9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016

Transkript

1 9. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 19, Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. g yarıbasit bir Lie cebiri olsun. Soyut Jordan ayrışımı var olduğundan, g üstelsıfır değilse, sadece yarıbasit elemanlardan oluşan bir Lie altcebiri h g vardır. İddia ediyoruz ki böyle bir cebir sadece yarıbasit elemanlardan oluşan değişmelidir: x, y h sıfırdan farklı iki eleman olsun. ad x köşegenleştirilebilir olduğundan, ad x in bütün özdeğerlerinin sıfır olduğunu göstermek yeterli. İddiamızın aksine [x, y] = a sıfırdan farklı olacak şekilde bir y h olduğunu varsayalım. Dikkat ediniz ki ay = [y, x], ad y nin özdeğeri 0 olan bir özvektörüdür. y köşegenleştirilebilir olduğundan x i ad y nin özvektörlerinin doğrusal bileşimi olarak yazabiliriz. Bu sebeple, ad y yi x e uyguladığımızda elimizde y nin özdeğerleri sıfırdan farklı olan özvektörlerinin doğrusal bileşimi kalıyor. Ancak bu ay = ad h yx nin, y nin 0 özuzayına ait olduğu gerçeğiyle çelişmektedir. 1

2 2 Kök Uzayı Ayrışımı Sadece yarıbasit elemanlardan oluşan bir Lie cebirine simitsel denir. Az önce ispatladığımız iddiayı kısaca simitsel altcebirler değişmelidir diye ifade edebiliriz. h, g nin maksimal simitsel bir alt cebiri olsun. h nin, g üzerindeki eşlek etkisi eşanlı köşegenleştirilebilirdir: g = χ h V ss χ, 2.1 burada V ss χ lar h deki değişmeli operatörlerin ortak özuzaylarıdır, V ss χ = {x g : her h h için [h, x] = χhx }. Açıklama 2.2. h yi simetrik cebirinin ileriki derslerde tanımlanacak içinde olarak düşünüyoruz ve χ : h k bir k-cebir homomorfizmasi olsun. O zaman χ ın çekirdeği m χ ile gösterdiğimiz bir maksimal ideal, x χx1 ve x h ile gerilir. Bu yüzden V ss χ yı, V nin m χ yı yok eden altuzayı diye düşünebiliriz: V ss χ = {v V : m χ v = 0}. Sadeleştirmek adına asağıdaki notasyonu kullanacağız: g χ := V ss χ = {x g : her h h için [h, x] = χhx }. 2.1 deki bileşenlerden bir tanesi sabit 0 karaktere özfonksiyonel karşılık gelir. Karşılık gelen özuzay g 0, h nin g deki merkezleyicisi C g h den başka bir şey değildir. h değişmeli olduğundan h C g h Ayrıca, g χ 0 olacak şekilde sadece sonlu sayıda karakter χ h vardır. g χ 0 olacak şekilde sıfırdan farklı χ h ların kümesini Φ ile gösteriyoruz. Bu yüzden g = C g h g χ 2.3 χ Φ 2

3 Sonuçlar: 1. h deki her χ ve β için [g χ, g β ] g χ+β olur çünkü h h, x g χ y g β için, ad h[x, y] = [h, [x, y]] = [[h, x], y] + [x, [h, y]] = χh[x, y] + βh[x, y] = χ + βh[x, y] Bu gözlemin başka bir sonucu da eğer χ 0 ve x g χ ise ad x in üstelsıfır olmasidir: her n N için [g χ, g n 1χ ] g nχ olur ve sadece sonlu sayıda sıfırdan farklı g β vardır. 2. Eğer χ, β h ve χ + β 0 ise Killing forma göre g χ g β Gerçekten, h h yi öyle seçelim ki χ + βh 0 olsun. Her x g χ, y g β, ve h h için B[h, x], y = Bx, [h, y] olduğundan, χhbx, y = βhbx, y, veya χ + βhbx, y = 0 Bu da iddiamızı ispatlar. 3. Önceki gözlemin bir sonucu olarak, görüyoruz ki Killing formun merkezleyiciye g 0 = C g h kısıtlanışı dejenere değildir. Aksi takdirde, öyle bir eleman z g 0 olurdu ki bütün g ye dik olurdu, dolayısıyla B dejenere olurdu. 4. h nin merkezleyicisi kendisine eşittir: h = C g h. Bu iddiayı ispatlarken kullanılan ana argümanlar su şekildedir: 3

4 a C g h elemanlarının yarıbasit ve üstelsıfır kısımlarını da içerir. b Killing formun h ye kısıtlanışı dejenere değildir. c C g h üstelsıfırdır. d C g h değişmelidir. B, nin h ye kısıtlanışının dejenere olmadığını bildiğimize göre, her χ h için öyle tek bir t χ h vardır ki χh = Bt χ, h for all h h Sırada, kökler, kök uzayları ve kök uzay ayrışımının bazı genel gerçeklerini listeliyoruz. 1. Φ, h ı gerer. Gerçekten, eğer h ı germiyorsa, o zaman her χ Φ için χh = 0 olacak şekilde bir h h vardır. Denk olarak, her χ Φ için [h, g χ ] = 0 h h = C g h olduğundan, [h, g] = 0 olacağı sonucuna varırız, diğer bir deyişle h Zg merkez Ancak yarıbasit bir Lie cebirinde Zg = 0 2. Eğer χ Φ ise, χ Φ Bunu görmek için hatırlayınız ki keyfi seçilen karakterler χ ve β için χ+β 0 olduğunda ağırlık uzayı g χ, g β ya diktir. B dejenere olmadığından, g χ, g χ ya dik olamaz. Bu yüzden g χ 0 3. χ Φ, x g χ, y g χ için [x, y] = Bx, yt χ Gerçekten h h için Bh, [x, y] = B[h, x], y = χhbx, y = Bt χ, hbx, y = Bh, Bx, yt χ Diğer bir deyişle Bh, [x, y] Bx, yt χ = 0 B dejenere olmadığından, [x, y] = Bx, yt χ olmalıdır. 4. Önceki maddeden açıkça görülüyor ki her χ Φ için [g χ, g χ ] bir boyutludur. 4

5 5. Her χ Φ için χt χ = Bt χ, t χ 0 Aksi takdirde, x g χ ve y g χ öyle seçelim ki Bx, y = 1 olsun. Önceki maddelerden dolayı [x, y] = t χ olduğundan, x, y ve t χ ile gerilen 3 boyutlu bir Lie altcebir S tanımlayabiliriz. Bu cebir çözülebilirdir. Cartan ın kriterini kullanarak gösterilebilir. Bu yüzden, her s [S, S] için, ad g s üstelsıfır bir özyapı dönüşümü Özel olarak, ad t χ üstelsıfırdır. Ancak aynı zamanda yaribasittir. Bundan dolayı ad t χ = 0 ve t χ Zg Bu da g nin yarıbasit olmasıyla çelişir. 6. Sıfırdan farklı herhangi bir x g χ, χ Φ için, öyle bir y g χ vardır ki x, y ve h := [x, y] 3 boyutlu, basit, sl 2 ye izomorf bir Lie cebiri S yi gerer. İzomorfizma x , y , h ile verilir. Gerçekten, x g χ verildiğinde y g χ yi, Bx, y = 2/Bt χ, t χ olacak şekilde seçeriz. Sonra h χ = 2t χ /Bt χ, t χ olarak tanımlarız. Direkt bir hesaplama gösterir ki x, y ve h; sl 2 yi tanımlayan matrislerin sağladığı ilişkileri sağlar. 7. Eğer h χ = 2t χ /Bt χ, t χ ise h χ = h χ Bu t χ = t χ olmasından ileri gelir. References [1] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 5