VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER

Transkript

1 VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1

2 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet : V Doğrultusu : AB Yönü : A dan B ye doğru Uygulama noktası : A Yatayla yaptığı açı : θ 2

3 2.2 Vektörlern Sınıflandırılması Püf noktası 2-a: Sınıflandırmada esas vektörün etkme veya temsl durumunun değşmemesdr. 1-Serbest vektör (Free vector): Belrl br şddet, doğrultusu ve yönü vardır ama etkme doğrultusu uzayda tek br noktadan geçmez. Sabt br hızla doğrusal hareket yapan br aracın hız vektörü buna br örnektr. 2- Kayan vektör (Sldng vector): Belrl br şddet, doğrultu ve yönü vardır. Uygulama noktası etkme doğrultusu üzernde herhang br nokta olablr. Rjt br csme etk eden kuvvet, aynı etky etkme çzgs üzernde herhang br noktadan uygulandığında da gösterr k bu kuvvet kayan vektöre br örnektr. 3- Sabt vektör (Fxed vector): Belrl br şddet, doğrultu ve yönü vardır. Etkme doğrultusu uzayda tek br noktadan geçer. Elastk br çubuğa uygulanan çekme kuvvetler buna br msaldr. Kuvvetlern aynı etky koruması çn etkme doğrultusu ve noktası sabt olmalıdır. 3

4 2.3 Kaydırılablme İlkes (Prncple of transmssblty): Rjt csm üzerne etkyen kuvvetn şddet, doğrultusu ve yönü aynı kalmak koşuluyla uygulama noktası doğrultusu üzernde herhang br noktaya taşınablr ve bu şlem sonucu csme etks değşmez. 4

5 2.4 Kartezyen Koordnatlar : Brbrne dk (ortogonal) eksenlerden oluşan eksen takımıdır. İk boyutlu (düzlemsel) durumda x ve y eksenlern, üç boyutlu (uzaysal) durumda x, y ve z eksenlern çerr. x-y eksenler genelde sayfa düzlem çnde alınır, yönler keyf olarak belrleneblr; z eksennn artı yönü se sağ el kuralına göre belrlenr. Vdanın dönüş yönü Sağ vda Vdanın lerleme yönü 5

6 2.5 Vektörel İşlemler Toplama - Çıkarma Vektörlern Toplama ve çıkarma şlemnde 2 yöntem vardır: a- Paralelkenar kuralı: Toplama: Çıkarma: b- Üçgen Kuralı: Toplama: Çıkarma: 6

7 2.5. Vektörel İşlemler Toplama - Çıkarma Brden Fazla vektörün toplanması: Üçgen kuralı daha pratktr. Vektörler uç uca eklenr ve lk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çzlen vektör bleşkey verr. Vektörlern sırasının önem yoktur. Çıkarılacak vektörün se yönü ters çevrlerek eklenr. 7

8 2.5 Vektörel İşlemler Çarpma a- Br vektörün br skalerle çarpımı: Çarpılan vektörle aynı doğrultuda br vektördür. Eğer çarpım katsayısı poztf se yönde aynıdır. Sonuçta vektörün şddet le skaler çarpılır. 8

9 2.5 Vektörel İşlemler Çarpma b- İk Vektörün Skaler Çarpımı: İk vektörün skaler çarpımı br skalerdr. Her k vektörün şddetler ve aralarındak açının cosnüsünün çarpılmasıyla bulunur. Skaler çarpımda «nokta» kullanılır. 9

10 2.5 Vektörel İşlemler Çarpma c- İk Vektörün Vektörel Çarpım: Sonuç br vektördür. Çıkan vektörün şddet her k vektörün şddetler ve aralarındak açının snüsünün çarpılmasıyla bulunur. Yönü se çarpılan vektörlern bulunduğu ortak düzleme dktr ve sağ el kadesyle bulunurç Vektörel çarpımda «x» veya «^» kullanılır. 10

11 2.5 Vektörel İşlemler Çarpma d- Sağ el kades: İlk çarpılan vektörü (A) 2nc vektörün (B) üzerne sağ elmzle dört parmağımızla kapatırız. Başparmağımızın yönü sonuç vektörünün (C) yönünü verr. Bu yön çarpılan vektörlern düzlemne dk yöndür. Bu nedenle vektörlern çarpım sırası önemldr. Vektörel Çapımda Dağılma Özellğ 11

12 2.5 Vektörel İşlemler Kartezyen koordnatlarda eksenler (x,y,z) doğrultularındak brm vektörler, özel olarak, j,k le sembolze edlr. (I) Buna göre, br vektör şddet le kend doğrultusundak brm vektörün çarpına eşttr. Yan: (II) Br doğrultudak brm vektörü bulmak çn (I) formülü, Özellkle kartezyen koordnatlarda Vektörün fades çn se (II) formülü kullanılır. Örnek: 12

13 2.5 Vektörel İşlemler /Brm Vektör Kartezyen brm vektörlern vektörel çarpımı: Aralarındak açı 90 olan, j ve k brm vektörlernn vektörel çarpımı Şema yardımı le brm vektörlern vektörel çarpımı:,j,k vektörlernde herhang ksnn çarpımı dğer 3ncü vektörü verr. İşaret se yandak şema yardımıyla bulunur. Çarpılan lk vektörden, çarpılan knc vektöre gdş yolu saat bres yönünde se sonuç poztf, aks halde negatftr. Örn-1: Şemada j den k ya gdş saat bres yönünde olduğundan çıkan sonuç + dr. Örn-2: Şemada den k ya gdş saat bres ters yönündedr. Bu nedenle çıkan sonuç - j dr. 13

14 j k, j k, k j j k, k j, k j, 1 90 sn j j 0 k k 0, j j, 0 0 sn = = = = = = = = = = = = Brm vektörlern kends le vektörel çarpımı sıfırdır. Brm vektörlern kends le scaler çarpımı 1 dr. Brm vektörlern dğer brm vektörlerle scaler çarpımı 0 dır. Örn: 2.5 Vektörel İşlemler /Brm Vektör Vektörler ve Vektörel İşlemler

15 2.5 Vektörel İşlemler Vektörel çarpımın matrs formatı: 15

16 Karışık Üçlü Çarpım: Br kuvvetn br doğruya göre moment alındığında kullanılır. ( ) ( ) ( ) z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x W W W V V V U U U W V U W W W V V V k j k U j U U W V U k W j W W W k V j V V V k U j U U U = + + = + + = + + = + + = veya 2.5 Vektörel İşlemler /Vektörel Çarpımın Matrs Formatı Vektörler ve Vektörel İşlemler

17 2.5 Vektörel İşlemler İzdüşüm : Br vektörün br eksen üzerndek zdüşümü vektörün ucundan o eksene nlen dk le bulunur Bleşen: Br vektörün 2 farklı eksene göre bleşenlern bulmak çn, vektörün ucundan herbr eksene paralel çzgler çzerz. Bu çzglern eksenler kestğ noktalar vektörün bleşenlern verr. 17

18 2.5 Vektörel İşlemler / Bleşen Bleşenle İzdüşüm Arasındak Fark: Bleşenle İzdüşüm Ne zaman aynı olur?: Eksenler brbrne dk olduğunda bleşen ve zdüşümler üst üste çakışır ve aynı olur. Kartezyen koordnat eksenler (x,y,z) brbrlerne dktr. 18

19 2.5 Vektörel İşlemler / Bleşen Br Vektörün Br Doğruya Dk ve Paralel Bleşenler b Şunları da göreblmek gerekr: : Aynı zamanda b eksenndek zdüşümdür. θ U 19

20 2.5 Vektörel İşlemler / Bleşen İk Boyutlu (Düzlemsel) Kartezyen Koordnatlarda Vektör Bleşenler Üç Boyutlu (Uzay) Kartezyen Koordnatlarda Vektör Bleşenler 20

21 2.5 Vektörel İşlemler / Bleşen Bleşen Örnekler: Gerçek yaşamdan br örnek Düzlemde kartezyen koordnatlara göre bleşenler. Aynı zamanda zdüşümlerdr. Uzayda kartezyen koordanatlara göre bleşenler. Aynı zamanda zdüşümlerdr. Kartezyen koordnatlara göre olan bleşenler Dk Bleşenler olarak da smlendrlr. 21

22 2.5 Vektörel İşlemler / Bleşen Üç boyutlu vektörlern kartezyen koordnatlarda gösterlmes: Şddet: Brm vektör: 22

23 2.6 Konum Vektörü: Başlangıç ve btş noktasının koordnatları bell olan br vektörün şu şeklde bulunur. 23

24 2.7 Kartezyen Koordnat eksenlernn yerleştrlmes: Kartezyen koordnatlardan 2 eksen keyf olarak yerleştrlr. Ancak 3ncü eksen mutlaka sağ el kadesyle yerleştrlmeldr. Yerleştrlen eksenlerdek brm vektörler brbrleryle, sonuç poztf çıkacak şeklde (sırada) çarpılır. Sağ el kadesne göre lk çarpılan vektörü 2ncs üzerne sağ elmzn 4 parmağı le kapatırız. Baş parmağımız çarpım sonucunun yönünü verr k bu da 3ncü eksenn poztf yönüdür. Soru: Şekle göre +y eksen ne tarafa olmalıdır. Cevap: +j çıkması çn 24

25 2.8 Örnekler Çözüm: 25

26 2.8 Örnekler Örnek 2.8.2: Br V vektörünün başlangıcı kartezyen koordnat sstemnn başlangıç noktasına yerleştrldğnde uç noktası A (60,30,20) koordnatlarında se bu vektörün a) bu koordnat sstemndek yazılışını, b) şddetn, c) brm vektörünü, d) koordnat eksenler le yaptığı açıları bulunuz. 26

27 2.8 Örnekler A(0,1,2), B(2,0,0) 27

28 2.8 Örnekler A(0,1,2), B(2,0,0), C(2,1.5,0) 28