ç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe

Transkript

1 lar Birdal eno lu ükrü

2 çindekiler

3 A³amal tasarmlar (hierarchical designs) olarak da bilinen iç-içe tasarmlarda (nested designs), ³u ana kadar gördü ümüz tasarmlardan farkl olarak iki veya ikiden fazla "faktör" vardr.

4 Etkisi ara³trlmak istenen A ve B gibi iki tane faktörümüz oldu unu varsayalm. A faktörünün a, B faktörünün b düzeyi olsun. B faktörünün b düzeyi, A faktörünün a düzeyinin her birinin içinde yuvalanm³sa, bu tip tasarmlara iki a³amal iç-içe tasarm (two-stage nested design) denir. Bu durum, B faktörü, A faktörünün içinde yuvalanm³tr ³eklinde ifade edilir ve B(A) sembolü ile gösterilir.

5 Srasyla a, b ve c düzeye sahip olan A, B ve C gibi üç faktörümüz oldu unda, C faktörünün c düzeyi, B faktörünün b düzeyinin her birinin içinde, B faktörünün b düzeyi de A faktörünün a düzeyinin her birinin içinde yuvalanm³ ise bu tip tasarmlara da üç a³amal iç-içe tasarm (three-stage nested design) denir. Bu durum, C faktörü, B faktörünün içinde ve B faktörü de, A faktörünün içinde yuvalanm³tr ³eklinde ifade edilir ve srasyla C(B) ve B(A) sembolleriyle ifade edilir. Açktr ki, birbirlerinin içinde yuvalanm³ l tane faktörümüz varsa, bu tasarmlara da l a³amal iç-içe tasarm (l-stage nested design) denir.

6 2-a³amal iç-içe tasarmlarda, ara³trmadaki önemine göre d³taki faktör ana faktör (major factor), içteki faktör ise ikincil faktör (minor factor) olarak isimlendirilir, bkz. Berger & Maurer (2002). 3-a³amal ve l-a³amal iç-içe tasarmlarda da benzer tanmlamalar yaplabilir. Yuvalanm³ faktörün düzey says, d³taki faktörün her bir düzeyinde ayn ise ve her bir faktör kombinasyonundaki tekrar says n ise, iç-içe tasarmlara, dengeli iç-içe tasarmlar (balanced nested designs) ad verilir.

7 Burada dikkat edilmesi gereken husus, yuvalanm³ faktörün düzeyleri sadece yuvaland düzeye aittir. Bir ba³ka deyi³le, içteki faktörün düzeyleri d³taki faktörün her bir düzeyinde benzerdir ama ayn/özde³ de ildir, Montgomery (2001). Dolaysyla, faktörler arasnda etkile³im yoktur.

8 Örnek : Örnek A³a da detaylar verilen ders anlatma tekniklerinin T1 : Ders materyalini tepegöz kullanarak anlatmak, T2 : Ders materyalini tahtaya yazarak anlatmak, T3 : Ders materyalinin fotokopisini her dersin ba³nda ö rencilere da tmak ve dersi fotokopiler üzerinden anlatmak T4 : Ders materyalini, her dersten bir hafta önce internete koymak ve dersi soru, cevap a rlkl bir tart³ma ortam yaratarak anlatmak. ve bu teknikleri kullanarak ders anlatan ö retim görevlilerinin dönem sonu snf ba³ar ortalamasna olan etkileri ara³trlmak isteniyor. Bu amaçla, Ankara Üniversitesinde, birinci snf ö rencilerine açlan ve krk ³ubeden olu³an ngilizce dersi her bir tekni i iki ayr ö retim görevlisi kullanacak ³ekilde sekize bölünüyor. Her bir ö retim görevlisi be³er tane ³ubeye ders anlatyor.

9 : Örnek Bu örnekte, toplam 8 tane ö retim görevlisi vardr ve her bir ö retim görevlisi sadece ilgili teknik konusunda tecrübelidir. Dolaysyla, ö retim görevlisi faktörü sabit etkilidir. Benzer ³ekilde, tekniklerin de sabit etkili oldu u açktr. Bu durumda kullanlabilecek en uygun tasarm, iç-içe tasarmdr. Çünkü burada "Ders anlatma teknikleri" ve "Ö retim Görevlileri" olmak üzere iki ayr faktör vardr. "Ö retim Görevlileri" faktörünün iki düzeyi vardr ve bu düzeyler sadece ö retim görevlilerinin kullandklar ders anlatma tekni inin ilgili düzeyine aittir. Örne in, T1 tekni ini kullanan ö retim görevlileri sadece T1 tekni inde mevcuttur, T2, T3 ve T4 tekniklerini kullanan ö retim görevlileri farkl ki³ilerdir.

10 Matematiksel Model A ve B gibi iki faktörün oldu u, iki a³amal iç-içe tasarm için matematiksel model, y ijk = µ + τ i + γ j(i) + ε ijk, (1) i = 1, 2, a; j = 1, 2,, b; k = 1, 2,, n ³eklinde ifade edilir. Burada, y ijk, A faktörünün i inci düzeyinde yuvalanm³ B faktörünün j inci düzeyindeki k nc gözlem de erini, µ, genel ortalamay, τ i, A faktörünün i inci düzeyinin etkisini, γ j(i), A faktörünün i inci düzeyinde yuvalanm³ B faktörünün j inci düzeyinin etkisini ve ε ijk, rasgele hata terimlerini gösterir.

11 Matematiksel Model (1) modeli sabit etkili bir modeldir. Bir ba³ka deyi³le a b τ i = 0, γ j(i) = 0 (2) oldu u varsaylr. i=1 j=1

12 Veri Yaps (1) modelinde a = 3 ve b = 2 iken veri yaps a³a daki gibidir: A Faktörü A1 A2 A3 B Faktörü B1 B2 B1 B2 B1 B2 y 111 y 121 y 211 y 221 y 311 y 321 y 112 y 122 y 212 y 222 y 312 y y 11n y 12n y 21n y 22n y 31n y 32n... Burada, A1, A2 ve A3, A faktörünün; B1 ve B2 de B faktörünün düzeylerini göstermektedir.

13 Parametre Tahmini (1) modelinde parametrelerin LS tahmin edicileri, µ = ȳ (3) τ i = ȳ i ȳ (4) γ j(i) = ȳ ij ȳ i (5) olarak bulunur.

14 Burada, ȳ i = ȳ ij = Parametre Tahmini b n y ijk j=1 k=1 bn n k=1 n y ijk, i = 1, 2,, a;, j = 1, 2,, b ve N = abn olmak üzere, tüm gözlemlerin ortalamas, a b n y ijk i=1 j=1 k=1 ȳ = N dir. (6) (7)

15 Parametre Tahmini Hatann varyans σ 2 nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi, a b n (y ijk µ τ i γ j(i) ) 2 σ 2 = = i=1 j=1 k=1 ab(n 1) a b n (y ijk ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 N ab (8) (9) dir.

16 Hipotez Testi (1) modelinde, A ve B faktörlerinin düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk olup olmad snanr. Her bir durum için hipotezler, srasyla ve dir. H 01 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 (10) H 02 : γ 1(1) = γ 1(2) = = γ b(a) = 0 (11)

17 Hipotez Testi: Genel Toplamnn Parçalan³ (1) modelinde genel kareler toplam a b n SS Toplam = (y ijk ȳ ) 2 (12) olarak tanmlanr ve i=1 j=1 k=1 ³eklinde bile³enlerine ayrlr. SS Toplam = SS A + SS B(A) + SS Hata (13)

18 Hipotez Testi: Genel Toplamnn Parçalan³ Burada, SS A = SS B(A) = SS Hata = a b n a (ȳ i ȳ ) 2 = bn (ȳ i ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 a b i=1 j=1 k=1 a b n (ȳ ij ȳ i ) 2 = n n (y ijk ȳ ij ) 2 i=1 a i=1 j=1 b (ȳ ij ȳ i ) 2 (14) i=1 j=1 k=1 dir.

19 Hipotez Testi: Test statistikleri (1) modelinde, (10) hipotezini snamak için F A = ve (11) hipotezini snamak için F B(A) = SS A /(a 1) SS Hata /(N ab) SS B(A) /a(b 1) SS Hata /(N ab) = MS A MS Hata (15) = MS B(A) MS Hata (16) test istatistikleri kullanlr.

20 Hipotez Testi: Test statistikleri Teorem (1) modelinde, H 0 hipotezi altnda, (i) F A test istatisti i, a 1 ve N ab serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir. (ii) F B(A) test istatisti i, a(b 1) ve N ab serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir.

21 Hipotez Testi: KARAR F A test istatisti inin de eri, α anlam düzeyinde, a 1 ve N ab serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F A > F α;a 1;N ab ise "A faktörünün düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk vardr " denir. F B(A) test istatisti inin de eri α anlam düzeyinde, a(b 1) ve N ab serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F B(A) > F α;a(b 1);N ab ise "B faktörünün düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk vardr " denir.

22 ANOVA TAblosu Yukarda elde edilen bilgiler ³ nda, iki a³amal iç-içe tasarm için ANOVA tablosu, a³a da gösterildi i gibi olu³turulur. Kaynak df SS MS F A a 1 SS A MS A F A B(A) a(b 1) SS B(A) MS B(A) F B(A) Hata N ab SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam

23 Matematiksel Model A, B ve C gibi üç faktörün oldu u, üç a³amal iç-içe tasarm için matematiksel model, y ijkl = µ + τ i + γ j(i) + δ k(ij) + ε ijkl, (17) i = 1, 2, a; j = 1, 2,, b; k = 1, 2,, c; l = 1, 2,, n ³eklinde ifade edilir. Burada δ k(ij) parametresi, A faktörünün i inci, B faktörünün j inci düzeyinde yuvalanm³ C faktörünün k nc düzeyinin etkisini gösteren model parametresidir. Di er parametrelerin yorumu, 7.2 bölümünde oldu u gibidir.

24 Matematiksel Model (17) modeli sabit etkili bir modeldir. Bir ba³ka deyi³le a b c τ i = 0, γ j(i) = 0, δ k(ij) = 0 (18) oldu u varsaylr. i=1 j=1 k=1

25 Parametre Tahmini (17) modelinde, parametrelerin LS tahmin edicileri, µ = ȳ (19) τ i = ȳ i ȳ (20) γ j(i) = ȳ ij ȳ i (21) δ k(ij) = ȳ ijk ȳ ij (22) (23) olarak bulunur.

26 Burada, y ijkl j=1 k=1 l=1 ȳ i = bcn c n y ijkl k=1 l=1 ȳ ij = cn n y ijkl l=1 ȳ ijk = n Parametre Tahmini b c n, i = 1, 2,, a;, j = 1, 2,, b;, k = 1, 2,, c ve N = abcn olmak üzere, tüm gözlemlerin ortalamas, (24) a b c n y ijkl ȳ = i=1 j=1 k=1 l=1 N (25) dir.

27 Parametre Tahmini Hatann varyans σ 2 nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi, a b c n (y ijkl µ τ i γ j(i) δ k(ij) ) 2 σ 2 = = i=1 j=1 k=1 l=1 N abc a b c n (y ijkl ȳ ijk ) 2 i=1 j=1 k=1 l=1 N abc (26) (27) dir.

28 Hipotez Testi (17) modelinde, A, B ve C faktörlerinin düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk olup olmad snanr. Her bir durum için hipotezler, srasyla H 01 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 (28) H 02 : γ 1(1) = γ 1(2) = = γ b(a) = 0 (29) ve dr. H 03 : δ 1(1) = δ 1(2) = = δ c(b) = 0 (30)

29 Hipotez Testi: Genel Toplamnn Parçalan³ (17) modelinde genel kareler toplam a b c n SS Toplam = (y ijkl ȳ ) 2 (31) olarak tanmlanr ve i=1 j=1 k=1 l=1 SS Toplam = SS A + SS B(A) + SS C(B) + SS Hata (32) ³ekline bile³enlerine ayrlr.

30 Hipotez Testi: Genel Toplamnn Parçalan³ Burada, SS A = SS B(A) = SS C(B) = SS Hata = a b c n a (ȳ i ȳ ) 2 = bcn (ȳ i ȳ ) 2, i=1 j=1 k=1 l=1 a b c i=1 j=1 k=1 l=1 a b c i=1 j=1 k=1 l=1 a b c n (ȳ ij ȳ i ) 2 = cn n (ȳ ijk ȳ ij ) 2 = n n i=1 j=1 k=1 l=1 (y ijkl ȳ ijk ) 2 i=1 a i=1 j=1 a b (ȳ ij ȳ i ) 2, b c (ȳ ijk ȳ ij ) 2, i=1 j=1 k=1 (33) dir.

31 Hipotez Testi: Test statistikleri (17) modelinde, (28) hipotezini snamak için (29) hipotezini snamak için SS A /(a 1) F A = SS Hata /(N abc) SS B(A) /a(b 1) F B(A) = SS Hata /(N abc) = MS A MS Hata, (34) = MS B(A) MS Hata (35) ve (30) hipotezini snamak için SS C(B) /ab(c 1) F C(B) = SS Hata /(N abc) = MS C(B) MS Hata (36) test istatistikleri kullanlr.

32 Hipotez Testi: Test statistikleri Teorem (17) modelinde, H 0 hipotezi altnda, (i) F A test istatisti i, a 1 ve N abc serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir. (ii) F B(A) test istatisti i, a(b 1) ve N abc serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir. (iii) F C(B) test istatisti i, ab(c 1) ve N abc serbestlik dereceli merkezi F da lmna sahiptir.

33 Hipotez Testi: KARAR F A test istatisti inin de eri, α anlam düzeyinde, a 1 ve N abc serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F A > F α;a 1;N abc ise "A faktörünün düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir. F B(A) test istatisti inin de eri, α anlam düzeyinde, a(b 1) ve N abc serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F B(A) > F α;a(b 1);N abc ise "B faktörünün düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir. F C(B) test istatisti inin de eri, α anlam düzeyinde, ab(c 1) ve N abc serbestlik dereceli F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le, F C(B) > F α;ab(c 1);N abc ise "C faktörünün düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk vardr" denir.

34 ANOVA TAblosu Yukarda elde edilen bilgiler ³ nda, üç a³amal iç-içe tasarm için ANOVA tablosu, a³a da gösterildi i gibi olu³turulur. Kaynak df SS MS F A a 1 SS A MS A F A B(A) a(b 1) SS B(A) MS B(A) F B(A) C(B) ab(c 1) SS C(B) MS C(B) F C(B) Hata N abc SS Hata MS Hata Genel N 1 SS Toplam

35 Matematiksel Model l a³amal iç-içe tasarm için matematiksel model, y ij klp = µ + τ i + γ j(i) + + δ l(ij k) + ε ij klp, (37) i = 1, 2,, a; j = 1, 2, b;... ; k = 1, 2,, t; l = 1, 2,, u, p = 1, 2,, n ³eklinde ifade edilir. Buradaki δ l(ij k) terimi, A faktörünün i inci, B faktörünün j inci,..., düzeyinde yuvalanm³ U faktörünün l inci düzeyini gösteren model parametresidir.

36 Parametre Tahmini ki a³amal ve üç a³amal iç-içe tasarmlarda oldu u gibi l a³amal tasarmda da model parametreleri LS yöntemi kullanlarak bulunur. Model parametrelerinin LS tahmin edicileri µ = ȳ (38) τ i = ȳ i ȳ (39) γ j(i) = ȳ ij ȳ i (40). =.. (41) δ l(ij k) = ȳ ij kl ȳ ij k (42) olur.

37 Parametre Tahmini Hatann varyans σ 2 nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi a b u n (y ijk l ȳ ij kl ) 2 σ 2 = dir. i=1 j=1 l=1 p=1 N ab tu (43)

38 Hipotez Testi l a³amal iç-içe tasarmda, modeldeki faktörlerin düzeyleri arasnda anlaml bir farkllk olup olmad snanr. Genel kareler toplamnn bile³enlerine ayrlmasyla bu hipotezleri snamak için gereken test istatistikleri elde edilir. Genel kareler toplam, SS Toplam = SS A + SS B(A) + + SS U(T ) + SS Hata (44) ³eklinde bile³enlerine ayrlr.

39 Burada, Hipotez Testi SS A = b un SS B(A) = c un... SS U(T ) = n SS Hata = a i=1 j=1 a i=1 j=1 a (ȳ i ȳ ) 2 (45) i=1 a i=1 j=1 b b b (ȳ ij ȳ i ) 2 (46) u (ȳ ij kl ȳ ij k ) (47) l=1 t u k=1 l=1 p=1 n (y ijk lp ȳ ij kl ) 2 (48) dir.

40 Hipotez Testi toplamlarnn ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle, (37) modelindeki her bir faktör ve hata için kareler ortalamalar MS A = SS A a 1, MS B(A) = SS B(A) a(b 1),.. MS U(T ) = SS U(T ) ab t(u 1), MS Hata = SS Hata N ab tu (49) elde edilir.

41 Hipotez Testi (37) modelinde yer alan faktörlerin anlamll n snamak için F A = MS A MS Hata (50) F B(A) = MS B(A) MS Hata (51).. F U(T ) = MS U(T ) MS Hata (52) test istatistikleri kullanlr. E er hesaplanan F de erleri, ilgili serbestlik dereceleri ile F tablo de erinden daha büyükse sfr hipotezleri reddedilir.

42 (17) modelinde, A, B(A) ve C(B) faktörleri ve hata için beklenen kareler ortalamalar, bcn a i=1 τ 2 i E(MSE A ) = σ 2 + a 1 a b cn γj(i) 2 E(MSE B(A) ) = σ 2 + E(MSE C(B) ) = σ 2 + n i=1 j=1 a(b 1) a b c i=1 j=1 k=1 ab(c 1) δ 2 k(ij) (53) (54) (55) E(MSE Hata ) = σ 2 (56) olarak elde edilir.

43 (53)-(55) denklemlerinden görüldü ü gibi, sfr hipotezinin do ru olmas halinde MSE A, MSE B(A) ve MSE C(B) ifadeleri σ 2 nin yansz bir tahmin edicisidir. MSE Hata, her zaman oldu u gibi, H 0 do ru olsun ya da olmasn, σ 2 nin yansz bir tahmin edicisidir.