EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK

Transkript

1 EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK Amaç: 1 den n ye kadar olan tamsayı ağırlıkları, toplamları n olan en az sayıda ağırlığı kullanarak tartmak. Giriş: Bu araştırmanın temelini Ulusal Bilgisayar Olimpiyatı(UBO) nda çıkmış iki farklı soru oluşturmaktadır. Bu sorulara geçmeden önce, araştırmada karşılaşılan bazı ön bilgiler şöyle sıralanabilir: tabanında bir sayı nde çözümlenir. Burada ve. kümesi, m modülüne göre, kalan sınıflarının kümesini gösterir. Yani m ye bölündüğünde elde edilebilecek kalanların kümesini belirtir ve nde ifade edilir. Araştırmanın temeli olan sorular ise, şu şekildedir: Soru 1: Çift kollu bir terazinin sadece tek bir tarafında kullanılabilecek ve ağırlıkları 1 kg dan 30 kg a kadar tamsayılar olan cisimleri tartmakta kullanılabilecek N adet tamsayı ağırlık belirlemeniz istenmektedir. N en az kaç olacaktır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (1997-UBO (Ulusal Bilgisayar Olimpiyatı)) Çözüm: Herhangi bir pozitif tamsayı 2 nin kuvvetlerinin toplamı olarak yazılabileceği için 31 e kadar olan ağırlıklar için 1, 2, 4, 8, 16 kg lık ağırlıklar kullanılabilir. Dolayısıyla burada cevap 5 olarak bulunur. 1

2 Soru 2: 40 kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan 40 kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. Terazinin her iki kefesine de ağırlık koymanıza izin verilmektedir. Parçaların sayısı en az kaç olmalıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 (2009 UBO) Çözüm: İki kefeye de ağırlık konulduğu zaman, tartılacak cismin yanına konulan ağırlıklar diğer taraftaki toplam ağırlıktan çıkartıldığında cismin ağırlığı bulunmuş olur. Bilindiği üzere, te herhangi bir tamsayı 0, 1 veya 1 e denktir. O nedenle, burada 3 ün kuvvetleri kullanılabilir. Aşağıdaki tabloda 1 kg dan 40 kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkların elde edilişi görülmektedir: Yani, 40 kg ağırlığındaki bir taşı 1, 3, 9 ve 27 kg lık parçalara bölüp 1 den 40 kg a kadar olan bütün tamsayı ağırlıklar tartılabilir. Buradan da, parçaların sayısı en az 4 olarak elde edilmiş olur. 2

3 Bu çözümlerden hareketle, araştırma problemi iki ayrı problem olarak şu şekilde ifade edilebilir: Problem 1: n kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan n kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. Terazinin sadece bir kefesine ağırlık koymanıza izin verilmektedir. Parçaların sayısı en az kaç olmalıdır? Problem 2: n kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan n kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. Terazinin her iki kefesine de ağırlık koymanıza izin verilmektedir. Parçaların sayısı en az kaç olmalıdır? Yöntem: Araştırma problemlerinin çözümleri şu şekildedir: Problem 1: n kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan n kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. Terazinin sadece bir kefesine ağırlık koymanıza izin verilmektedir. Parçaların sayısı en az kaç olmalıdır? Çözüm: olsun. 1 den n ye kadar bütün tamsayılar 2 nin kuvvetlerinin toplamı olarak yazılabilir. Çünkü herhangi bir pozitif tamsayı 2 lik sayma sisteminde nde ifade edilir. Buradan da, en az k tane parça olması gerektiği ortaya çıkar ki bu parçaların ağırlıkları ndedir. Eğer ise, den büyük değerler şu şekilde tartılabilir: 3

4 Dolayısıyla, en az k+1 tane parça olması gerektiği ortaya çıkar ki bu parçaların ağırlıkları olarak elde edilir. Problem 2: n kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan n kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. Terazinin her iki kefesine de ağırlık koymanıza izin verilmektedir. Parçaların sayısı en az kaç olmalıdır? Çözüm: olsun. Herhangi bir pozitif tamsayı 3 lük sayma sisteminde şu şekilde ifade edilir: ise nde yazılabilir. ise istenen bir durum olmuş olur. Eğer ise nde yazılabilir. Eğer ise nde yazılarak işleme devam edilir. Bu şekilde 1 den n ye kadar bütün pozitif tamsayılar 3 ün kuvvetleriyle ifade edilebilir. Dolayısıyla, burada çözüm, gerek yukarıdaki açıklama gerekse örnek sorunun çözümünden hareketle şu şekilde geliştirilebilir: olduğundan en az k tane parça kullanılır ki, bu parçaların ağırlıkları olur. için çözüm geliştirmeden önce özel bir durum olarak n yerine 38 alınsın. Bu durumda 38= olur ki, 1 den 38 e kadar bütün tamsayı ağırlıklar şu şekilde tartılabilir: 4

5 Buradan da, durumu için şöyle bir çözüm elde edilebilir: Eğer ise, en az k+1 tane parça kullanılır ki bu parçaların ağırlıkları nde elde edilir. Bu sonuçlar bir teorem olarak şu şekilde ifade edilir: Teorem: n kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan n kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. (i) (ii) Terazinin sadece bir kefesine ağırlık konulabildiğinde parçaların sayısının Terazinin her iki kefesine de ağırlık konulabildiğinde parçaların sayısının 5

6 Sonuç: Terazinin sadece bir kefesine ağırlık konulduğunda en az sayıda ağırlık kullanılarak tartım için 2 nin kuvvetlerinden istifade edilirken; her iki kefeye de ağırlık koymaya müsaade edildiğinde ise, 3 ün kuvvetlerinden faydalanılır. Genel hatlarıyla sonuçlar şu şekildedir: 1 kg dan n kg a kadar olan tamsayı ağırlıkları, toplamları n olan en az sayıda ağırlık kullanılarak ve terazinin sadece bir kefesine ağırlık konulabilmesi şartıyla tartılmak istendiğinde şu sonuçlar elde edilmiştir: olduğunda, en az k tane parça olması gerektiği ortaya çıkar ki bu parçaların ağırlıkları ndedir. Eğer ise, en az k+1 tane parça olması gerektiği ortaya çıkar ki bu parçaların ağırlıkları olarak elde edilir. 1 kg dan n kg a kadar olan tamsayı ağırlıkları, toplamları n olan en az sayıda ağırlık kullanılarak ve terazinin her iki kefesine de ağırlık konulabilmesi şartıyla tartılmak istendiğinde ise, şu sonuçlar elde edilmiştir: olduğunda, en az k tane parça kullanılır ki, bu parçaların ağırlıkları olur. Eğer ise, en az k+1 tane parça kullanılır ki bu parçaların ağırlıkları nde elde edilir. 6

7 Bütün bu sonuçların birleşimiyle şu sonuca ulaşılır: n kg ağırlığındaki bir taşı parçalara bölmeniz isteniyor öyle ki bu parçaları kullanarak 1 kg dan n kg a kadar bütün tamsayı ağırlıkları tartabilesiniz. (i) (ii) Terazinin sadece bir kefesine ağırlık konulabildiğinde parçaların sayısının Terazinin her iki kefesine de ağırlık konulabildiğinde parçaların sayısının Kaynakça: 1. Özdemir, M. (2011), Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 1, Altın Nokta Yayınları, İzmir 2. Aysan, B. ve Cansu, F. K., (2011), TÜBİTAK Ulusal Bilgisayar Olimpiyatı Soru ve Çözümleri , Altın Nokta Yayınları, İzmir 7