Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi"

Gülbahar Tarcan
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde ğırlık erkezi 4.6 PROBLELER Ünlü Fransız matematikçisidir. Güneş sisteminin kararlılığı üstüne araştırmalarıyla bilinir. 773 de yörüngelerin dışmerkezlik ve eğikliklerinin küplerinden yararlanarak gezegenlerin Güneşten uzaklıklarının ortalamasının değişmediğini kanıtladı. 787 de y ın ivmesinin yer yörüngesinin dışmerkezliğine bağlı olduğunu belirledi. Doğada karşılaşılan belirli fiziksel olayların gerçekleşme olasılıklarının matematiksel olarak hesaplanmasına ilişkin çeşitli yöntemler ortaya attı. Kütle çekimi yasasını uygulayarak ve matematiksel olarak geliştirerek gezegenlerle uyduların devinimlerinin ve bu devinimleri etkileyen gel-gitlerin hesaplanmasını sağladı. etre sisteminin oluşturulması çalışmalarına katıldı. Esnek görüşleri nedeniyle, politikayla da ilgilendi, Napoléon döneminde içişleri bakanlığı, senato başkan yardımcılığı yaptı. 806 da imparatorluk kontu unvanını aldı. 84 de Napoléon un düşürülmesi yönünde oy kullandı ve XIII. Louis yi destekledi, kral da onu marki unvanı ile ödüllendirdi. Pierre-Simon LPLCE (749-87)

773 de yörüngelerin dışmerkezlik ve eğikliklerinin küplerinden yararlanarak gezegenlerin Güneşten uzaklıklarının ortalamasının değişmediğini kanıtladı.

2 4.. CİSİN ĞIRLIĞI Gerçek anlamda tek bir noktaya etkiyen bir tekil kuvvete uygulamada rastlamak pek mümkün değildir. O nedenle çözümü araştırılan bir problemde eğer tekil kuvvet kullanılıyorsa bu ya bir idealleştirme ya da bir yaklaşıklıktır. Biz mühendisler bazen bir fizik probleme etkiyen yayılı kuvvetlere ait toplam etkiyi bir bütün olarak görmek isteyebiliriz. O zaman yayılı kuvvetleri tek bir bileşke altında toplar ve bunları kuvvet merkezi dediğimiz tek bir noktaya indirgeriz. Tabii bu sırada cevaplanması gereken en önemli soru Paralel kuvvetlerin bileşkesinin etki noktası olan kuvvet merkezi nasıl hesaplanır?. Yayılı kuvvetlere en basit örnek cismin ağırlığıdır. Böyle bir durumda kuvvet merkezinden anlaşılması gereken cismin ağırlık merkezidir. Şimdi konuya girmeden önce bazı önemli tanımlar verelim. Şöyle ki, cismin boyutları yanında çok küçük olacak biçimde seçilen bir hacme etkiyen yayılı kuvvetlerin toplamı, o hacmin ağırlık merkezinde tek bir tekil kuvvetle tanımlanabilir. Bu durumda genel olarak yükler yayılı kuvvetlerdir ve etkidikleri bölge içindeki değişimlerine bakılarak şiddetleri hesaplanırlar. Yoğunluk: Genellikle ile gösterilen yoğunluk, kütlesi m, hacmi bir cisimde, tanım gereği, m (4.) 3 birim hacmin kütlesidir ve SI birim sistemi içinde birimi [kg/m ] dür. Yoğunluk her bir malzemenin kendisine özgü bir fiziksel özelliği olup, belli bir sıcaklık için sabit bir değerdir.

Biz mühendisler bazen bir fizik probleme etkiyen yayılı kuvvetlere ait toplam etkiyi bir bütün olarak görmek isteyebiliriz.

3 7 STTİK Özgül ğırlık: Genellikle ile gösterilir ve tanım gereği, g (4.) birim hacmin ağırlığıdır ve SI birim sistemi içinde birimi Burada 9.8 m/sn yer çekimi ivmesidir. 3 [N/m ] dür. Cismin ğırlığı: Dünyanın bir cisme uyguladığı yer çekimi kuvvetine o cismin ağırlığı denir. Bu kuvvet, Şekil (4.) de görüldüğü gibi cismin üzerine yayılmış çok sayıdaki paralel diferansiyel kuvvet dw-dw k nın bileşkesi olacağından, cismin toplam ağırlığı W-W k da, cismin ağırlığının şiddetini ifade eden büyüklük, W dw (4.3) biçiminde hesaplanır. Eğer cismin hacmi ve özgül ağırlığı belli ise, o zaman homojen bir cismin ağırlığı, W d (4.4) biçiminde de hesaplanabilir. Homojen bir cisimde sabit olacağından, özgül ağırlık (4.4) de integral dışına çıkartılmıştır. ğırlık erkezi: ğırlık kuvveti W nin cisim içindeki etki noktası ye verilen addır ve bu noktanın koordinatları kitapta ( x, y, z ) biçiminde tanımlanacaktır (Bakınız Şekil 4.). 4.. DÜZLESEL LNLRD ĞIRLIK ERKEZİ (İNTEGRSYON YÖNTEİ) İki boyutlu cisimler plaklar ve teller diye iki sınıfa ayrılabilir. Şimdi önce plakları ele alalım. Kalınlığı t sabit ve özgül ağırlığı sabit olan Şekil (4.) deki homojen düzlem plaktaki hacim elemanı d nin diferansiyel ağırlığı dw-dw k integre edilirse, ( x, y ) düzlemindeki plağın toplam ağırlığı W- dw k elde edilir. Şu halde, plak ağırlık merkezi ( x, y ) nin koordinatları, x xdw dw ve y ydw dw (4.5) biçiminde hesaplanır. Şekil (4.) deki düzlemsel homojen plakta: Plağın alanı : d (4.6)

) de görüldüğü gibi cismin üzerine yayılmış çok sayıdaki paralel diferansiyel kuvvet dw-dw k nın bileşkesi olacağından, cismin toplam ağırlığı W-W k da, cismin ağırlığının şiddetini ifade eden

4 4. ĞIRLIK ERKEZİ 73 Diferansiyel hacim elemanı : d td (4.7) Diferansiyel hacmin ağırlığı : dw td (4.8) (4.5) ifadeleri daha da sadeleştirilebilir. Şöyle ki, (4.5) de (4.8) yerleştirilip, pay ve paydadaki t sabit sadeleştirilirse, x y xd d yd d elde edilir. (4.9) da alanın eksenlere göre birinci dereceden momentleri, (4.9) Sx yd ve Sy xd sırası ile x ve y eksenlerine göre alanın statik momenti olarak adlandırılır. LNIN ĞIRLIK ERKEZİ: Keyfi bir eğrinin çevrelediği alanın ağırlık merkezi hesabında integrasyon kaçınılmazdır. Şekil (4.3a) daki Kartezyen koordinatlarda diferansiyel alan elemanı, d dxdy (4.0) olurken, Şekil (4.3b) deki kutupsal koordinatlar kullanıldığında diferansiyel alan elemanı, d rdrd (4.) olur. Bunlar (4.9) de yerleştirilirse, ifadeler çift katlı integrallere dönüşür. Şu bir gerçek ki, çift katlı integrasyon yerine uygun bir tek katlı integrasyon kullanılabilirse, bu işlemlerde bir sadelik sağlayacaktır. Bu amaçla çoğu kez d elemanı ince bir şerit şeklinde alınarak çift katlı intergralden tek katlı integrale geçilebilir. Problemin yapısına bağlı olarak farklı matematik adımlar izlenerek genellikle uygun bir tek katlı integrale geçiş yapılabilir. Şimdi sırayla bu matematik adımları görelim. Kartezyen Koordinat Takımı: Şekil (4.4a) da y y( x) eğrisi ve bu eğri ile x ekseni arasında düşey konumda yerleştirilmiş diferansiyel şerit elemanı d görülüyor. Şerit elemanı eğriye keyfi P( x, y ) noktasında temas etmektedir. Burada,

9) Sx yd ve Sy xd sırası ile x ve y eksenlerine göre alanın statik momenti olarak adlandırılır.

5 74 STTİK ÇİZELGE (4.): Bazı geometrik şekillerin ağırlık merkezi ile alanları. GEOETRİ x y lan üçgen h bh 3 /4 daire 4 / daire 0 /4 elips 4a 4b ab 4 / elips 0 4b ab Parabol parçası a ( n + ) a ( n + 4) ah h ( 4n + ) n h ( n + ) ( ) ( ah n + ) Daire dilimi r sin 0

Benzer belgeler

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.

STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine