PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

Transkript

1 AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez Daışmaı: rof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL HAZİRAN 203

2

3

4 ÖNSÖZ Bu tez çalışması, amukkale Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Yüksek Lisas programıda yapılmıştır. Bu çalışmada, mutlak toplaabilme metotları arasıdaki içerme bağıtıları ve Das[] tarafıda verile Tauberia teoremleri icelemiştir. Bu çalışmayı yaparke değerli zamaıı feda ederek bede yardım ve eleştirilerii hiç esirgemeye ve her türlü bilgi ve deeyimii beimle paylaşa değerli daışma hocam Sayı rof. Dr. Mehmet Ali Sarıgöl e ve amukkale Üiversitesi Fe- Edebiyat Fakültesi Matematik bölümü tüm öğretim üyeleri hocalarıma sosuz teşekkürlerimi bir borç bilirim. Ayrıca tüm hayatım boyuca baa her zama destek ola caım aileme ve arkadaşlarıma e içte teşekkürlerimi suarım. Hazira, 203 G. Caa HAZAR

5 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... v SUMMARY... vi. TANIM VE TEOREMLER TEMEL LEMMALAR TAUBERIAN TEOREMLERİ KAYNAKLAR... 52

6 ÖZET BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE Bu çalışma üç bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde çalışma boyuca kullaılacak temel taım ve teoremler verilmiştir. İkici bölümde kouu alaşılmasıa yardımcı ola ayı zamada öemli ispat tekikleri kazadıra ve üçücü bölümde faydalaacağımız Das[] a ait ola temel lemmalar ile ispatları verilmiştir. Üçücü bölümde Das[] a ait ola mutlak Nörlud ve mutlak Riesz toplaabilme metotlarıyla ilgili Tauberia teoremlerii yaısıra ve metotlarıı kapsama ilişkileri icelemiştir. Aahtar Kelimeler: Tauberia Teoremleri, Mutlak Toplaabilme Metodları.

7 SUMMARY ON THE ABSOLUTE CONVERGENCE FIELD OF SOME TRIANGULAR MATRİ METHODS AND TAUBERIAN THEOREMS This thesis cosists of three chapters. I the first chapter, the basic defiitios ad the theorems used throughout the study have bee stated. I the secod chapter, it has bee give the basic lemmas ad their proofs of Das[] which will help us to uderstad the subject ad to have some importat techiques of proof, ad also be used i the third chapter. I the third chapter, Tauberia theorems of Das[] cocerig o absolute Nörlud summability, absolute Riesz summability ad iclusio relatios betwee summability methods ve have bee examied. Key Words: Tauberia Theorems, Absolute Summability Methods.

8 TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde buda soraki bölümler göz öüe al arak gerekli temel ta m ve teoremler verilmiştir. Bu çal şmada aksi söylemezse a k reel veya kompleks terimli seriyi, (s ) k0 bu serii k smi toplamlar dizisii ve BV ise s rl sal ml dizileri uzay gösterecektir, yai ( BV x (x ) : olacakt r. ) jx x j < ; x 0 0 Ta m. : > olmak üzere (s ) ve (a ) dizilerii c mertebede ici (C; ) Cesàro ortalamalar s ras yla ve ile gösterelim, yai > içi olmak üzere + A 0 ; A ( + ) ( + 2) ::: ( + ) ve olsu. E¼ger A A 0 0 A s A (a ) lim s ise bu taktirde a serisie (veya (s ) dizisie) s de¼gerie (C; ) toplaabilirdir deir. Özel olarak içi ve i yerie k saca ve yazaca¼g z. Bu durumda A + ve A 0 oldu¼guda, ve + s

9 olur [4]. + a Burada dikkat edelim ki A katsay lar jxj < içi ( aç l m da elde edilir, yai x) i kuvvet serisie olur. E¼ger ( ) 2 BV yai ( x) A x 0 ise, bu taktirde 0 a < 0 veya jc; j toplaabilir deir [3]. serisie (veya (s ) dizisie) mutlak (C; ) toplaabilir Ta m.2 : (p ) reel veya kompleks say lar bir dizisi ve p 0 + p + ::: + p 6 0 ( > 0) ; p 0 ( < 0) olsu. Bu durumda t p (s ) p s (.) eşitli¼gi ile ta ml (t p (s )) dizisie (s ) dizisii Nörlud ortalamas deir ve (N; p) ile gösterilir. Bua göre (:) döüşümüe karş l k gele matris, 0 d r. E¼ger p ; içi a 0 ; > içi t p (s ) t p (s ) < 0 yai (t p (s )) dizisi s rl sal ml ise a serisie (veya (s ) dizisie) mutlak 0 (N; p) toplaabilir veya jn; pj toplaabilir deir ve (t p (s )) 2 BV ; a 2 jn; pj ; (s ) 2 jn; pj 2

10 sembolleride biriyle ifade edilir. Burada 6 ; 2; ::: olmak üzere özel olarak p A al rsa (N; p) Nörlud ortalamas (C; ) ortalamas a ve jn; pj mutlak toplaabilme metodu jc; j metodua idirgeir. E¼ger (s ) dizisii (N; q) döüşümüü (N; p) döüşümü s rl sal ml bir dizi ise a serisie (veya (s ) dizisie) j(n; q) (N; p)j toplaabilir deir. 0 Herhagi bir (p ) dizisi içi biçimsel olarak; p (x) p x ; (x) 0 yazal m. Bu durumda (c ) dizisii p x 0 özdeşli¼giyle ta mlayaca¼g z. x 0 c x ; c 0 (.2) 0 Ta m.3 : 0 < 0 < ::: olsu. Bu durumda a serisii (veya (s ) dizisii) Riesz ortalamas veya (R; ; ) ortalamas, 0 R ( ) s ; ( 0) 0 şeklide ta mla r. Bu döüşüme karş l k gele matris d r. E¼ger a ; 0 ; > ise a serisi s de¼gerie (R; lim R s ; ) toplaabilirdir deir. Teorem.4 : (R; ; ) Riesz ortalamas regüler olmas içi gerek ve yeter şart içi olmas d r [4]. Ta m.5 : (R ) ta m.3 deki Riesz döüşümüü göstersi. E¼ger jr R j < 0 3

11 ise a serisie veya (s ) dizisie mutlak (R; ; ) toplaabilir veya jr; ; j 0 toplaabilir deir [5]. Ta m.6 : A (a k ) (; k 0; ; 2; :::) kompleks veya reel terimli sosuz bir matris ve ile Y de bütü dizileri oluşturdu¼gu S uzay iki alt uzay olsu. x (x k ) de herhagi bir dizi ve her 2 N içi A (x) a k x k (.3) k0 serisi yak sak olmak üzere (A (x)) dizisi, Y kümesii bir elema yai (A (x)) 2 Y ise A (a k ) matrisie dizi uzay da Y dizi uzay a bir matris döüşümü deir ve A 2 (; Y ) ile gösterilir [2]. uzay daki her bir diziyi ay limite sahip ola Y uzay daki bir diziye döüştüre matrisleri s f (; Y ; ) ile gösterece¼giz. Bu durumda (c; c ; ) s f elemalar a regüler matris, (BV; BV ) ve (BV; BV ; ) s f elemalar a ise s ras yla mutlak koservatif ve mutlak regüler matris ad verilir. Aşa¼g daki Silverma-Toeplitz teoremi verile bir A matrisii regüler olmas içi gerek ve yeter şartlar ifade eder. Teorem.7 (Silverma-Toeplitz Teoremi) : A (a k ) reel veya kompleks terimli bir sosuz matris olsu. Bu taktirde A 2 (c; c ; ) olmas içi gerek ve yeter şart (i) (ii) Her k sabiti içi lim a k 0 a k lim k0 (iii) Her içi ja k j M k0 olacak şekilde bir M sabitii mevcut olmas d r [4]. Teorem.8 : (N; p) Nörlud Ortalamas regüler olmas içi gerek ve yeter şart ve içi p o ( ) (.4) 4

12 içi olmas d r. jp j O ( ) (.5) Bu teorem A (N; p) al rsa Silverma-Toeplitz teoremide elde edilir. 0 Teorem.9 : (N; p) Nörlud Ortalamas mutlak regüler olmas içi gerek ve yeter şart içi p o ( ) (.4) ve olmas d r. Bu teorem Lemma 2.3 de kolayca elde edilir. O () (.6) Ta m.0 : S rl dizileri, s rl dizilere döüştüre lieer döüşümlere toplaabilme (veya limitleme) metodu deir [4]. Ta m. : ve Q iki toplaabilme metodu olsu. E¼ger metodu ile toplaabile her seri Q metodu ile de toplaabilir ise bu durumda ye Q yu gerektiriyor deir ve Q ile gösterilir. Ay zamada Q ve Q ise bu durumda iki metod eşde¼gerdir deir ve Q şeklide yaz l r [4]. Mutlak Nörlud metodu ile mutlak Abel metodu aras daki ilişki aşa¼g daki teoremde verilmiştir. Ta m.2 : E¼ger f (w) a e w ve f (w) 2 BV (0; ) ise bu durumda 0 a serisie mutlak Abel toplaabilir veya jaj toplaabilir deir. Teorem.3 : (N; p) Nörlud ortalamas ve A Abel metodu olsu. E¼ger (i) (N; p) regüler, (ii) Her > 0 içi > 0, (iii) jxj < içi p (x) 6 0 ise bu durumda jn; pj jaj 5

13 d r []. Dikkat edilmelidir ki bu teoremi ifadeside (iii) hipotezi [4] de Fakat bu durumda teorem do¼gru de¼gildir. Çükü at lm şt r. p 0 ; p 2 ; p 0 ( > ) ; s ( ) al rsa t p (s ) 0 ( > ) oldu¼guda (s ) 2 jn; pj olmas a karş jaj toplaabilir de¼gildir. Ta m.4 : V özel bir toplaabilme metodu olsu. E¼ger bir dizii V toplaabilir oldu¼gu bilidi¼gide bu dizii yak sakl ¼g da gerektire şarta Tauber şart deir ve bu şart do¼grulu¼guu ortaya koya teoreme ise Tauber Teoremi ad verilir [4]. Öre¼gi, t s 2 döüşümü içi a o () Tauber şart d r. 6

14 2 TEMEL LEMMALAR Bu bölümde Das[] a ait kouu alaş lmas a yard mc ola ay zamada öemli ispat tekikleri kazad ra 3. bölümde faydalaaca¼g m z temel lemmalar ile ispatlar verece¼giz. Öcelikle çok kullad ¼g m z M kümesii ifade edelim. M Herhagi bir (f ) dizisi içi (p ) : 0; ; 2; ::: içi p > 0 ; p + p +2 p p + f () f 0 + f + ::: + f ; f (2) f () 0 + f () + ::: + f () yazaca¼g z. Ta m 2. : A (a k ) matrisii esas köşege üstüde kala elemalar 0, alt da kala elemalar da e az biri 0 da farkl ise, bu matrise alt üçgesel matris deir. Yai A (a k ) 9ak 6 0 ; > k 8a k 0 ; < k şeklide ta mlaa matrise alt üçgesel matris deir [2]. Lemma 2.2 :, 0 olsu. Bu taktirde jr; ; j R; 0 ; olmas içi gerek ve yeter şart olmas d r [9] O Lemma 2.3 : H ( ) kompleks veya reel say lar üçgesel bir matrisi olsu. Bu taktirde H matrisii döüşümüü mutlak regüler olmas içi gerek ve yeter şart (i) içi 0 (ii) içi 0, ( sabit) (iii) Her içi ( ; ) K olacak şekilde bir K sabitii mevcut olmas d r. 7

15 Üstelik H 2 (BV; BV ) olmas içi gerek ve yeter şart tek baş a (iii) koşuluu sa¼glamas d r [3]. Lemma 2.4 : (p ) 2 M olsu. Bu durumda dir. r 0 r+ jc j r + Ispat: (p ) 2 M olsu. Bu durumda biliir ki d r [0]. Bua göre (2:) de c 0 > 0 ; c 0 ( ; 2; :::) içi c > 0 (2.) 0 + jc j + + lim c () m + c () c () c () m c () + c () lim m c() m elde edilir. Öte yada (:2) göz öüe al rsa (2.2) c () + c () ve x 0 x p (x) c x 0 8

16 oldu¼gua göre jxj < içi p (x) x x p x ve dolay s yla x p x p 0 x 0 (x) x buluur. Bezer olarak p (x) x (x) oldu¼guda ( + ) x 0 ( x) 2 p (x) ( x) 2 p (x) p (x) x ( x) p (x) (x) ( x) p (x) x x c x 0 x 0 x 0 x c () x 0 c x x c x x c () 0 c () + (2.3) 9

17 olur. Şu halde (2:2) ve (2:3) de r 0 r+ jc j r 0 c () r + elde edilir.bu ise lemma ispat tamamlar. Lemma 2.5 : (p ) 2 M olsu. Bu durumda (i) Her içi c () (ii) a c (), (ii) b c (2) p dir. (iii) c (2) 2 + dir. dizisi mooto artmayad r ve c () > 0 Ispat : (i) : (2:) de elde edilir. (ii) a : (p ) 2 M oldu¼guda ve p x kuvvet serisi jxj < içi mutlak 0 yak sak oldu¼guda, serileri Cauchy çarp m da x p (x) ( x) p (x) x c x x c x x c 0 x c () p x 0 p x 0 p x 0 p x 0 x c () p x 0 c () p v x ve dolay s yla 0 c () p (2.4) 0

18 elde edilir. Böylece (i) göz öüe al rsa yai c () c () p 0 + c () p + ::: + c () c () p 0 + c () p + ::: + c () c () p 0 p 0 p elde edilir. c () (ii) b : (2:4) ifadesi ve (p ) i mooto artmaya dizi oldu¼gu göz öüe al rsa, yai p c (2) p 0 c () c () p 0 + c () p + ::: + c () c () p 0 0 p buluur. p c (2) (iii) : (ii) a ; (ii) b ve (p ) i azalmaya özelli¼gii kulla rsak > içi, c (2) c (2) ( + p ) c (2) + c () buluur ve burada da c (2) c (2) + c () + p c (2) + p c () c (2) c () + c (2) p c () + c (2) p 2 c (2) c (2) 2 2

19 olur. Eşitli¼gi sol taraf c (2) 0 c (2) 0 ve 0 c (2) 0 oldu¼gu göz öüe al rsa elde edilir. c (2) 2 + Lemma 2.6 : (p ) terimleri egatif olmaya bir dizi olsu. Bu durumda () K f( + ) g (2.5) olacak şekilde bir K sabiti vard r. Ayr ca, (p ) artmaya bir dizi ise koşulu sa¼gla r. Ay zamada (i) ( + ) p (ii) dir. ( + ) M () (2.6) Ispat : ( ) dizisi arta oldu¼guda yai, () ::: ::: + ( + ) () ( + ) buluur. Şu halde (2:5) şart sa¼gla r. Şimdi (2:6) şart sa¼glad ¼g gösterelim. oldu¼guda, dizisi mooto artmaya + olup dolay s yla 0 > 2 > ::: > + () ::: + > ::: + ( + ) + ( ::: + ( + )) + 2 ( + 2) > 2 ( + ) 2

20 olur. Bu da ispat tamamlar. (i) : (p ) dizisi artmaya oldu¼guda dolay s yla p 0 + p + ::: + p > p + p + ::: + p ( + ) p buluur. Şu halde (i) ispatla r. (ii) : (i) de dolay ( + ) p yaz labilir. Burada p + 0 ( ) yai olur. Bu demektir ki dir. 0 ( ) ( ) Lemma 2.7 : (p ) 2 M olsu. Bu taktirde dir p c p c () ; ( ) (2.7) 0 ( ) p c (2.8) + p c p r c () ( + ) ( + 2) (2.9) Ispat : (2:7) eşitsizli¼gi Das[7] taraf da verildi. (2:8) eşitsizli¼gi (2:7), Lemma 2:5(ii) b ve ( ) p c 3 p c

21 eşitli¼gide elde edilir. Di¼gerie gelice Abel k smi toplamas da ( ) p c yaz labilir. Bu ise (2:8) eşitsizli¼gidir. p c p c () p c (2) (2:9) eşitsizli¼gi (2:7) de elde edilir. Gerçekte Abel k smi toplamas da r (r + ) (r + 2) r p c p c r + r + + oldu¼gu göz öüe al rsa ve (2:7) eşitsizli¼gide dolay p c r + 2 buluur. + p c + p ( + ) ( + 2) p r c r r ( + ) ( + 2) p c () ( + ) ( + 2) c() Lemma 2.8 : (p ) egatif olmaya ve artmaya bir dizi olsu. her içi dir. ' + + ( ) (p p ) () ( ) (p p ) O O + + Bu taktirde Ispat : Lemma 2.6 de dolay 4

22 ' O + ise O + + d r ve buu tersi de do¼grudur.bu yüzde ' O yeterlidir. Kolayca görülebilir ki içi oldu¼guu göstermek ( ) (p p ) + + ( ) (p p ) ( + ) p dir. Burada > içi buluur. 0 Şimdi Lemma 2.6 y kullaarak içi ve her içi () K ( + ) O ( + ) O () elde ederiz. Böylece + lim m + + lim lim ( ) (p p ) m m m + () + m + + lim m m + O lim m lim m m + ( ) (p p ) ( ) (p p ) m + O + () () m () m ( ) (p p ) ( + ) 2 5 ( ) (p p ) () () () () ()

23 Lemma 2.9 : (p ) egatif olmaya ve artmaya bir dizi olsu. Bu durumda, 0 ; ( > ) içi dir. p p p ( + ) O + Ispat : Lemma 2.6(i) de eşitsizli¼gi birici taraf yai p p p ( + ) buluur. Lemma 2.6(ii) ve (p ) i artmaya bir dizi oldu¼guu göz öüe al rsa ve 2 p O() ( + ) ( + ) 2 p O + 2+ elde ederiz. Bu da ispat tamamlar. p p O ( + ) ( + ) 2+ p O ( + ) 2+ O ( + ) ( + ) 2+ O + Lemma 2.0 : (p ) 2 M olsu. Bu durumda > 0 içi d r. v c () ( + ) 2 O + Ispat : Lemma 2.5(iii) yi kullaarak 6

24 2 v ve Lemma 2.5(ii) a y kullaarak c () ( + ) 2 ( + ) 2 c (2) 2 v c () ( + ) 2 O ( + ) v2+ elde ederiz. Bu ise ispat tamamlar. c () ( + ) 2 ( + ) 2 v2+ O ( + ) Lemma 2. : (p ) 2 M olsu. Bu durumda > 0 içi d r. p c (2) O ( + ) Ispat : c (2) mooto azalmaya bir dizi oldu¼guda ve Lemma 2.5(iii) de 2 p c (2) ( + ) ( + ) c () ( + ) c () ( + ) 2 + ( + ) 2 2 p p c (2) oldu¼guda elde edilir. 2 p c (2) O ( + ) 7

25 2+ p c (2) O () ( + ) O () O () O () O (2 ( ) + ) p ( + ) p p buluur. Lemma 2.2 : (p ) egatif olmaya ve artmaya bir dizi olsu. Bu durumda dir. ' + p p + O + Ispat : ' + p p + + p p p p + + p p p p + ' () + ' (2) yazal m. Şimdi Lemma 2.8 de ve () ( + ) oldu¼guu göz öüe al rsak 8

26 ' () O elde edilir. Lemma 2.7 de + jp p j + p 0 ( + ) (p p ) + ( + ) ( + ) + ( + ) (p p ) p 0 + ( + ) + + () elde edilir ki bu da ispat tamamlar. + ' (2) p p + p p O + Lemma 2.3 : (i) : (p ) egatif olmaya bir dizi olsu. Bu durumda r içi dir. A r r () Z r w 2 e w e w dw O () (ii) : (p ) egatif olmaya ve artmaya bir dizi olsu. Bu durumda r içi dir. B r Z r w 2 e w r () e w dw O () Ispat : (i) : w > r içi 9

27 e w > e w 0 r e w 0 > e r 0 > e () r dir, yai elde edilir. e w e r () e () r () ( + ) 2 oldu¼guu göz öüe al rsak A r e () r e () r 2e () r 2e r r r () () Z 0 w 2 e w dw olur. Bu da (i) i ispat tamamlar. (ii) : (ii) yi ispatlamak içi öce lemma hipotezi alt da w içi e w e 2w O () (2.0) oldu¼guu gösterelim. w içi e 2w oldu¼guda (2:0) ifadesi daha kolay olarak x içi (x) O x 2 (2.) şeklide ifade edilebilir. Şimdi 0 < x < içi p 2 x 2 + p 2+ x 2+ p x 2 ( + x) 2p x 2 20

28 dir. Bu eşitsizli¼gi taraf tarafa toplayarak yai p x 2 p x p (x) 2p x 2 elde edilir. Böylece (x) p (x) ( + x) p (x) x x 2 2p (x) x 2 4p (x2 ) x 2 4 x 2 Bu da (2:) i ispatlar, dolay s yla (2:0) u ispatlar. Şimdi (2:0) u kullaarak B r Z r w 0 Z r e w e w 2 e r 2w r 2w e () e 2w dw 2w dw A 0 Z r w 2 e r 2w dw A O () buluur. Bu da Lemma 2.3 ü ispat tamamlar. Lemma 2.4 : ( ) herhagi bir dizi ve (s ) 2 jr; ; j olsu. Bu durumda (s ) 2 jc; 0j olmas içi gerek ve yeter şart a T 5 : 2 jr; ; j olmas d r. Ispat : Diyelim ki y a ( ) 0 2 ; 0

29 olsu. Bu taktirde s R s buluur. Burada da (s ) 2 jr; 0 ( ) a 0 a a ( ) 0 y ; j yai (R ) 2 BV verildi¼gie göre BV i lieer uzay oldu¼gu göz öüe al rsa elde edile so eşitlikte dolay (s ) 2 BV, (y ) 2 BV dir. Ayr ca oldu¼gua göre (y ) 2 BV, a 2 jr; ; j (s ) 2 jc; 0j, (T 5 ) elde edilir. Böylece ispat tamamla r. Lemma 2.5 : ( ) ; (b ) ; (d ) herhagi üç dizi olsu. E¼ger (b ) 2 jr; ve (d ) 2 BV ise bu durumda (b d ) 2 jr; ; j dir. ; j Ispat : x ( ) b 0 diyelim. Bu durumda Abel k smi toplamas edeiyle 0 ( ( ) b d 0 ( i i ) b i d + i0 ( ) d x + d x 0 d x + d + x 0 ) ( i i ) b i d i0 buluur. Fakat (d + ) 2 BV ve (x ) 2 BV oldu¼gu içi 22

30 0 d x 2 BV (2.2) oldu¼guu ispatlamak yeterlidir. Dikkat edelim ki (2:2) döüşümüe karş l k gele matris (d ) ; ( ) 0 ; ( > ) d r. Böylece Lemma 2.3 de dolay (2:2) i sa¼glamas içi gerek ve yeter şart her içi J d + d O () olmas d r. Şimdi gerekli işlemler yap l rsa her içi J 2 jd j + jd j 0 O () elde edilir. Bu ise ispat tamamlar. jd j + 23

31 3 TAUBERIAN TEOREMLER I Bu bölümde Das[] a ait ola jn; pj mutlak Nörlud ve jr; exp ( ) ; j mutlak Riesz toplaabilme metotlar yla ilgili Tauberia teoremlerii ya s ra jn; pj ; jn; j ; j(c; ) (N; p)j ve jr; exp ( ) ; j metotlar kapsama ilişkileri verilmiştir. Aşa¼g daki iki teorem iki metot aras daki ilişkiyi vermektedir. Teorem 3. : Her içi > 0 ve () olsu. Bu durumda j(c; ) (N; p)j jn; j olmas içi gerek ve yeter şart (2:6) şart sa¼glamas d r. Baz durumlar içi bu kapsama kesidir, yai (x ) 2 jn; j ve (x ) 2 j(c; ) (N; p)j olacak şekilde bir (N; p) Nörlud ortalamas ve (x ) dizisi vard r. Teorem 3.2 : Her içi > 0 ve () olsu. Bu durumda jn; j j(c; ) (N; p)j olmas içi gerek ve yeter şart (2:5) şart sa¼glamas d r. Baz durumlar içi bu kapsama kesidir, yai (x ) 2 j(c; ) (N; p)j ve (x ) 2 jn; j olacak şekilde regüler ve mutlak regüler bir (N; p) Nörlud ortalamas ve bir (x ) dizisi vard r. Bu iki teoremi ispat bezer oldu¼guda k sa olmas içi Teorem 3. ve Teorem 3.2 i ispat birlikte verece¼giz. Ispat : Dikkat edelim ki t (s ) () () () () s s p s p 0 t p (s ) 0 ve (s ) dizisii (N; p) döüşümüü (C; ) ortalamas 24

32 t (t p (s )) + t p (s ) dir. Şimdi Teorem 3. i ilk k sm ispatlamak içi, Lemma 2.2 de al rsa hipotezde 0 + ve 0 () () elde edilir. Bezer olarak Teorem 3.2 i ilk k sm ispatlamak içi Lemma 2.2 de koyarsak, hipotezde dolay () () () O + () ve O () () O () sa¼gla r. Şu halde Lemma 2.2 de ispat tamamla r. Bu teoremleri ikici k s mlar içi () al rsa 2 ( + ) ( + 2) () ( + ) buluur. Bu durumda (2:6) şart sa¼gla r fakat (2:5) şart sa¼glamaz. Dolay s yla Teorem 3.2 de dolay jn; j * j(c; ) (N; p)j olur ki bu da Teorem 3. i ikici k sm ispat tamamlar. Bezer olarak al rsa 0 p 0 ; 2 ( + ) 2 ( > ) () ( + ) 2 25

33 buluur. Bu durumda (2:6) şart sa¼glamaz. Dolay s yla j(c; ) (N; p)j * jn; j elde edilir ki bu da Teorem 3.2 i ikici k sm ispat tamamlar. Teorem 3.3 : E¼ger (p ) 2 M ise bu taktirde dir. j(n; p) (C; )j jn; j Ispat : (s ) dizisii (C; ) ortalamas a t ve (N; p) (C; ) ortalamas a t (p; ) dersek t + s ve t (p; ) 0 olur. Abel k smi toplamas edeiyle 0 p t t (s ) () () () () () () 0 ( s s ( 0 ) s 0 ) p ( + ) t + 0 ( + ) t 0 ( + ) p t 0 ( + ) p c t (p; ) 0 0 ( ) ( + ) p c t (p; ) 0 yaz labilir. Şu halde t (s ) dizisi () ( + ) p c (0 ) 0 ( > ) olmak üzere (t (p; )) dizisii ( ) matrisi ile yap la döüşüm dizisidir. Burada dikkat edelim ki 26

34 p c v v d r. (3:) ve ü ta m da > içi ; ( ) 0 ; ( > ) (3.) ( + ) p c v v oldu¼gudaa göre yaz labilir ve > + içi ; olur. Şimdi içi v v v p i c i + ( + ) i p i c i + ( + ) i p i c i i ( ) p c v v p i c i i p i c i i ( ) p () c (3.2) ( ) p () c (3.3) v () ::: + > ( + ) 0 eşitsizli¼gide dolay () d r. Burada (2:8) i ş ¼g da her sabit ve içi dir. o () yai j j ( ) p () c () v 0 o () 27

35 buluur. Ayr ca (3.4) 0 oldu¼gu kolayca görülür. Böylece Lemma 2.3 de her içi J ( ; ) O () oldu¼guu ispatlamak yeterlidir. Şimdi (3:4), (3:2) ve (3:3) de dolay > içi ( ; ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) () v ( ) v ( ; ) 0 ( ) p c + p () p () c () ( ) p c v yazabiliriz. Öte yada p () p () p () () () p () p () () () () () (p p ) () p () () () p () () oldu¼gu göz öüe al r ve eşitlik J da yerie yaz l rsa 28

36 J j j + ( ; ; ) + 0 p p j j + ( ) c + 0 v () () j j + + () ( ) (p p ) c 0 v + () () ( ) p c + J () + J (2) + J (3) elde edilir. Lemma 2.6 da 0 v J () j j ( + ) () ve Lemma 2.7 i ((2:8) eşitsizli¼gide) O () J (3) K 0 K 0 K () O () () () () () () () oldu¼gu görülür. Şimdi J (2) toplam de e ve da e şeklide iki parçaya ay ral m: Bu durumda ve olmak üzere J (2) J (2) () () 0 0 ( ) (p p ) c v ( ) (p p ) c v J (2) J (2) + J (2) 2 29

37 elde edilir. Bu arada c (3.5) 0 oldu¼guu dikkat edelim. Bu durumda (3:5) i kullaarak Lemma 2.8 de dolay J (2) + + () () v0 + O v0 O () ( ( ) (p p ) v0 ( ) (p p ) v0 () + ( ) (p p ) olur. Ay zamada Lemma 2.8 ve Lemma 2.4 de ) c 0 J (2) 2 0 K 0 v K + 0 K + O () jc v j + jc j + v jc j ( ) (p p ) () oldu¼gu görülür. Bu da ispat tamamlar. Teorem 3.4 : (p ) 2 M olsu. Bu durumda dir. jn; j j(n; p) (C; )j Ispat : Teorem 3.3 de oldu¼gu gibi (s ) dizisii (N; p) (C; ) ortalamas () p c + ( ) 0 ( > ) (3.6) 30

38 olmak üzere ( ) matrisii (N; ) Nörlud ortalamas d r.(2:3) de 0 0 () 0 0 dir. Şimdi Abel k smi toplama formülüde p ( + ) p c + 0 p ( + ) ( + ) () c p c + + p c + p c + ( + ) ( + 2) + 2 p c + + p c (3.7) yaz labilir. Lemma 2.7 ((2:7) eşitsizli¼gi) ve (3:7) de dolay her ve içi > 0 olur. (2:) de ise yaz labilir. al rsa p 0 () () ( + ) p c + p c () ( + ) p c 0 Şimdi (p ) 2 M oldu¼guda mooto azala oldu¼gu göz öüe buluur. Dolay s yla her sabit ve içi o () olur. So olarak J ( ; ) O () 3

39 oldu¼guu gösterelim. ta m ve (3:) edeiyle > içi ve > + içi () () ( + ) p c p c ; dir. Böylece > içi () ( + ) p c + ( ; ) olur. Ayr ca ( ; ) 0 0 () ( + ) ( + ) p p c oldu¼guu göz öüe al rsak p p p p p ( p ) p p p + p p J j j + ( ; ; ) + 0 j j + () ( + ) ( + ) + 0 v j j + () ( + ) ( + ) + 0 v p j j + () ( + ) + 0 v + () ( + ) + + J () + J (2) + J (3) 0 v p p c p p + p p c p c + (p p ) c 32

40 yaz labilir. Şimdi J () j j () ( + ) ::: + ( + ) ( + ) ( + ) O () oldu¼gu aç kt r. Lemma 2.7 i (2:8) eşitsizli¼gide ise d r. Burada J (2) p ( + ) () p J (2) + J (2) () + p p v v () v p c + p c + c () ( + ) ( + 2) ve J (2) 0 () + p p v c () ( + ) ( + 2) J (2) 2 0 dir. Kolayca görülebilir ki () + p p v c () ( + ) ( + 2) 0 () c () A 2 3:4::: ( + 2) dir. (3:8), (p ) i mootolu¼guu ve Lemma 2.9 u kullaarak (3.8) J (2) p p + O ( + ) O () + 0 A (2) ( + ) ( + 2) p p 33

41 elde ederiz. Ilk öce J (2) 2 de toplam s ras de¼giştirelim ve sora da Lemma 2.9 ve Lemma 2.8 i kulla rsak ve (3:8) ta m da, J (2) () () K 0 K + v () p p v c () ( + ) ( + 2) v () c () 0 v K ( + ) 2 O () c () ( + ) 3 () c () 0 ( + ) 3 c () ( + ) ( + 2) + p p elde ederiz. Bir soraki ad mda J (3) toplam ele alal m. Öce bu toplam ve J (3) + ( + ) 0 () v + (p p ) c J (3) 2 0 () + ( + ) v olmak üzere iki parçaya ay ral m. Bu durumda + (p p ) c yaz labilir. Şimdi J (3) J (3) + J (3) 2 0 () c + 34

42 eşitli¼gii kullaarak Lemma 2.8 edeiyle J (3) () ( + ) + 0 v ( + ) v0 + O v0 O () v0 + (p p ) c (p p ) ( ) (p p ) ( + ) v0 ( ) (p p ) ( + ) + 0 () c buluur. Nihayet Lemma 2.8 i 2. eşitsizli¼gi ve Lemma 2.4 göz öüe al rsa J (3) () () K 0 + jc j + v () K + O () 0 v ( + ) + jc j ( + ) 2 v jc j v elde edilir. Bu da teoremi ispat tamamlar. + (p p ) c (p p ) ( + ) Teorem 3.5 : (p ) 2 M olsu. Bu taktirde j(n; p) (C; )j jn; j j(c; ) (N; p)j dir. Bu oktada belirtmek isteriz ki bu beş teoremi adi alamdaki toplaabilme teorisideki bezeri Das[8] taraf da verilmiştir. Ispat : Lemma 2.6 y göz öüe al p Teorem 3., Teorem 3.2, Teorem 3.3 ve Teorem 3.4 birleştirilirse Teorem 3.5 elde edilir. 35

43 Teorem 3.6 : (p ) 2 M olsu. Bu taktirde dir. (t p (s )) 2 BV, jt p (a )j < Dikkat edilmelidir ki mutlak Nörlud toplaabilme teorisi üzeride çal şt ¼g m zda bu teoremi Cesàro toplaabilme teoriside Kogbetliatz > içi formülüde oldu¼gu gibi öemli avatajlar vard r. Ispat : Öce jt p (a )j oldu¼guu gösterece¼giz. Buu içi < ) t p (s ) 2 BV (3.9) (; ) yazal m. Bu durumda m > + içi (; 0) 0 ; (; m) 0 ve ay zamada (p ) egatif olmaya ve artmaya bir dizi oldu¼guda (; ) > 0 d r. (N; p) Nörlud ortalamas tersi al rsa olaca¼g da a c t p (a ) ; (t p 0 (a ) 0) t p (s ) t p (s ) p p s (; ) a (; ) t p (a ) c t p (a ) (; ) c 36

44 yaz labilir. Böylece (3:9) u sa¼glamas içi gerek ve yeter şart her içi J (; ) c O () olmas d r. Bu Lemma 2.3 ü (iii) koşuluu farkl bir formudur. Şimdi (; ) c (; ) c () (; ) c() + ( + ) + (; ) c () yazal m. Bu durumda ve olmak üzere J () J (2) olur. Lemma 2.0 da ( + ) (; ) c() + (; ) c () J () J J () + J (2) ( + ) c () ( + ) c () ( + ) O + O () (; ) c() (; ) buluur ve J (2) yi hesaplamak içi + ( + ) ( + ) + + eşitli¼gii göz öüe alal m. Bu durumda (2:4) eşitli¼gide 37

45 + (; ) c () c () ( + ) + + (; ) c () p p (; ) c () c () p ( + ) (; ) c () + + c () p dir. Böylece J (2) p + K + K O () oldu¼gu görülür. Öce + c () ( + ) 2 c () + j (; )j c () + ( ) j (; )j + t p (s ) 2 BV ) jt p (a )j < (3.0) oldu¼guu ispatlayal m. (N; p) döüşümü içi ters formülü kullaarak, ( [6] da görülebildi¼gi gibi ) > içi a (c c ) t p (s ) 0 ( ) t p (s) c p c 0 0 elde edilir. Burada 38

46 t p (a ) 0 0 p p a ( ) t p (s) c p c t p (s) p ( 0 c p c ) buluur. Bua göre (3:0) u do¼gru olmas içi gerek ve yeter şart her içi J olmas d r. E¼ger ve dersek + J () J (2) + + p p c c O () p p c + 0 p c J J () + J (2) yaz labilir. Lemma 2.9, (2:2) eşitsizli¼gi ve(2:4) ifadesi göz öüe al rsa J () + K K K K O () p p p p c () p p jc jc j jc + jc j j 0 p j ( + ) 39

47 buluur ve ay zamada p c ( + ) p c ( ( + )) (3.) p c p c + ( + ) + p c oldu¼guda, Lemma 2.7 ve Lemma 2. de dolay J (2) p + c + ( + ) p c p c ( + 2) + p c ( + ) K + p c () + + p c (2) K + + K + O O () elde edilir. Bu da Teorem 3.6 ispat tamamlar. + p c Lemma 3.7 : (p ) 2 M ve (s ) 2 jn; j olsu. Bu taktirde (s ) 2 jn; j olmas içi gerek ve yeter şart ( ) 2 jn; pj olmas d r. Bu lemma adi alamdaki (N; p) Nörlud metodu içi bezeri [9] da verilmiştir. Ispat : Bu Lemma ispat, Teorem 3.5 ve t p (s ) t p (s ) t p ( ) t p ( ) 40

48 eşitli¼gide elde edilir. Lemma 3.8 : (p ) 2 M olsu. Bu taktirde dir. t p ( ) 2 BV, jt p ()j < Ispat : Teorem 3.6 da dolay d r. Şu halde t p ( ) 2 BV, p ( ) < ( ) oldu¼gua göre elde edilir. t p ( ) 2 BV, t p ( ) 2 BV, p < jt p ()j < Lemma 3.9 : (p ) 2 M olsu. Bu taktirde dir. t (a ) <, jt p ()j < Ispat : Öce t (a ) < ) jt p ()j < (3.2) oldu¼guu gösterelim. Teorem 3.4 ü ispat da kulla la (3:6) soucuu (s ) i yerie (a ) yazarak uygula rsa t p () t (a ) 4

49 elde edilir. Burada matrisi Teorem 3.4 ü ispat da ortaya ç ka matrisle ay d r. Böylece (3:2) i do¼grulu¼guu göstermek içi her içi J () oldu¼guu ispatlamak yeterlidir. Lemma 2.7, Lemma 2.9, Lemma 2.0 edeiyle J () () + () p c + O () (3:7) ve (3:) eşitlikleri göz öüe al rsa ve p c + ( + ) ( + 2) + p c ( + ) p c ( + ) ( + 2) () + () ( + ) K + () K + () K + () K + K + () ( + ) c () ( + ) ( + 2) c () ( + ) 3 () ( + ) 2 () K + ( + ) O () c () ( + ) 2 p c () ( + ) ( + 2) buluur. Bu da (3:2) i ispat tamamlar. Şimdi jt p ()j < ) ( + ) ( + 2) p t (a ) p c p c < (3.3) oldu¼guu gösterelim. Kolayca görülece¼gi üzere, Teorem 3.3 ü ispat da göz öüe ald ¼g m z matris olmak üzere 42

50 t (a ) t p () yaz labilir.böylece (3:3) ü ispatlamak içi her içi J () ( + ) p c O () oldu¼guu göstermek yeterlidir. Böylece (2:6) y göz öüe al rsak Teorem 3.6 ikici k sm ispat daki otasyolar ciside buluur. Burada ispat tamamla r. J (2) O () Şimdi mutlak Nörlud jn; pj metodu içi bir Tauber teoremi ola aşa¼g daki temel teoremi ispat edelim: Teorem 3.0 : (p ) 2 M ve (s ) 2 jaj olsu. Bu taktirde (s ) 2 jn; pj, T : ( ) 2 jn; pj dir. Teorem 3.5 edeiyle T Tauberia şart aşa¼g daki şartlarda herhagi birie dektir. T 2 : (a ) 2 jn; j T 3 : (a ) 2 j(c; ) (N; p)j Bu yüzde bu şartlarda e uygu ola kullaabiliriz. Ispat : T şart gereklili¼gi Lemma 3.7 de elde edildi¼gide, bu şart sadece yeterlili¼gii ispatlamak yeterlidir. Ispatta t (a) yerie k sal k içi t yazaca¼g z. Lemma 3.7 de dolay (s ) 2 jn; j oldu¼guu ka tlamak yeterlidir. Fakat Teorem 3.6, Lemma 3.8 ve Lemma 3.9 de (s ) 2 jn; j, ( ) 2 jn; pj, jt p ()j <, t (a ) < 43

51 buluur. Böylece t < (3.4) oldu¼guu göstermek yeterlidir. ve her w + içi oldu¼guda (3:4) ifadesi, t ifadesie dektir. Fakat f (w) oldu¼guda (3:5) ifadesi, eşitsizli¼gie dektir. Burada Z + w 2 e w Z+ dw w 2 e w < (3.5) a e w foksiyou (; ) da s rl sal ml 0 j j < 8 9 >< t > f 0 (w) + dw >: w 2 e w >; dir. Öte yada olmak üzere e w e w 0 44

52 f 0 (w) w 2 a e w a e w w 2 w 2 e () w () w 2 0 e w 0 e w 0 0 () t e w e w e w a oldu¼gua göre t w 2 e w t w 2 e w w 2 w 2 w 2 () e w () e w () t e w e w () t e w e w () e w () t e w () e + w eşitli¼gi edeiyle 45

53 Z + Z + Z+ 8 9 >< t > f 0 (w) + dw (3.6) >: w 2 e w >; 8 9 >< () t e w () t e w > + dw w >: 2 e w w 2 e w >; dw w 2 e w () t t e w elde edilir. Şimdi t t 8 >< >: r+ r+ t r t r ; ( > ) t r t r ; ( < ) yazar ve bu eşitsizli¼gi j j ifadeside yerie koyarsak Lemma 2.3 de dolay verile her r içi j j t r t Z r r () r2 r w 2 e w e w dw + < t r t r Z r () r2 w 2 e w e w dw oldu¼gu görülür. Çükü t r 2 BV dir. Bu da Teorem 3.0 u ispat tamamlar. Özel olarak 0 içi p A al rsa jn; pj jc; j ve jn; j jc; + j olaca¼g da Teorem 3.0 da aşa¼g daki souç elde edilir. Souç 3. : (s ) 2 jaj olsu. Bu durumda 0 içi (s ) 2 jc; j olmas içi gerek ve yeter şart (a ) 2 jc; + j olmas d r. Bu soucu > 0 içi geel durumu Hyslop [] taraf da verilmiştir. Özel olarak p + seçilirse Teorem 3.0 da aşa¼g daki souç ifade edilebilir. 46

54 Souç 3.2 : (s ) 2 jaj olsu. Bu taktirde (s ) 2 gerek ve yeter şart ( ) 2 N; + olmas d r. N; + olmas içi Teorem 3.3 : 0 < < içi ve ay zamada R; e ( seri mevcuttur. N; + R; e ( ) ; ) ; toplaabile fakat N; + toplaamaya bir Bu teoremi birici k sm ile ilgili adi toplaabilme teoriside bezeri [20] de verilmiştir. Ispat : (s ) dizisii N; ortalamas t (s ) ve exp ( ) (0 < < ) + olmak üzere (R; ; ) ortalamas R ile gösterelim. Bu durumda Teorem 3.6 dolay jt p (a )j oldu¼guu göstermek yeterlidir. Kolayca hesaplaaca¼g gibi R R < ) R 2 BV (3.7) d r. a terimii t (a ) ciside çekip yerie yazarsak a R R c t (a ) t (a ) c yaz labilir. Dolay s yla (3:7) i do¼grulu¼guu göstermek içi her içi J oldu¼guu ispatlamak yeterlidir. Buu içi c O () > 2 ve m mi ; + 0o yazal m. Bu durumda 47

55 ve olmak üzere J (2) J () m c c J J () + J (2) yaz labilir. Şimdi Abel k smi toplama formülüde m c ve dolay s yla (3:8) de J () yaz labilir. m + m + c() m 0 + c () J () + J () 2 + J () 3 m c () + m m + c() m (3.8) m ( m m c () + m m + c() m c () + m m + c() m c () c() c() 0 ) ve lim O exp ( ) 48

56 oldu¼guu göz öüe al rsak + 0 J () 0 + O () 2 O () O () 2 c () c () O c(2) 0 c () elde edilir. Çükü Lemma 2.5(iii) de dolay ve dir. Bezer olarak c (2) O log (log 0 ) O () + 0 J () O () 2 + c() c () O O () c (2) 2 0 O () olur. Ay zamada Lemma 2.5(ii) a da c () 49

57 buluur. J () c() c() c() 0 O 0 So olarak (2:2) eşitsizli¼gide J (2) O () jc j jc jc j j + 0 elde edilir. Bu da Teorem 3.3 ü ispat tamamlar. c jc j Aşa¼g daki teorem N; + metodu içi bir Tauberia teoremidir. Teorem 3.4 : a 2 N; + ve T 4 : a 2 R; e ( ) ; ; (0 < < ) olsu. Bu durumda a 2 jc; 0j 50

58 d r. Dikkat edelim ki adi alamda N; toplaabilme metodu içi Iyegar + [2] taraf da ispat edildi ki e¼ger a 2 N; ve ( ) a O () + (0 < ) ise bu taktirde a 2 (C; 0) d r. Ispat : 0 < < içi exp ( ) olsu. E¼ger i bu de¼geri içi T 4 ) T 5 oldu¼guu gösterebilirsek Teorem 3.4 ü ispat, Lemma 2.4 ve Teorem 3.3 de elde edilir. Asl da bu durumda T 4, T 5 elde ederiz. Bu gerektirme (d ) 2 BV oldu¼gu göz öüe al arak Lemma 2.5 de elde edilir ve ay zamada 2 BV oldu¼gu görülür. Teoremi ikici k sm ispat içi d serisii göz öüe alal m ::: (3.9) 7 (2 ) log ( + ) oldu¼guda (3:9) serisii N; + metoduyla toplaabilir olmad ¼g aşa¼g daki souçta ([6] da Teorem de) elde edilir: (s ) 2 N; + ) j" a j <, " O log ( + ) Di¼ger tarafta ay seri jr; exp ( ) ; j (0 < < ) toplaabilirdir. Gerçekte (3:9) serisi ( 0 ; 0 t 2 f (t) ; t < 2 2 foksiyouu t 0 daki Fourier serisidir ve üstelik Mohaty [5] i teoremie göre f (t) log o 2 BV (0; ) oldu¼guda f (t) i t 0 daki Fourier serisi t jr; exp ( ) ; j (0 < < ) toplaabilirdir. Fakat kolayca görülebilece¼gi gibi f (t) log o 2 BV (0; ) dir ve böylece teoremi ispat tamamla r. t 5

59 KAYNAKLAR. Das, G., 968: Tauberia Theorems for absolute Nörlud Summability, Uiversity College, Lodo, Maddox, I. J., 970: Elemets of Fuctioal Aalysis, Cambridge Uiversity ress. 3. Fekete, M., 9: Zur Theorie der Divergete Reihe, Math. Es Termezs Ertesitö (Budapest)29, eterse, G. M., 966: Regular Matrix Trasformatios, Mc Graw Hill ublishig Compay Limited, Lodo-New York-Toroto. 5. Mazhar, S. M., 966: O the Summability Factors of Ifiite Series, ubl. Math. Debrece, 3, Das, G., 966: O the Absolute Nörlud Summability Factors of İfiite Series, J. Lodo Math. Soc., 4, Das, G., 966: O the Some Methods of Summability, Quart. J. Math., Oxford(2), 7, Das, G., 968: roduct of Nörlud Methods, Idia J. Math., 0, Das, G., 967: O a Theorem of Hardy ad Littlewood, roc. Cambridge hil. Soc., 63, Hardy, G. H., 949: Diverget Series, Oxford.. Hyslop, J. M., 937: A Tauberia theorem for absolute summability, J. Lodo Math. Soc., 2, Iyegar, K. S. K., 943: A Tauberia Theorem ad Its Applicatio to Covergece of Fourier Series, roc. Idia Acad. Sci. Sect., A 8, Kopp, K. ad Loretz, G. G., 949: Beitrage Zur Absolute Limitierug, Arch. Math.(2), Fadde, L. Mc., 942: Absolute Nörlud Summability, Duke Math. J., 9, Mohaty, R., 950: A Criterio for the Absolute Covergece of a Fourier Series, roc. Lodo Math. Soc.(2), 5, Mohaty, R. ad Ray, B. K., 967: O the No-Absolute Summability of a Fourier Series ad the Cojugate of a Fourier Series by a Nörlud Method, roc. Cambridge hil. Soc., 63, ati, T., 96: The No-Absolute Summability of a Fourier Series by a Nörlud Method, J. Idia Math. Soc., 25,

60 8. Silverma, L. L., 937: roducts of Nörlud Trasformatio, Bull. America Math. Soc., 43, Suouchi, G., 949: Notes of Fourier Aalysis, VIII, Absolute summability of Series with Costat Terms, Tohoku Math. J., 2, Varshey, O.., 959: O the Relatio Betwee Harmoic Summability ad Summability by Riesz Meas of Certai Type, Tohoku Math. J.,, Ayres, F. Jr., 962: Schaum s Outlie of Theory ad roblems of Matrices, New York, Schaum, p

61 ÖZGEÇMİŞ Ad Soyad : G. Caa HAZAR Uvaı : Araştırma Görevlisi (202-) Aabilim Dalı : Aaliz ve Foksiyolar Teorisi Lisas Üiversite : İstabul Üiversitesi (2009) Tezsiz Yüksek Lisas : Marmara Üiversitesi (200) İletişim : amukkale Üiversitesi Fe Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kııklı / DENİZLİ e-posta : gchazar@pau.edu.tr