Finansal Ekonometri. Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler

Transkript

1 Finansal Ekonometri Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler

2 Tek Değişkenli Rasgele Değişkenler Tanım (rasgele değişken): Bir rasgele değişken, X, SX örneklem uzayından değerler alan ve bu örneklem uzayından alacağı değerleri alma olasılığı, olasılık dağılım fonksiyonu tarafından belirlenen değişkenlerdir.

3 ÖRNEK X = gelecek ay Akbank hissesinin fiyatı S X = R: 0 < X M X = 1 aylık yatırımımız sonucu elde ettiğimiz basit getiri S X = R: 1 X < M X=1 eğer hisse fiyatı artarsa, X=0 eğer hisse fiyatı düşerse S X = 0, 1

4 KESİKLİ RASGELE DEĞİŞKENLER Tanım : Bir kesikli rasgele değişken, sadece x 1, x 2, x 3,, x n gibi n tane sonlu tamsayı değeri alabilen rasgele değişkenlerdir. Tanım : Bir kesikli rasgele değişkenin, olasılık fonksiyonu, p(x) ile gösterilir ve p x = P X = x olarak tanımlanır. Olasılık fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar: 1. p(x) 0 her x S X ; p x = 0 her x S X 2. p(x) x S X = 1 3. p x 10 her x S X

5 ÖRNEK Yıllık Getirilerin Kesikli Dağılımı Ekonominin Durumları S X : Örneklem Uzayı p x = P X = x Küçülme Durgunluk Normal Hafif yükseliş Önemli aranda yükselme

6 ÖRNEK Bernoulli Dağılımı Birbiri ile kesişimi olmayan(ayrık) iki olay düşünelim: «Başarmak» ve «Başaramamak» diyelim. X=1 Başarmak, X=0 ise Başaramamak olsun. Başarma olasılığı, π ise başaramama olasılığı 1- π dir. Bu olasılıklar, P X = 1 = π ve P X = 0 =1- π olarak gösterilir. Bu olasılıkların matematiksel modeli yani olasılık fonksiyonu ise p x = P X = x = π x (1 π) 1 x, x = 0, 1, olarak ifade edilir.

7 SÜREKLİ RASGELE DEĞİŞKENLER Tanım : Bir sürekli rasgele değişken, değerlerini reel(gerçel) sayılar kümesinden alan rasgele değişkenlerdir. Tanım : Bir sürekli rasgele değişkenin, olasılık yoğunluk fonksiyonu(pdf), f x ile gösterilir ve X rasgele değişkeninin herhangi bir A aralığında değer alması olasılığı, P X A = f x dx, A olarak hesaplanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar: 1. f x 0 2. f x dx = 1 3. f x < 1

8 Sürekli Rasgele Değişkenlerin Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

9 ÖRNEK Düzgün Dağılım X~U a, b olsun. Burada, "U a, b ", [a,b] aralığında düzgün dağılımı simgelemektedir. «~» ise dağılıyor demektir. 1 a x b f x = b a 0 diğer durumlarda Özelliklerini kontrol edelim: 1. Eğer b>a ise f x 0 sağlanır. 2.

10 KÜMÜLATİF DAĞILIM FONKSİYONU(CDF) Tanım : Herhangi bir rasgele değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonu, F(x) ile gösterilir ve F x = P X x olarak tanımlanır. Sadece Dağılım Fonksiyonu da denir. Özellikleri, 1. Eğer x 1 < x 2 ise F x 1 F x 2 (azalmayan fonksiyon) 2. F = 0 ve F = 1 dir F x = P X > x 4. P x 1 < X x 2 = F x 2 F x 1 5. Eğer X bir sürekli rasgele değişken ise d F x = f(x) dx

11 ÖRNEK Kesikli Rasgele Değişkenler için CDF

12 Sürekli Rasgele Değişkenler için CDF Örneği Standart Normal Dağılım

13 Dağılımların Kantilleri (Quantile of the Distributions) Tanım: X bir sürekli rasgele değişken olsun. X in dağılım fonksiyonu F X x = P X x olsun. α [0, 1] için F X in α 100 üncü kantili q α, F X q α = P X q α = α denkleminin çözümüdür. Eğer F X in tersi alınabiliyor ise q α = F 1 X α olarak yazılabilir.

14 ÖRNEK Standart Normal Dağılım için α=0.05 yani % 5. kantili q 0.05 = 1.645

15 Olasılık Dağılımlarının Şekilsel Karakter Özellikleri Beklenen ya da ortalama değer- Dağılımın merkezini gösterir. Varyans ya da Standart Sapma- Ortalamadan yayılımı gösterir. Çarpıklık- Ortalama çevresinde simetriyi gösterir. Basıklık- Kuyruk kalınlığını gösterir.

16 Beklenen Değer Kesikli Rasgele Değişken Sürekli Rasgele Değişken k. derece Moment ve k. Derece Merkezi Momentler, sırasıyla,

17 ÖRNEK Kesikli Rasgele Değişken Ekonominin Durumları S X : Örneklem Uzayı p x = P X = x Küçülme Durgunluk Normal Hafif yükseliş Önemli aranda yükselme Tabloda olasılık dağılımı verilen yıllık getirilerin beklenen değerini bulunuz:

18 ÖRNEK Sürekli Rasgele Değişken

19 Varyans ve Standart Sapma Not: Varyansın birimi X in biriminin karesidir. Standart Sapmanın birimi ise X ile aynıdır. Bu nedenle standart sapmayı yorumlamak daha rahattır.

20 ÖRNEK Kesikli Rasgele Değişken Yukarıda verilen tablo için varyans ve standart sapmayı bulunuz:

21 ÖRNEK Sürekli Rasgele Değişken X~U 1,2 olsun. σ 2 2 X = (x 3 2 )2 dx = x = 0.375

22 Çarpıklık

23 Eğer X rasgele değişkeninin dağılımı simetrik ise çarpıklık 0 dır. Çarpıklık, 0 dan büyük ise dağılım sağa doğru uzun kuyruğa sahiptir ve Medyan, ortalama değerden küçüktür. Çarpıklık, 0 dan küçük ise dağılım sola doğru uzun kuyruğa sahiptir ve Medyan, ortalama değerden büyüktür.

24 Çarpıklık

25 ÖRNEK Kesikli Rasgele Değişken Verilen örnek için çarpıklık değerini bulunuz. Çarpıklık

26 Basıklık

27 Basıklık

28 ÖRNEK Kesikli Rasgele Değişken Verilen örnek için çarpıklık değerini bulunuz. Basıklık

29 ÖRNEKLEM MOMENTLERI r t, r t+1,, r T T boyutlu bir rasgele örneklem olsun. Örneklem Momentleri:

30 R Code library(quantmod) garan <- new.env() getsymbols('ist:garan',src='google',env = garan,return.class = 'zoo',from = " ") #İndirilen Fiyat Serisini P1 olarak kaydedelim. P1=get("IST:GARAN", envir = garan)[,4] #Getiri Serisini Hesaplayalım R1=diff(log(P1)) #Fiyat Serisi Grafiği names=c("garanti") mypath = file.path("c:","users","aysegul","desktop","figur",paste("fiyat_ GARANTİ ",".jpg", sep = "")) jpeg(file=mypath) mytitle = "Garanti Hisse Senedi Fiyat Serisi" plot(p1, main = mytitle, xlab=" Zaman") dev.off() #Getiri Serisi Grafiği names=c("garanti") mypath = file.path("c:","users","aysegul","desktop","figur",paste("getiri_ GARANTİ ",".jpg", sep = "")) jpeg(file=mypath) mytitle = "Garanti Hisse Senedi Getiri Serisi" plot(r1, main = mytitle, xlab=" Zaman") dev.off()

31 ÖRNEK Garanti Hisse Senedi

32 R Code (Devam) #Histogram mypath = file.path("c:","users","aysegul","desktop","figur",paste("hist_ GARANTİ ",".jpg", sep = "")) jpeg(file=mypath) hist(r1, breaks=25, col="slateblue") dev.off() #İstatistikler library(fbasics) Dsct=basicStats(R1) table.stats(r1)

33 Garanti Hisse Senedi Günlük Getiri Dağılımı x nobs 1946 NAs Minimum Maximum Quartile Quartile Mean Median Sum SE Mean LCL Mean UCL Mean Variance Stdev Skewness Kurtosis

34 FİNANSTA KULLANILAN OLASILIK 1. NORMAL DAĞILIM DAĞILIMLARI Özellikleri: E[X]=μ Var(X) = σ 2 Çarpıklık= 0 Basıklık = 3 Eğer k tek sayı ise E[X k ]=0

35 R Code # Normal dağılımdan veri üretme: rnorm(n, mean, sd) #Kümülatif Normal Dağılım Fonksiyonu: pnorm(q, mean, sd) #Normal Dağılım Kantilleri: qnorm(p, mean, sd) #Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dnorm(y, mean, sd) mean=0 sd=1 n=10000 Veri=rnorm(n, mean, sd) plot(veri, main = "Normal Rasgele Değişkenler") chart.histogram(veri, methods="add.normal", main = " Normal Dağılım Histogram") #Kümülatif Dağılım Fonksiyonu x=seq(-3, 3, by = 0.01) y1=pnorm(x, mean, sd) plot(x,y1, main = "Normal Dağılım CDF") #Ters CDF- KAntil Fonksiyonu alpha=seq(0, 1, by = 0.01) kantil=qnorm(alpha, mean, sd) plot(alpha,kantil, main = "Normal Dağılım Kantil Fonksiyonu") #Normal pdf x=seq(-3, 3, by = 0.01) y2=dnorm(x, mean, sd) plot(x,y2, main = "Normal Dağılım PDF")

36 STANDART NORMAL DAĞILIM

37 ARTIK BASIKLIK Herhangi bir dağılımın basıklık değeri ile Normal dağılımın basıklık değeri olan 3 ün farkına ARTIK BASIKLIK denir. Artık Basıklık= Basıklık X 3 Artık Basıklık>0 ise dağılım Normal Dağılıma göre daha kalın kuyrukludur. Artık Basıklık<0 ise dağılım Normal Dağılıma göre daha ince kuyrukludur. Ek Bilgi: Normal dağılım sürekli getiriler için daha uygun bir dağılımdır. Bunun bir sebebi sürekli getirilerin logaritmadan kaynaklı negatif değerler alabilmesidir.

38 2. STUDENT- t DAĞILIMI Student- t dağılımı şekilsel olarak Normal dağılıma benzer fakat daha kalın kuyrukludur. Eğer X rasgele değişkeni ν serbestlik dereceli Student-t dağılımını izliyor ise, X~t ν X in olasılık yoğunluk fonksiyonu: olarak tanımlanır. Burada, Gamma fonksiyonudur.

39 Özellikleri: Not: Eğer ν, Student-t dağılımı Normal dağılıma yaklaşır. Eğer ν < 4 ise Basıklık olur.

40 # Student-t dağılımdan veri üretme: rt(n, df) #Kümülatif Student-t Dağılım Fonksiyonu: pt(q, df) # Student-t Dağılım Kantilleri: qt(p, df) # Student-t Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dt(y, df) R Code nu=5 #Student-t dağılımdan tane rasgele değişken üretelim n=10000 Veri=rt(n, nu) plot(veri, main = " Student-t Rasgele Değişkenler") chart.histogram(veri, methods="add.normal", main = " Student-t Histogram") # Student-t Kümülatif Dağılım Fonksiyonu x=seq(-3, 3, by = 0.01) y1=pt(x, nu) plot(x,y1, main = " Student-t Dağılım CDF") #Ters CDF- Kantil Fonksiyonu alpha=seq(0, 1, by = 0.01) kantil=qt(alpha, nu) plot(alpha,kantil, main = " Student-t Dağılım Kantil Fonksiyonu") # Student-t pdf x=seq(-3, 3, by = 0.01) y2=dt(x, nu) plot(x,y2, main = " Student-t Dağılım PDF")

41 STUDENT- t DAĞILIMI: df=5

42 Farklı Serbestlik Dereceleri İçin Student-t PDF

43 Farklı Serbestlik Dereceleri İçin Student-t PDF

44 3. LOG-NORMAL DAĞILIM Özellikleri: Kurt Y = exp 4 σ X exp 3 σ X exp 2 σ X 2-6 Not: Sürekli getiriler normal dağılım izliyor ise basit getiriler log-normal dağılıma sahiptir.

45 R Code # Log-Normal dağılımdan veri üretme: rlnorm(n, mean, sd) #Kümülatif Log-Normal Dağılım Fonksiyonu: plnorm(q, mean, sd) #Log-Normal Dağılım Kantilleri: qlnorm(p, mean, sd) #Log-Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dlnorm(y, mean, sd) #Log--Normal dağılımdan tane rasgele değişken üretelim n=10000 Veri=rlnorm(n, mean, sd) plot(veri, main = " Log-Normal Rasgele Değişkenler") chart.histogram(veri, methods="add.normal", main = " Log-Normal Histogram") # Log-Normal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu x=seq(-3, 3, by = 0.01) y1=plnorm (x, mean, sd) plot(x,y1, main = " Log-Normal Dağılım CDF") #Ters CDF- Kantil Fonksiyonu alpha=seq(0, 1, by = 0.01) kantil=qlnorm (alpha, mean, sd) plot(alpha,kantil, main = " Log-Normal Dağılım Kantil Fonksiyonu") # Log-Normal pdf x=seq(-3, 3, by = 0.01) y2=dlnorm (x, mean, sd) plot(x,y2, main = " Log-Normal Dağılım PDF")

46 LOG-NORMAL DAĞILIM (Ort=0, StSapma=1)

47 Normal Dağılım ve Log-Normal Dağılım

48 4. ÇARPIK-NORMAL DAĞILIM Azzalini and Capitanio (2002) tarafından tanımlanmıştır. Pdf si Olarak tanımlanır. Burada ξ, < ξ <, konum parametresi, ω > 0 ölçek parametresi, α, < α <, şekil( çarpıklı) parametresidir.

49 Özellikleri: α = 0, Z~N(ξ, ω 2 ) dir. α > 0, sağa çarpık α < 0, sola çarpık

50 R Code (Package sn ) library(sn) # Çarpık-Normal dağılımdan veri üretme: rsn(n=10000, xi=a, omega=b, alpha=c ) #Kümülatif Çarpık-Normal Dağılım Fonksiyonu: psn(x, xi=a, omega=b, alpha=c ) #Çarpık-Normal Dağılım Kantilleri: qsn(p, xi=a, omega=b, alpha=c ) #Çarpık-Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dsn(x, xi=a, omega=b, alpha=c ) #Çarpık Normal dağılımdan tane rasgele değişken üretelim n=10000 Veri=rsn(n=10000, xi=0, omega=1, alpha=5) plot(veri, main = " Çarpık-Normal Rasgele Değişkenler") chart.histogram(veri, methods="add.normal", main = " Çarpık-Normal Histogram") # Çarpık-Normal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu x=seq(-3, 3, by = 0.01) y1=psn(x, xi=0, omega=1, alpha=5) plot(x,y1, main = " Çarpık-Normal Dağılım CDF") #Ters CDF- Kantil Fonksiyonu alpha=seq(0, 1, by = 0.01) kantil=qsn(alpha, xi=0, omega=1, alpha=5) plot(alpha,kantil, main = " Çarpık-Normal Dağılım Kantil Fonksiyonu") # Çarpık-Normal pdf x=seq(-3, 3, by = 0.01) y2=dsn (x, xi=0, omega=1, alpha=5) plot(x,y2, main = " Çarpık-Normal Dağılım PDF")

51 ÇARPIK-NORMAL DAĞILIM (ξ = 0, ω = 1, α = 5)

52 5. ÇARPIK-t DAĞILIM Azzalini and Capitanio (2002) tarafından tanımlanmıştır. Pdf si Olarak tanımlanır. Burada ξ, < ξ <, konum parametresi, ω > 0 ölçek parametresi, α, < α <, şekil( çarpıklı) parametresi ve ν > 0 serbestlik derecesidir.

53 R Code (Package sn ) library(sn) # Çarpık-t dağılımdan veri üretme: rst(n=10000, xi=a, omega=b, alpha=c,nu=df) #Kümülatif Çarpık-t Dağılım Fonksiyonu: pst(x, xi=a, omega=b, alpha=c, nu=df) #Çarpık-t Dağılım Kantilleri: qst(p, xi=a, omega=b, alpha=c nu=df) #Çarpık-t Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dst(x, xi=a, omega=b, alpha=c nu=df) #Çarpık t dağılımdan tane rasgele değişken üretelim n=10000 Veri=rst(n=10000, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5) plot(veri, main = " Çarpık-t Rasgele Değişkenler") chart.histogram(veri, methods="add.normal", main = " Çarpık-t Histogram") # Çarpık-t Kümülatif Dağılım Fonksiyonu x=seq(-3, 3, by = 0.01) y1=pst(x, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5) plot(x,y1, main = " Çarpık-t Dağılım CDF") #Ters CDF- Kantil Fonksiyonu alpha=seq(0, 1, by = 0.01) kantil=qst(alpha, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5) plot(alpha,kantil, main = " Çarpık-t Dağılım Kantil Fonksiyonu") # Çarpık-t pdf x=seq(-3, 3, by = 0.01) y2=dst(x, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5) plot(x,y2, main = " Çarpık-t Dağılım PDF")

54 ÇARPIK-t DAĞILIM (ξ = 0, ω = 1, α = 5, ν = 5)

55 Çarpık-t Dağılım Farklı Şekil Parameterelerine Göre

56 6.Genelleştirilmiş Hiperbolik Dağımlar Not: R package «ghyp»

57 A. Hiperbolik Dağılım

58 B. Normal Inverse Gauss Dağılımı

59 C. Varyans-Gamma Dağılımı

60 D. Çarpık Hiperbolik t-dağılımı

61 7.Karma Dağılımlar

62 Karma dağılımlarda, X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, şeklinde g farklı olasılık yoğunluk fonksiyonunun,, oranlarında birleşiminden oluşur.