DERS NOTLARI. Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi

Transkript

1 DERS NOTLARI Yard. Doç. Dr. Namık AKÇAY İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi DERS

2 Boolean Algebra George Boole ( ) 1854 yılında George Boole tarafından özellikle lojik devrelerde kullanılmak üzere ortaya konulmuş bir matematiksel sistemdir li yıllarda da ilk defa Claude Shannon tarafından Boole un çalışması, lojik devrelerin tasarımı ve analizinde kullanılmıştır. Boole cebri AND, OR ve NOT temel mantıksal işlemlerinden oluşan sembolik bir sistem olarak düşünülebilir. VE (AND) VEYA (OR) DEĞİL (NOT) 2

3 Boolean Algebra George Boole ( ) Boole Cebri, İkili sistemin cebridir. Tüm Bilgisayarlar Boole Cebrini kullanarak (1 ve 0 dönüşümü) çalışırlar. Bilgisayarlarda, Voltaj seviyesine bağlı olarak iki tür mantık kullanılır. 1. Positive logic 1 için + voltage (örneğin 5 V) ve 0 için 0 V. 2. negative logic 1 = 0V, 0 = +V (örneğin 5V) 3

4 Logic Gates Mantık Kapıları Temel olarak 7 kapı vardır bunlar; VE VEYA DEĞİL VE DEĞİL VEYA DEĞİL ÖZEL VEYA ÖZEL VEYA DEĞİL (AND) (OR) (NOT) (NAND) (NOR) (EXOR) (EXNOR) 4

5 Logic Gates Mantık Kapıları 5

6 Boolean Algebra George Boole ( ) Mantık devrelerinin çalışmasını matematiksel olarak ifade etmek için Boolean Kuralları kullanılmaktadır. Boolean Değişkeni: İki adet Boolean değişkeni vardır. 0-1, DY, H-L, ON-OFF boolean değişkenleri olarak kullanılmaktadır. Derste 0-1 kullanılacaktır. Boolean İşlemleri: Boolean değişkenlerinin dönüşümünde kullanılan işlemlerdir. Bu işlemler VE, VEYA, DEĞİL işlemleridir. 6

7 Boolean Algebra: DEĞİL İşlemi DEĞİL İŞLEMİ A değişkeninin DEĞİL i A veya Ā ile gösterilir ve A nın tersine Eşittir. A A DEĞİL, Tümleyen ya da Tersi de denir. DOĞRULUK TABLOSU (Truth Table) A A F(A) = A Boolean Gösterimi 7

8 Boolean Algebra: VE İşlemi VE İŞLEMİ Elektrik devresinde seri bağlı anahtarlar ile gösterilir. A B Matematikte çarpma işlemine karşılık gelir. DOĞRULUK TABLOSU Q = A B A B Q = = = = 1 A VE B 1 ise sonuç (F) 1 Diğer durumlarda sonuç 0 8

9 Boolean Algebra: VE İşlemi VE İŞLEMİ Çarpımda. gösterilmez. F(A, B) = AB boolean Gösterimi Anahtar AÇIK (0) Anahtar KAPALI(1) A B A = 1 A Anahtarı kapalı B = 1 B Anahtarı kapalı T = AB = 1 Devre kapalı 9

10 Boolean Algebra: VEYA İşlemi VEYA İşlemi VEYA İşlemi matematikteki toplama işlemine karşılık gelmektedir. Elektrik devresi olarak birbirine paralel bağlı anahtarlar ile gösterilebilir = 0, = 1, = 1, = 1 DOĞRULUK TABLOSU A B Y A B Q = A + B A VEYA B 1 ise sonuç (F) 1 Her ikisi 0 ise Sonuç 0 Q 10

11 Boolean Algebra: VEYA İşlemi A B A veya B anahtarları kapalı değil, devre açık (0) A B A B A B B anahtarı kapalı (1), Devre kapalı (1) A anahtarı kapalı (1), Devre kapalı (1) A ve B anahtarı kapalı (1), Devre kapalı (1) 11

12 Boolean KURALLARI X + 0 = X X + 1 = 1 X 1 = X X 0 = 0 Operations with 0 and 1 X + X = X X X = X Idempotent laws (X ) = X (X ) = X Involution laws X + X = 1 X X = 0 Laws of Complementarity 12

13 Boolean KURALLARI 13

14 Boolean KURALLARI Bu kurallar özellikle lojik ifadelerin sadeleştirilmesi için kullanılırlar. A + 0 = A = = 0 A + 1 = = = 1 A. 0 = = = 0 A. 1 = A 1. 1 = = 0 14

15 A + A = A = = 0 Boolean KURALLARI A. A = A 1. 1 = = 0 A + A = = =1 A. A = = = 0 (A ) = A 15

16 Boolean KURALLARI Çok sık kullanılan sadeleştirme kuralları; A + A.B = A A.(1+B) = A A+ B.C = (A+B).(A+C) (A+B).(A+C)= A.A+A.C+A.B+B.C = A+A.C+A.B+B.C = A+A.B+B.C=A+B.C A + A.B = A+ B (A+A )(A+B) = A+B 16

17 Doğruluk Tablosu Doğruluk tablosu, bir lojik devredeki giriş değişkenlerinin alabilecekleri tüm değerlere karşılık gelen çıkışları gösterir. Doğruluk tablosundaki durum sayısı, n giriş değişkeni için 2 n dir. 17

18 Doğruluk Tablosu Örnek: F(A,B,C) = A+B C ifadesinin doğruluk tablosunu oluşturalım. Giriş değişkenlerinin tüm kombinasyonları, lojik ifadede yerine konularak tablo oluşturulur. Diğer bir yöntemde şöyle olabilir; bu lojik ifadenin 1 olabilmesi için ya A nın 1 olması ya da B C nin 1 olması gereklidir. B C nin de 1 olabilmesi için B=0 ve C=1 olmalıdır. B nin 0 ve C nin1 olduğu durum A nın1 olduğu durumlar 18

19 Doğruluk Tablosu Örnek:(A+B) =A.B De Morgan teoreminin ispatını doğruluk tablosu ile gösterelim. Eşitliğin sağ ve sol tarafındaki ifadelerden doğruluk tablosu oluşturulduğunda, ilgili sütunların aynı değerlere sahip olması, bu eşitliğin doğruluğunu ispatlayacaktır. 19

20 Boolean Fonksiyonu A A B F(A,B) = A + B A B A F = A + B

21 Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi Karmaşık yapıdaki lojik ifadeler, Boole cebri kuralları kullanılarak sadeleştirilebilirler. Sadeleşmiş lojik ifadelerden oluşturulacak devreler, hem daha basit hem de daha ucuz olarak elde edilmiş olacaktır. Sadeleştirmede birkaç yol takip edilebilir; ortak paranteze alma, terimleri genişletme yada terim ilave etme gibi. Örnek: F(A,B,C)= ABC +A B C+A BC+A B C ifadesini sadeleştirelim. İfadedeki 2. ve 4. terimler A B parantezine alınırsa; F(A,B,C) = ABC +A B (C+C )+A BC = ABC + A B +A BC A+A =1 kuralından = ABC +A (B +BC) A+A B = A+B kuralından = ABC +A (B +C) = ABC +A B +A C 21

22 Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi Örnek: F(A,B,C) = A.B + A'.C + B.C ifadesini sadeleştirelim B.C terimini (A+A ) ile genişletebiliriz; F(A,B,C) = A.B + A'.C + B.C.(A+A') = A.B+ A'.C+ A.B.C+ A'.B.C = A.B.(1+C) + A'.C.(1+B) = A.B +A'.C Örnek: F(A,B,C) = AB + A(B+C) + B(B+C) ifadesini sadeleştirelim. İfadedeki 2. ve 3. terim için DeMorgan kuralını uygularsak; (A.B) =A +B (A+B) =A.B F(A,B,C) = AB +A(B C )+B(B C ) B.B = 0 dır. = AB +AB C AB parantezine alınırsa; = AB (1+C ) 1+C =1olduğundan; = AB 22