Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Transkript

1 Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini vermektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 1/ 182 Fonksiyonun Limiti Tablodaki değerlerin ve f nin Şekilde verilen grafiğinden (bir parabol), x değeri 2 ye yakın olduğunda (her iki yönden de), f(x) in değerini 4 e istediğimiz kadar yakın yapabilmişiz gibi görünmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 2/ 182

2 Fonksiyonun Limiti Bunu x, 2 ye yaklaşırken, f(x) = x 2 x + 2 fonksiyonunun iti 4 e eşittir diyerek ifade ederiz. Bu ifadenin gösterimi şeklindedir. x 2 (x2 x + 2) = 4 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 3/ 182 Fonksiyonun Limiti Genelde aşağıdaki gösterimi kullanırız. Tanım 1: x değerlerini a sayısına yeteri kadar yakın (her iki yönden de) ancak a dan farklı alarak, f(x) değerini L sayısına istediğimiz kadar yaklaştırabiliyorsak, x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f(x) in iti L dir der ve yazarız. f(x) = L x a Kabaca bu, x değişkeni, a sayısına x a olacak şekilde (her iki yönden) yaklaşırken, f(x) değerinin giderek L sayısına daha yakın değerler alması anlamına gelir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 4/ 182

3 Fonksiyonun Limiti iti için diğer bir gösterim şekli f(x) = L x a x a iken f(x) L dir ve x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f(x) değerleri L ye yaklaşır şeklinde okunur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 5/ 182 Fonksiyonun Limiti Limit tanımındaki x a ifadesine dikkat ediniz. Bu, x değişkeni a sayısına yaklaşırken f(x) in itini bulmak için, x = a değerini hiç düşünmediğimiz anlamına gelir. Aslında f(x) fonksiyonu, x = a noktasında tanımlı bile olmayabilir. Önemli olan, yalnızca f(x) fonksiyonunun a nın yakınında nasıl tanımlandığıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 6/ 182

4 Fonksiyonun Limiti Şekil 1: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 7/ 182 Fonksiyonun Limiti Şekil 2: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 8/ 182

5 Fonksiyonun Limiti Şekil 3: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 9/ 182 Fonksiyonun Limiti Şekillerde üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. (3) de f(a) tanımlı değildir ve (2) de f(a) L dir. Ancak tüm durumlarda, a da ne olduğundan bağımsız olarak x a f(x) = L dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 10/ 182

6 Örnek Örnek: x 0 sin x x itini bulunuz. Çözüm: Yine f(x) = sin x/x fonksiyonu x = 0 noktasında tanımlı değildir. Bir hesap makinesi kullanarak (ve x R için sin x in radyan ölçümü x olan açının sinüsü olduğunu anımsayarak), virgülden sonra sekizinci basamağa kadar doğru olan değerlerle yandaki tabloyu oluştururuz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 11/ 182 Örnek... Şekil 4: Tablodan ve Şekil 4 daki grafikten sin x x 0 x = 1 olduğunu tahmin ederiz. Bu tahmin gerçekten de doğrudur ve bunu ileride geometrik bir akıl yürütmeyle kanıtlayacağız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 12/ 182

7 Örnek Örnek: x 0 sin π x itini bulunuz. Çözüm: Burada da f(x) = sin( π x ) fonksiyonu sıfır noktasında tanımlı değildir.bazı küçük x değerleri için fonksiyonun değerlerini hesaplarsak f(1) = sin π = 0 f( 1 2 ) = sin 2π = 0 f( 1 3 ) = sin 3π = 0 f(1 4 ) = sin 4π = 0 (1) f(0.1) = sin 10π = 0 f(0.01) = sin 100π = 0 elde ederiz. Benzer biçimde f(0.001) = f(0.0001) = 0 olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 13/ 182 Örnek... Bu bilgiler ışığında sin π x 0 x = 0 tahminini yapmak çekici gelsede, bu kez tahmin doğru değildir. Her n tamsayısı için f(1/n) = sin nπ = 0 olmasına rağmen, x in sıfıra yaklaşan sonsuz tane değeri için f(x) = 1 olduğu da doğrudur. [Aslında, π x = π 2 + 2nπ olduğu zaman, sin(π/x) = 1 dir ve buradan x i çözerek x = 2/(4n + 1) buluruz.] Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 14/ 182

8 Örnek... f nin grafiği şekil 5 de verilmiştir. Şekil 5: Grafikteki kesik çizgiler, x sıfıra yaklaşırken sin(π/x) değerlerinin 1 ile 1 arasında sonsuz kez gidip geldiğine işaret etmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 15/ 182 Örnek... x sıfıra yaklaşırken f(x) değerleri belli bir sayıya yaklaşmadığından iti yoktur. x 0 sin π x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 16/ 182

9 Örnek Örnek: x 0 1 itini (varsa) bulunuz. x2 Çözüm: x değişkeni 0 a yakın olduğunda, x 2 de 0 a yakın olur, ve 1/x 2 çok büyük olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 17/ 182 Örnek... Şekil 6: Aslında, Şekil 6 de gösterilen f(x) = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğinden, x değerleri 0 a yeteri kadar yakın alınarak, f(x) in değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği görülmektedir. Bu nedenle f(x) in değerleri herhangi bir sayıya yaklaşmaz ve dolayısıyla x 0 1 iti yoktur. x2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 18/ 182

10 Örnek Örnek: Heaviside fonksiyonu H, { 0, t < 0 H(t) = 1, t 0 olarak tanımlanır. [Bu fonksiyon adını elektrik mühendisi Oliver Heaviside( ) den almıştır ve t = 0 anında şalteri indirilen devredeki elektrik akımını ifade etmek için kullanılabilir.] Grafiği Şekil 7 de verilmiştir. Şekil 7: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 19/ 182 Örnek... t değişkeni 0 a soldan sağdan yaklaştığında H(t), 0 a yaklaşır. t, 0 a sağdan yaklaştığında, H(t) bu kez 1 e yaklaşır. Bu nedenle t sıfıra yaklaşırken, H(t) nin yaklaştığı tek bir değer olmadığından x 0 H(t) yoktur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 20/ 182

11 Tek Yönlü Limitler Bir önceki örnekte H(t) değerinin, t, 0 a sağdan yaklaşırken 0 a, t nin 0 a soldan yaklaşması durumunda 1 e yaklaştığını gözledik. Bunu simgesel olarak H(t) = 0 ve H(t) = 1 t 0 t 0 + ile gösteririz. t 0 sembolü t nin yalnızca 0 dan küçük değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Aynı şekilde t 0 +, t nin yalnızca 0 dan büyük değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 21/ 182 Tek Yönlü Limitler Tanım 2: x değişkeni a dan küçük olacak şekilde a ya yeterince yakın yakın alınarak, f(x) değerleri L sayısına istenildiği kadar yakın yapılabiliyorsa, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in soldan iti [veya x değişkeni a ya soldan yaklaşırken f(x) in iti] L dir deriz ve x a f(x) = L yazarız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 22/ 182

12 Tek Yönlü Limitler Tanım 2 nin Tanım 1 den tek farkının, x değişkeninin a dan küçük olması koşulu olduğuna dikkat ediniz. Benzer biçimde, x değişkeninin a dan büyük olması koşulunu getirirsek, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in sağdan iti L dir denir ve x a + f(x) = L yazarız. Dolayısıyla, x a + sembolü, yalnızca x > a değerlerini düşündüğümüz anlamına gelir. Bu tanımlar Şekil 8 da örneklenmiştir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 23/ 182 Tek Yönlü Limitler Şekil 8: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 24/ 182

13 Tek Yönlü Limitler Tanım 1 ile tek yönlü itlerin tanımlarını karşılaştırırsak, aşağıdakinin doğru olduğunu görürüz. olması için yeterli ve gerekli koşul f(x) = L x a f(x) = L ve x a + f(x) = L dir. x a Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 25/ 182 Örnek Örnek: Bir g fonksiyonunun grafiği Şekil 9 da verilmiştir. Bunu kullanarak (eğer varsa) aşağıdaki itlerin değerini bulunuz. a) x 2 g(x) b) x 2 + g(x) c) x 2 g(x) d) x 5 g(x) Şekil 9: e) x 5 + g(x) f) x 5 g(x) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 26/ 182

14 Örnek... Çözüm: Grafikten x değişkeni 2 ye soldan yaklaşırken, g(x) in 3 e yaklaştığını, buna karşılık x değişkeni 2 ye sağdan yaklaşırken g(x) in 1 e yaklaştığını görürüz. Dolayısıyla a) g(x) = 3 ve b) g(x) = 1 olur. x 2 x 2 + Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 27/ 182 Örnek... c) Sağ ve sol itler farklı olduğu için, x 2 g(x) olmadığı sonucuna varırız. Grafikten ayrıca olduğu görülmektedir. d) g(x) = 2 ve e) g(x) = 2 x 5 x 5 + Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 28/ 182

15 Örnek... f) Bu kez sağ ve sol itler aynıdır ve dolayısıyla, g(x) = 2 x 2 elde ederiz. Buna rağmen g(5) 2 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 29/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Limit Kuralları: c sabit bir sayı ve itleri varsa, f(x) ve x a g(x) x a 1. x a [f(x) + g(x)] = x a f(x) + x a g(x) 2. x a [f(x) g(x)] = x a f(x) x a g(x) 3. x a [c.f(x)] = c. x a f(x) 4. x a [f(x).g(x)] = x a f(x). x a g(x) 5. Eğer; x a g(x) 0 ise f(x) f(x) x a g(x) = x a dir. g(x) x a Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 30/ 182

16 Örnek Örnek: Limit kurallarını ve f ile g nin Şekil 10 de verilen grafiklerini kullanarak (varsa) aşağıdaki itleri bulunuz. Şekil 10: a) [f(x) + 5g(x)] x 2 b) x 1 [f(x)g(x)] c) x 2 f(x) g(x) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 31/ 182 Örnek... Çözüm: a) f ve g nin grafiklerinden olduğunu görüyoruz. f(x) = 1 ve x 2 g(x) = 1 x 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 32/ 182

17 Örnek... Dolayısıyla [f(x) + 5g(x)] = x 2 f(x) + [5g(x)] x 2 x 2 = f(x) + 5 g(x) x 2 x 2 Kural 1 ile Kural 3 ile = 1 + 5( 1) = 4 dür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 33/ 182 Örnek... b) f(x) = 2 olduğunu görüyoruz. Ancak g(x) iti yoktur x 1 x 1 çünkü sağ ve sol itler farklıdır: g(x) = 2 x 1 g(x) = 1 x 1 + Dolayısıyla Kural 4 ü kullanamayız. Sol it sağ ite eşit olmadığı için, verilen it yoktur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 34/ 182

18 Örnek... c) Grafik yardımı ile f(x) 1.4 ve g(x) = 0 x 2 x 2 buluruz. Ancak bölenin iti 0 olduğundan, Kural 5 i kullanamayız. Pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırken, payda 0 a yaklaştığından iti yoktur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 35/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak 6. n pozitif tamsayı olduğunda x a [f(x)] n = [ x a f(x)] n dir. 7. x a c = c 8. x a x = a 9. n pozitif tamsayı olmak üzere x a x n = a n dir. 10. n pozitif tamsayı olmak üzere x a n x = n a dır. (n çift ise, a > 0 varsayarız.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 36/ 182

19 Örnek Örnek: Her adımı açıklayarak, aşağıdaki iti bulunuz. Çözüm: x 5 (2x2 3x + 4) x 5 (2x2 3x + 4) = x 5 (2x 2 ) x 5 (3x) + x 5 4 (kural 1 ve 2) = 2 x 5 x 2 3 x 5 x + x 5 4 (kural 3) = 2(5 2 ) 3(5) + 4 (kural 7, 8 ve 9) = 39 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 37/ 182 Örnek Ancak aşağıdaki örneklerin sergilediği gibi, doğrudan yerine koyma yöntemi ile tüm it değerleri bulunamaz. Örnek: x 1 x 2 1 x 1 itini bulunuz. Çözüm: f(x) = (x 2 1)/(x 1) olsun. f(1) değeri tanımlı olmadığı için iti x = 1 koyarak bulamayız. Paydanın iti 0 olduğu için Bölüm kuralını da kullanamayız. Bunun yerine cebir bilgimizi kullanmalıyız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 38/ 182

20 Örnek... x 2 1 x 1 = (x 1)(x + 1) x 1 olarak çarpanlara ayıralım. Buradan x 1 in pay ve paydanın ortak çarpanı olduğunu görürüz. x değişkeni 1 e giderken it alındığında x 1 olduğundan x 1 0 dır. Dolayısı ile sadeleştirme yapabiliriz. Böylece iti x 2 1 x 1 x 1 = x 1 (x 1)(x + 1) x 1 = x 1 (x + 1) = = 2 olarak buluruz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 39/ 182 Örnek Örnek: h 0 (3 + h) 2 9 h itini bulunuz. Çözüm: F (h) = (3 + h)2 9 olarak tanımlayalım. F (0) tanımlı h olmadığından, F (h) itini h = 0 değerini yerine koyarak h 0 hesaplayamayız. Fakat F (h) yi cebirsel olarak sadeleştirirsek, F (h) = (h2 + 6h + 9) 9 h = h2 + 6h h = 6 + h buluruz. (h değişkeni 0 a yaklaşırken, yalnızca h 0 değerlerini düşündüğümüzü hatırlayınız.) Dolayısıyla olur. (3 + h) 2 9 h 0 h = h 0 (6 + h) = 6 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 40/ 182

21 Örnek Örnek: t 0 t t 2 itini bulunuz. Çözüm: Paydanın iti 0 olduğundan Bölüm kuralını doğrudan kullanamayız. Buradaki cebirsel işlem, paydadaki kare kökten kurtulmaktır: t 0 t t 2 = t 0 t t t t = t 0 (t 2 + 9) 9 t 2 ( t ) = t 0 t 2 t 2 ( t ) 1 = t 0 t = 1 (t 2 + 9) + 3 t 0 = = 1 6 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 41/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Bazı itleri almak için en iyi yöntem önce sağ ve sol itleri almaktır. Aşağıdaki teorem itin varlığı için yeterli ve gerek koşulun sağ ve sol itlerin varlığı ve eşitliği olduğunu ifade etmektedir. Teorem: x a f(x) = L için gerekli ve yeterli koşul x a x a f(x) = L = f(x) dir. + Tek yönlü (sağ ve sol) itleri alırken Limit Kurallarının bu tür itler için de geçerli olduğu gerçeğini kullanırız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 42/ 182

22 Örnek Örnek: x 0 x = 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: Mutlak değer fonksiyonunun x = { x, x 0 x, x < 0 olarak tanımlandığını hatırlayınız. 0 < x için x = x olduğundan, elde ederiz. x = x = 0 x 0 + x 0 + Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 43/ 182 Örnek x < 0 için x = x dir ve dolayısıyla x = x 0 x 0 ( x) = 0 dir. Teorem gereğince x = 0 x 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 44/ 182

23 Örnek x Örnek: x 0 x Çözüm: itinin olmadığını kanıtlayınız. x x 0 + x = x x 0 + x = 1 = 1 x 0 + x x 0 x = x x 0 x = = 1 x 0 ( 1) Sağ ve sol itler farklı olduklarından, Teorem gereğince aranılan it yoktur. f(x) = x /x fonksiyonunun grafiği Şekil 4 de verilmiştir ve yanıtımızı desteklemektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 45/ 182 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 46/ 182

24 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Teorem : x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için f(x) g(x) ise ve x değişkeni, a ya yaklaşırken f(x) ve g(x) in itleri varsa olur. f(x) g(x) x a x a Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 47/ 182 Limit Kurallarını Kullanarak Limit Almak Sıkıştırma Teoremi : x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için f(x) g(x) h(x) ve f(x) = h(x) = L x a x a ise g(x) = L x a dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 48/ 182

25 Sıkıştırma Teoremi Kimi zaman Sandviç Teoremi olarak da anılan Sıkıştırma Teoreminin anlamı Şekil 11 da açıklanmıştır. Şekil 11: Bu teorem, g(x) fonksiyonu a yakınında f(x) ve h(x) arasında sıkışmışsa, ve a sayısında f ve h fonksiyonlarının itleri var ve L ye eşitse, zorunlu olarak g fonksiyonunun da a daki itinin L olduğunu söyler. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 49/ 182 Örnek Örnek : x 0 x 2 sin 1 x =? Çözüm : Önce, x 0 sin 1 x iti olmadığından, x 0 x2 sin 1 x = x 0 x2 sin 1 x 0 x eşitliğini kullanamayacağımıza dikkat edin. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 50/ 182

26 Örnek... Bununla birlikte, 1 sin 1 x 1 olduğundan, Şekil 12 de gösterildiği gibi x 2 x 2 sin 1 x x2 elde ederiz. Şekil 12: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 51/ 182 Örnek... x 0 x2 = 0 ve ( x 2 ) = 0 olduğunu biliyoruz. x 0 Sıkıştırma teoreminde f(x) = x 2, g(x) = x 2 sin 1 x ve h(x) = x2 alarak buluruz. x 0 x2 sin 1 x = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 52/ 182

27 Süreklilik Bazı örneklerde x değişkeni a ya yaklaşırken f fonksiyonunun itinin fonksiyonun a noktasındaki değeri olarak hesaplanabildiğini fark etmiştik. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara a noktasında süreklidir denir. Sürekliliğin matematiksel tanımının, bu keenin günlük anlamına oldukça yakın olduğunu ileride göreceğiz. (Sürekli bir olay, kesintiye ve ani değişikliğe uğramadan devam eder.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 53/ 182 Süreklilik Tanım: f fonksiyonun a sayısındaki sürekliğiği f(x) = f(a) x a eşitliğini sağlamasıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 54/ 182

28 Süreklilik a noktasında sürekli olmayan bir f fonksiyonuna a noktasında süreksizdir denir. Tanıma göre, açıkça belirtilmemiş olsa da, bir fonksiyonun a noktasındaki sürekliliği üç koşulun sağlanmasını gerektirmektedir: 1. f(a) tanımlıdır (a sayısı f nin tanım kümesindedir). 2. x a f(x) iti vardır. 3. x a f(x) = f(a) dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 55/ 182 Süreklilik Tanım, f nin a noktasına yaklaşırken, f(x) in f(a) değerine yaklaşması olarak ifade eder. Dolayısıyla sürekli fonksiyonların, değişken x deki küçük bir değişikliğin, f(x) de de küçük bir değişikliği gerekli kılma özelliği vardır. Aslında x deki değişikliği yeterince küçük tutarak, f(x) deki değişim istenildiği kadar küçük tutulabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 56/ 182

29 Süreklilik Geometrik olarak, bir aralıktaki her noktada sürekli olan bir fonksiyonu, grafiği kesintisiz bir fonksiyon olarak düşünebilirsiniz. Bu, kalemle grafiği takip ettiğinizde, kalemi kaldırmadan grafiği izleyebilmeniz demektir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 57/ 182 Örnek Örnek : Grafiği Şekil?? de verilen fonksiyonun sürekli olmadığı noktaları bularak, nedenlerini açıklayınız. Şekil 13: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 58/ 182

30 Örnek... Çözüm : a = 1 noktasında fonksiyonun grafiğinde bir kesinti olduğundan, fonksiyon bu noktada süreksiz görünmektedir. Bunu matematiksel olarak, f(1) değeri tanımsız olduğundan fonksiyonun 1 noktasında süreksiz olduğu şeklinde açıklarız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 59/ 182 Örnek... Grafik a = 3 noktasında da kesintiye uğramaktadır. Ancak, buradaki süreksizliğin nedeni farklıdır. Burada f(3) tanımlıdır. Ancak, sağ ve sol itler farklı olduklarından x 3 f(x) iti yoktur ve bundan dolayı f, 3 noktasında sürekli değildir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 60/ 182

31 Örnek... a = 5 noktası fonksiyon için nasıl bir noktadır? Bu noktada f(5) tanımlıdır ve f(x) iti vardır (sağ ve sol itler eşittir). x 5 Ancak f(x) f(5) x 5 olduğundan, f fonksiyonu 5 noktasında sürekli değildir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 61/ 182 Örnek Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olmadığı noktaları bulunuz. 1 (a) f(x) = x2 x 2 (b) f(x) = x 2, x 0 x 2 1, x = 0 x 2 x 2, x 2 (c) f(x) = x 2 (d) f(x) = [ x ] 1, x = 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 62/ 182

32 Örnek... Çözüm : (a) f(x) = x2 x 2 x 2 f(2) tanımlı olmadığından, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 63/ 182 Örnek... (b) f(x) = 1 x 2, x 0 1, x = 0 Burada f(0) = 1 tanımlıdır. Ancak f(x) = x 0 x 0 it yoktur. Bu nedenle, f fonksiyonu 0 noktasında sürekili değildir. 1 x 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 64/ 182

33 Örnek... (c) f(x) = x 2 x 2, x 2 x 2 1, x = 2 Bu örnekte f(2) = 1 tanımlıdır ve x 2 x 2 f(x) = x 2 x 2 x 2 vardır. = x 2 (x 2)(x + 1) x 2 f(x) f(2) x 2 olduğundan, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir. = x 2 (x+1) = 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 65/ 182 Örnek... (d) Tam değer fonksiyonu f(x) = [ x ] tam sayılarda süreksizdir çünkü n bir tam sayı ise, x n [ x ] iti yoktur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 66/ 182

34 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 67/ 182 Örnek... Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 68/ 182

35 Süreksizlik Çeşitleri Şekillerde, örnekte çalışılan fonksiyonların grafiklerini vermektedir. Örneklerin tümünde grafik bir kalem ile izlenirse, var olan bir delik veya kesinti veya atlama nedeniyle kalem kaldırılmadan grafiğin çizilmesi olası değildir. (a) ve (c) örneklerindeki süreksizliklere giderilebilir süreksizlikler denir. Çünkü yalnız 2 noktasında f fonksiyonunu yeniden tanımlayarak süreksizliği giderebiliriz. [g(x) = x + 1 fonksiyonu süreklidir.] (b) deki süreksizlik türüne sonsuz süreksizlik denir. (d) deki süreksizlik türüne ise, fonksiyon bir değerden diğerine sıçradığından, sıçrama tipi süreksizlik adı verilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 69/ 182 Sağdan/Soldan Süreklilik f fonksiyonunun a da sağdan sürekli olması f(x) = f(a) x a + eşitliğini sağlaması; a da soldan sürekli olması ise f(x) = f(a) x a eşitliğini sağlaması olarak tanımlanır. Bir aralığın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyona o aralıkta süreklidir denir. (Fonksiyon, aralığın uç noktalarının yalnızca bir tarafında tanımlanmış ise bu noktalarda süreklilik, sağdan veya soldan süreklilik anlamındadır.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 70/ 182

36 Süreklilik Teorem : c bir sabit, f ve g fonksiyonları a sayısında sürekli fonksiyonlarsa, aşağıdaki fonksiyonlar da a noktasında süreklidir: 1. f + g 2. f g 3. cf 4. fg 5. f g, g(a) 0 ise Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 71/ 182 Süreklilik Teorem : (a) Her polinom gerçel sayıların tümünde, R = (, ) da süreklidir. (b) Her rasyonel (kesirli) fonksiyon tanım kümesinde süreklidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 72/ 182

37 Süreklilik Bu teoremin bir uygulaması olarak, bir kürenin hacminin, yarıçapına göre sürekli bir biçimde değiştiğini söyleyebiliriz. Bunun nedeni V (r) = 4 3 πr3 ün yarıçap r nin bir polinomu olmasıdır. Benzer biçimde, dik olarak 50 ft/sn hızla havaya fırlatılan bir topun t saniye sonraki yüksekliğini veren h = 50t 16t 2 fonksiyonu da, polinom olduğundan, süreklidir. Dolayısıyla topun yüksekliği zamana göre sürekli bir biçimde değişir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 73/ 182 Örnek Örnek : x 3 + 2x 2 1 x 2 5 3x itini bulunuz.. Çözüm : f(x) = x3 + 2x 2 1 fonksiyonu rasyonel bir 5 3x fonksiyondur ve teorem gereğince, tanım kümesi olan {x R x 5 3 } kümesinde süreklidir. Bu nedenle x 3 + 2x 2 1 x 2 5 3x = f(x) = f( 2) x 2 = ( 2)3 + 2( 2) ( 2) = 1 11 dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 74/ 182

38 Süreklilik f 1 fonksiyonunun grafiği f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması olduğundan, f sürekli bir fonksiyonsa, f 1 fonksiyonu da süreklidir. (f fonksiyonunun grafiğinde kesinti yoksa, y = x doğrusuna göre yansımasında da kesinti yoktur.) Teorem : Aşağıdaki fonksiyonlar tanım kümelerinde sürekli fonksiyonlardır: Polinomlar Trigonometrik fonksiyonlar Üstel fonksiyonlar Kök fonksiyonları Rasyonel fonksiyonlar Ters trigonometrik fonksiyonlar Logaritmik fonksiyonlar Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 75/ 182 Örnek Örnek : x π sin x 2 + cos x itini bulunuz. Çözüm : y = sin x fonksiyonu, teoremden dolayı süreklidir. Paydadaki y = 2 + cos x fonksiyonu, iki sürekli fonksiyonun toplamı olduğundan, süreklidir. Bu fonksiyon hiç bir zaman 0 değildir çünkü her x için cos x 1 olduğundan, her yerde 2 + cos x > 0 dır. Böylece, f(x) = sin x 2 + cos x fonksiyonu her yerde süreklidir. Dolayısıyla, sürekli fonksiyonun tanımından, olur. x π sin x 2 + cos x = f(x) = f(π) = sin x π π 2 + cos π = = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 76/ 182

39 Süreklilik Teorem : f fonksiyonu b de sürekli ve x a g(x) = b ise, dir. Başka bir deyişle, dir. f(g(x)) = f(b) x a ( ) f(g(x)) = f g(x) x a x a Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 77/ 182 Örnek Örnek : x 1 arcsin ( ) 1 x 1 x itini bulunuz. Çözüm : arcsin sürekli bir fonksiyon olduğundan, teoremi uygulayabiliriz: ( ) ( 1 x arcsin 1 ) x = arcsin x 1 1 x x 1 1 x ( = arcsin x 1 ( = arcsin x 1 1 ) x (1 x)(1 + x) ) x = arcsin 1 2 = π 6 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 78/ 182

40 Süreklilik Teorem : g fonksiyonu a da, f fonsiyonu da g(a) sürekli ise, (f g)(x) = f(g(x)) olarak verilen f g bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 79/ 182 Örnek Örnek : Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu yerleri bulunuz: (a) h(x) = sin(x 2 ) (b) F (x) = ln(1 + cos x) Çözüm : (a) g(x) = x 2 ve f(x) = sin x olmak üzere h(x) = f(g(x)) dir. Bir polinom olduğu için, g fonksiyonu R de süreklidir. f fonksiyonu da her yerde süreklidir. Böylece, teoremden, h = f g fonksiyonu R de süreklidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 80/ 182

41 Örnek... (b) Teoremden, f(x) = ln x ve (y = 1 ve y = cos x her yerde sürekli olduklarından) g(x) = 1 + cos x süreklidir. Dolayısıyla, teoremden, F (x) = f(g(x)) fonksiyonu tanımlı olduğu her yerde süreklidir. ln(1 + cos x) fonksiyonunun tanımlı olması için 1 + cos x > 0 olmalıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 81/ 182 Örnek... Dolayısıyla, cos x = 1 olduğu zaman tanımlı değildir, ve bu durum x = ±π, ±3π,... olduğunda gerçekleşir. Böylece, F fonksiyonu π nin tek katlarında süreksizdir ve bu değerlerin arasındaki aralıklarda süreklidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 82/ 182

42 Süreklilik Ara Değer Teoremi : f fonksiyonu kapalı [a, b] aralığında sürekli, N sayısı f(a) ile f(b) arasında herhangi bir sayı olsun. (a, b) aralığında, f(c) = N eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 83/ 182 Süreklilik Şekil 14: Ara değer teoremi, sürekli bir fonksiyonun f(a) ile f(b) arasındaki her değeri aldığını söyler. Bu özellik, Şekil 14 de gösterilmiştir. N değeri [(a) da olduğu gibi] bir kez veya [(b) de olduğu gibi] bir kaç kez alınabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 84/ 182

43 Örnek Ara değer teoreminin bir uygulaması, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, denklemlerin köklerinin yerlerinin belirlenmesidir. Örnek : 4x 3 6x 2 + 3x 2 = 0 denkleminin 1 ile 2 arasında bir kökü olduğunu gösteriniz. Çözüm : f(x) = 4x 3 6x 2 + 3x 2 olsun. Verilen denklemin bir çözümünü, diğer bir deyişle, 1 ile 2 arasında f(c) = 0 olacak şekilde bir c sayısı arıyoruz. Dolayısıyla, teoremde a = 1, b = 2 ve N = 0 alalım. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 85/ 182 Örnek... ve f(1) = = 1 < 0 f(2) = = 12 > 0 ve böylelikle f(1) < 0 < f(2) elde ederiz. Bu, N = 0 sayısının f(1) ile f(2) arasında olduğunu verir. f fonksiyonu bir polinom olduğundan her yerde süreklidir. Dolayısıyla, ara değer teoremi ile 1 ve 2 arasındaki bir c sayısı için f(c) = 0 olmalıdır. Bu da verilen denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü olması demektir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 86/ 182

44 Sonsuzluk İçeren Limitler Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 87/ 182 Sonsuz Limitler y = 1/x 2 fonksiyonunun değerler tablosunu ve şekildeki grafiğini inceleyerek 1 x 0 x 2 itinin olmadığı, ve x i 0 a yeterince yakın alarak, 1/x 2 değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği sonucuna varmıştık. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 88/ 182

45 Sonsuz Limitler Dolayısıyla f(x) in değerleri sonlu bir sayıya yaklaşmaz ve x 0 (1/x2 ) iti yoktur. Bu tür davranışı betimlemek için gösterimini kullanırız. x 0 1 x 2 = Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 89/ 182 Sonsuz Limitler Bu işaretini bir sayı olarak düşündüğümüz anlamına gelmediği gibi, itin var olduğu anlamına da gelmez. Bu yalnızca itin olmamasının nedeninin ifadesidir: x değişkeni 0 a yeterince yakın alınarak, 1/x 2 istenildiği kadar büyütülebilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 90/ 182

46 Sonsuz Limitler Genellikle, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in değerlerinin giderek büyüdüğünü (veya sınırsız olarak arttığını ) göstermek için, simgesel olarak x a f(x) = yazarız. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 91/ 182 Sonsuz Limitler f(x) = x a gösterimi, x değişkeni a ya yeterince yakın (sağından veya solundan) ama a dan farklı alınarak, f(x) değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabilineceği anlamına gelir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 92/ 182

47 Sonsuz Limitler f(x) = gösterimi x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in x a iti eksi sonsuz ya da x değişkeni a ya yaklaşırken, f(x) sınırsız olarak azalır olarak okunabilir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 93/ 182 Sonsuz Limitler Örnek olarak verilebilir. ( 1x ) x 0 2 = Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 94/ 182

48 Sonsuz Limitler Benzer tanımlar x a gösteriminin yalnız a dan küçük x değerlerini ve benzer biçimde x a + gösteriminin yalnız x > a değerlerini düşündüğümüz anlamına geldiği anımsanarak tek yönlü itler için de verilebilir. f(x) = x a f(x) = x a f(x) = x a + f(x) = x a + Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 95/ 182 Sonsuz Limitler Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 96/ 182

49 Sonsuz Limitler Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 97/ 182 Düşey Asimptot Tanım : Aşağıdakilerin en az birinin doğru olması durumunda, x = a doğrusuna, y = f(x) eğrisinin düşey asimptotu denir. f(x) = x a f(x) = x a f(x) = x a f(x) = x a f(x) = x a + f(x) = x a + Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 98/ 182

50 Örnek Örnek : x 3 + 2x x 3 ve x 3 2x x 3 itlerini bulunuz. Çözüm : x in değeri, 3 ten büyük ve 3 e yakın ise, payda x 3 küçük ve pozitif bir sayı ve pay 2x de 6 ya yakın olacağından, 2x/(x 3) oranı büyük bir pozitif sayı olacaktır. Buradan sezgisel olarak olduğunu görürüz. x 3 + 2x x 3 = Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 99/ 182 Örnek... Benzer biçimde, x in 3 ten küçük ve 3 e yakın değerleri için x 3 negatif ve küçük bir sayıdır, ama 2x yine pozitif bir sayıdır(6 ya yakın). Dolayısıyla 2x/(x 3) sayısal değeri büyük negatif bir sayı olur. Böylece elde ederiz. x 3 2x x 3 = y = 2x/(x 3) eğrisinin grafiği şekilde verilmiştir. x = 3 düşey bir asimptotdur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 100/ 182

51 Düşey Asimptot Tanıdık y = tan x ve y = ln x fonksiyonlarının grafiklerinde de düşey asimptotlar vardır. Grafiğe bakarak ln x = x 0 + olduğunu görürüz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 101/ 182 Düşey Asimptot Şekilden tan x = + x (π/2) olduğu görülür. Aslında, n tamsayı olmak üzere x = (2n + 1)π/2 doğrularının herbiri y = tan x eğrisinin düşey asimptotudur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 102/ 182

52 Sonsuzdaki Limitler f fonksiyonu (0, ) aralığında tanımlı olsun. f(x) = L x ifadesi, x in değeri yeterince büyük seçilerek, f(x) değerinin L ye istenildiği kadar yakın yapılabileceği anlamını taşır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 103/ 182 Sonsuzdaki Limitler Tanımın geometrik açıklaması şekillerde verilmiştir. Bir f fonksiyonunun (yatay asimptot denilen) y = L doğrusuna yaklaşmasının bir çok yolu olduğuna dikkat ediniz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 104/ 182

53 Örnek Örnek : f(x) = x2 1 x Şekil 15: x 2 1 x x = 1 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 105/ 182 Sonsuzdaki Limitler Şekil 15 e dönersek, x in sayısal olarak büyük negatif değerleri için f(x) değerlerinin 1 e yaklaştığını görürüz. x i negatif sayılardan sınırsız olarak küçülterek, f(x) değerini 1 e istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Bu, olarak ifade edilir. x 2 1 x x = 1 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 106/ 182

54 Sonsuzdaki Limitler Genel olarak, Şekil 16 da görüldüğü gibi, f(x) = L x gösterimi, x negatif sayılardan yeteri kadar küçülterek, f(x) değerlerinin L saysına istenildiği kadar yakın yapılabileceğini ifade eder. Şekil 16: Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 107/ 182 Sonsuzdaki Limitler Burada da bir sayı değildir, ancak sıklıkla ifadesi, olarak okunur. Tanım : f(x) = L x x eksi sonsuza giderken, f(x) in iti L dir Eğer f(x) = L veya f(x) = L ise, y = L doğrusuna x x y = f(x) eğrisinin yatay asimptotu denir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 108/ 182

55 Sonsuzdaki Limitler Örneğin, x 2 1 x x = 1 olduğundan y = 1 doğrusu, Şekil 15 deki eğrinin yatay asimptotudur. İki yatay asimptotu olan bir eğri örneği y = tan 1 x dir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 109/ 182 Örnek x tan 1 x = π 2 x tan 1 x = π 2 olduğundan, y = π/2 ve y = π/2 doğrularının her ikisi de yatay asimptotlardır. (Bu, x = ±π/2 doğrularının tanjant eğrisi grafiğinin düşey asimptotu olanlarındandır.) (2) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 110/ 182

56 Örnek Örnek : x 1 x ve x 1 x itlerini bulunuz. Çözüm : x büyükken 1/x in küçük olduğunu gözlemleyiniz. Örneğin, = 0, = 0, = 0, dir. Gerçekten x i yeterince büyük seçerek 1/x i 0 a istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Tanım gereğince elde ederiz. x 1 x = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 111/ 182 Örnek... Benzer şekilde x in negatif büyük değerleri için 1/x negatif ve küçük olur. Böylece 1 x x = 0 buluruz. Buradan, y = 0 doğrusunun (x-ekseni) y = 1/x eğrisi için yatay asimptot olduğu sonucuna ulaşırız.(eğri şekilde verilen hiperboldür.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 112/ 182

57 Sonsuzdaki Limitler Daha önce verilen Limit Kuralları nın çoğu sonsuzdaki itlerde de geçerlidir. Verilen Limit Kuralları nın (Kural 9 ve 10 dışında) x a yerine x veya x konduğunda da geçerli olduğu kanıtlanabilir. Özel olarak, n pozitif bir tamsayı olmak üzere x 1 x n = 0, x 1 x n = 0 dır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 113/ 182 Örnek Örnek : x 3x 2 x 2 5x 2 + 4x + 1 itini bulunuz. Çözüm : Kesirli bir fonksiyonun sonsuzdaki itini bulmak için önce pay ve paydayı, paydadaki x in en büyük kuvvetine böleriz. (Yalnızca x in büyük değerleri ile ilgilendiğimizden, x 0 varsayabiliriz.) Bu örnekte paydadaki x in en büyük kuvveti x 2 olduğundan it kurallarından x 3x 2 x 2 5x 2 + 4x + 1 = x 3x 2 x 2 x 2 5x 2 +4x+1 x x = 2 x 2 x x + 1 x 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 114/ 182

58 Örnek... = = (3 1 x x 2 ) x 2 (5 + 4 x x + 1 ) x 2 1 x 2 x 3 x x x 1 x x x 1 x 2 1 = = 3 5 x 2 buluruz. Benzer bir hesaplama x iken alınan itin yine 3/5 olduğunu verir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 115/ 182 Örnek... Şekilde verilen kesirli fonksiyonun y = 3/5 yatay asimptotuna yaklaşmasını göstererk bu hesaplamaların sonucunu sergilemektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 116/ 182

59 Örnek y = 0 (x-ekseni), y = e x doğal üstel fonksiyonunun grafiği için yatay bir asimptottur. x ex = 0. (3) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 117/ 182 Örnek Örnek : x 0 e1/x itini bulunuz. Çözüm : t = 1/x değişkeni için, x 0 iken t olduğunu biliyoruz. Böylece (3) den olur. x 0 e1/x = t et = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 118/ 182

60 Örnek Örnek : sin x itini bulunuz. x Çözüm : x artarken, sin x değerleri 1 ile 1 arasında sonsuz kez salınır. Bu nedenle sin x iti yoktur. x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 119/ 182 Sonsuzdaki Sonsuz Limitler = x gösterimi, x büyürken f(x) değerlerinin de büyüdüğünü ifade eder. Aşağıdaki gösterimlerin de anlamları benzerdir: = x = x = x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 120/ 182

61 Sonsuzdaki Sonsuz Limitler x ex = x x3 = x x3 = Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 121/ 182 Sonsuzdaki Sonsuz Limitler x iken y = e x, y = x 3 den çok daha hızlı büyümektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 122/ 182

62 Örnek Örnek : x (x2 x) itini bulunuz. Çözüm : x (x2 x) = x x2 x = x yazılamayacağına dikkat ediniz. Limit Kuralları bir sayı olmadığından sonsuz itlerde kullanılmazlar. ( tanımlanamaz.) Ancak hem x hem de x 1 sınırsız olarak büyüdüğünden yazabiliriz. x (x2 x) = x(x 1) = x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 123/ 182 Örnek x 2 + x Örnek : x 3 x itini bulunuz. Çözüm : Pay ve paydayı(paydadaki polinomun en yüksek kuvveti olan) x ile bölerek, x iken x + 1 ve 3/x 1 1 olduğundan, buluruz. x 2 + x x 3 x = x x x 1 = Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 124/ 182

63 Teğetler, Hızlar ve Diğer Değişim Hızları Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 125/ 182 Teğetler Bir C eğrisi, y = f(x) denklemi ile verilmiş olsun. C eğrisinin P (a, f(a)) noktasındaki teğetini bulmak istersek, P nin yakınındaki x a, koşulunu sağlayan bir Q(x, f(x)) noktasını alarak P Q kiriş doğrusunun eğimini hesaplarız: m P Q = f(x) f(a) x a Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 126/ 182

64 Teğetler x değeri a ya yaklaştıkça, Q noktası da eğri üzerinden P noktasına yaklaşacaktır. Eğer m P Q bir m sayısına yaklaşırsa, t teğetini P den geçen ve eğimi m olan doğru olarak tanımlarız. (BU, teğet doğrusunun, Q noktası ve P ye yaklaşırken P Q kiriş doğrularının it durumu olduğunu söylemek demektir.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 127/ 182 Teğet Doğrusu Tanım : Eğer aşağıdaki it varsa, y = f(x) eğrisinin P (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, P (a, f(a)) noktasından geçen ve eğimi f(x) f(a) m = x a x a olan doğrudur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 128/ 182

65 Örnek Örnek : y = x 2 parabolünün P (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Çözüm : a = 1 ve f(x) = x 2 olduğundan, eğim m = f(x) f(1) x 2 1 = x 1 x 1 x 1 x 1 = (x 1)(x + 1) x 1 x 1 = (x + 1) = = 2 x 1 dir. Doğru denkleminin nokta-eğim biçimini kullanarak, (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin y 1 = 2(x 1) ya da y = 2x 1 olduğunu buluruz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 129/ 182 Teğet Doğrusu Bir eğrinin bir noktasındaki teğetinin eğimini, eğrinin o noktadaki eğimi olarak da adlandırırız. Bunun ardındaki fikir, eğrinin üzerindeki noktaya yeterince odaklanıldığında eğrinin adeta bir doğru gibi görünmesidir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 130/ 182

66 Teğet Doğrusu Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 131/ 182 Teğet Doğrusu Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 132/ 182

67 Teğet Doğrusu Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 133/ 182 Teğet Doğrusu Şekillerde bu işlemi, y = x 2 eğrisi için göstermektedir. Ne kadar çok odaklanılırsa, parabol o denli bir doğruya benzemektedir. Başka bir deyişle, eğri adeta teğet doğrusundan ayırt edilemez hale gelmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 134/ 182

68 Teğet Doğrusu Teğet doğrusunun eğimi için, bazı durumlarda kullanımı daha kolay olan bir başka ifade vardır. olsun, o zaman h = x a x = a + h olur. Dolayısıyla, P Q kiriş doğrusunun eğimi olur. m P Q = f(a + h) f(a) h Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 135/ 182 Teğet Doğrusu (Şekilde, h > 0 durumu gözterilmiştir ve Q, P nin sağındadır. h < 0 durumunda Q, P nin solunda olmalıdır.) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 136/ 182

69 Teğet Doğrusu x, a ya yaklaştıkça, h nin de 0 a yaklaştığına dikkat ediniz (çünkü h = x a dır). Dolayısıyla, tanımdaki teğet doğrusunun eğiminin ifadesi f(a + h) f(a) m = (4) h 0 h biçimine dönüşür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 137/ 182 Örnek Örnek : y = 3/x hiprbolünün (3, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Çözüm : f(x) = 3/x olsun. O halde (3, 1) noktasındaki teğetin eğimi olur. f(3 + h) f(3) m = h 0 h = h 0 = h h 1 h = h 0 3 (3+h) 3+h h h h(3 + h) = h h = 1 3 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 138/ 182

70 Örnek... Dolayısıyla, (3, 1) noktasındaki teğetin bir denklemi y 1 = 1 (x 3) 3 olur ve biçiminde sadeleşir. x + 3y 6 = 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 139/ 182 Örnek... Hiperbol ve teğeti şekilde gösterilmektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 140/ 182

71 Hızlar s = f(t), hareket denklemi uyarınca bir doğru boyunca hareket eden bir cisim düşüne. Burada s, cismin başlangıç noktasından başlayarak (yönü de dikkate alan) yer değiştirmesini göstersin. Hareketi tanımlayan f fonksiyonuna cismin konum fonksiyonu denir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 141/ 182 Hızlar t = a ile t = a + h arasındaki zaman aralığında konumdaki değişim, f(a + h) f(a) olur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 142/ 182

72 Hızlar Bu zaman aralığındaki ortalama hız yer değiştirme f(a + h) f(a) ortalama hız = = zaman h ile ifade edilir ve şekildeki P Q kiriş doğrusunun eğimi ile aynıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 143/ 182 Hızlar Şimdi ortalama hızları, daha da kısa [a, a + h] zaman aralıklarında hesapladığımızı varsayalım. Başka bir deyişle, h sıfıra yaklaşsın. t = a anındaki v(a) hızını (ya da anlık hızı) bu ortalama hızların iti olarak tanımlarız: v(a) = h 0 f(a + h) f(a) h (5) Bu, t = a anındaki hızın, P deki teğet doğrusunun eğimine eşit olduğu anlamına gelir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 144/ 182

73 Türevler Daha önce y = f(x) denklemi ile ifade edilen bir eğrinin x = a noktasındaki teğetinin eğimini m = h 0 f(a + h) f(a) h (6) olarak tanımladık. Aynı zamanda konum fonksiyonu s = f(t) ile verilen bir cismin t = a anındaki hızının olduğunu gördük. v(a) = h 0 f(a + h) f(a) h Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 145/ 182 Türevler Aslında herhangi bir bi ya da mühendislik dalında ne zaman bir değişim hızı hesaplasak yukarıdaki gibi itler ortaya çıkar. Bu biçimdeki itlerle çok yaygın olarak karşılaşıldığından, bunlar için özel bir isim ve gösterim kullanılır. Tanım : Eğer varsa, aşağıdaki ite, f fonksiyonunun a sayısındaki türevi denir ve f (a) ile gösterilir: f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 146/ 182

74 Türevler f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h Eğer x = a + h yazarsak, h = x a olur ve h nin 0 a yaklaşması için gerekli ve yeter koşul x in a ya yaklaşmasıdır. Dolayısıyla, teğet doğrularını bulurken gördüğümüz gibi, türevin tanımını ifade etmenin eşdeğer bir yolu şudur: f (a) = x a f(x) f(a) x a (7) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 147/ 182 Örnek Örnek : f(x) = x 2 8x + 9 fonksiyonunun a noktasındaki türevini bulunuz. Çözüm : Tanımdan, f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h = h 0 [(a + h) 2 8(a + h) + 9] [a 2 8a + 9] h = h 0 a 2 + 2ah + h 2 8a 8h + 9 a 2 + 8a 9 h = h 0 2ah + h 2 8h h = h 0 (2a + h 8) = 2a 8 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 148/ 182

75 Fonksiyon Olarak Türev Önceki bölümde bir f fonksiyonunun sabit bir a sayısındaki türevi üzerinde durduk: f (a) = h 0 f(a + h) f(a) h (8) Burada bakış açımızı değiştire ve a nın değişken olduğunu varsayalım. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 149/ 182 Fonksiyon Olarak Türev Denklem 8 de, a nın yerine bir x değişkeni koyarsak, f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h (9) elde ederiz. Bu itin var olduğu her x sayısına bir f (x) sayısı karşıgelir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 150/ 182

76 Fonksiyon Olarak Türev Dolayısıyla, f f nin türevi olarak adlandırılan ve denklem 9 ile tanımlanan yeni bir fonksiyon olarak ele alınabilir. x deki f (x) değerinin, geometrik olarak f nin grafiğinin (x, f(x)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimi olarak yorumlanabileceğini biliyoruz. f fonksiyonu f nin türevi olarak adlandırılır çünkü f den denklem 9 deki it işlemi ile türetilmiştir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 151/ 182 Örnek Örnek: f(x) = x 3 x ise, f (x) için bir formül bulunuz. Çözüm: Türevi hesaplamak için denklem 9 yi kullandığımız zaman, h nin değişken olduğunu ve it hesabı yapılırken x in sabit olarak değerlendirildiğini hatırlamalıyız. f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h = h 0 [(x + h) 3 (x + h)] [x 3 x] h = h 0 x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x h x 3 + x h = h 0 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 h h = h 0 (3x 2 + 3xh + h 2 1) = 3x 2 1 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 152/ 182

77 Örnek Örnek: f(x) = x ise, f türevini bulunuz. f nün tanım kümesini bulunuz. Çözüm: f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h = h 0 = h 0 x + h x h x + h x h x + h + x x + h + x = h 0 (x + h) x h( x + h + x) = 1 = 1 x + x 2 x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 153/ 182 Örnek... f (x) = 1 2 x x > 0 ise, f (x) vardır, bu nedenle f nün tanım kümesi (0, ) olur. Bu küme, f nin tanım kümesi olan [0, ) kümesinden küçüktür. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 154/ 182

78 Diğer Gösterimler Bağımsız değişkenin x, bağımlı değişkenin y olduğu geleneksel y = f(x) gösterimini kullanırsak, türev için kullanılan bazı yaygın gösterimler aşağıdaki gibidir. f (x) = y = dy dx = df dx = d f(x) = Df(x) dx D ve d/dx sembolleri türev alma işlemini ifade ettiğinden türev alma operatörleri olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 155/ 182 Diğer Gösterimler Leibniz tarafından ortaya konulan dy/dx sembolü (şimdilik) bir oran olarak değerlendirilmemelidir; yalnızca f (x) ile eşanlamlıdır. Buna karşın, özellikle değişim gösterimi ile birlikte kullanıldığında çok yararlı ve anlamlı bir gösterimdir. Türevin tanımını Leibniz gösterimi ile, şeklinde yazabiliriz. dy dx = y x 0 x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 156/ 182

79 Diğer Gösterimler dy/dx türevinin bir a sayısındaki değerini, Leibniz gösterimi ile, dy dx ya da dy ] x=a dx x=a olarak ifade ederiz ve bu gösterim ile f (a) eşanlamlıdır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 157/ 182 Türevlenebilirlik Tanım : Eğer f (a) varsa, f fonksiyonuna a da türevlenebilirdir denir. Eğer f bir (a, b) [ya da (a, ) ya da (, a) ya da (, )] açık aralığındaki her sayıda türevlenebilirse, f fonksiyonu (a, b) açık aralığında türevlenebilirdir denir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 158/ 182

80 Örnek Örnek: f(x) = x fonksiyonu nerede türevlenebilirdir? Çözüm: Eğer x > 0 ise, x = x olur ve h yi, x + h > 0 koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz ve bu nedenle x + h = x + h olur. Dolayısıyla x > 0 için f (x) = h 0 x + h x h = h 0 (x + h) x h h = h 0 h = 1 = 1 h 0 elde ederiz ve bu nedenle x > 0 için f türevlenebilirdir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 159/ 182 Örnek... Aynı şekilde, eğer x < 0 ise, x = x olur ve h yi, x + h < 0 koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz. ve bu nedenle x + h < 0 ve dolayısıyla x + h = (x + h) olur. Dolayısıyla, x < 0 için f (x) = h 0 x + h x h = h 0 (x + h) ( x) h h = h 0 h elde ederiz ve bu yüzden x < 0 için f türevlenebilirdir. = 1 = 1 h 0 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 160/ 182

81 Örnek... x = 0 için şunu incelemeliyiz; f (0) = h 0 f(0 + h) f(0) h = h h 0 h h = h 0 h (it var ise) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 161/ 182 Örnek... Sağ ve sol itleri ayrı ayrı hesaplayalım: ve 0 + h 0 h 0 + h 0 + h 0 h 0 h h = h 0 + h = h h 0 + h = 1 = 1 h 0 + h = h 0 h = h h 0 h = = 1. h 0 ( 1) Bu itler farklı olduğundan, f (0) yoktur. Dolayısıyla f, 0 dışındaki her noktada türevlenebilirdir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 162/ 182

82 Örnek... f nün formülünü f (x) = { 1, x > 0 ise 1, x < 0 ise olarak verebiliriz ve grafiği Şekil(b) deki gibidir. f (0) ın var olmaması gerçeği, geometrik olarak y = x in (0, 0) noktasında teğet doğrusunun olmaması olgusunda yansıtılmaktadır. (Bkz. Şekil(a).) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 163/ 182 Süreklilik ve Türevlenebilirlik Süreklilik ve türevlenebilirliğin her ikisi de, bir fonksiyon için sahip olması istenilir özelliklerdir. Aşağıdaki teorem bu özelliklerin nasıl ilişkili olduklarını göstermektedir. Teorem : Eğer f, a sayısında türevlenebilirse f, a sayısında süreklidir. Not: Teoremin tersi yanlıştır; bir başka deyişle, sürekli fakat türevlenebilir olmayan fonksiyonlar vardır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 164/ 182

83 Süreklilik ve Türevlenebilirlik Örneğin, f(x) = x fonksiyonu, olduğundan 0 da süreklidir. f(x) = x = 0 = f(0) x 0 x 0 Fakat, bir önceki örnekte f nin 0 da türevlenebilir olmadığını gösterdik. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 165/ 182 Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir? Eğer f fonksiyonunun grafiğinde köşe veya kırılma varsa, f nin grafiğinin o noktada teğeti yoktur ve f, o noktada türevlenebilir değildir. (f (a) değerini hesaplamaya çalıştığımızda, sağ ve sol itlerinin farklı olduğunu görürüz.) En son verdiğimiz teorem, bir fonksiyonun türevi olmamasının bir başka yolunu verir. Eğer f, a sayısında sürekli değilse, f nin a da türevlenebilir olmadığını söyler. Bu nedenle, f süreksiz olduğu noktada (örneğin, sıçrama biçimindeki süreksizlerde) türevlenebilir değildir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 166/ 182

84 Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir? Üçüncü bir olasılık ise, eğrinin x = a da düşey bir teğet doğrusuna sahip olmasıdır. Bir başka ifadeyle, f a da sürekli ve f (x) = x a olmalıdır. Bu, x a ya yaklaştıkça, teğet doğrularının dikleşmesi demektir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 167/ 182 Bir Fonksiyon Nasıl Türevlenebilir Olmayabilir? Şekil ele aldığımız üç olasılığı da göstermektedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 168/ 182

85 İkinci Türev f türevlenebilir bir fonksiyonsa, f de bir fonksiyondur, dolayısıyla f nün kendisininde (f ) = f ile gösterilen bir türevi olabilir. Bu yeni f fonksiyonu, f nin ikinci türevi olarak adlandırılır, çünkü f nin türevinin türevidir. Leibniz gösterimini kullanarak, y = f(x) fonksiyonunun ikinci türevini aşağıdaki gibi yazarız. ( ) d dy = d2 y dx dx dx 2 Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 169/ 182 Örnek Örnek: f(x) = x 3 x ise, f (x) i bulunuz. Çözüm: Daha önce, f (x) = 3x 2 1 olduğunu bulmuştuk. Dolayısıyla, ikinci türev f (x) = h 0 f (x + h) f (x) h = h 0 [3(x + h) 2 1] [3x 2 1] h = h 0 3x 2 + 6xh + 3h 2 1 3x h = h 0 (6x + 3h) = 6x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 170/ 182

86 İkinci Türev - İvme Genel olarak, ikinci türevin anlamınıdeğişim hızının değişim hızı olarak açıklayabiliriz. Bunun en bilinen örneği aşağıda tanımlayacağımız ivme dir. Doğru boyunca hareket eden bir cismin konum fonksiyonu s = f(t) ise, bu fonksiyonun birinci türevinin, cismin hızını zamanın bir fonksiyonu olarak gösterdiğini biliyoruz: v(t) = f (t) = df dt Hızdaki zamana göre anlık değişim hızı olan a(t), nesnenin ivmesi olarak adlandırılır. Öyleyse, ivme fonksiyonu hız fonksiyonunun türevidir ve bu nedenle konum fonksiyonunun ikinci türevidir: a(t) = v (t) = f (t) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 171/ 182 Yüksek Mertebeden Türevler Genelleştirirsek, f nin n inci türevi f (n) ile gösterilir ve f fonksiyonunun n kez türevinin alınmasıyla elde edilir. y = f(x) ise, yazarız. y (n) = f (n) = dn y dx n Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 172/ 182

87 Doğrusal Yaklaştırımlar Bir eğrinin, teğet noktasının çevresinde, o noktadaki teğet doğrusuna çok yakın olduğunu görmüştük. Aslında, türevlenebilir bir fonksiyonungrafiğindeki bir noktaya doğru odaklandıkça, grafiğin o noktadaki teğet doğrusuna daha çok benzediğine dikkat etmiştik. Bu gözlem, fonkiyonlar için yaklaşık değerler bulma yöntemlerinden birinin temelini oluşturur. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 173/ 182 Doğrusal Yaklaştırımlar Fikir şudur: Bazen bir fonksiyonun f(a) değerini hesaplamak kolay olabilirken, f nin buna yakın değerlerini hesaplamak zor (dahası, olanaksız) olabilir. Bu nedenle, grafiği f nin (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu olan L doğrusal fonksiyonunun kolay hesaplanan değeriyle yetiniriz. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 174/ 182

88 Doğrusal Yaklaştırımlar Genelde, (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunu, x sayısı a ya yakınken y = f(x) eğrisinin yaklaştırımı olarak kullanırız. Bu teğet doğrusunun denklemi dır y = f(a) + f (a)(x a) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 175/ 182 Doğrusal Yaklaştırımlar ve f(x) f(a) + f (a)(x a) yaklaştırımına f nin a daki doğrusal yaklaştırımı ya da teğet doğrusu yaklatırımı denir. Grafiği teğet doğrusu olan L(x) = f(a) + f (a)(x a) doğrusal fonksiyonu, f nin a daki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 176/ 182

89 Örnek Örnek: f(x) = x fonksiyonunun a = 1 deki doğrusal yaklaştırımını bulunuz. Daha sonra bunu 0.99, 1.01 ve 1.05 sayılarının yaklaşık değerlerini bulmak için kullanırız. Bulduğunuz değerler sayıların gerçek değerlerinden fazla mı, yoksa az mıdır? Çözüm: Öncelikle, y = x fonksiyonunun x = 1 deki teğet doğrusunun eğimi olan f (1) değerini bulmalıyız. Daha önceki örneklerde f (x) = 1 2 x olarak bulmuştuk. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 177/ 182 Örnek... Dolayısıyla, f (1) = 1 2 denklemi olur ve (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun ve doğrusal yaklaştırım y 1 = 1 2 (x 1) ya da y = 1 2 x olur. x L(x) = 1 2 x Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 178/ 182

90 Örnek... Özel olarak, 0.99 L(0.99) = 1 2 (0.99) = L(1.01) = 1 2 (1.01) = L(1.05) = 1 2 (1.05) = elde ederiz. ( 0.99 = , 1.01 = , 1.05 = ) Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 179/ 182 Örnek... Şekilde y = x fonksiyonu ve onun doğrusal yaklaştırımı L(x) = 1 2 x fonksiyonunun grafikleri çizilmiştir. Yaklaşık değerlerimizin gerçek değerlerden fazla olduğunu görmekteyiz, çünkü teğet doğrusu eğrinin üzerindedir. Öğr.Gör. Volkan ÖĞER MAT 1009 Matematik I 180/ 182