B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder."

Tunç Saylan
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa; y B x Bu alt bölgeleri temsilen bir tanesini ve onun içindeki noktası ele alınır. olsun.. Bu alt bölgenin alanı olsun. O zaman, toplamı ele alınır. Eğer bu bölgelere ayırma işine daha küçük bölgelere ayırarak devam edilse bile bu ayrımın nasıl yapılırsa yapılsın bu bölgelerin sayısının bir limiti varsa; bu limite nin B bölgesi üzerindeki 2 Katlı İntegrali denir. 1) Dikdörtgen Bölgesinde 2 Katlı İntegral Hesabı B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 1

2 Bu şekildeki çok küçük alan parçalarının toplam ifadesini şöyle yazabiliriz; Boyutları diferansiyel veya türeve göre yazılırsa, elde edilir. Buradan elde dilen iki katlı integral f fonksiyonunun B bölgesi üzerinden hesabını verir ve Şeklinde yazılır ve fonksiyonunun B bölgesindeki 2 Katlı İntegrali denir. Not: ise Sınırların seçildiği B bölgesinin alanını gösterir. 2

Buradan elde dilen iki katlı integral f fonksiyonunun B bölgesi üzerinden hesabını verir ve

3 Örnek: y x ( ) Örnek: { integralini B bölgesi üzerinden hesaplayınız. Çözüm: ( ) Bu sonuç fonksiyonunun ve dikdörtgenin sınırladığı hacmi ifade eder. 2) 2 Eğri Tarafından Sınırlanan B Bölgesi Üzerinde İntegral I integralinin hesabı B [ ] 3

4 Örnek: ve parabolleri arasında kalan alanı hesaplayınız. Çözüm: Öncelikle integrali alınacak bölgeyi çizerek integralin sınırlarını belirleyelim. 1.parabol 2.sinde konulursa; => Şeklinde parabollerin kesim noktaları (0,0) ve (1,1) olarak bulunur. Böylece integral alınacak bölge aşağıdaki gibi çizilir. Burada Sınırlar; Eğrilerin sınırladığı alanlarda değişkenlerden (1,1) birisi için sabit sınırlar belirlenirken diğeri için mutlaka değişken sınırlar belirlenmelidir. Sayısal sınırlı olan değişkenin integrali en son alınmalıdır. Buna göre; y nin üst sınırı den, alt sınırı den şeklinde değişken olursa, x in sınırları sayısal olmalıdır. Şöyleki; parabollerin kesim noktalarından; x in alt sınırı xalt=0, xüst=1 olmalıdır.. Buradan 2 katlı integrali şöyle yazabilir ve içerden dışa doğru (önce y sonra x e göre ) integralleri alabiliriz; ( ) ( ) 4

Burada Sınırlar; Eğrilerin sınırladığı alanlarda değişkenlerden (1,1) birisi için sabit sınırlar belirlenirken diğeri için mutlaka değişken sınırlar belirlenmelidir.

5 Eğer Bölgeyi sınırlayan Eğriler şöyle ise; Bölgeyi sınırlayan eğrilerin yönü nedeniyle x in sınırları y ye bağlı olarak değişken olmalıdır. Bu durumda y nin sınırları sayısal olmalıdır. Örnek: ve parabollerinin sınırladığı alanı bulunuz. Çözüm: Burada parabollerin(eğrilerin) durumu x in değişiminin dolaysıyla sınırlarının y ye bağlı hesabedilmesi, buradan da y nin sınırlarının sabit olarak bulunması gerekmektedir. Buna göre (2,4) x değişimi (y ye bağlı olmalı) y = 0 doğrusu x Parabollerinin ortak çözümünden => => =16 =>y= den Eğri + bölgede olduğundan eğrilerin üst kesim noktası Bölge üzerinden sınırları belirleyecek olursak; x in sınırları; x=2, y=4 alınmalıdır. =>dan => (x in artan=sağ kısmında olduğundan) ( x in alt=sol kısmında olduğundan) y nin sınırları;yalt=0 (x ekseni), yüst= 4 (parabollerin kesiştiği en üst noktadaki y nin değeri) ( ) ( ) 5

Çözüm: Burada parabollerin(eğrilerin) durumu x in değişiminin dolaysıyla sınırlarının y ye bağlı hesabedilmesi, buradan da y nin sınırlarının sabit olarak bulunması gerekmektedir.

6 Örnek:(uyg) integralini ve parabolleri tarafından sınırlanan B bölgesi üzerinden hesaplayınız. Çözüm: Burada parabollerin birlikte çiziminden x ve y nin sınırlarının kolaylıkla,,, olarak belirlenebilir. (Buradaki bölgeye göre, x in y ye bağlı y nin sabit sınırlı olarak belirlenmesi de mümkündür.) (1,1) ( ) ( ) Örnek:(uyg) integralini,, doğruları arasında kalan bölge üzerinden hesaplayınız. Çözüm: Çizimden de görüleceği gibi sınırlar y alt=0, şeklindedir. Böylece integral şöyle oluşur ve ( ) sonucu elde edilir. 6

(Buradaki bölgeye göre, x in y ye bağlı y nin sabit sınırlı olarak belirlenmesi de mümkündür.

7 Katlı İntegraller x ve y değişkenlerine ilave olarak z gibi 3.bir değişkene bağlı f=f(x,y,z) fonksiyonlarının integrallerine 3 katlı integraller adı verilir. 3 katlı integrallerde hem 3 eksenli çizimler hemde bu bölgelere göre sınırların elde edilmesi daha zor olacağı açıktır. Burada bazı tipik 3 katlı integral örnekleri vermekle yetinilecektir. Örnek: düzlemi ile x,y,z eksenlerinin pozitif tarafında kalan hacmi hesaplayınız. Çözüm: Çizim için düzlemin x, y, z eksenlerini kestiği noktalar belirlenmelidir. z z=6 düzlemden x x=3 B düzlemi y=2 y y nin sınırları için Düzlem fonksiyonunda ve için; x in sınırları için düzlem fonksiyonunda y=0, z=0 konulmalıdır; dan Burada da yine içten dışa doğru integral işlemleri yapılır., ( ) ( ) ( ) ( ) kontrol edelim. Ödev..zxy, yzx sıralamasına göre integrali alalım..sonuçlar ı kontrol edelim. 7

Örnek: düzlemi ile x,y,z eksenlerinin pozitif tarafında kalan hacmi hesaplayınız. Çözüm: Çizim için düzlemin x, y, z eksenlerini kestiği noktalar belirlenmelidir.

8 Örnek: pozitif düzlemleri ile sınırlanmak üzere düzlemleri ve paraboloidi arasında kalan hacmi bulunuz. Çözüm: Burada z nin sınırları zalt=0 z üst ün paraboloidinden, y nin sınırları yalt=0, yüst ün doğrusundan, xalt =0 x üst ün x = 2 den belirlendiği açıkça görülebilir. Böylece 3 katlı integral şöyle yazılır ve ( ) ( ) Sonucu elde edilir. Ödev yxz sıralamasına göre integrali hesabederek sonuçları karşılaştıralım.. Ödev..Herkes kendisi bir 2 katlı bir 3 katlı integral örneği bulup çözecek. 8

ün x = 2 den belirlendiği açıkça görülebilir. Böylece 3 katlı integral şöyle yazılır ve ( ) ( ) Sonucu elde edilir.

Benzer belgeler

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında