, Re(z) 0, Im(z) 0 } kümesi; koordinatsal toplama, (non-negatif) reel sayılarla çarpma işlemi ve d (x, y) = sup x n y n metriğiyle bir Banach yarılineer uzay teşkil eder. 32

41 4.2 Kümelerin ve Küme Değerli Fonksiyonlar Ailesinin Yarılineer Uzay Yapısı Teorem Bir önceki bölümde tanıtılan K(R n ) ve K C (R n ) uzayları birer Banach yarılineer uzaydır. İspat. K(R n ) için bunu görelim; Önerme den her A, B, C K(R n ), her α, β R + {0}, 0, 1 R için, (A + B) + C = A + (B + C) A + {0} = {0} + A = A olacak şekilde {0} birim elemanı vardır. A + B = A + C B = C A + B = B + A α (A + B) = α A + α B (α + β) A = α A + β A α (β A) = (αβ) A 1 A = A ve 0 A = {0} özellikleri vardır. Dolayısıyla K(R n ) bir yarılineer uzaydır. D (A, B) = max {d H (A, B), d H (B, A)} metriği ile Önerme den K(R n ) nin tam metrik uzay olduğunu biliyoruz. Ayrıca, Önerme ve Önerme ten α 0 ve A, B, C K(R n ) için D (A + C, B + C) = D (A, B) D (α A, α B) = αd (A, B) eşitlikleri doğru olduğundan K(R n ) bir metrik yarı lineer uzaydır. (K(R n ), D) bir Banach yarılineer uzay yapısı teşkil eder. Dolayısıyla Tanım X bir yarılineer uzay ve Y X olsun. Eger X teki işlemlere göre Y de bir yarılineer uzay teşkil ediyorsa Y ye X in bir alt yarılineer uzayı denir. 33

42 Önerme X bir yarılineer uzay ve Y X olsun. λ R + {0} ve x, y Y için λx + y Y oluyorsa Y, X in bir alt yarılineer uzayıdır. Önerme K C (R n ) ailesi K(R n ) nin bir alt yarılineer uzayıdır. İspat. λ R + {0} ve A, B K C (R n ) olsun. λa + B nin K C (R n ) de olduğunu göstermeliyiz. Bunun için, keyfi x, y λa + B ve α [0, 1] alalım. Öncelikle x = λa 1 + b 1 y = λa 2 + b 2 olacak şekilde a 1, a 2 A ve b 1, b 2 B elemanları vardır. O halde αx + (1 α)y = α(λa 1 + b 1 ) + (1 α)(λa 2 + b 2 ) = λ(αa 1 + (1 α)a 2 ) + αb 1 + (1 α)b 2 olur. A, B K C (R n ) olduğundan αa 1 + (1 α)a 2 A ve αb 1 + (1 α)b 2 B dir. Öyleyse αx + (1 α)y λa + B olur. Böylelikle λa + B K C (R n ) elde edilir. Örnek a < b olmak üzere, U kümesi R nin tüm [a, b] aralıklarının ailesi olsun. Bu durumda V = U {0} ailesi K C (R) nin bir alt yarılineer uzayıdır. V yarılineer uzayı K C (R) nin tam olmayan bir alt uzayıdır. Görelim; u 1 = [1, 2] [ u 2 = 1, ] 2 [ u 3 = 1, ] 3 u n = [ 1, ] n olmak üzere (u n ) dizisi V de bir dizidir. Şimdi (u n ) dizisi nin K C (R) Banach yarılineer 34

43 uzayında {1} elemanına yakınsadığını gösterelim. olup d H ({1}, u n ) = sup {d (b, u n )} = d (1, u n ) = 0 b {1} d H (u n, {1}) = sup b u n {d (b, {1})} = 1 n D({1}, u n ) = max {d H ({1}, u n ), d H (u n, {1})} = 1 n bulunur. Öyleyse D({1}, u n ) 0 (n ). Yani, u n {1} dir. {1} / V olduğundan bu dizi V de yakınsak değildir. O halde V alt uzayı K C (R) de kapalı değildir. Dolayısıyla V tam değildir. Şimdi R nin kapalı bir J aralığından K(R n ) veya K C (R n ) e tanımlı (yani küme değerli) olan sürekli fonksiyonların uzayıyla ilgileneceğiz. C (J, K(R n )) ve C (J, K C (R n )) fonksiyon sınıflarını tanıttıktan sonra bu kümelerin yarılineer uzay yapısına sahip olduğunu ve bununla uyumlu bir metrik yapısının olduğunu belirteceğiz. C (J, K(R n )) sınıfı J den K(R n ) ye, C (J, K C (R n )) ise J den K C (R n ) ye giden tüm sürekli fonksiyonların uzayıdır. Önerme C (J, K(R n )) kümesi; λ R + {0} ve f, g C (J, K(R n )) için (f + g) (t) = f(t) + g(t) (λf)(t) = λ.f(t) şeklinde tanımlı işlemlerle bir yarılineer uzaydır. İspat. λ R + {0} ve f, g, h C (J, K(R n )) olmak üzere, K(R n ) nin yarılineer uzay olmasından dolayı, f + g X (f + g) + h = f + (g + h) (f + g) = (g + f) f + g = f + h g = h 35