Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine"

Metin Taşçı
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere eşszlkler, ora öğrem ve üverse ders programlarıda öğrele öeml koulardadır. Bu kouu öğremde eşkszlkler ek ek ele alıır ve doğrulukları farklı yollarla kaılaır. Bu makalede, bu kouu öğrem le bağlı, farklı br yol zlelr. Bu oralamalar, br Oralama Foksyouu brer özel durumları olduğuda dolayı, adı geçe Oralama Foksyouu daha geel durumu ola Ağırlıklı Oralama Foksyou ele alıır. Bu foksyou moooluk özellğe dayaarak oralamalarla bağlı üm ble eşszlkler (blmeye, çok sayıda dğer eşszlkler de) doğruluğu göserlr. Aahar kelmeler: Ağırlıklı oralama foksyou, armek oralama, geomerk oralama, harmok oralama, kuvadrak oralama, eşszlkler. Absrac O he Geeralzed ea Fuco ad Some Impora Iequales The Arhmec mea, Geomerc mea, Harmoc mea, Quadrac mea ad he equales amog hem are oe of he mpora opcs whch are augh secodary ad hgher educao. I he eachg of hs subjec, he equales are cosdered oe by oe ad s valdy s proved va dffere mehods. I hs arcle, he dffere way relaed o eachg of hs opc s preseed. Sce hese meas are he specal cases of a ea Fuco, hs fuco (Weghed ea Fuco whch s more geeral ea Fuco) s cosdered. By usg he propery of mooocy of hs fuco, he valdy of all he kow equales bewee he meas (also a lo of he ukow equales bewee he meas) ca be show. Key words: Weghed mea fuco, arhmec mea, geomerc mea, harmoc mea, quadrac mea, equales. Grş Eşszlkler Teors maemağ öeml alalarıda brdr. Dğer alalarda, özellkle de Opmzasyo Teorsde, geş şeklde uygulamakadır. Öreğ, Adlov ve Tıazepe de (00a, 00b), br çok geomerk eşszlkler opmalleşrme problemlere uygulamaları verlmşr. Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, ve Kuvadrak oralama arasıdak lşk fade ede eşszlkler, bu Teorde öeml yere sahprler. * Gabl Adlov, Prof. Dr., ers Üverses Eğm Faküles, <gabl@mers.edu.r;> Gülek Tıazepe, Yrd. Doç. Dr., Akdez Üverses TBYO, <glevg@gmal.com>; Serap Kemal, Öğr. Gör. Dr., Akdez Üverses TBYO, <skemal@akdez.edu.r>. ers Üverses Eğm Faküles Dergs, Cl 5, Sayı, Aralık 009, ss ers Uversy Joural of he Faculy of Educao, Vol. 5, Issue, December 009, pp

Bu makalede, bu kouu öğrem le bağlı, farklı br yol zlelr.

2 ADİLOV, TINAZTEPE, KEALİ 95 Öce, bu oralamaları aımlayalım. x x x x = (,,, ) ve x > 0, =,,..., olmak üzere, x + x + L+ x = ( ) Ax Gx ( ) = xxl x H( x) = + + L+ x x x x + x + L+ x K( x) = foksyolarıa, sırası le, Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, ve Kuvadrak oralama der. Bu oralamalar arasıdak lşky vere eşszlkler aşağıdak gbdr: H( x) G( x) A( x) K( x) () Bu eşszlkler zcr her halkası ayrı ele alııp, farklı yollarla spalaır. Öreğ, Gx ( ) Ax ( ) eşszlğ y = l x foksyouu kovekslye dayaarak spalaa blr. Bu makalede, öce + + L+ x x x ( x) = şeklde fade edle Oralama Foksyou ele alıır, H ( x), G( x), A( x), K( x ) foksyolarıı, bu foksyou özel durumları olduğu göserlr. Daha sora, Oralama Foksyouu geel durumu ola Ağırlıklı Oralama Foksyouu çok öeml br özellğ spalaır. () eşszlkler zcr doğruluğu, bu özellğ br soucu olduğu göserlr. Oralama Foksyou ve Armek, Geomerk, Harmok, Kuvadrak Oralamalar x x x x = (,,, ) ve x > 0, =,,..., olmak üzere, Cl 5, Sayı, Aralık 009

Bu oralamalar arasıdak lşky vere eşszlkler aşağıdak gbdr: H( x) G( x) A( x) K( x) () Bu eşszlkler zcr her halkası ayrı ele alııp, farklı yollarla spalaır.

3 96 GENELLEŞTİRİLİŞ ORTALAA FONKSİYONU VE BAZI ÖNELİ EŞİTSİZLİKLERİN x x L x ( x) = () şeklde aımlı foksyoa,. Derecede Oralama Foksyou der (Bekebach ve Bellma, 96). parameres özel seçlmş değerler ç bu foksyou celeyelm. Teorem. Aşağıdak eşlkler doğrudur: ( (3) ( (4) ( = (5) ( x) = lm ( x) = G( x) (6) 0 x 0 ( x) = lm ( x) = max{ x, x,..., x } + x + ( x) = lm ( x) = m{ x, x,..., x } (8) x (7) İspa: (3), (4), (5) eşlkler doğruluğu açıkır. (6) yı spalayalım. x l + x+ L+ x x + x + L+ x ( x) = lm ( x) = lm = lm e L Hospal kuralıı uygulayalım. 0 0 xl x+ xl x+ L+ x l x x+ x+ L+ x ( x) = lme = e l x+ l x+ L+ l x = ( xxl x ) Şmd de (7) y spalayalım. a = max{ x, x,..., x } olmak üzere + + L+ x x x + ( x) = lm ( x) = lm + + = ers Üverses Eğm Faküles Dergs

.., x } + x + ( x) = lm ( x) = m{ x, x,..., x } (8) x (7) İspa: (3), (4), (5) eşlkler doğruluğu açıkır. (6) yı spalayalım.

4 ADİLOV, TINAZTEPE, KEALİ 97 x x x + + L+ a a a lm a = a + Bezer şeklde (8) eşly spalaır Ağılıklı Oralama Foksyou ve Br Öeml Özellğ x x x x ve = (,,, ); x > 0, =,,..., ; α = ( α, α, L, α), α 0, = α = olmak üzere, =,,..., ( x; α ) = αx (9) = şeklde aımlı foksyoa Ağırlıklı Oralama Foksyou der (Bekebach ve Bellma, 96). No. () Oralama Foksyou, bu foksyou özel, eş ağırlıklı, haldr. Ya, (9) da α ağırlıklarıı heps ye eş alıırsa, () Oralama Foksyou elde edlr. Bu foksyou paramerese bağlı br özellğ göserelm. Teorem. ( x; α ) Ağırlıklı Oralama Foksyou değşkee göre ara foksyodur. İspa: Her R ç 0 olduğuu gösermelyz. Cl 5, Sayı, Aralık 009

No. () Oralama Foksyou, bu foksyou özel, eş ağırlıklı, haldr. Ya, (9) da α ağırlıklarıı heps ye eş alıırsa, () Oralama Foksyou elde edlr.

5 98 GENELLEŞTİRİLİŞ ORTALAA FONKSİYONU VE BAZI ÖNELİ EŞİTSİZLİKLERİN x l x α = l α x = αx = = = l l αx x αx αx = = = α x = Köşel paraez öüdek = α x fades her R ç pozf olduğu açıkır. Köşel paraez çdek fade pozf olması, f ( y) = yl y foksyouu " (0, ) aralığıda koveks olduğuda ( f ( y) = > 0, her y > 0 ç ) İese y eşszlğ (Rockafellar, 970) kullaarak, kolayca göserleblr. Böylece, her R ç 0 olur. Dolayısıyla, ( x; α ) foksyou değşke ara foksyoudur () eşszlk zcr foksyouu kullaarak yazarsak, 0 şekl alır. Buu da doğruluğu Teorem de çıkar. parameres her hag br ara < < L < k dzs alıırsa, ble oralamalar dışıdak farklı oralamalar ç de eşszlkler zcr elde edleblr: L (0) k Geomerk oralama ve Armek oralamalar arasıdak farklı br lşk (sask alamda), Adlov ve Tazepe (005) de araşırılmış ve lgç souçlar elde edlmşdr. Bu oralamalarla bağlı daha farklı eşszlkler Adlov ve Tazepe (009) da celemşdr. Souç Çalışmada, maemağ öeml koularıda ola, ora öğrem ve üverse ders programlarıda yer ala Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, ers Üverses Eğm Faküles Dergs

Böylece, her R ç 0 olur. Dolayısıyla, ( x; α ) foksyou değşke ara foksyoudur () eşszlk zcr foksyouu kullaarak yazarsak, 0 şekl alır. Buu da doğruluğu Teorem de çıkar.

6 ADİLOV, TINAZTEPE, KEALİ 99 Kuvadrak oralamalar ve bular arasıdak eşszlkler öğrem problem ele alıır, celer ve aşağıdak yolu zlelmes öerlr: ) ( x ) Oralama Foksyou aımlaır; ) Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama adı le geçe, çok ble foksyoları, ( x ) Oralama Foksyouu değşke özel eğerlerdek durumlara karşılık geldğ göserlr (Teorem ); 3) Daha geel foksyo ola, ( x; α ) Ağırlıklı Oralama Foksyou aımlaır ve () x foksyouu, bu foksyou özel hal (eş ağırlıklı hal, ya =, ç α = ) olduğu göserlr; 4) ( x; α ) foksyouu değşkee göre mooo ara özellğe sahp olduğu göserlr (Teorem ); 5) () eşszlkler zcr doğruluğu, ( x; α ) foksyouu moooluk özellğ br soucu olduğu göserlr; 6) Bu özellğe dayaarak, (0) şeklde daha farklı eşszlkler de elde edlebleceğ göserlr. Eşszlkler öğremde zlee bu yolu sağladığı faydalar aşağıdak gb lseleeblr: a) () eşszlkler zcr her halkasıı ayrı-ayrı ele alıp, spalamasıa gerek yokur. Teorem ve Teorem gb k eorem spalaması yeerldr; b) Oralamaları, ayı br ( x; α ) foksyouu özel durumları olarak öğreldğ ç, aralarıdak lşk daha açık şeklde alaşılmasıı ve öğrem daha kalıcı olmasıı sağlar; c) Kou alaımı merkeze Geelleşrlmş Oralama Foksyouu koulması, yalız () şekldek eşszlkler varlığı değl, < < L < k koşuluu sağlaya,, L, k değşkelere karşılık gele her ürlü oralamalar arasıda da bezer eşszlkler varlığıı ve doğruluğuu gösermeye olaak sağlar. Kayakça Adlov, G.R.ve Tıazepe, R. (00a). Geomerk opmalleşrme problemler üzere I, aemak Düyası, Cl, Sayı 4, -5. Cl 5, Sayı, Aralık 009

Ağırlıklı Oralama Foksyou aımlaır ve () x foksyouu, bu foksyou özel hal (eş ağırlıklı hal, ya =, ç α = ) olduğu göserlr; 4) ( x; α ) foksyouu değşkee göre mooo ara özellğe sahp olduğu göserlr (Teorem

7 300 GENELLEŞTİRİLİŞ ORTALAA FONKSİYONU VE BAZI ÖNELİ EŞİTSİZLİKLERİN Adlov, G.R.ve Tıazepe, R. (00b). Geomerk opmalleşrme problemler üzere II, aemak Düyası, Cl, Sayı 5, -7. Adlov, G.R. ve Tıazepe, G. (006). O he asympoc aggregao problem of hgh dmesoal sysems, Sysems ad Corol Leers, 55 (5), Adlov, G.R. ve Tıazepe, G. (009). The sharpeg some equales va absrac covexy, ahemacal Iequales ad Applcaos,, Beckebach, E. ve Bellma, R. (96). Iequales, Spger-Verlag. Rockafellar, R.T. (970). Covex aalyss. Prceo, New Jersey: Prceo Uversy Press. ers Üverses Eğm Faküles Dergs

O he asympoc aggregao problem of hgh dmesoal sysems, Sysems ad Corol Leers, 55 (5), 44-47. Adlov, G.R. ve Tıazepe, G. (009).

Benzer belgeler

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,