KONİKLER KONİKLER Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

Transkript

1 Sf No Prol Etkinlikler Testler Elips Etkinlikler Testler Hiperol Etkinlikler Testler Üniversitee Giriş Sınvınd Çıkmış Sorulr H P d M(,) P B K IPI = IPHI A r= A P A A B K Asl eksen Asl çemer edek eksen + =

2 PARABL ÜNİTE - ETKİNLİK ETKİNLİK ETKİNLİK. dğı (, 0) oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? PARABL Tnım: Düzlemde, sit ir nokt uzklığı, u noktdn geçmeen sit ir doğru oln uzklığın eşit oln noktlrın kümesine prol denir. Sit nokt odk noktsı, sit doğru d doğrultmn denir. = 6 d do rultmn H A P Prol (dk nokts ). (, 0) noktsın oln uzklığı = doğrusun oln uzklığın eşit oln noktlrın geometrik erinin denklemi nedir? H P Yukrıdki şekilde prolün odk noktsı ile, doğrultmn d d ile gösterilmiştir. Tnım göre, = IPHI = IPI, IAI = IAI, IP'H'I = IP'I. dğı (0, ) ve ekseni ekseni oln prolün denklemi nedir? olur. A noktsın prolün tepe noktsı denir. = 8 9

3 ÜNİTE - Prolün Denklemi Bir 0 dik koordint sisteminde odk p noktsı p, ve doğrultmnı = 0l oln prolün denklemi = p dir. H P(,). Ekseni oln ve P(, 6) noktsındn geçen prolün denklemi nedir? = 8 p p 0 l. = prolün doğrultmn denklemi nedir? = p Yukrıdki şekle göre, prol üzerinde değişken ir nokt P(, ) denirse, IPI = IPHI p p l + = + & p p l + = + l & = 6 = p ulunur. Burd p e prolün prmetresi denir. Prolün Dış Merkezliği 6. = ( + ) prolünün odğının ordintı kçtır? Prolün herhngi ir noktsının, odk noktsın oln uzklığının, doğrultmn oln uzklığın ornın, prolün dış merkezliği denir ve e ile gösterilir. H P d IPI = IPHI 7. = + doğrusu = prolünün odğındn geçtiğine göre, kçtır? Prolde Dış Merkezlik : e = dir. Çünkü, söz konusu uzklıklr, iriririne eşittir. Yni, dış merkezlik IPI e = = olur. Elipsin, hiperolün ve IPHI prolün tnımlrı, u dış merkezliğe göre de pılır. 0

4 p. dk noktsı 0, l doğrultmnı p = oln prolün denklemi, 8. = + k prolünün doğrultmn denklemi = olduğun göre k kçtır? ÜNİTE - = p dir. Burd p > 0 dır ve prolün kollrı ukrı doğrudur. = p prolü P 0, l p = 9. Doğrultmnı = 8 ve odğı (0, 8) oln prolün denklemini ulunuz. p. dk noktsı 0, l doğrult- p mnı = oln prolün denklemi, = p dir. = Bu prolün kollrı şğı doğrudur. = p 0. = prolünün doğrultmnını ve odğını ulunuz. p 0, l = p prolü Bu prollerin tepe noktsı noktsıdır ve simetri ekseni de eksenidir. = (, 0). = 8 prolünün odğındn geçen ve eksene dik oln kirişin uzunluğu kç irimdir? 8

5 ÜNİTE - Prolün Teğet ve Norml Denklemleri = m + n doğrusu ile = p prolünün kesim noktlrı; ortk noktlr olduğundn, sisteminin ortk = m+ n = p çözümünden elde edilir. Δ < 0 Δ = 0 Δ > 0. = prolü = + n doğrusun teğet ise n kçtır? = m + n =p. = 9 prolü = k+ doğrusun teğet ise k kçtır? Do ru ile prolün durumu = p denkleminde = m + n konurs, (m + n) = p m V + ( mn p). + n = 0 ulunur. U A B C Bu denklemin kökleri, (vrs) kesim noktlrının psisleridir. hlde diskriminnt klım.. = 6 prolü ile = 8 doğrusunun kesim noktlrının ordintlrı toplmı kçtır? Δ = B.A.C = [(mn p)].m.n = p.(p mn) ulunur. p R + olduğundn, Δ nın durumu (p mn) çrpnın ğlıdır.. p mn > 0 ise, Δ > 0 dır ve doğru prolü frklı iki noktd keser.. p mn = 0 ise, Δ = 0 dır ve doğru prole teğet olur. (Bu koşul değme şrtı denir.). p mn < 0 ise, Δ < 0 olur ve doğru prolü kesmez.. Doğrultmnı = 0 ve odğı (, 0) oln prolün odğındn geçen kirişlerinin ort noktlrının geometrik erinin denklemi nedir? = p prolü üzerindeki ir P( 0, 0 ) noktsındki; Teğet denklemi : 0 = P( + 0 ) o Norml Denklemi : = ( ) dır. o P o =

6 Bunlr, şğıdki şekilde gösterilmiştir. te et P(o, o) Te et ve norml Prolün Kirişleri ve Eşlenik Köşegen Prolün iki noktsındn geçen doğru kiriş, iririne prlel kirişlerin ort noktlrının kümesine de eşlenik köşegen denir. = p prolünün, eğimi m oln = m + n kirişlerinin ort noktlrının kümesi (eşlenik köşegen) = doğrusu- p m dur. norml 6. = prolünün odğındn geçen en kıs kirişin uzunluğu kç irimdir? 7. = 6 prolünün, eğim çısı oln teğetinin değme noktsının psisi kçtır? ÜNİTE - p m 0 = m + n(kirifl) p = (efllenik köflegen) m 8. = 8 prolünün odğının prol üzerindeki P(, ) noktsındn çizilen teğete oln uzklığı kç irimdir? Prolün Prmetresi Prolün odğındn, simetri eksenine dik çizilen kirişin uzunluğun, prolün prmetresi denir. T T = p prolünün prmetresi ITT'I = p olur. = + + c prolü için, c. Tepe nokts = d, n c. dk = d +, n c. Do rultmn do rusu = 9. = 8 prolünün P(, ) noktsındki teğetinin denklemi nedir? =

7 ÜNİTE - Bilgi Konikler - Prol + 9 = 0 prolüne üzerindeki (, ) noktsındn çizilen teğetin denklemini zlım. Teğetin eğimi, prolün (, ) noktsındki türevine eşittir m = & m = & m = Eğimi ve noktsı elli doğru denklemi: = m( ) 0 + = ( ). = n prolü P(, ) noktsındn geçtiğine göre prolün doğrultmnının denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = C) = 6 8 D) = E) =. = prolüne üzerindeki A(, k), (k < 0) noktsındn çizilen normlinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = + B) = C) = D) = 0 E) = 0 & + = = 0 & 0 + = 0 olur. = prolün P(, ) noktsındki teğetin ve normlin denklemlerini zlım. = prolünün P(, ) noktsındki teğetin denklemi; = p(+ )& = ( + ) den, = + olur. Teğetin eğimi, m = olduğundn normlin eğimi, m = dir. T N P(, ) noktsındn geçen eğimi m = oln norml denklemi, N = ( ) ve = + ulunur.. = 0 prolünün A(, 0) noktsındki teğetinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = + B) = C) = + 6 D) = E) = +. = 0 prolüne P(,8) noktsındn çizilen normlinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = + B) = + C) = + D) = + E) = + = 8 prolüne = + n doğrusu teğet ise n değerini ve değme noktsının koordintlrını ullım. = 8 sistemini çözelim. = + n ( + n) = 8 + (n ) + n = 0 denkleminde Δ = 0 olmlıdır. Δ = (n )..n = 0 n 8n + 6 n = 0 n = olur. n = + = 0 = = tür. Değme noktsı P(, ) ulunur.. = 6 prolünün 6 = doğrusun prlel oln teğetinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = C) = + D) = E) = 6. = 0 prolünün ir teğetinin denklemi = olduğun göre, teğetin değme noktsının koordintlrının çrpımı kçtır? A) 0 B) 8 C) 0 D) 6 E)

8 Bilgi = 9 prolünün + = 0 teğetinin değme noktsının koordintlrını ve u noktdn geçen normlinin denklemini ullım. = 9 + = 0 sistemini çözelim. = ve c m + = = 0 ( 6) = 0 = 6 olur. 7. = 8 prolünün + 6 = 0 doğrusun prlel oln teğetinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = C) = + D) = E) = 0. = 8 prolünün ir teğetinin = n olmsı için n kç olmlıdır? A) B) C) D) E) ÜNİTE - 6 = 6 = = ve 9 değme noktsı P(, 6) ulunur. Teğetin eğimi, m = ise T normlin eğimi m = tür. N P(, 6) noktsındki normlinin denklemi 6 = ( ) ve + = 0 ulunur. Doğrultmnı = ve odğı (, ) oln prolün denklemini ullım. (,) 8. = prolünün doğrultmnının denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = C) = D) = E) =. Doğrultmnı = ve odğı (, 0) oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = 6 C) = D) = E) = (,) = M(, ) (, ) odğındn + = 0 doğrusun indirilen dikme ğı M(, ) dir. l (, ) [M] nin ort noktsıdır. + = = dir. ve l, l p h,k + l= (, ) zılırs P + = & p = ve p = 6 dur. Prol denklemi ( ) = 6 l dir. 9. = 8 prolünün odğı şğıdkilerden hngisidir? A) (0,9) B) 0, 9 l C) (0,8) D) 0, 9 l E) 0, l. = prolüne üzerindeki (k, ) noktsındn (k < 0) çizilen normlin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = + 9 B) = 9 C) = + 9 D) = + 6 E) =

9 ÜNİTE - Bilgi Konikler - Prol = doğrusu ile + = 0 prolünün kesim noktlrının koordintlrını ullım. + = 0 d = zılırs +. = 0. = p prolüne üzerindeki A(, 6) noktsındn çizilen teğetin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 0 B) = = 0 prolünün P( 6, ) noktsındki teğetinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 0 B) 6 = 0 C) = 0 D) = 0 & = 0ve = = 0ve =. = olup (0, 0) ve, l rkesit C) + = 0 D) = 0 E) + = 0 E) 6 = 0 noktlrıdır. = 0 prolü ile + = 0 doğrusunun rkesit noktlrını ullım. + = 0 =, = 0 d zılırs ( ) = 0 =! ve = (! ) rkesit noktlrı (7 +, + ) (7, ) tür. Köşesi l (, ), ekseni eksenine prlel oln ve M(, 6) noktsındn geçen prolün denklemini zlım. Ekseni eksenine prlel ve köşesi (, ) l olduğun göre denklemi ( + ) = p ( ) içimindedir. M(, 6) prol üzerinde olup denklemi sğlr. Bun göre; (6 + ) = p( ) 00 = p. p = 0 ve prol denklemi ( + ) = 0( ) tür.. = prolü ile = doğrusunun kesim noktlrının koordintlrının ileşenlerinin toplmı şğıdkilerden hngisidir? A) B) 0 C) 8 D) 6 E) 0. dğı (0,6) doğrultmnı ekseni oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = 6 C) + 6 = 0 D) = E) = 6. + = 0 doğrusu ile + = 0 prolünün kesim noktlrının koordintlrının toplmı şğıdkilerden hngisidir? 6. M(, 6) noktsındn geçen, köşesi orijin ve ekseni ekseni oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) 0 B) C) D) E) A) + = 0 B) = 0 C) = 6 D) = 9 E) =

10 Bilgi dğı (0, ) ve doğrultmn denklemi = oln prolün denklemini ullım. Prolün odk noktlrı ekseni üzerinde olduğundn denklemi = p ve doğrultmn denklemi p = dir. 7. dğı (6, ) ve doğrultmn denklemi = oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) ( ) = B) ( + ) = 8 C) ( + ) = = 0 prolünün prmetre uzunluğu kç irimdir? A) B) C) 6 D) 8 E) 9 ÜNİTE - p = = & p = 6 Prolün denklemi =. 6. = olur. D) ( + ) = 8 0 E) ( + ) = 8 0 dğı (, ) ve doğrultmn 8 = 0 oln prol denklemini ullım. 0 (, ) odğındn = 8 doğrultmnın dikme indirelim. M(8, ) olup [M] nin ort noktsı (,) dir. 8 = + = ve l, l dir. p p h +,k l = (, )ve + = p & = ve p = tir. A =8 Prol denklemi de M(8, ) 8. dğı (, ) ve prmetre uzunluğu A(, ) ve B(, ) noktlrını irleştiren doğru prçsının uzunluğu oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisi olilir? A) ( ) = B) ( ) = C) ( ) = 9 D) ( ) = 8 E) ( ) = Ekseni eksenine prlel oln, M(, ), N(, ), K(, ) noktlrındn geçen prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 0 B) = 0 C) + 0 = 0 D) = 0 E) = 0 ( + ) = 0 l olur.. Ekseni eksenine prlel ve köşesi = 0 doğrusu üzerinde oln, K(, ) ve L(6, ) noktlrındn geçen prolün denklemi şğıdkilerden hngisi olilir? = 0 prolünün doğrultmnının denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) 7 = 0 B) 7 = 0 C) = 0 D) 6 = 0 E) 7 = 0 A) ( ) = 6 B) ( ) = 8 C) ( ) = + 6 D) ( ) = + 6 E) ( ) =

11 ÜNİTE - Bilgi Konikler - Prol (, 0) noktsın uzklığı, = doğrusun uzklığın eşit oln noktlrın geometrik erinin denklemini ullım ve grfiğini çizelim. Geometrik ere it nokt P(, ) olsun. P noktsının = doğrusu üzerindeki dik iz düşümü H ise; PH = P. = 6 prolünün prmetresi kç irimdir? A) B) C) D) E) 6. dğı (, 0) ve doğrultmn doğrusu = oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 8 B) = 8 C) = 6 D) = E) = 0 + = ( ) = + + den, Geometrik er denklemi, = 8 olur. Bu d prmetresi p = oln proldür. H d P(, ). = prolünün doğrultmnının denklemi şğıdkilerden hngisidir? 0 (,0) A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 = + 8 = 0 denklemi ile verilen prolün doğrultmn denklemini ve odk koordintlrını ullım. + 8 = 0 = 8. dğı (, 0) ve köşesi orijin oln prolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 8 B) = 0 C) = D) = E) = 6 P p = 8 ve = doğrultmn = odk (0, ) dir.. Denklemi = oln prolün odğı şğıdkilerden hngisidir? A) 0, l B) 0, l C) 0, l D) 0, l E) 0, l 6. (, 0) noktsın oln uzklığı = doğrusun oln uzklığın eşit oln noktlrın geometrik erinin denklemi nedir? A) = B) = 8 C) = D) = 8 E) =

12 Bilgi + = 0 doğrusu = p prolüne teğet ise p nin değerini ullım. + + = 0 & = m = ve n = tür. 7. dğı (0,) ve köşesi orijin oln prolün denklemi nedir? A) = B) = 8 C) = 0 D) = 8 E) = 6 0. = 8 prolünün P(, ) noktsındki teğetinin denklemi nedir? A) = + B) = + C) = D) = E) = + ÜNİTE - Doğru prole teğet ise p = mn olmlıdır. Bun göre p =. l. & p = dir = 0 prolünün ekseni ile 0 lik çı pn teğetinin değme noktsı ile odğı rsındki uzklığı ullım. (,0) 0 M 8. Ekseni ve köşesi orijin oln ve P(, 6) noktsındn geçen prolün denklemi nedir? A) = 9 B) = C) = 8 D) = 0 E) = 6. = prolü = + n doğrusu ile teğet ise n kçtır? A) B) C) D) E) = 6 p = 6, p = ve,0l dır. M(, ) noktsındki teğetinin denklemi = ( + ) eğitim m = = = tür. = 6 te = zılırs = ulunur. Teğetin değme noktsı, l ve M = = ulunur. 9. = 6 prolünün doğrultmn denklemi şğıdkilerden hngisidir?. = 9 prolü = k + doğrusun teğet ise k kçtır? A) = B) = C) = A) B) C) D) = E) = D) E)

13 ÜNİTE - ELİPS ETKİNLİK ETKİNLİK ETKİNLİK ELİPS. + = 8 elipsinin odklrı rsı uzklığı kç irimdir? Bir düzlem içinde verilen sit iki nokt, uzklıklrının toplmı sit oln noktlrın geometrik erine elips denir. P(, ). R + olmk üzere geometrik ere it ir nokt P(, ) ise IPI + IP'I = dır.., ' sit noktlrın elipsin odklrı denir.. Yedek eksen = 0 denklemile verilen elipsin dış merkezliği kçtır? Asl eksen ['] nin ort noktsın elipsin merkezi, ' doğrusun elipsin sl ekseni, sl eksene elips merkezinde dik oln doğru elipsin edek ekseni denir. Elips her iki eksene göre simetriktir.. dklrı ekseni üzerinde ve merkezi orijinde oln ir elips çizilirse, 6 A B ( c, 0) (c, 0) A B ekseni üzerinde elipse it noktlr. A(, 0) ve B(, 0) noktlrın eşit uzklıkt ulunn noktlrın geometrik erinin denklemi nedir? A, A' ise [AA'] doğru prçsın elipsin sl ekseni (üük ekseni) denir. ekseni üzerinde elipse it noktlr B, B' ise [BB'] doğru prçsın elipsin edek ekseni (küçük ekseni) denir. A, A', B, B' noktlrın elipsin köşeleri denir. + = 9 0

14 IAI = IA'I = ve IAA'I = üük eksen uzunluğu, IBI = IB'I = olup, IBB'I = e edek eksen uzunluğu, II = I'I = c olup I'I = c uzunluğun elipsin odklr rsı uzklığı denir. & = + c dir.( B de Pisgor nt s ) Elipsin Dış Merkezliği Bir elipste odklr rsı uzklığın, üük eksen uzunluğun rsın eksen uzunluğun ornın elipsin dış merkezliği denir. Dış merkezlik e ile gösterilir. odklr rs uzkl k e = üü k ek sen uzunlu u c e = & e = c < dir. Elipsin Prmetresi. + = elipsinin sl ekseni üzerindeki M noktsındn elipsin sl eksenine 6 9 çıkıln dikme elipsi P ve P' noktlrınd kesior. P M P Elipsin odklrı ve ' olduğun göre, IP'I + IP'I toplmı kçtır? ÜNİTE - B Tcc, m A A B cc, m Bir elipste odklrın irinden üük eksene çizilen dik kirişin uzunluğun elipsin prmetresi denir. dklr ekseni üzerinde ise, ITT' I = p = üzerinde ise, ITT' I = p = Elipsin Doğrultmn Doğrulrı odklr ekseni dir.. + = denklemile verilen elipsin doğrultmn doğrusunu ulunuz A A 6. dk noktlrı (0, ), '(0, ) ve üük eksen uzunluğu 0 irim oln elipsin dış merkezliği kçtır? dklrı ekseni üzerinde oln elipste odklr eksenine dik ve elips merkezine kdr uzklıkt oln =! doğrulrın elipsin doğrultmnlrı denir. c e dklrı ekseni üzerinde ise doğrultmn doğrulrı =! e dir.

15 ÜNİTE - Elipsin Denklemi: B P(, ) 7. Büük eksen uzunluğu = 6 prmetresi p = oln elipsin denklemi nedir? A ( c, 0) B (c, 0) A + = 6 8 Merkezi orijinde eksenleri koordint eksenleri oln elipse merkezil elips denir. Merkezil elipsin denklemi, IPI + IP'I = IP' I = ( + c) + IP' I = ( c) + zılıp gerekli düzenlemeler pılırs + = ifdesi ulunur. Her + = u- terim ile ölünerek, lunur. 8. dklrındn iri (, 0) ve edek eksen uzunluğu 6 irim oln elipsin sl çemerinin denklemi nedir? Bu denklemde > ise sl eksen (üük eksen) ekseni üzerindedir. B + = A c A B dklrı (c, 0), '( c, 0) ve = + c < ise sl eksen (küçük eksen) ekseni üzerindedir. 9. Prmetrik denklemi = cost A B c A = sint oln elipsin stndrt denklemi nedir? B dk noktlrı (0, c) '(0, c) ve = + c dir. + =

16 r= Eksenleri koordint eksenlerine prlel ve merkezi '(h, k) oln elipsin eksen uzunluklrı, ise 0. + = elipsinin değme kirişinin denklemi = 0 dır. ÜNİTE - k B (h,k) B h Teğetlerin kesim noktsının koordintlrını ulunuz. Elipsin denklemi; ( h) ( k) + = ve (c + h, k), '( c + h, k) A( + h, k), A'( + h, k) B(h, + k), B'(h, + k) = 0 = Anı dklı Elipslerin Denklemi (Homofokl Elipsler) dklrı nı oln elipslere homofokl elipsler denir. > iken c =. + = elipsinin prmetrik denklemini ulunuz. 9 olduğundn ve nı miktrd rttırılır ve zltılırs nı odklı elipsler oluşur. Değişme miktrı k ise nı odklı elipslerin denklemi dir. + k + + k = = cosθ dklrı ekseni üzerinde oln ir elipste ornın elipsin sıklık ornı denir. = 7sinθ Elipsin Çemerleri. Büük eksen uzunluğu: IAA'I = oln ir elips ile nı merkezli rıçplı çemere elipsin sl çemeri denir. Asl Çemerin Denklemi: + =. Yedek eksen uzunluğu: IBB'I = oln ir elips ile nı merkezli ve rıçplı çemere elipsin edek çemeri denir. Yedek Çemerin Denklemi: + = dir.. + = elipsine dışındki P(, ) noktsındn çizilen teğetlerin değme kirişinin 0 denklemini ulunuz. A A + = Asl çemer + 6 = 0

17 ÜNİTE - A. Merkezi elipsin odklrındn iri oln ve rıçp uzunluğu oln çemere elipsin doğrultmn çemeri denir.. Bir elipsin iririne dik oln teğetlerinin kesim noktlrının geometrik eri, elips ile nı merkezli ir çemerdir. Bu çemere Monge Çemeri denir. Monge Çemerinin Yrıçpı: + dir. B B r= + = A Yedek çemer. Asl çemerin lnı 6π irimkre, edek çemerin lnı 9π irimkre oln ir elips verilior. Bu elips ile sl çemerin rsındki lnın elips ile edek çemerin rsındki ln ornı nedir? Elipsin Prmetrik Denklemi α H P (, ) P(, ). Bir elipsin küçük ekseninin rısı t, elipsin lnı t olduğun göre, dış merkezliği şğıdkilerden hngisidir? Elipsin sl ekseni ise sl çemerinin denklemi + = dir. Bu denklem prmetrik olrk ' =.cosθ ' =.sinθ içiminde zılır. = ' = ' olup elipsin prmetrik denklemi =.cosθ =.sinθ dır. = m + n doğrusunun + = elipsine göre durumu: + = denklemi + = 0 içiminde zılıp. + = elipsinin eşlenik köşegenlerinin denklemi = ve = dir. 6 6 Bun göre nin pozitif değeri kçtır? = m + n zılırs + (m + n) = 0 denklemi elde edilir.

18 Bu denklem düzenlenirse ( m + ) + mn + (n ) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminntı Δ = ( m + n ) dir.. m + n > 0 ise doğru elipsi iki frklı noktd keser.. m + n 0 = 0 ise doğru elipse teğettir.. m + n < 0 ise doğru elipsi kesmez. Değme Koşulu: Doğrunun elipse teğet olm (değme) koşulu m + n = 0 dır = elipsinin = + doğrusun prlel oln teğetlerinin eksenini kestiği noktnın ordintı kçtır? ÜNİTE - Doğru elipse teğet olduğund değme. m noktsının psisi: = ordintı: n = dir. n Elipse Üzerindeki Bir Noktdn Çizilen Teğet ve Norml Denklemleri: 7. + = elipsi üzerindeki P(, ) noktsındn çizilen normlin denklemi nedir? + = elipsine üzerindeki P(, ) noktsınd çizilen teğetin denklemi;.. + = Normlin Denklemi ( ). ( ). = 0 ( h) ( k) Denklemi + = oln elipsin üzerindeki P(, ) noktsındki teğet denklemi ( h)( h) ( k)( k) + = Normlin Denklemi ( )( k) ( )( h) = 0 Elipsin Köşegenleri: 8. M(, ) noktsın oln uzklığı = 6 doğrusun oln uzklığının rısı oln noktlrın geometrik eri nedir? = 0 P = m T L K Elips

19 ÜNİTE - Elipsin merkezinden geçen kirişlerine Elipsin Köşegeni denir. Bir köşegene prlel oln kirişlerin ort noktlrının geometrik eri ine ir köşegendir. Bu köşegenlerden irine diğerinin eşleniği denir. Eşlenik köşegenlerin eğimleri m ve m ise m. m = dir. Merkezi (0, 0) oln elipsin köşegen denklemi = m dir. = m köşegeninin eşleniği: =. m Elipsin Alnı dir. 9. Asl çemerin lnı 6π irim kre, edek çemerin lnı 9π irim kre oln ir elips verilior. Bu elips ile sl çemerin rsındki lnın elips ile edek çemer rsındki ln ornı kçtır? = elipsi ile sl diresinin lnlrının frkı nedir? Denklemi S =π.. + = oln elipsin lnı (Elipsin çevresi ulunmz.) Elipsin Değme Kirişi (Kutup Doğrusu) 0π K T P(, ) + = elipsine dışındki P(, ) noktsındn çizilen teğetlerin değme. K(, 0) ve L(, 0) noktlrın uzklıklrının toplmı 6 irim oln noktlrın geometrik eri nedir? noktlrı T ve K ise [TK] doğru prçsın elipsin değme kirişi denir. P(, ) noktsın it değme kirişinin.. denklemi + = dir. + = 69 6

20 Bilgi Konikler - Elips ÜNİTE - Denklemi + = 9 oln elipsin prmetrik denklemi zlım. k + l = ve 7 cos t + sin t = denklemleri krşılştırıldığınd: = cost ve = 7.cost ve 7 = sint ve =.sint olduğundn, elipsin prmetrik denklemi; = 7cost ulunur. = sint. + = 00 elip si nin odk lr r sı uzklı ğı kç i rim dir? A) B) C) 7 D) 9 E) 6. A(, ) ve B, ( ) nok t l rın dn ge çen mer ke zil elip sin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = 0 B) + = 60 C) + 9 = 0 D) + 9 = 0 E) + 9 = 0 Merkezi orijinde oln ve A c, m, B(0, ) noktlrındn geçen elipsin denklemini ullım. A c, m ve B(0, ) noktlrı elips üzerinde olduklrındn + = denklemini sğlrlr. Bun göre; A c, m için c m ( ) & + = = 9 ve 0 ( ) B(0, ) için + = = ulunur. Bu değeri ilk denklemde zrsk + 0 = 6 = 9 ulunur. Elips denklemi + = dir. 9. Asl ekseni ekseni üzerinde oln + = 00 e= kç i rim dir? elip si nin dış mer kez li ği ol du ğu n gö re odk lr r sı uzklı ğı A) 0 B) 8 C) 6 D) E). (7, 0) ve ı ( 7, 0) nok t l rı n uzk lık l rı top - l mı 0 i rim oln nok t l rın geo met rik e ri - nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = B) = 76. P r met rik denk le mi = 8 cost = 6 sint oln elip sin stn drt denk le mi ş ğı d ki ler - den hn gi si dir? A) B) + + = = C) + = D) + = E) + = = 00 6 stn drt denk le mi le ve ri len elip sin p r met rik denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) = cost B) = 0 cost = 8 sint = 6 sint C) + = D) 76 E) + = = C) = 6 cost D) = 6 cost = 8 sint = 0 sint E) = 0 cost = 8 sint

21 ÜNİTE - Bilgi 7. (, 0) nok t sı n oln uzk lı ğı = doğ ru - = = = 6 = = + c = + c c = (r = ) Elipsin lnı =..π..π 0π Direnin lnı = πr π. 9π Trlı ln = 0π 9π = π r ulunur. 6 + = 00 elipsi ile u elipsin odk noktlrındn geçen merkezil çemer rsınd kln lnı ullım. 6 + = = = 6 (, 0) noktsın oln uzklığı, = 8 doğrusun uzklığının rısın eşit oln noktlrın geometrik erinin denklemini ullım. Geometrik ere it ir nokt P(, ) olsun.p(, ) noktsının = 8 doğrusun uzklığı d ise, P = d ve ( ) + = 8 dir. ( + + ) = = = 8 İstenilen geometrik erin denklemidir. su n oln uzk lı ğı nın rı sı n eşit oln nokt l rın geo met rik e ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = 6 B) + = C) + = 08 D) + = 08 E) + = 7 8. Asl çem e ri nin denk le mi + = 8, e - dek çem e rin denk le mi + = oln elip sin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = B) + = 8 8 C) + = D) 6 8 E) 9. + = elip si nin sl ve e dek çemer le ri r sın d k ln öl ge nin l nı kç π irimkredir? + = = 8 6 A) 0 B) C) D) E) 0. + = elip si nin dış mer kez li ği ş ğıd ki ler den hn gi si 6 6 dir? 7 7 A) B) C) D) 7 E). Mer ke zi ori jin de, sl ek se ni ek se ni üze - rin de oln P(, ) ve Q(6, ) nok t l rın dn ge çen elip sin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gisi dir? A) + = 6 B) + = 0 C) + = D) + = E) + =. A(,) ve B(, ) nok t l rı n uzk lık l rı nın top l mı 8 i rim oln P(, ) nok t l rı nın geo - met rik e ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn - gi si dir? A) B) C) D) E) ( 6) + ( ) = 7 ( ) + ( ) = 7 ( ) + ( ) = 7 6 ( ) + ( ) = 7 6 ( ) + ( ) =

22 Bilgi Konikler - Elips ÜNİTE = 6 elipsinin = + doğrusun prlel teğetleri = m + n şeklinde ise n i ullım. + 9 = = = & = 9 ve 9 = dür. = + m = (Prlel doğrulrın eğimleri eşittir.) Elipste değme şrtı: m + = n. 9 + = n n = 6 + n = 0 & n = 0 & n =! 0 olur.. + = doğ ru su + = 6 elip si ne te ğet ol du ğu n gö re, te ğe tin değ me nok t sı - nın ko or di n tı ne dir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) = elip si nin = 0 doğ ru su - n p r lel oln te ğet le rin den i ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = 0 B) + 7 = 0 C) + 8 = 0 D) = 0 E) 7 = 0 + = elipsi üzerindeki P(, ) noktsındn geçen teğetin ve normlin denklemini zlım. + = ve + = den; Teğetin denklemi, + = ve 8 + = 0 olur. 8 Teğetin eğimi m = ise, T normlin eğimi m = dir. N 8 Normlin denklemi. + = 8 elip sin de A(, 0) nok t sın dn çi zi len te ğe tin değ me nok t l rın dn i ri ş - ğı d ki ler den hn gi si dir? A) (, ) B) (, ) C) (, 6 ) D) (, ) E) (, ). + = elip si ne A(, ) nok t sın dn çi - zi len te ğe tin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gisi dir? A) + = B) + = C) + = D) = 8 E) + = 7 = ( + ) ve = 0 ulunur. Normlin denklemi, = ( + ) ve = 0 ulunur.. + = 0 elip si ile = 0 doğ ru su nun ke sim nok t l rı nın ko or di n tlrı ş ğı d ki ler - den hn gi si dir? A) (, ), (, ) B) (, ), (, ) C) (, ), (, ) D) (, ), (, ) E) (, ), (, ) 6. + = elip si ne A(, ) nok t sın dn çi - zi len nor m lin denk le mi ş ğı d ki ler den hn - gi si dir? A) + = 6 B) = C) + 6 = 6 D) = E) 6 =

23 ÜNİTE - Bilgi = elip si ne = + n doğ ru - + = elipsinin üzerindeki 8 8 (, ) noktsındn çizilen teğetin, + = doğrusu ile kesim noktsının psisini ullım. Elipsin üzerindeki noktdn çizilen teğetin denklemi; = + = & 8 8 = 0 ulunur. = ++ = = & = dir. su te ğet ol du ğu n gö re, n nin po zi tif de ğe ri kç tır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 0. + = elip si nin l nı kç irimkredir? 9 A) 9π B) π C) π D) 8π E) 0π A D = elipsinin içine, elipsin edek ve sl eksenlerini köşegen kul eden eşkenr dörtgen çizilmiştir. Trlı lnı ullım = = + = 6 9 = 6 = = 8 AC = 8 = 9 = = 6 BD = 6 Elipsin lnı = p. p.. p.r B Trlı ln = p r (p )r olur. C Eşkenr dörtgenin lnı= AC. BD 8.6 = = r 8. D C A B ABCD dikdörtgeninin kenrlrı + = 00 elipsine teğet olduğun göre, rlrınd kln ln (trlı ln) kç irimkredir? A) π B) 0π C) 0 0π D) 8 0π E) 6 0π 9. + = elip si nin sl çem e ri ile e - dek çem er le ri nin r sın d k ln öl ge nin l nı kç irimkredir? A) π B) π C) π D) π E) π. + = elip si nin ir i ri ne dik oln te - ğet le ri nin ke sim nok t l rı nın geo met rik e ri - nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = B) + = 9 C) + = 6 D) + = 8 E) + = 0. + = 0 elip si ne P(7, ) nok t sın dn çi zi len ir te ğe ti + k. = ol du ğu n gö re te ğe tin değ me nok t sı nın ko or di nt l rı top - l mı kç tır? A) B) C) D) E) C

24 Bilgi Konikler - Elips ÜNİTE - + = 00 elipsinin üzerinde A(k, ) noktsı verilior. k > 0 olduğun göre A noktsındn elipse çizilen normlin eğimini ullım. + = 00 + = 00 = 00, = A(k, ) k + ( ) = 00 k +. 9 = 00 k = 00 6 k = 6 k = ± 8. + = elip si üze rin de ki P(,) nokt sın dn çi zi len nor m lin denk le mi ne dir? A) 8 + = 0 B) 8 + = 0 C) + 8 = 0 D) = 0 E) = 0. + = elip si nin = + doğ ru su n p - r lel oln te ğe ti nin ek se ni ni kes ti ği nok t nın or di n tı kç tır? A) 6 B) C) D) E) = (Teğet denklemi) 8 + = 00 8 = 00 8 & m = = T m.m = T N.m = & m = N N dir. 6 + = 00 elipsinin + = 0 doğrusun dik teğetleri = m + n şeklinde ise n i ullım. 6 + = 00 & + = 6 & =, = 6. + = 8 elip si nin + = 0 doğ ru su n en kın nok t sı nın p si si kçtır? A) B) C) D) E). + = elip si ne A(, ) nok t sın dn çi zi len te ğe tin eği mi kç tır? A) B) C) D) E) + = 0 Eğimi = = =.m = m = Elipste değme şrtı; m + = n ( ). + 6 = n n = 6 & n = 6 ulunur.. + = 9 elip si nin = 0 doğ ru su - n dik oln te ğe ti nin değ me nok t sı nın or din tı nın po zi tif de ğe ri kç tır? = 0 elip si nin p r met re si ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E)

25 ÜNİTE - Bilgi 7. + = elip si ne P(, ) nok t sın dn çi - + = 8 elipsine dışındki p(, ) noktsındn çizilen teğetin denklemlerini zlım. Teğetin denklemi, = m + n olsun. p(, ) noktsı teğetin üzerinde olduğundn; = m + n n = m + tür. + = elipsinde, 8 = 8 ve = dir. Teğet olm şrtı, m + n = 0 8m + (m + ) = 0 8m + m m 9 = 0 m m 7 = 0 7 & m = ve m = ulunur. Teğet denklemleri ise; m = & n = l + = = m = & n = l + = 0 7 için = + 0 ulunur. zi len te ğe tin denk le mi ş ğı d ki ler den hn - gi si dir? A) + = B) + = C) + = 0 D) + = 8 E) + = 8. + = elipsi üzerindeki P(8, ) noktsındn çizilen teğetin denklemi 00 şğıdkilerden hngisidir? A) + = 0 B) = 0 C) + + = 0 D) + = 0 E) + + = 0 0. dk l rın dn i ri (, 0) ve e dek ek sen uzun lu ğu 6 i rim oln elip sin sl çem e ri nin denk le mi ne dir? A) + = 9 B) + = C) + = D) + = E) + = 6. + = 6 9 elip si ile sl çem e ri r sın - d k ln öl ge nin l nı kç irimkredir? A) B) C) D) 6 E) 8 Asl çemerinin denklemi + = 7 ve edek çemerinin denklemi + = 6 oln elipsin denklemini ullım. Asl çemerin denklemi, + = & = 7 ve edek çemerinin denklemi, + = & = tür. Elipsin denklemi ise, + = olur = 0 elip si ne dı şın d ki P(, ) nok t sın dn çi zi len te ğet le rin değ me noktlrındn geçen kirişin (kutup doğrusu) denk - le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) + = 6 B) + 6 = C) + = 0 D) + 6 = 0 E) + 6 = = 00 elip si nin odk l rı r sınd ki uzk lık kç irimdir? A) B) 6 C) 8 D) 0 E)

26 HİPERBL ETKİNLİK ETKİNLİK ETKİNLİK ÜNİTE - HİPERBL. = 00 hiperolünün dış merkezliğini ulunuz. Düzlemde verilen sit iki nokt uzklıklrının frkı sit oln noktlrın geometrik erine hiperol denir. 9 M(,) P B K A A Asl eksen. = hiperolü verilior Bu hiperolün köşeleri rsındki uzklık kç irimdir? P B K edek eksen. Sit noktlr ve ' olup u noktlr odklr denir. II = I'I = c odklr rsı uzklık: I'I = c IIMI IM'II =. A ve A' noktlrın hiperolün köşeleri denir = hiperolünün P(, ) noktsındn geçen teğetinin eğimi nedir? IAI = IA'I = A(, 0), A'(, 0) ve IAA'I = dır. AA' doğrusun sl eksen Asl eksene dik olrk çizilen doğru edek eksen denir.. ve eksenleri hiperolün simetri eksenleridir. Arıc hiperol, (0, 0) merkezine göre de simetriktir.. merkezli ve c rıçplı çemer ile A ve A' köşelerinden sl eksene çizilen dikmelerin kesim noktlrı K, K', P, P' ise IAKI = IBI = IA'PI = ve. = + k doğrusu = 7 hiperolüne teğet olduğun göre, değme noktsının koordintlrının toplmı kçtır? 6 IAK'I = IB'I = IA'P'I = dir. B ve B' noktlrın hiperolün edek

27 ÜNİTE - eksen köşeleri denir. B(0, ) ve B'(0, ) dir.. AK dik üçgeninden c = + dir. 6. Doğrultmn Doğrulrı = " c 7. Hiperolün Denklemi =. = 6 6 hiperolüne P(0, 8) noktsındn çizilen teğetlerin değme kirişlerinin denklemini ulunuz. 8. Hiperolün Çemerleri 6. (, 0) ve '(, 0) noktlrın oln uzklıklrının frkı 6 irim oln hiperolün simptotlrını ulunuz. B A 0 A B Asl çemer Asl eksen =! ) IAA'I = çplı çemere hiperolün sl çemeri denir. ) IBB'I = çplı çemere hiperolün edek çemeri denir. 7. Dış merkezliği e = eksenleri koordint eksenleri oln hiperolün simptotlrındn irinin denklemini ulunuz. B 0 B edek çemer Asl eksen = c) Merkezi hiperolün odklrındn iri, rıçpı r = oln çemerlere hiperolün doğrultmn çemerleri denir. 8. = 6 hiperolünün simptotlrı rsındki çı kç derecedir? A ( c,0) 0 A (c,0) 60 Do rultmn çemerleri

28 9. Hiperolün Dış Merkezliği Bir hiperolde odklr rsı uzklığın, sl eksen uzunluğun ornın u hiperolün dış merkezliği denir ve e ile gösterilir. c c e = & e = dır. c > olduğundn e > dir. Teğet ve Norml Denklemleri 9. p. = hiperolünün simptotlrı rsındki dr çı α ve p sısının pozitif değeri kçtır? cos α olduğun göre ÜNİTE - = m + n 0. = 9 6 hiperolünün prmetresini ulunuz. = m + n doğrusu ile = hiperolünün iririne göre durumlrını incelemek için, = m + n, = sisteminin ortk çözümüne kmk gerekir. Hiperol denkleminde = m + n konurs, (m + n) = ( m ). mn. n = 0 A B C. Prmetrik denklemleri = + tnα = +.secα oln eğrinin dı nedir? ulunur. Bu denklemin diskriminntı, A = B AC =( mn).( m ) ( n ) Hiperol = ( + n m ) olur. > 0 olduğundn Δ, + n m çrpnın ğlıdır. Dolısıl,. + n m > 0 ise, Δ > 0 olur ve doğru hiperolü frklı iki noktd keser.. Teğetlerinden iri = ve simptotlrı =! oln hiperolün prmetresini ulunuz.. + n m = 0 ise Δ = 0 olur ve doğru hiperole teğet olur. (Bu koşul değme şrtı denir.). + n m < 0 ise, Δ < 0 olur. Bu durumd, denklemin reel kökü olmcğındn, doğru hiperolü kesmez.

29 ÜNİTE - Şimdi teğet ve norml denklemlerini görelim. = ve = hiperolün üzerindeki ir P o ( o, o ) noktsındn çizilen, 0 0 Teğet Denklemi: = Norml Denklemi: 0 = ( ) dir = hiperolünün simptotlrının denklemini ulunuz. 6 6 = " te et Po(o,o) norml. = ikizkenr hiperolüne A(, ) noktsındn çizilen normlin denklemini ulunuz. Te et ve Norml Değme Kirişi (Kutup Doğrusu): Bir hiperole A( o, o ) noktsındn çizilen teğetlerin medn getirdiği değme kirişi ve kutup doğrusunun denklemi o o dir. = + = 8 te et. = hiperolüne üzerindeki A(, ) noktsındn çizilen teğet denklemini ulunuz. Do ru ile hiperolün durumu Hiperolün Asimptotlrı: Bir hiperole sonsuzd teğet oln doğrulr u hiperolün simptotlrı denir. hiperolünün simptotlrının = denklemleri: = " dir. = 6. = ikizkenr hiperolünün odklr rsı uzklığı kç irimdir? c = Asimptotlr = 6

30 İkizkenr Hiperol: Asl ve edek eksen uzunluklrı iririne eşit oln hiperole İkizkenr Hiperol denir. Tnım göre = olduğundn, ikizkenr hiperolün denklemi: = olur. 7. = hiperolünün prmetresini ulunuz. 9 ÜNİTE - Asimptotlrın denklemleri de = " dir. p = = = kizkenr hiperol 8. Prmetrik denklemi Hiperolün Köşegenleri: Hiperolün merkezinden geçen doğrulr, hiperolün köşegenleri denir. = secθ = tnθ oln hiperolün stndrt denklemini ulunuz. = hiperolü verildiğinde = m doğrusu için, =. doğrusun hiperolün eşlenik köşegeni. m denir. = 9 6 Bunlrın eğimleri m. m ile gösterilirse, m. m = dir. Hiperolde, iririne prlel kirişlerin ort noktlrı, eşlenik köşegen üzerinde ulunur. Hiperolün Prmetresi: Hiperolün odğındn üük eksene çizilen dik kirişin uzunluğun hiperolün prmetresi denir = 9 hiperolünün + = 0 doğrusun en kın noktsının koordintlrının toplmı kçtır? T T = hiperolün prmetresi ITT' I = p = dir. Hiperolün Prmetrik Denklemi: = hiperolünün prmetrik denklemi, =. sec θ d R dir.çünkü =. tn θ θ = sec θ tn θ= olur. 0. = doğrusu ile 8 = hiperolünün kesim noktlrının psisleri toplmı kçtır? 7

31 ÜNİTE - Bilgi Konikler -Hiperol = hiperolünün simptotlrı rsındki dr çıı ullım. = = & = = & =, = & =. = hiperolünün simptotlrı rsındki çı kç derecedir? 6 A) 0 B) 90 C) 60 D) E) 0. p. = hiperolünün simptotlrı rsındki dr çı α ve cos α = olduğun göre p sısının pozitif değeri kçtır? A) B) C) D) E) Asimptot denklemleri =! =+ ve = =+ ve = Bu doğrulrın eğimleri m = ve m = İki doğru rsındki çı; m m tnα = + m.m ( ) & tnα = +.( ) + tnα = = = tn α = ise = 0 0 nin ütünleri 80 0 = 60 ulunur.. = ± doğrulrın uzklıklrının çrpımı 9 oln noktlrın geometrik erinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 8 B) = 9. dklrı (, 0), (, 0) ve sl eksen uzunluğu 6 irim oln hiperolün denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) B) = = Bir hiperolde odk koordintlrı (0, ±) ve = olduğun göre denklemini ullım. dklrı (0, ±) c = dklrı ekseni üzerinde olduğundn hiperolün denklemi şeklindedir. = = = + = c + = = 69 = = C) = 6 D) = E) = C) D) = = E) = 9 7 & = & = 600 ulunur.. 6 k. = 8 hiperolünün simptotlrındn irinin eğim çısı 0 olduğun göre, k kçtır? 6. = hiperolünün doğrultmn doğrulrı rsındki uzklık kç 9 6 irimdir? A) B) C) D) E) A), B), C),6 D),8 E),

32 Bilgi 0 AB doğrusu eksenine dik olup 9 = 6 hiperolüne T noktsınd teğettir. [AB] nın hiperolün simptotlrı & ile oluşturduğu AB nin lnını ullım = 6 & = A B T 7. = hiperolünün, ort noktsı P(6, 9 ) oln kirişinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = C) = D) = + E) = 0. = hiperolünün doğrultmn çemerlerinden irinin denklemi şğıdkilerden 6 9 hngisidir? A) ( ) + = 6 B) ( ) + = 6 C) + ( ) = 9 D) + ( ) = 8 E) ( ) + ( ) = 6 ÜNİTE - = = 9 = 9 = = Asimptot denklemleri; =! & =! = 0 & 9.0 = 6 = 9 = ± T(, 0) AB doğrusu = doğrusudur. 8. P(8, 0) noktsın oln uzklığı = doğrusun oln uzklığının ktı oln noktlrın geometrik erinin denklemi nedir? ( ). ( + ) = hiperolünün odklrındn iri şğıdkilerden 6 9 hngisidir? = doğrusunun = simptotunu kestiği noktnın ordintı =. & = & AT = AT = & AB =. = & AB. T A(AB) =. = = 6r olur. A) = 8 B) = 6 C) = 8 D) = E) = A) (6 ) B) ( 6, ) C) (, ) D) (, 6) E) (8, ) = hiperolünün 6 sl, edek ve doğrultmn çemerlerinin denklemlerini zlım. = = 6, = ve 6 c = = 9 c = " olur. Asl çemer denklemi, + = ve + = 6; Yedek çemer denklemi, + = ve + = ; Doğrultmn çemerlerinin denklemi, ( " c) + = ve ( " ) + = tür. 9. = hiperolünün odğındn 8 simptotun çizilen dikme, simptot ve sl eksen rsınd kln üçgenin lnı kç irimkredir? A) B) C) D) 6 E). = hiperolünün prmetrik denklemi 6 şğıdkilerden hngisidir? A) = 6cosα B) = 6sinα C) = 6tnα = sinα = cosα = secα D) = 6secα E) = 6tnα = tnα = sinα

33 ÜNİTE - Bilgi Konikler -Hiperol = 00 hiperolünün simptot denklemlerini ullım. = 00 & = = = = = Asimptot denklemleri =!. Büük eksen uzunluğu 8 irim ve odklrındn iri ( 0, 0) oln hiperolün simptotlrının denklemleri şğıdkilerden hngisidir? A) =! B) =! C) =! D) =! E) =!. = hiperolü üzerinde ordintı oln M noktsı lınıor. M noktsını odklr irleştiren ışınlr rsındki çı kç derecedir? A) B) 60 C) 90 D) 0 E) 0 =! ulunur. = m + doğrusunun 6 = 00 hiperolüne teğet olmsı için m in pozitif değerini ullım. 6 = 00 = 00 & =, = 6 = m+ & n = Hiperolde değme şrtı; m = n m. = m = m = m = m = ± m nin pozitif değeri m = dir. = hiperolüne P(, ) 6 9 noktsındn geçen teğetin denklemini zlım. P(, ) noktsındn geçen doğrulrın denklemleri, = m m + dir. = 6 = 9 ve n = m + değerleri teğet olm şrtınd erlerine zılırs; 9 + ( m + ) 6m = 0 & m = olur. 6 Teğetin denklemi, = ve 6 0 = 0 ulunur.. = hiperolüne P(0,8) noktsındn 6 8 çizilen teğetlerin değme kirişinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) = C) = D) = E) =. = + k doğrusu = 7 hiperolüne teğet olduğun göre, II. ölgedeki değme noktsının koordintlrının toplmı kçtır? A) B) C) D) E). = hiperolünün simptotlrındn iri = olduğun göre kçtır? A) B) C) D) E) 6. = 6 hiperolüne üzerindeki P(, k) (k < 0) noktsındn çizilen normlin denklemi şğıdkilerden hngisidir? A) = 6 B) = C) = D) = E) =

34 Bilgi 8 = 8 hiperolünün üzerindeki (, ) noktsındn çizilen teğetin denklemini ullım. Hiperolün üzerindeki noktdn çizilen teğet denklemi; 0 0 = 8 = & = = 8 & = 8, = ( 0, 0) = (, ).( ). = 8 7. = hiperolü üzerinde, odklr uzklıklrının toplmı 8 irim oln P noktsının psisi kçtır? A) B) C) D) E) 0. = 7 hiperolüne üzerindeki A(n, ) ln > 0) noktsındn çizilen teğetin eksenini kestiği noktnın psisi şğıdkilerden hngisidir? A) B) 7 C) 7 D) 7 E) ÜNİTE - & = & = & + + = 0 ulunur. Doğrultmn denklemleri = ±9 ve küçük eksen uzunluğu 6 oln hiperol denklemini ullım. =! c &! c =! 8 & = 8c dir. = 6 = tür. c = + c = + 9 ve = 8c ortk çözülürse c 8c 9 = 0 & c = ve c = 9 ulunur. 8. Prmetrik denklemleri = + tnα = + secα oln eğri şğıdkilerden hngisidir? A) Elips B) Doğru C) Prol D) Hiperol E) Çemer. = hiperolünün doğrultmnlrındn iri şğıdkilerden 6 6 hngisidir? A) = 7 B) = 0 C) = 7 D) = E) = c = çözüm olmz. c = 9 = 8.9 = 7 dir. Bun göre hiperol denklemi = dir dklr rsı uzklığı 0 irim, doğrultmn denklemleri =! 6 oln hiperolün den- klemi şğıdkilerden hngisidir? A) = B) 6 = 9 C) = D) = E) = 9 6. = 8 hiperolüne A(, ) noktsındn çizilen teğetin eğimi kçtır? A) B) C) D) E)

35 ÜNİTE - Bilgi Konikler -Hiperol = 8 hiperolünün üzerindeki P(, ) noktsındki teğetin ve normlin denklemlerini zlım. Teğetin denklemi; = ( ) () = = 0 dır. Teğetin eğimi; m = den; normlin eğimi, mn = olur. P(, ) noktsındn geçen eğimi mn = oln normlin denklemi, = ( + ) ve +7 = 0 ulunur. Tnı 8 cm oln ve tn çılrının tnjntlrı çrpımı oln üçgenin tepesinin geometrik erini ullım. P(, ) B α β C 0. = 6 hi per o lü nün simp tot l rın dn i ri nin denk le mi ş ğı d ki le rden hn gi si dir? A) = B) = C) = D) = E) =. = hi per o lü nün A(, ) nok t sındn çi zi len nor m li nin denk le mi ş ğı d ki ler - den hn gi si dir? A) = + B) = + C) = D) = + E) =. P(, 0) nok t sı n oln uzk lı ğı = doğ ru - su n oln uzk lı ğı nın k tı oln nok t l rın geo met rik e ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) = 6 B) = 08 C) = 08 D) = 08 E) =. K(0, 0) nok t sı n oln uzk lı ğı + = 0 doğ ru su n oln uzk lı ğı nın ü oln nok t l - rın geo met rik e ri nin denk le mi ş ğı d ki ler - den hn gi si dir? A) 9 6 = 676 B) 9 = C) 9 6 = 6 D) 9 6 = 00 E) 9 6 = 76 P(, ) geometrik ere it nokt olsun. PB ve PC kenrlrının eğimleri tnα ve tnβ eşit olcğındn 0 0 tn = ve tn = + & tn.tn = &. = + & ( ) = & = 0 hiperol denklemi elde edilir.. + = hi per o lü nün simp tot l rın dn 6 8 i ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) = B) = C) = 9 D) = 9 E) = 7 6. Bir üç ge nin iki kö şe si nin ko or di nt l rı s it olup (±, 0) dır. De ği şen ke nr l rın eğim le ri 6 çr pı mı ol du ğu n gö re de ği şen kö şe si nin 9 geo met rik e ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn - gi si dir? A) 6 9 = B) 6 9 = C) 9 = 6 D) = 60 E) 6 =

36 Bilgi = 99 hiperolünün üzerindeki ( 6, ) noktsındn çizilen teğetin denklemini ullım. = , 99 = & = = Hiperolün üzerindeki noktdn çizilen teğetin denklemi " 0 0 = & = & = = 0 hi er o lü nün simp totl rı nın denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) = ± B) = ± C) = ± D) = ± E) = ± 0. = 9 hi per o lü nün üze rin de ki P(, ) nok t sın dn çi zi len nor m li nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) 9 = 0 B) 0 = 0 C) + 0 = 0 D) + 9 = 0 E) + 60 = 0 ÜNİTE - & 8 = & 8 = & = 0 olur. = 0 hiperolüne = m doğrusu teğet ise, m değerlerini ve değme noktlrını ullım. = 0 & = & = 0 0 = ve = m den n = tir. Teğet olm şrtı; n + m = m = 0 m = 9 & m = " olur. Teğetin denklemleri, = ve = tir. = ( ) 0 = 0 + = 0 = olur. Burdn, = dir. =. ( ) 0 = = 0 = olur. Burdn = dir. Değme noktlrı, P(, ) ve Q(, ) dir = 6 ve = 7 hi pero llerinin ke sim nok t l rı nın p sis le ri - nin çr pı mı kç tır? A) 7 B) 6 C) D) 8 E) 6 9. = hi per o lü ile + = 0 doğ ru - su nun ke sim nok t l rı nın p sis le ri nin top l - mı kç tır? A) 0 B) 7 C) 6 D) E) 0. = 6 hi per o lü nün te ğet le rin den i ri ek se ni ile 0 lik çı p mk t dır. Te - ğe tin değ me nok t l rın dn i ri ş ğı d ki ler - den hn gi si dir? A) A(6, ) B) A(6, ) C) A( 6, ) D) A(8, ) E) A(8, ). = 0 hi per o lü ne dı şın d ki A(, ) nok t sın dn çi zi len te ğet ler den i ri nin denk le mi ş ğı d ki ler den hn gi si dir? A) 7 = 0 B) 8 = 0 C) 0 = 0 D) + 0 = 0 E) =

37 ÜNİTE ÜSS + 9 = 6 elipsin odk l r n n ko or di nt l r fl d ki ler - den hn gi si dir? A) ^0,! h B) ^0,! 0h C) ^! 0, 0h D) ^!, 0h E) (, ),(, ). 969 ÜSS = elipsi nin d fl mer kez li i fl d ki ler den hn - gi si dir? 0 7 A) B) C) 9 0 D) E) ÜSS + = elipsi ile u elipsin sl diresinin ln frk nedir? A) π B),π C) π D),π E) π. 969 ÜSS 9 + = elipsinin odkl r r s n d ki uzk l k fl - d ki ler den hn gi si dir? A) 8 irim B) 9 irim C) 0 irim D) irim E) irim. 968 ÜSS 9 = hiperolünün iki simptotu ile herhngi ir te etinin medn getirdi i üçgenin ln fl dkilerden hngisidir? A) irim kre B) irim kre C) 7, irim kre D) irim kre E) 9 irim kre ÜSS = 6 prolünün od n n p si si fl d ki ler den hn gisi dir? A) 6 B) C) D) E).D.C.D.C.A 6.B

38 7. 97 ÜSS d (, 0) ve do rult m n + = 0 oln p r o lün denklemi fl dkilerden hngisidir? A) = B) = C) = 8 D) = E) = ÖYS A M A ÜNİTE - fiekildeki elipsin denklemi + = ve 6 odklr, dir. çp l çem e rin M nok t s n d ki te e ti elip sin A kö fle sin den geç ti i ne gö re M nokts n n psisi nedir? 9 7 A) B) C) D) E) ÜSS = 0 fl d ki e ri ler den hn gi si nin denk le mi dir? A) Hiperol B) Kesiflen iki do ru C) Elips D) Çemer E) Nokt. 98 ÖYS + = c elipsinde = ve = oldu un göre kçt r? A) B) C) D) 6 E) ÜSS 9 = hiper o lü nün simp tot l r l = do ru su nun ke sim nok t l r fl d ki ler den hn gi si dir? A) , l ;, l B), l ;, l C), l ;, l D), l;, l E) (, ); (, ). 99 ÖYS = m + do ru su 9 + = 0 elip si ne te et ol - du u n gö re m fl d ki ler den hn gi si dir? A) B) C) D) E) 7.C 8.B 9.C 0.B.B.C

39 ÜNİTE ÖYS + + = 0 fle klinde ve ri len ikin ci de re ce den denk lem fl d ki ler den hn gi si nin denk le mi dir? A) Kesiflen iki do ru B) Prlel iki do ru C) Bir elips D) Bir çemer E) Bir hiperol. 996 ÖYS Büük eksen köfleleri A(, 0), A (, 0) oln ve D, l nokt s n dn ge çen mer ke zil (stn drt) elip sin denk le mi fl d ki ler den hn gi si dir? A) + = B) + = 8 C) + = D) 6 + = E) + =. 996 ÖYS = 0 denkleminin grfi i fl dkilerden hngisi olilir? ÖYS 9 = hi per o lü nün simp tot l r n n ve = do - ru su nun olufl tur du u üç ge nin l n kç i rim k re dir? A) B) C) 6 D) 8 E) 0 A) B) ÖSS C(,) C) D) N N A(,0) B(,0) Şe kil de ve ri len ABC üç ge ni nin [AC] ve [BC] kenr l rı nın eğimle ri çr pı mı ol du ğu n gö re, C kö şe si nin ko or di nt l rı 9 ş ğı d ki denk lem ler den hn gi si ni sğlr? E) A) = B) 6 = 8 8 N C) + = D) 8 E) + = = 9 6.B.E.C 6.B 7.D

40 8. 00 LYS ( 0, 0) ve (0, 0) noktlr n uzkl klr frk 0 oln noktlr n geometrik erinin denklemi fl dkilerden hngisidir? A) = 0 B) + = 80 C) = 80 D) + = 0 E) = 0. 0 LYS + 8k + m + 6 = 0 denklemi, fl d verilen k ve m de erlerinden hngisi için ir elips elirtir? A) k = 0, m = B) k =, m = C) k =, m = D) k =, m = 0 E) k =, m = ÜNİTE LYS = prolünün = do rusun göre simetri inin denklemi fl dkilerden hngisidir? A) = B) = ( ) C) = ( + ) D) = ( ) E) = ( ) 0. 0 LYS + = çem e ri ile = hi per o lü kç nok t d ke siflir? A) B) C) D) E) E 9.E 0.A.B 7