POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
|
|
|
- Esen Erdal
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x + a x a x + poliomu kısaca P x = a0 + a x + ax + a x ax dir. Yai, Buradaki P x ile gösterilir. a,a x,a x,a x,...,a x 0 ifadeleri poliomu terimleri, a 0,a,a,...,a gerçel sayılarıa poliomu katsayıları deir. doğal sayısıa a terimii derecesi deir. x Derecesi e büyük ola terimi derecesie, poliomu derecesi deir ve der P( x ) biçimide yazılır. Derecesi e büyük ola terimi katsayısıa, baş katsayı deir. Değişkee bağlı olmaya terime de sabit terim deir. Not: R Reel katsayılı poliomları kümesi [ x] Q Rasyoel katsayılı poliomları kümesi [ x] Z Tam katsayılı poliomları kümesi [ x] Soru: P(x) = x 5x + + 7x poliomuu, a) Derecesii, ( der P ( x ) = ) b) Baş katsayısıı, (-5) c) Sabit terimii yazıız. ( ) Soru: Aşağıdaki tabloyu verile öreklerde yararlaarak dolduruuz. Foksiyo Poliom mu? ( E / H ) Poliomu Derecesi Poliomu Baş Katsayısı Poliomu Sabit Terimi Poliomu Katsayılar Toplamı f ( x) = 8x + x 0, E 8 0, 7,8 + f ( x) = x x f ( x ) = 0 f ( x ) = f ( x) = x + 5x + H f ( x) = 7 + x = + + f x x x
2 Uyarı: Z Q R olduğuda Z[ ] Q x [ x] R [ x] dir. Bular gibi Z, Z, Q... kümeleri de yazılabilir. 5 Soru: Q kümesii buluuz. 5 5 { a0 a 5 a 5 a 5... a 5 : ve a0, a, a,..., a } Q = N Q TANIMLAR: P(x) = a + + poliomuda, 0 ax + a x + a x +... a x. 0 a 0 ve a a a... a a 0 = = = = = = ise Sabit poliomu derecesi sıfırdır. P x poliomua sabit poliom deir.. a a = a = a =... = a = a 0 = ise 0 = Sıfır poliomuu derecesi yoktur ( taımsızdır). P x poliomua sıfır poliomu deir. Soru: Aşağıdaki ifadelerde hagileri taımlı oldukları kümelerde bir poliomdur? Poliom olaları derecesi, baş katsayısı ve sabit terimi edir? P x = x + x R 7 5 P ( y) = y y ; Q y 7 y P ( a) = 5 a ; Z a 5 a) ; [ x] b) [ ] c) [ ] P = 5 ; Z d) 4 e) P ( 5 t ) = ; R [ t] P( x) = m x + 4 x poliomu sabit poliom ise m + =? Soru: Çözüm : Sabit poliom olabilmesi içi 0 m =, = 4 m + = buluur. m = ve ( ) + 4 = 0 olmalıdır. Burada
3 Soru: b + P( x) = a. x. x c + poliomu sıfır poliomu ise a + b c =? Soru: 4 m P x = 5x x + 4 ifadesii bir poliom olabilmesi içi m i alabileceği pozitif tamsayı değerlerii toplamıı buluuz? Soru: P ( x, y) = x y xy + 5y x ise, Çözüm: P, =? P ( x, y) iki değişkeli reel katsayılı bir poliomdur. x = ve y = içi (, ). ( ).. ( ). 5. ( ) P = + de P (, ) = 9 buluur. Soru: Aşağıdakilerde hagisi bir poliom değildir? 5 a. P( x) = x + x + 6 b. K x = d. H( x) x ( x) 4 c. Q x y = x y+ xy xy+, = e. R( x) = x + x x Soru: 4 P ( x) = x a + 5x a poliomuu derecesi e fazla kaç olabilir? Çözüm : 4 P ( x) = x a + 5x a ifadesii bir poliom belirtmesi içi 4 N ve a N olmalıdır. a + 4 N a = { 0,, 6,} değerlerii alabilir. a + a N a olmalıdır. Her iki kümei kesişimide a = 6 a = olur.
4 4 Burada da 0 a = P x = x 5x der P x = 0 a = 6 P x = x 5x der P x = 0 der P x =. N içi kaç olur? (4) Alıştırmalar P x = x + x + x + bir poliomdur. Bua göre bu poliomu derecesi e çok P x, y = x y + x y xy + 4 poliomuu derecesi kaçtır? (6). 4. Aşağıda verile bağıtıları poliom olup olmadıklarıı irdeleyiiz. = + + (H) a. P ( x) = x + 5x (E) b. Q( x) x x 4 c. R ( x ) = 5 (E) d. K ( x) x T x = x + x + (H) e. = (H) x 4. P ( x) = ( a ) x + ( b + ) x + a. b + poliomu sabit poliom olduğua göre, P 5 =? (-) İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ Dereceleri ayı ve ayı dereceli terimlerii katsayıları eşit ola iki polioma eşit poliomlar deir. Karşıt olarak ta, iki poliom birbirie eşit ise dereceleri ayı ve ayı dereceli terimlerii katsayıları eşittir. = ve P x a0 a x ax a x... ax Poliomları içi 0 0 Q x = b0 + b x + b x + b x b x P x = Q x a = b, a = b, a = b, a = b... a = b dir.
5 5 Soru: P( x) =. x + x + c. x + ve = Q( x) ise a + b + c + d =? P x Q( x) = a. x b. x +. x d poliomları veriliyor. Çözüm : Q( x) P x = ise, = =.. +. P x x x c x Q x a x b x x d = a ( b ). c = c = = b = 0 = d d = 6 Soru: P ( x) = ( a + ) x + bx + ( c ) x + ve a + b + c + d =? Q x = x + x + d poliomları eşit ise, 5x A B Soru: = + x x x + eşitliğideki A ve B değerlerii buluuz. BİR POLİNOMUN BİR GERÇEL SAYI İÇİN ALDIĞI DEĞERLER Bir P ( x ) poliomuda, a R olmak üzere x = a içi P ( x) i aldığı değer P ( a ) dır. Soru: 5 4 P( x) = x x. x + 40 poliomuu, x = içi aldığı değeri buluuz. Çözüm: 5 4 x = P = ise, P ( ) = 0 olarak buluur.
6 6 Soru: 6 5 = + ise P x x x P x + =? Soru: Bir P ( x ) poliomu içi Çözüm: ( ) 4 + = + ise? P x x x P x = = x + dersek, Q ( x) = x ( Q ( x) Q x ifadesi Q( x)' i tersidir.) P ( x + ) poliomuda x yerie ( ) ( ) x yazarsak, P x + = x. x + 4 de P x = x 5x + 8 olarak buluur. Soru: Aşağıda verile poliomları katsayılar toplamıı ve sabit terimlerii buluuz P x 9 = x 7x + 9x + 5 P x + = x 8x + 4 P x = x + 6x 9 Soru: P ( x) = x + x + poliomu içi P ( 0) ve ( ) poliomu sabit terimi ve katsayılar toplamı ile karşılaştırıız. P değerlerii buluuz. Bu değerleri Souç: Bir P ( x ) poliomuda; Sabit terimi bulmak içi P ( 0) değeri, Katsayılar toplamıı bulmak içi P ( ) değeri buluur. Soru: P ( x ) + P( x) = x x veriliyor. terimii buluuz. Soru : P ( x ) = x + 4x 5 olmak üzere, ( ) Çözüm : P x poliomuu katsayılar toplamı 5 ise, sabit P x + poliomuu sabit terimii buluuz. P ( x + ) poliomuu sabit terimi istediğide P ( x + ) poliomuda x yerie sıfır yazılarak, ( ) P buluur.
7 7 Yai bizde istee P ( ) dir. Bua göre P ( x ) poliomuda P ( ) x = x = yazılmalı i bulmak içi P ( x ) poliomuda burada da istee cevap x = P = 5 olur. Uyarı: Bir poliomda değişkeleri yerie sıfır yazarsak o poliomu sabit terimii buluruz. Ayı şekilde verile bir poliomu katsayılar toplamıı bulmak içi o poliomda x yerie yazmamız yeterli olacaktır. Soru : P ( x) ( x 4x kx 5) = + + poliomuu katsayılar toplamı 64 ise, k =? (4) Soru : P ( x + ) = x ( a + ) x + a poliomu veriliyor. ise, sabit terimi kaçtır? (7) P x poliomuu katsayılar toplamı Soru: P ( x + ) = 9x 6x + ise, P ( x ) =? Soru: P ( x + ) = x 4x + ise, P =? Soru: P ( x) + P( x) = 4x 7x 5 ise, P =? Soru: P x x x x P x = + = + ise,? Çözüm : = dersek, P ( x x) ( x x) x x a + = + de, a a P a + = a + olur. Burada Q a = a + Q a = a de
8 8 ( ) P a + =. a + ise, P a = a + 7 P x = x + 7 olarak buluur. Uyarı : Bir P ( x) Q( x) = eşitliğii her iki tarafıda da uygulamak şartı ile istediğimiz gibi değişke değiştirebiliriz. Uyarı : P ( x ) poliomuda çift dereceli terimleri katsayıları toplamı; P P Ç T ( ) + P( ) P =, ( ) P ( ) P = olduğua dikkat ediiz. P x = a0 + a x + ax + a x ax olarak düşüüp verile değerleri yerie koyuuz.) ( Alıştırmalar. P ( x) = x x + ise, P x x x x. 6 4 P =? (7) = + + ise, P =? (5). P ( x, y) = x y xy + x y + ise, = ise, P x x x x 4. P, =? () P =? () 5. P ( x) = x + ax + b poliomuda P ( ) = ve P ( ) = ise, P =? ()
9 9 6. P ( x + ) + Q( x ) = x olmak üzere, P ( ) = 4 ise, Q =? () P x + = x x + olduğua göre, 7. a. P ( ) =? () b. P ( 5 ) =? (7) P x = x 7x + ) c. P ( x ) =? ( P x = x 5x + 7 ) d. P ( x ) =? ( 8. P ( 4x ) = 6x 8x + 4 ise,? P x = ( x + ) 9. P ( x ) = 6x x + ise, P 5 =? () 0. + = + ise, P ( x ) =? ( P ( x) 5 P x x x x 4 = x ). P ( x) ( 4x x 7x ) 5 = + + poliomuu sabit terimi kaçtır? (). P ( x, y) ( x 5y 4) 5 = + poliomuu katsayılar toplamı kaçtır? (). P ( x ) = x x + a poliomu veriliyor. P ( x) ve P x + poliomlarıı katsayılar toplamıı buluuz. P x poliomuu sabit terimi 9 olduğua göre, 4. P ( x) = 4x 5x + ( k ) x + ve Q( x) ( m ) x ( t ) x x ( ) veriliyor. P ( x) Q( x) 5. = olduğua göre, m. t?. k = = poliomları P x = x + 4x 5x poliomuu çift dereceli terimlerii katsayılar toplamı a, çift dereceli terimleri katsayıları toplamı b olduğua göre, a b =?
10 0 POLİNOMLARDA İŞLEMLER POLİNOMLARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA R [ x] de toplama işlemi [ x] [ x] ( P ( x), Q( x )) poliom ikilisie P ( x) Q( x) R R de R [ x] e bir foksiyodur. Bu foksiyo poliomu karşılık getirilir. P x = a0 + a x + ax + a x a x m Q x = b0 + b x + b x + b x b x bm x olduğua göre m P( x) ± Q( x) = a ± b + a ± b. x + a ± b. x a ± b. x b. x dir. 0 0 Bua göre, P ( x) Q( x) poliomuu derecesi P ( x ) ve derecesi küçük olmaya poliomu derecesie eşittir. m Q x poliomlarıda Soru: 4 P( x) = x x x + 5 ve Q( x) = 4. x 5x x poliomları içi, a. P ( x) + Q ( x) b. P ( x) Q( x) c.. Q( x). P( x) poliomlarıı buluuz. Çözüm : a. P ( x) + Q( x) = x 4 + 4x + ( 5) x + ( ) x + ( 5 ) 4 P x + Q x = x + 4x 8x x + 4 buluur. b. P ( x) Q ( x) = x 4 4x + ( + 5) x + ( + ) x + ( 5 + ) 4 P x Q x = x 4x + x x + 6 buluur. c.. Q( x). P( x) = ( x 4 x x + 5 ) ( 4. x 5x x ) 4. Q( x). P( x) = ( x 6x 4x + 0 ) + ( x + 5x + x + ) 4. Q x. P x = x x + 9x x + buluur.
11 Uyarı: Toplam ve çıkarma işlemii soucuda elde edile poliomu derecesi, işleme gire poliomlarda büyük dereceli ola ile ayı derecelidir. POLİNOMLARDA ÇARPMA P ( x). Q( x ) poliomuu bulmak içi P ( x ) poliomuu her bir terimi her bir terimi ile ayrı ayrı çarpılır ve elde edile poliomlar toplaır. Q x poliomuu Soru: P ( x) = x x 5 ve Q x = x x poliomlarıı çarpımıı buluuz. Çözüm : 5 4 P x. Q x = x x 5. x x = x x 6x + x 0x + 5x 5 4 P x. Q x = x x 6x 7x + 5x elde edilir. Uyarı : Her ikisii derecesi sıfırda farklı ola iki poliomu çarpımıı derecesi buları dereceleri toplamıa eşittir. Soru: x a. x b ( x x ).( m. x ) + + = + ise a b =?. = 8 ise, Soru: P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi, der P( x). Q ( x ) = 5 ve der P ( x) Q( x) der Q( x ) =? Çözüm : der P( x) = a ve der Q( x) = b olsu. der P x. Q x = der P x + der Q x = a + b = 5
12 . = + =. + = a + b = 8 der P x Q x der P x der Q x der P x der Q x a + b = 8 = = = = a + b = 5 Burada a der P( x) ve b der Q( x) olarak buluur. POLİNOMLARDA BÖLME Taım: P ( x ), Q( x) R [ x] ve Q( x) 0 olmak üzere P ( x) poliomuu demek, P ( x) = Q( x). B( x) + K ( x) olacak biçimde R [ x] de bir B ( x ) poliomu ile dereceside küçük ola bir K ( x ) poliomu bulmak demektir. Q x poliomua bölmek Q x i P(x) : : K(x) Q(x) B(x) derp( x) derq ( x) olmak üzere, P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi, P ( x) = Q( x). B( x) + K ( x), derk ( x) < derq( x) ve derp( x) = derq( x) + derb ( x) koşullarıı sağlaya; P ( x ) poliomua bölüe Q ( x ) poliomua böle B ( x ) poliomua bölüm K ( x ) poliomua kala deir. Eğer K ( x ) = 0 ise P ( x ) poliomu, Q ( x ) poliomua tam bölüüyor deir. Bölmei Yapılışı Bölme işlemi yapılırke aşağıdaki sıraı izlemesi uygudur;. Bölüe ile böle, x i azala kuvvetlerie göre sıralaır.. Bölüei solda ilk terimi (e büyük üslü terim), bölei solda ilk terimie bölüür.. Elde edile bölüm, bölei bütü terimleri ile çarpılarak ayı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölüei altıa yazılır. 4. Bu çarpım bölüede çıkarılır. 5. Geri kala terimler farkı yaıa yazılır. 6.Bulua poliom içi yukarıdaki işlemler sıra ile uygulaır.
13 7. Kalaı derecesi, bölei dereceside küçük olaa kadar işleme devam edilir. Soru: = + poliomuu Q( x) P x x x x 0 7 = + x poliomua bölüüz. Çözüm : + x x x 0x 7 x x 4x 0x 7 4x 6x 4x 7 4x + 6 x +x B ( x) ( Bölüm Poliomu ) K ( x) ( Kala Poliomu ) Soru: P x x x 5 Q x = poliomuu = x poliomua bölüüz. Uyarı : P x der = der P ( x) der Q( x) Q x dir. Soru: Aşağıdaki tabloda verile boşlukları dolduruuz. Poliom der[p(x)] der[q(x)] P(x)+Q(x) P(x).Q(x) der[p(x)+q(x)] der[p(x). Q(x)] 7 5 = P x x x x 4 = + 5 Q x x x P( x) = ( x + x + ) 5 Q( x) = ( x x + 5)( x )
14 4 Soru: P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi? der P x = der P x. Q x = 6 ve ( x) P = der Q x 6 ise, Soru: P( x) ve Q( x ) iki poliomdur. P( x) i derecesi Q( x ) i derecesii katıda eksiktir.. Q( x) P x P x poliomuu derecesi ise, Q( x ) poliomuu derecesi kaçtır? HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME Bir P(x) poliomuu ( a. x b) Aşağıdaki örekleri iceleyiiz. + ile bölümüde kolaylık sağlaya bir yötemdir. Örek: P ( x) = x + x 5 poliomuu Q( x) x = poliomua Horer yötemi ile bölüüz. Çözüm :. x = 0 x = -5 P(x) i katsayıları = = = = 6 Ayı işlemler tekrar edilir. Bölüm : B(x) = x + 7 Kala : K(x) = 6
15 5 6 5 Soru: P ( x) = x 5x + x + 4x + 7 poliomuu Q( x) x = poliomua bölüüz. Çözüm: B x = x x 6x 0x 6x Bölüm : 5 4 Kala : 57 4 Soru: P ( x) = 4x + 5x + x poliomuu Q( x) x = poliomua bölüüz. Çözüm: / x =. x olduğuda kalaı soludaki sayıları (4,,6,6), bölei baş katsayısı ola ile tekrar bölüür ve bölümü katsayıları (,,,) buluur. Bölüm : B(x) = x +x +x + Kala : K(x) =
16 6 Alıştırmalar 4. P ( x) = x x 4x + 5 poliomuu Horer yötemi ile Q( x) ( x )( x ) bölüüz. = + poliomua 4. P ( x) = x x + x + ax + b poliomuu ( x ) ile tam bölüebilmesi içi a, b =? (-4,). 5 x + x x x bölümüü buluuz. ( x + ) 4. P ( x ) ve Q ( x ) poliomları içi + Q( x) =? der P x (4) der P x. Q x = 6 ve P x der = Q x ise, 5. P ( x ) bir poliom olmak üzere, der P ( x ) = 6. =? ise, der x P ( x ) (0) 6. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom ve a N olmak üzere, der P ( x) = a +, der Q( x) = a + ve der P ( x) + Q( x) = 5 ise, a =? (4) 7. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom olmak üzere,? der Q x = () der P x = der Q x. = 0 ise, ve der P ( x) Q ( x) P ( x) = x + x + px + qx + t poliomu ( ) 50 x ile tam bölüdüğüe göre, p =? ( ) 9. der P ( x ) = 6, der Q( x ) = 8 olmak üzere P ( x ) ve 4 6 ( + ). ( ) + ( ). ( + ) der x x P x x Q x değerii buluuz. (40) Q x poliomları verilmiştir. Bua göre,
17 7 BÖLMEDE KALANIN BULUNMASI. Bir P ( x ) poliomuu ( a. x b) ile bölümüde kala, K b = P a dir. P(x) ax -b : : B(x) K (. ). P x = a x b B x + K b a. x + b = 0 x = içi a b b b P = a. b. B + K ise, a a a b P = K olur. a Yai, P ( x ) poliomuu ( a. x b) b b yazılır. ( a. x b = 0 x = dır.) a a ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda x yerie P x poliomuu ( x a). yazılır. ( x a = 0 x ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda = a dır. ) x yerie ( a ) p P x poliomuu ( x a. x b), ( p) p yerie ( a. x b). > ile bölümüde kalaı bulmak içi poliomda p p + yazılır. x a. x b = 0 x = a. x + b dir.) x Soru: P ( x) = 4x x + 5 poliomuu ( ) x + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x + = 0 x = ise, P = K ( x) = P = 7 4 dir. Soru: P ( x) = ( m ) x + ( m + ). x poliomuu ( ) e olmalıdır? Buluuz. x + ile tam olarak bölüebilmesi içi m
18 8 9 = poliomuu P x x 4. x 5. x Soru: x + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x + = 0 x = yazılır. 9 9 ( 9 ) ( 9 ) 9 P x =. x + 4. x + 5. x + = K x = 8 dir. P x x x 5x 4 Soru: = + poliomuu ( x x ) + ile bölümüde kalaı buluuz. Çözüm : x x x x + = 0 = P x = x. x x 5x + 4 ifadeside Burada x yerie x yazarsak, K x = x. x. x 5x + 4 = x 8x + 6 ifadeside x yerie tekrar x yazarsak, K x = x 8x + 6 = 7x + 5 elde edilir. Uyarı: Bir P(x) poliomuu ( x a)( x b) ile bölümüde kala P ( x ) ( x a) B ( x ) : : K B ( x ) ( x b) : M ( x ) : K = ( ). + ve B ( x) ( x b). M ( x) K P x x a B x K = ( ). ( ). + + P x x a x b M x K K... = + olup, P x = x a x b M x + x a K + K buluur. Burada istee kala. K x = x a K + K olur.
19 9 4 Soru: P ( x) = x x 4x + 5 poliomuu Q( x) ( x ).( x ) kalaı buluuz.. Yol: Q x = x x = x x + ifadeside = poliomua bölümüde gibi kala buluabilir. x x da x x + = 0' = yazılarak bir öceki örekte olduğu ( ) P x = x x 4x + 5 K x = x x 4x + 5 de, K x = 9x 5x + 5 K x = 9 x 5x + 5 ise, x 7 K x = + olarak buluur..yol :. P x = Q x B x + K x şeklide yazarsak, = ( ).( ). + ( + ) P x x x B x ax b (Böle ikici derecede bir poliom olduğuda kala e fazla birici derecede olabilir.) x = içi P ( ) = ( ).( ). B( ) + ( a + b) a + b = 9 x = içi P = ( ).( ). B + ( a + b) a + b = olarak buluur. Taraf tarafa çözüm yapılırsa, a + b = a = ve b = 7 a + b = 9 = + olur. olur. K ( x) x 7.yol: Horer yötemi ile; K = 9 K = B x = x + 6x + 8 Bölüm: =. + 9 Kala: K ( x) ( x ) K ( x) = x + 7
20 0 Uyarı: Bir P ( x ) poliomuu ( x a) ile bölümü yapılırke, Horer yötemi kez peş peşe uygulaır. Soru: Bir P ( x ) poliomu içi P ( x + ) = x 4x + 5 olduğu biliiyor. Bua göre ( x ) ile bölümüde kalaı buluuz. P x i + Soru: P ( x, y) ( 4x y 5x y 4xy ) = + iki değişkeli poliomuu açılımı yapıldığıda, katsayıları toplamı 4 oluyor. Bua göre =? P x = x + 4x 5x poliomuu çift dereceli terimleri katsayıları toplamı a, tek Soru: dereceli terimleri katsayıları toplamı b ise a b =? Soru: P ( x ) poliomu ( ) ( x ) ile bölümüde kalaıı buluuz. (5) x ile bölümüde kala 5 olduğua göre, ( 7 ) P x poliomuu Soru: P ( x ) ve Q ( x ) birer poliomdur. P ( x) + Q ( x) poliomuu ( ) 5, P ( x + ) Q ( x + ) poliomuu x ile bölümüde kala olduğua göre, P ( x + ) ( x + ) ile bölümüde kala edir? m m+ Soru : P ( x) = ( x 4) + ( x + ) 7 poliomuu göre, m =? x ile bölümüde kala i x ile bölümüde kala 7 olduğua P x = x + x x x + poliomuu Soru : edir? ( x + 4 ) 5 x ile bölümüde elde edile kala
21 . Bir [ x] P x R poliomu içi P ( x ) Alıştırmalar + = x 4 ise, P ( x ) =? 4. P ( x ) + P( x + ) = 6x 4x + 6 olduğua göre katsayılar toplamıı buluuz. P x poliomuu çift dereceli terimlerii. Bir P ( x ) poliomu içi, P ( x) =. P( x) + x tür. Bua göre P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz. 4. Bir P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde kala ( x 5x ) ( x + x + ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz. 5. Z olmak üzere, ise P i e büyük değerii buluuz. + ise.p x poliomuu P x = 5. x + x + gerçel katsayılı ikici derecede bir poliom 6. P ( x ) poliomu ( ) hagisi ( x 5) ile kalasız bölüebilmektedir? A) P ( x ) + B) P ( x + ) + x C) P ( x ) + x D) P ( x ) E) P ( x ) + x + + x x ile kalasız bölüebilmektedir. Bua göre aşağıdaki poliomlarda 5 7. P ( x) = x x x + 4x + 7 poliomuu ( x ).( x ) kalaı buluuz. 8. P ( x ) poliomuu ( x 4) ile bölümüde kala 5, göre 4.P( x) poliomuu ( x 4 ).( x ) + çarpımı ile bölümüde elde edile + ile bölümüde kalaı buluuz. 9. Q ( x ) poliomuu katsayılar toplamı, Q( x ). P ( x 4) = ( x + ). Q( x ). ( x ) ve. bölümüde kala ( 9x m) dir. Bua göre P ( ) Q( 0 ) =? x + ile bölümüde kala dir. Bua P x poliomuu sabit terimie eşittir. P x Q x poliomuu ( x x) 0. P ( x) = x 4x 5 poliomu veriliyor. P ( x) poliomuu ( ) edile kalaı buluuz.. P ( x ) = 8x 7x 4x + k 5 poliomu veriliyor. P ( x ) poliomuu bölümüdeki kala ise, P ( x ) poliomuu ( ) ile x + ile bölümüde elde x + ile x + ile bölümüde elde edile kalaı buluuz.
22 . P( x) Q( x ) x x = + poliomu veriliyor. P ( x ) poliomuu ( ) ise Q(x) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kalaı buluuz.. Bir Bua göre 4. x ile bölümüde kala 4 P x poliomuu ( x + x) ile bölümüde bölüm ( x + x) ve kala ( x ) P x poliomuu ( x + x) ile bölümüde kalaı buluuz. P x x 7 x 8 4x x 6 edile kalaı buluuz. = ise P x poliomuu ( ) + tür. x + ile bölümüde elde P ( x) = ( 4 x) + ( 4 x) poliomu =? x ile bölüdüğüde kala 7. olduğua göre 6. P ( x) + P ( x + ) = x + 6x ise, ( ) 5 7. P ( x) = x 4x + ve Q( x) x x Q P =? (7) P x poliomuu katsayılar toplamıı buluuz. = poliomları veriliyor. Bua göre, 8. P ( x ) ve. = 0 Q x birer poliomdur. der P ( x) Q ( x ) 5 ( ) der P P x. x Q x + =? () ve ( ) P P x der = 5 Q ( Q x ) ise,. = 0 ve 9. P ( x ) ve Q ( x ) birer poliom, der P ( x) Q ( x) derp ( x) derq( x ) = ise, der Q( x ) =? () 0. P x x 4x x + = + ise,? P x = ( x + 9 ). P ( x) = x x + 4x + olmak üzere, P ( x ) poliomuu ( ) kaçtır? (58). (8) P x x x x x = dir. P x poliomuu ( x x). ( x + ). P( x ) = x + x + c koşuluu sağlaya x ile bölümüde kala ile bölümüde kala kaçtır? P x poliomuu buluuz. ( x + x + ) 4. Bir P ( x ) poliomuu, ( x + ) ile bölümüde elde edile bölüm Q ( x ), kala tür. Q ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde elde edile kala 5 dir. Bua göre P ( x ) poliomuu ile bölümüde elde edile kala edir? (5x + 7 ) x 4
23 5. bir P ( x ) poliomuu ( x ) ile bölümüde kala, ( ) Ayı P ( x ) poliomuu x x ile bölümüde elde edile kala K ( x ) ise, P x poliomu ( 9) 6. x ile bölüdüğüde 7 poliomuu ( x + ) ile bölümüde kala kaçtır? () x + ile bölümüde kala dir. x + kalaıı vermektedir. P ( x) 7. P ( x ) bir poliom olmak üzere, P ( x) + P ( x + ) = x + 4 ise, 8. P ( x) P( x ) = x + koşuluu sağlaya P ( x + ) poliomuu ( 7) x ile bölümüde kala kaçtır? P =? ( 7 ) K 4 =?. x P x poliomuu sabit terimi 5 dir. Bua göre
24 Dosya adı: Dizi: Şablo: POLİNOMLAR KONU ANLATIMI C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET C:\Users\TOLGA\AppData\Roamig\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlık: Kou: Yazar: TOLGA KURTYEMEZ Aahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :4:00 Düzeltme Sayısı: So Kayıt: :4:00 So Kaydede: TOLGA Düzeleme Süresi: 0 Dakika So Yazdırma Tarihi: :4:00 E So Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: Sözcük Sayısı: 4.0(yaklaşık) Karakter Sayısı:.977(yaklaşık)
POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS
YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
ise, a b=? (32) ile bölümünden kalan 64 ise sabit terimi kaçtır? (72)
178. P( ) + ile bölümünden kalan a+ b dir. P( + 1) in 1 ile bölümünden kalan 10, P( + ) nin + 1 ile bölümünden kalan 4 4 P 179. ( ) ise, a b=? () + = + + 9 ise P( ) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
BAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.
POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1
ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar
ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom
Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...
POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek
Polinomlar. Rüstem YILMAZ
Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir
POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi
7. ( ) ( ) ( ) A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 8. ( ) çarpanı A) 2 B) 1 C) 0 D)1 E) 2 A)1 B) 2 C)3 D) 4 E)5 10. ( ) (B) A) 9 B)10 C)11 D)12 E)13 11.
1. POLİNOMLAR 6 ( + + 6 ) ( + + ) çarpımında lü terimin katsayısı A)16 B)18 C) 0 D) E) 6. P( ) polinomunun 6 + ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan P in derecesi en polinomları eşit olmaktadır. (
Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf
Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)
Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R
( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
5. P(x). Q(x) polinomunun derecesi 9, P(x) Q(x) 7. P(x) = (3m 1)x 3 4x 2 (n + 1) x+ k ve. Q(x) = 17x 3
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Polinomlar TEST I 1. Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur? A) = 4 x5 4x 4 5 + 7 x 4 5.. polinomunun derecesi 9, polinomunun derecesi 5 olduğuna
POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III
10 SINIF MATEMATİK. Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
10 SINIF MATEMATİK Polinomlar Çarpanlara Ayırma İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK
in en küçük değeri için x + y =? (24) + + =? ( a ) a a a b a
73. x, y R ve 5x + 3y = 10 dir. 5y 3x in en küçük değeri için x + y =? (4) 74. a + 1 = denkleminin çözüm kümesi nedir? ({ 1,3 } ) 75. a. b > 0 ve a. b < 0 olmak üzere, a a a b a + + =? ( a ) 76. x <
POL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.
1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie
8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden
MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
DİZİLER - SERİLER Test -1
DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6
KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi. 6. P x x x 1
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Polinomlarda Bölme İşlemi Dersin Konusu 1. Px 4 x x polinomunun x 1 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) D) 4 E) 6. Px x x 1 polinomunun x + 1 ile
Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması
POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.
Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Yeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)
TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu
(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı
matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,
140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c
138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,
KÖKLÜ SAYILAR. 1 n n. x a a x say s na a n n n. kuvvetten kökü denir. Köklü say lar n. çözüm. n n. a özelli inden, çözüm. m n n. çözüm. çözüm.
KÖKLÜ SAYILAR Köklü Sayılar ve doal say olmak üzere, x =a deklemii salaya hepsi ay zamada birer üslü saydr. = ise a a (karekök a) = ise a (küpkök a) = ise a (. kuvvette kök a) : : = ise a (. kuvvette kök
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura
1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )
. TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi
SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:
www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK
1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Analiz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?
ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}
Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı
ŞAH VE MAT. Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz?
ŞAH VE MAT Satrancın ilk kez M.S. 570 yıllarında Hindistan'da oynandığını biliyoruz. Bunu nerden biliyoruz? O tarihlerde yazılmış olan pek çok evrakta satranç oyunundan söz ediliyor. Daha önce Çin'de de
TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören
Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması
6. x. 1 x = x denkleminin çözüm kümesi A) 3 2 B) 1 C) 1 2. x x
İkinci ereceden enklem Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar TEST-. + 9 = ) C) ise ) E) 6.. = denkleminin çözüm kümesi ile 6 + m + = 0 denkleminin çözüm kümesinin kesişimi bir elemanlı ise, m gerçel sayısının
Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org
0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre
Matematik Olimpiyatları İçin
KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,
Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
LYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım
ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748
ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar
ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak
SAYILAR SAYI KÜMELERİ
SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar
SAYILAR SAYI KÜMELERİ
1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif
h)
ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile
MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r
MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
MATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı,
MATEMATİK - FÖY İZLEME TESTLERİ 0/U UYGULAMA ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. x, y, z birer rakam ve x < y < 6 < z olmak üzere, x + 3y z ifadesinin en büyük değeri A) B) 3 C) 6 D) 0 E) 9 4. a.b
BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.
BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p
MUTLAK DEĞER Test -1
MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy
ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...
İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...
ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 10. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI POLİNOMLAR ÇARPANLARA AYIRMA İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER V ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 0. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25
İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................
KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.
11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI
. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy
OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
. ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma
A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B
. +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze