MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

Transkript

1 SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek midir? Ve problemin çözümü tamamen bozulmadan yeni optimum çözümü hesap edebilir miyiz? Yapılan bu analiz optimal sonrası analiz veya duyarlılık analizi olarak bilinir. Böyle durumlarda yeni optimal çözüm aşırı bir çalışma yapılmaksızın elde edilebilir. Modelde yapılan herhangi bir değişiklik sonucu aşağıdaki durumlarla karşılaşabiliriz: 1. Mevcut çözüm değişmez, 2. Mevcut çözümün olurluluğu bozulur, 3. Mevcut çözümün optimalliği bozulur, 4. Mevcut çözümün hem olurluluğu hem de optimalliği bozulur. Modelde yapılan değişiklik eğer mevcut çözümü değiştirmiyorsa herhangi bir işlem yapmaya gerek kalmayacaktır. Şayet çözümün olurluluğu bozulursa modele dual simpleks uygulanmalıdır. Eğer çözümün optimalliği etkilenirse çözüm primal simpleks ile optimal hale getirilmeye çalışılmalıdır. Çözümün hem olurluluğu hem de optimalliği bozulmuşsa çözüme primal simpkes ve dual simpleks uygulanmalıdır. İleri optimal analizinde temel nokta, matris biçiminde verilen genel simpleks tablonun incelenmesine dayanır. DP nın Standard formunun matrisel ifadesi şöyle idi: Maks Z=C I X I +C II X II Kısıtlar AX I +IX II =b X I, X II >=0, Daha önce dual çözümlerin elde edilmesinde kullanılan optimum tablonun matrisel ifadesi burada kullanılacaktır.

2 Burada; B: temeli ifade eden matris, C B : temel değişkenlerin amaç katsayıları, X B : ise temel değişkenler matrisi olmak üzere; Z satırında Y=C B.B -1 konarak Primal Optimal Tablo şu şekilde daha önce de verilmişti: Temel X I X II Çözüm Z YA-C I YA-C II Yb X B B -1 A B -1 B -1 b Optimum tablo amaç satırı katsayıları: Z J -C J =YA-C I Bu tablo yardımıyla dual değerlerin Y=C B.B -1 ifadesinden bulunabileceği belirtilmişti. Böylece bu tablodan B -1 kullanılarak giriş tablosu hesap edilebilir ve problemin orijinal (temel) verileri (değerleri) bulunabilir. İleri optimal analiz doğrudan bu incelemeye dayanır. Normal olarak, ileri optimal analizde örneğin C I ve C II amaç fonksiyonu katsayılarının ve b elde mevcut kaynaklardaki değişimlerin etkileri üzerine yapılan çalışmalar ilgimizi çekmektedir. Yukarıdaki tabloya bakıldığında C I ve C II daki değişimlere dikkat edilirse herhangi bir durumda b nin B veya B -1 in üzerine, her ne olursa olsun etkisi olamaz. Bundan dolayı B (A,I) nın sütunlarını kapsar ve B etkisiz kalacaktır. İleri optimal analizinde yapılmak istenen ilk şey (C I, C II ) dan (D I, D II ) ya ve/veya b den d ye bir değişimin temel B nin optimalliğini ve olurluluğunu koruyup koruyamayacağını test etmektir. Buna göre, B de değişim olmadığı kabulü altında, C B yi yeni D B ile, b yi de yeni d ile değiştirebiliriz ve böylece Y=D B.B -1 kullanılarak amaç satırını ve B -1 d kullanılarak sağ tarafını tekrar hesap edebiliriz. Eğer yeni amaç satırı katsayıları optimalliği bozmaz ve yeni sağ taraf katsayıları negatif olmaz ise, bu takdirde B, B -1 d yeni değerleriyle optimal ve olurlu kalır. Burada optimallik veya olurluluk ya da her ikisinin bozulmasına bağlı olarak, yeni çözümün elde edilmesi için ilave hesaplamalara ihtiyaç duyulacaktır. Bunu özetlemek için, İleri Optimal Analiz şu 3 kategoriye indirgenir: 1) Amaç katsayılarındaki (C J ) değişimler yalnız optimalliği etkileyebilir. 2) Sağ taraf değerlerindeki (b J ) değişimler yalnız olurluluğu etkileyebilir. 3) Amaç katsayılarındaki ve sağ taraf değerlerindeki değişimler optimallik ve olurluluğun her ikisini de etkileyebilir.

3 Yapılan değişimlerle ilgili yeni bir çözüm gerekiyorsa, bunu elde etmek için şu ilave hesaplamalara ihtiyaç duyulabilir: 1) Eğer tablo optimal değilse, yani amaç satırı bozulmuşsa, optimalliğe ulaşıncaya kadar (veya yeni çözümün optimalliği sınırsız olduğu görülünceye kadar) yeni tabloya primal simpleks metot uygulanır. 2) Eğer tablo olurlu değilse, yani sağ taraf değerlerinden en az biri negatif olmuşsa olurluluk tekrar elde edilinceye kadar (veya yeni çözümün olursuz kaldığı görülünceye kadar) yeni tabloya, dual simpleks metot uygulanır. 3) Eğer tablo hem optimal değil hem de olursuz ise, olursuzluğu kabul etmeksizin yeni tabloya önce primal simpleks metot uygulanarak optimalliğe ulaşılır, sonra olurluluğa dönmek için dual simpleks metot uygulanır. Aslında bu 3. işlem 1. ve 2. işlemlerin sırasıyla birlikte uygulanmasıdır. OPTİMALLİĞİ ETKİLEYEN DEĞİŞİMLER Simpleks çözümün optimalliği şu 3 durumdan birisiyle etkilenebilir: A. (C I, C II ) amaç katsayıları değiştirilmiştir. B. Temel olmayan bir faaliyetin (değişkenin) kaynak kullanımı, yani A daki temel olmayan bir sütun vektörü değiştirilmiştir. C. Modele yeni bir faaliyet (değişken) eklenmiştir. Bu 3 durum bundan sonra sırasıyla ele alınacaktır. A. AMAÇ FONKSİYONU KATSAYILARI DEĞİŞİMİ Genel simpleks tablo tanımından görüleceği gibi, (C I, C II ) amaç fonksiyonu katsayılarındaki değişikliklerin optimallik üzerine etkisi sadece temelde olmayan değişkenlerin amaç fonksiyonu satırının (z j c j ) yeniden hesaplanmasını gerektirir. Temel değişkenlerin c j lerinde oluşacak değişimler, z j c j satır elemanlarının daima sıfır olması nedeniyle dikkate alınmaz. Hesaplama süreci şu şekildedir: 1. Değişim olması halinde C B vektörü kullanılarak Y = C B B -1 dual fiyat vektörü hesaplanır. 2. Temelde olmayan x j lerin tümü için z j c j = YA j c j hesaplanır.

4 Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir: 1. Optimallik bozulmamışsa mevcut çözüm aynı kalır, ancak amaç fonksiyonu değeri (Z) değişir. 2. Optimallik bozulmuşsa optimalliği sağlamak için primal simpleks yöntem uygulanır. Şimdi RMC modelinin amaç fonksiyonunun (Z = 3X1 + 2X2) den (Z = 5X1 + 4X2) ye değiştirildiğini kabul edelim. Başlangıçta RMC modeli aşağıdaki gibi verilmişti. Max Z = 3.X1+2.X2+0.X3+0.X4+0.X5+0.X6 X1 + 2X2 + X3 = 6 2X1 + X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2 X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 Bu modelin Primal Simpleks Metod ile elde edilen optimal tablosu: Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 0 0 1/3 4/ /3 X /3-1/ /3 X /3 2/ /3 X X /3 1/ /3 Burada optimal temel vektör X B = (X2, X1, X5, X6) T = (4/3, 10/3, 3, 2/3) T dır. Optimum tabloda 0 dan farklı Z satır elamanları, z 3 -x 3, z 4 -x 4 ve yeni z i yi bulalım. Buna göre son optimal tablodan elde edilen optimal temel vektör, bu değişikliğe karşı gelen değişimleri X B = (X2, X1, X5, X6) ya karşılık gelen amaç katsayıları vektörü: C B =(C 2, C 1, C 5, C 6 ) = (4, 5, 0, 0) şeklinde olacaktır ve devamla dual çözüm:

5 Y=(y 1, y 2, y 3, y 4 ) = C B B -1 ifadesi yardımıyla 2/3-1/ /3 2/3 0 0 (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (4, 5, 0, 0) /3 1/3 0 1 Y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (1, 2, 0, 0) olarak elde edilir. Buna göre, yeni Z satırı katsayılarını {Z J -C J } = YA-C II ifadesini kullanarak hesaplayabiliriz. Burada; C I = (C 1, C 2 ) = (5,4) C II = (C 3, C 4, C 5, C 6 )=(0, 0, 0, 0) dır. Bu ifadelerin yeni amaç fonksiyonundan elde edildiğine dikkat edilmelidir. Aslında YA-C I ve Y-C II sıfır değerine sahiptir, fakat dual kısıtlara karşılık gelen sağ ve sol taraflar arasındaki farklar alınarak tüm J ler için Z J -C J ifadelerinin hesabına devam edebiliriz. Şimdi optimal tabloda =0 olan Z J -C J lerin Z 3 -C 3 =1/3, Z 4 -C 4 =4/3 ün yeni değerlerini hesap edelim. Bunun için başlangıç tablosundan X3 ve X4 e ait A matrisi sütunları alınır. Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z X X X X Geriye kalan katsayılar Y-C II = 0 olacağından Z J -C J =YA-C II dan: 1 0 (Z 3 -C 3, Z 4 -C 4 ) = YA-C II = (1, 2, 0, 0) (0, 0) = (1, 2) 0 0 A: primal başlangıç tablo x 3, x 4 sütunları matrisi. C II : başlangıç primal tabloda x 3, x 4 ün amaç katsayıları. Opt. Tabloda =0 olan amaç katsayılarının yeni değeri = (1, 2)

6 yeni amaç Z = 5X1 + 4X2 = 5(10/3) + 4(4/3) = 22 Buna göre yeni optimal amaç satırı; Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z Z satırının katsayıları non-negatiftir ve böylece de mevcut optimum çözüm değişmez. Yani ilk primal optimal tablodan elde edilen X1=10/3, X2=4/3 optimal çözümü; amaç katsayıları C 1 =3, C 2 =2 yerine C 1 =5, C 2 =4 alındığı zaman değişmez, yalnız Z amacının değeri değişir(artar). Not: amaç katsayılarında negatif değer olsaydı işlem yapılırdı. Örnek: RMC probleminde yeni amaç Max.Z=4X1+1X2 şeklinde verilirse çözüm nasıl etkilenir, araştıralım. Önce Y = C B B -1 bulunursa: C B = (C 2, C 1, C 5, C 6 ) = (1, 4, 0, 0) Y=(y 1, y 2, y 3, y 4 ) = C B B -1 ifadesi yardımıyla (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (1, 4, 0, 0) 2/3-1/ /3 2/ /3 1/3 0 1 Y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (-2/3, 7/3, 0, 0) olarak elde edilir. 1 0 (Z 3 -C 3, Z 4 -C 4 ) = YA-C II = (-2/3, 7/3, 0, 0) (0, 0) = (-2/3, 7/3) yeni Z = 4(10/3) + 1(4/3) = 44/3

7 Amaç fonksiyonu satırında negatif değer olduğu için (maksimizasyonda optimalliği bozduğu için) çözüme primal simpleks uygulanmalıdır. Buna göre yeni optimal tablo, bir iterasyon uygulanarak elde edilecektir. Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 0 0-2/3 7/ /3 X /3-1/ /3 X /3 2/ /3 X X /3 1/ /3 Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z X3 0 3/2 1-1/ X1 1 1/2 0 1/ X5 0 3/2 0 1/ X Yeni Z değeri ilk Z değerine göre artmıştır. Öyleyse amaç fonksiyonunun katsayılarında yapılan bu değişiklik olumlu bir değişikliktir. Bununla birlikte X1 temelde kalmış ancak X2 temel dışı olmuştur. B. DEĞİŞKENİN KISIT KATSAYILARINDAKİ DEĞİŞİM Kısıt kat sayılarındaki değişim faaliyetlerin kaynak kullanımlarındaki değişimi ifade eder. Bu değişim dual kısıtların sol tarafını etkileyeceğinden, faaliyetlerin kaynak kullanımlarındaki değişimler, yalnızca çözümün optimalliğini etkileyebilir. Temel faaliyetlerin kısıt katsayılarındaki bir değişim optimalliği ters (olumsuz) yönde etkileyecektir ve hesaplamalarda zorluklar çıkarabilir. Örnek: Amaç fonksiyonu Maks Z = 4X1 + X2 iken (son yaptığımız örneğe göre), 2 nolu iç boya faaliyetinin hammadde kaynaklarındaki 2 ve 1 tonluk kullanımları yerine 4 ve 3 tonluk kullanımlar olsun. Bu durumda optimum çözüm etkilenecek midir, araştıralım.

8 Modelin kısıtları aşağıdaki gibiydi: X1 + 2X2 + X3 = 6 2X1 + 1X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2 X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 Yeni kısıtlar şu şekilde olacaktır: X1 + 4X2 + X3 = 6 2X1 + 3X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6 = 2 X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 Maks Z = 4X1 + X2 amaç fonksiyonuna göre yaptığımız optimum çözüm tablosunu kullanarak; önce Y = C B B -1 bulunursa: C B = (C 3, C 1, C 5, C 6 ) = (0, 4, 0, 0) Y=(y 1, y 2, y 3, y 4 ) = C B B -1 ifadesi yardımıyla (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (0, 4, 0, 0) 1-1/ / / Y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (0, 2, 0, 0) olarak elde edilir. Z 2 -C 2 = YA-C I = (0, 2, 0, 0) (1) = 5 veya Aynı işlemi şu şekilde de yapabilirdik: Z 2 -C 2 = 4y 1 + 3y 2 + y 3 + y 4 1 = 4(0)+3(2)+1(0)+1(0)-1 = 5 Bu şekilde X2 nin optimal tablodaki amaç katsayısı 5 olarak bulunmuş olur. Bu değer >= 0 olduğundan (maksimizasyon için) bu kaynak kullanımı değişimi tablodaki

9 optimal çözümü etkilemez (çünkü 1 yerine 5 konulsa da optimal tablo çözümü değişmez). Aşağıdaki sonuçları deneyiniz: * Eğer A ve B hammadde kullanımları 4 ve 2 ton olursa Z 2 -C 2 =3 olur. Yine çözüm değişmez. * Eğer A ve B hammadde kullanımları 2 ve 1 yerine 2 ve 1/4 ton olursa Z 2 -C 2 = -1/2 X2 nin yeni katsayısı olur. Bu durumda optimal çözüm değişebilir. İşlem yapılarak optimum çözüm bulunur. C. MODELE YENİ BİR FAALİYET (DEĞİŞKEN) İLAVE EDİLMESİ A ve B`nin birleşmesiyle hem amaç hem kısıt değişir, optimallik değişebilir. Orijinal RMC modelinde, dış boyanın daha ucuz bir markasını üretmek isteyelim. Bu yeni boyanın her bir tonu için A ve B ham maddelerinin her birinden 3/4'er ton kullanılacak olsun. Yeni boyanın ton başına karı 3/2 (1000$) dır. 3. kısıtı oluşturan iç boyanın dış boyaya göre talebinin en çok bir ton fazla olması şartına yeni boya ilave edilerek durum değerlendirilmelidir. X7, yeni boyanın üretim miktarını (ton olarak ) göstersin. Buna göre orijinal model şöyle değiştirilir: Maks Z = 3X1 + 2X2 + 3/2X7 X1 + 2X2 + 3/4X7 6 2X1 + 1X2 + 3/4X7 8 -X1 + X2 - X7 1 X2 + 0X7 2 X1, X2, X7>=0 Yeni bir faaliyetin (değişkenin) ilavesi, amaç ve kaynak kullanımlarında yapılan değişimlerin analizini birleştirmeye eşdeğerdir.

10 1) X7 faaliyetinin optimum tablodaki amaç katsayısı: Orijinal tabloda X7 temelde olmayan bir değişken olduğundan dual değerler değişmez kalır. Böylece mevcut optimal tablodaki X7 nin katsayısı, ilk optimal primal tablodan; Temel X1 X2 X7 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 0 0 1/3 4/ /3 X /3-1/ /3 X /3 2/ /3 X X /3 1/ /3 Y = C B B -1 C B = (C 2, C 1, C 5, C 6 ) = (2, 3, 0, 0) Y=(y 1, y 2, y 3, y 4 ) = C B B -1 (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (2, 3, 0, 0) 2/3-1/ /3 2/ /3 1/3 0 1 Y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (1/3, 4/3, 0, 0) olarak elde edilir. Z 7 -C 7 = (3/4)y 1 + (3/4)y 2 - (1)y 3 + (0)y 4-3/2 =(3/4)(1/3)+(3/4)(4/3)-(1)(0)+(0)(0)-3/2= -1/4 Z 7 -C 7 = -1/4 olarak bulunur, optimallik bozulmuştur. * Bu demektir ki mevcut çözüm eğer x 7 >0(pozitif) olursa gelişecektir. * Buna göre mevcut optimal tablo, Z-amaç fonksiyonunun optimal tablodaki katsayısı -1/4 olan X7 nin optimal tablodaki kolon vektörü oluşturularak değiştirilir.

11 2) X7 ye ait optimal tablo kısıt katsayıları sütunu: B -1 A 7 : Primal tablodaki yeni sütun-x7 nin kısıt katsayıları şeklinde bulunabilir. 2/3-1/ /4 B -1 A 7 = -1/3 2/ /4 = /3 1/ /4 1/4-1 -1/4 Şimdi bu sütun vektörü optimal primal tabloya ilave edilir. Optimallik bozulduğu için primal simpleks uygulanır. Temel X1 X2 X7 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 0 0-1/4 1/3 4/ /3 X /4 2/3-1/ /3 X /4-1/3 2/ /3 X X /4-2/3 1/ /3 Temel X1 X2 X7 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z X /3-4/ /3 X X /3-1/ /3 X Burada yeni X7 faaliyetinin eklenmesiyle Z nin optimum değeri 38/3 ten 14 e yükselmiştir. Eğer böyle bir gelişme söz konusu ise yeni X7 faaliyeti-değişkeni- ilave edilmelidir. Bu durum yeni dış boyanın, X2 iç boyadan daha karlı olduğunu gösterir. Bu durum yeni bir kısıt ilavesine terstir. Çünkü yeni kısıt ilavesinde Z nin optimum değeri gelişmez. Burada iç boyanın üretilmemesi bazı pazar paylarını olumsuz etkileyebilir. Ayrıca iç boya üretimi için yapılan yatırımlar da atıl kalabilir.