K. K. LOJİSTİK KOMUTANLIĞI 3ncü, 4ncü, 5nci KADEME DEPOLARINDA KÜME ÖRTÜLEME YAKLAŞIMI İLE BİR İYİLEŞTİRME ÇALIŞMASI. Özkan BALİ Cevriye GENCER

Transkript

1 K. K. LOJİSTİK KOMUTANLIĞI 3ncü, 4ncü, 5nci KADEME DEPOLARINDA KÜME ÖRTÜLEME YAKLAŞIMI İLE BİR İYİLEŞTİRME ÇALIŞMASI Özkan BALİ Cevriye GENCER ÖZET Küme örtüleme problemleri 0-1 tam sayılı programlama modelinin özel bir hâlidir. Küme örtüleme problemleri oldukça fazla uygulama alanı bulmaktadır. Çalışma, Kara Kuvvetleri Lojistik Komutanlığında yapılmıştır. Amaç, 3ncü, 4ncü ve 5nci kademe yedek parça depoları arasındaki toplam mesafeyi minimize etmektir. Bu arada, depolar arasındaki hiyerarşik yapı bozulmamıştır. Üç kademede iyileştirme yapılmaya çalışılmış ve mevcut durum ile sonuçlar karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Küme Örtüleme, Küme Bölünme, Küme Paketleme, Tam Sayılı Programlama. 1. GİRİŞ Tam sayılı programlama model tiplerinden biri küme örtüleme problemleridir. Küme örtüleme, tüm kısıtların ( ) eşitsizliği olan, tüm sağ taraf değerlerinin 1 olduğu ve kat sayı matrisinin 0-1 matrisi olan saf 0-1 tam sayılı programdır (MURTY, 1983; Williams, 1993). Genel olarak küme örtüleme problemlerinin formu aşağıdaki biçimde ifade edilebilir: Min z N = j1 c j x j Kısıtlar Ax b (1) x j = 0 veya 1 ( j=1,..., N) (2) Burada A, (m x n) şeklinde kısıt kat sayılarından oluşan bir 0-1 matris; b ise değeri 1 olan bir sağ taraf vektörüdür. Amaç fonksiyonu her zaman c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n yi minimum yapacak şekildedir. Burada tüm Müh.Ütgm.K.H.O. Dekanlığı, Sis. Ynt. Bil. Böl., bozkan@kho.edu.tr Doç. Dr., Öğretim Üyesi, Gazi Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, cevriye@mmf.gazi.edu.tr 1

2 j = 1,2,..,n ler için c j > 0 dır. Çoğunlukla c j = 1 dir. Bununla birlikte, eğer c j, j yerindeki tesis maliyetini gösteriyorsa, bu durumda bu kat sayıların 1 den başka değerler alabileceği de varsayılır. Küme örtülemenin matematiksel tanımı daha kısa olarak şöyle de ifade edilebilir: Minimum z= cx Ax b, x= (0,1) Yukarıdaki matematiksel modelde kısıtların işaretine ve sağ taraf değerine bağlı olarak özel problem tipleri ortaya çıkmaktadır. Eğer kısıtlardaki eşitsizlik, eşitlik hâline getirilirse ve sağ taraf değeri b 1 olarak kalırsa, bu tip problemlere küme bölünme problemi denir. Eğer kısıtların hepsi ( ) hâline getirilirse ve sağ taraf değeri b 1 olarak kalırsa, küme paketleme problemi denir. Gerçek hayatta birçok uygulamayı paketleme, bölünme ve örtüleme yapısında görmek mümkündür. Dağıtım ve rotalama problemleri, plânlama problemleri ve yerleştirme problemleri sık sık küme örtüleme yapısında karşımıza çıkmaktadır. Bu yapı sayesinde yerleşim, araç ya da insanlar tarafından her bir müşterinin ihtiyacını karşılayabiliriz. Diğer uygulamalar ise elektrik devresi teorisi, VLSI (Very-Large-Scale Integration Çok Geniş Ölçekli Entegre Devreler ) devrelerinin test edilmesi ve (montaj) hat dengelemedir. Benzer bir yapı olan küme paketleme de özellikle plânlama problemlerinde herhangi bir çatışma yaratmadan olası talebi karşılamada yardımcı olur. Küme bölünmede ise bir müşterinin talebini bir servisçi karşılar. Bu 3 yapı genellikle şu 3 alanda kendini göstermiştir: bir hava yolu şirketinin her uçuş seferine kesinlikle bir kokpit mürettebatı plânlanması, bölgelerin oy verme bölgelerine bölünmesi ve her vatandaşın bir seçim bölgesine atanması. Son yıllarda küme örtüleme ve küme bölünme problemleri, alışılmamış sayıda değişkene sahip zor problemleri çözebilmesi için yeniden formüle edilmiştir. Çünkü, küçük problem örneklerine rağmen problem belirgin bir şekilde çözülemediğinden, Gilmore ve Gomory (1963), kesme stok probleminde ortak bir çalışmada sütun jenerasyonu olarak bilinen teknikler kullanmışlardır. Küme örtüleme, küme paketleme ve küme bölünme problemleri için optimal ya da optimale yakın çözümler araştırılmıştır. En önemli çözüm yaklaşımı, problemin doğrusal programlamaya gevşetilmesi ile başlar. Eğer A matrisi, tam (Perfect) (Conforti vb., 2001) 0-1 matrisi ise, o zaman hem küme örtüleme hem de küme bölünme problemleri DP gevşetilmesiyle çözülebilir ve amaç fonksiyonunun tüm alternatifleri için 0-1 optimal çözüm bulunabilir. Ayrıca eğer A matrisi ideal (Ideal) 2

3 matris (Conforti vb., 2001) ise o zaman aynı şekilde gerçek elde edilebilir. Aslında, pratikte tam veya ideal matrislerin olduğu problemlerin ortaya çıkma ihtimali düşüktür. Bununla birlikte, küçük boyutlu problemlerde optimal çözümleri oldukça hızlı ve kolayca bulmasına rağmen, büyük boyutlu problemlerde zorluklarla karşılaşılmaktadır. Ancak alt problem boyutu arttıkça DP çözümün gereksizliği artmış ve tabiî ki dallanma ağacının uzunluğu artmıştır. Bu büyük boyuttaki problemler için tahmin teknikleri, tekrar formüle etme ve kesin prosedürler, problemin temel yapısını başarılı bir şekilde temsil edecek formda geliştirilmiştir. Örtüleme, bölünme ve paketleme yaklaşımlarının doğal yapısı, hem gereksiz satır ve sütunların hem de optimal çözümde yer almayan değişkenlerin çıkarılmasını sağlar. Ayrıca, kısıtlar arasındaki tutarsızlıkların kontrolünde de rol oynar. Bu işlemlere, eliminasyon işlemleri denilmektedir. Eliminasyon işlemlerinin şartları kesin olarak tanımlanmaktadır; ancak, çok büyük ölçekli problemlerde uygulanamamaktadır. Küme örtüleme ve bölünme problemleri için sezgisel yaklaşımlar mevcuttur. Genel tam sayılı programlama için kullanılan hemen hemen her sezgisel yaklaşım küme örtüleme, paketleme ve bölünme problemlerine de uygulanabilmektedir. Yer değiştirme yaklaşımı, amaç fonksiyonu değerini değiştiren bir ya da daha fazla sütunun değiş tokuşu ile yapılan bir yaklaşımdır. Bunun yanı sıra, genetik algoritma, olasılıksal araştırma ve sinir ağları gibi daha yeni sezgisel metotlar geliştirilmiştir. Maalesef şimdiye kadar bu metotları belirli koşullar altında göreceli olarak birbirleriyle karşılaştırma ve test etme olanağı olmamıştır. Balas ve Carrera (1996) küme örtüleme problemlerini çözmek için dal ve sınır algoritması ile desteklenmiş Lagrange gevşetmesi kullanarak sezgisel bir yaklaşım geliştirmişlerdir. Küme örtüleme, paketleme ve bölünme problemlerinin optimal çözüm yaklaşımları da vardır. Bu yaklaşımlar, örnek problemin değerini alt ve üst sınırların her ikisini de sağlayan algoritmalara ihtiyaç duyarlar. Buna rağmen, küme örtüleme ve paketleme problemleri sezgisel araştırmalar için daha kolay tipteki problemlerdir. Çünkü; bu tip problemler, genellikle uygun çözümler bulmak için kolaydır. Küme bölünme problemleri ise kendine has belirli algoritmalara sahip olabilmiştir. Çünkü, her bir satır sadece bir kez örtülenmek zorundadır. Genellikle, optimal çözüm değerinin alt sınırı optimizasyon probleminin doğrusal gevşetilmesi ile elde edilebilir ya da bir sezgisel tam sayı sonuç sınırları içeren 3

4 kısıtların ilâvesi ile elde edilen alt problemlerin çözümlerini ve kendi uygun çözümlerini içerir. Diğer optimizasyon problemlerinin değeri, orijinal probleme ait gerçek amaç fonksiyonu değerinden daha az ya da eşittir. Böylece, gerçek problemi daha geniş bir uygun alana yayarak kolay bir şekilde çözme imkânı verir. Örtüleme, bölünme ve paketleme tipi problemler için iki standart gevşetme vardır: Lagrange gevşetmesi (Uygun küme genellikle 0-1 olabilirliğini sürdürme ihtiyacında kullanılır.) ve doğrusal programlama gevşetmesi (Belirli kısıtlar gevşetilir, amaç fonksiyonu orijinal fonksiyon olarak kalır.). Küme örtüleme, bölünme ve paketleme problemlerini optimal çözebilmek için alternatif bir yaklaşım olarak dal ve sınır algoritması görülebilir. Bu metot, probleme doğrusal programlama gevşetmesi çözümü ile başlar ve sonra kısıt kümesine yeni doğrusal eşitsizlikler ekleyerek formülâsyon sıkılaştırılır. 2. UYGULAMA Uygulama Kara Kuvvetleri Lojistik Komutanlığında yapılmıştır. Lojistik Komutanlığı, İkinci Dünya Savaşı uygulama sonuçlarına göre tespit ve teşkil edilen ABD nin lojistik teşkilâtının örnek alınarak millî bünyemize adapte edilmesiyle oluşmuştur. Ancak, zamanla yeni düzenlemeler yapılmış olmasına rağmen yeterli olmaması nedeniyle, Kara Kuvvetleri, lojistik sisteminin geliştirilmesine ilişkin çalışmalar başlatılarak, hizmet ve faaliyetlerin daha rasyonel ve etkin yürütülmesini sağlamak amacıyla, Kara Kuvvetleri Karargâhı ile ordu ve bağımsız kolordular arasında, icracı bir Lojistik Komutanlık teşkil edilmiştir. Bugünkü K.K. Loj.K.lığı nın kurulmasıyla birlikte K.K. Lojistik Başkanlığına bağlı muhtelif büyüklükteki lojistik birlikler ve kurumun faaliyetlerinin plânlanması, koordinasyonu, sevk ve idaresi, denetim ve kontrolü basitleştirilmiş; her sınıf ordu malının otomasyona dayalı envanteri sağlanmış; maddî ihtiyaçlar yönetim sistemi etkin bir hâle getirilmiş; lojistik seferberlik faaliyetleri otomasyona dayalı ve merkezî olarak plânlanarak sevk ve idareye başlanmış; barışta ve seferde lojistik destek birliklerinin sevk ve idaresi, eğitimi, emniyet ve disiplinini sağlamak için gerekli plânlamaları yapmak, zafiyetlerini tespit etmek ve giderici tedbirleri almak ve teklif etmek konularına işlerlik kazandırılmış; K.K. Karargâhı icradan soyutlanarak, etkin bir şekilde fikir ve teklif üreterek icraya yön verecek çalışmalar yapan bir duruma sokulmuştur. Çalışmada, Kara Kuvvetleri Lojistik Komutanlığına bağlı 3ncü, 4ncü ve 5nci kademe yedek parça depoları arasındaki mesafeler dikkate alınarak, mevcut hiyerarşik yapı içindeki depolar arası ilişkilerin tekrar düzenlenmesine yönelik bir 4

5 çalışma yapılmıştır. Buradaki amaç, kademeler arası toplam mesafeyi minimize etmektir. Çalışmada yer alan 3ncü, 4ncü ve 5nci kademeler arasında hiyerarşik bir yapı vardır. Eğer bir yedek parça 3ncü kademe depoda bulunmuyorsa bir üst kademe olan 4ncü kademe depodan istekte bulunabilir; 5nci kademeden istekte bulunamaz. Aynı durum 4ncü ve 5nci kademeler arasında da mevcuttur. Eğer 4ncü kademe en üst kademe olan 5nci kademeden yedek parça talebinde bulunur ve 5nci kademede bu yedek parça bulunmazsa, ya dışarıdan satın alma yoluna gidilir ya da 5nci kademe fabrikalardan bu yedek parçaların üretilmesi talebinde bulunulur. Kesinlikle bir alt kademe olan 3ncü kademeye gidilmez. 5nci kademe depolar ordu seviyesinde, 4ncü kademe depolar kolordu seviyesinde ve 3ncü kademe depolar ise tugay seviyesindedir. Bu hiyerarşik yapı Şekil 1 de verilmektedir: Şekil 1: Depolar Arası Hiyerarşik Yapı Uygulamada sadece yedek parça ve onların depolardan temini ele alınmıştır. Örnek olarak, en çok ihtiyaç duyulan 20 çeşit yedek parça aşağıdaki Tablo 1 de verilmiştir. Çalışmanın uygulaması 3 aşamadan oluşmaktadır. Birinci aşamada, hiyerarşik yapı dikkate alınarak 3ncü, 4ncü ve 5nci kademe depolar (3-4) ve (4-5) şeklinde çiftli çözülmüş olup 3ncü, 4ncü, 5nci kademeler arası toplam mesafeler bulunmuştur. İkinci aşamada, 3-4 ve 5nci kademeler arası toplam mesafe (üç kademe birden dikkate alınarak) hesaplanmıştır. Üçüncü aşama ise savaş veya kriz dönemi düşünülerek hiyerarşik yapı dikkate alınmadan 3ncü ve 5nci kademeler arası toplam mesafe bulunmuştur. 5

6 S.NO CİNSİ 1 M-543 A2 TURBOŞARJ MİLİ 2 M-62 SENKROMEÇ 3 M-62 GRUP MİLİ MAZOT POMPASI OTOMATİĞİ 5 F-262 YAĞ POMPASI 6 F-262 MARŞ DİŞLİSİ 7 T-214 BASKI PLEYTİ 8 M-125 KARBÜRATÖR 9 F-300 KRANK DİŞLİSİ 10 M-62 KOMPRESÖR KRANKI 11 M-62 YAĞ RADYATÖRÜ 12 CONTA 13 M-35 A1 POMPA ELEMANI 14 M-123 A1C HAVA KOMPRESÖRÜ 15 M-35 A1 SELENOİT 16 MAN MAZ.POMP.PÜSKÜRT. SÜRE AYARLAYICISI MAG.ISITMA BUJİSİ 18 MAN MAZOT OTOMATİĞİ 19 M-35 A1 SUPAP İTECEĞİ 20 M-62 KRANK MİLİ 2.1. Model Yaklaşımları Tablo 1: En Çok İhtiyaç Duyulan Yedek Parçalar Kademeler arası ilişkiyi daha iyi bir hâle getirmek için küme örtüleme yaklaşımından faydalanılmıştır. Ancak küme örtüleme formülâsyonun kullanıldığı uygulama alanlarına bakıldığında genelde aynı seviye ya da türde olan birimler için kullanıldığı görülmektedir. Başka bir ifade ile, küme örtüleme yaklaşımı ile çözülen problemler yönlenmemiş oklardan (dallar) oluşan şebekelerdir. Oysaki bu çalışmada kademeler arası hiyerarşik bir yapıdan bahsedildiğinden, yönlenmiş oklar söz konusudur. Bunu Şekil 2 de görmek mümkündür. Bu durumda ise küme örtüleme yaklaşımı dışında başka yaklaşımlarla da bu problemin çözülebileceği akla gelmektedir. 6

7 Şekil 2. Kademeler Arası İlişki Küme Bölünme Yaklaşımı Şekil 2: Kademeler Arası İlişki Birden fazla diğer yaklaşımlardan söz edilebilir. Ancak çalışmada, küme örtüleme haricinde küme bölünme ve ya/ya da kısıtları ile oluşturulmuş model üzerinde durulacaktır. Yaklaşımların karşılaştırılması, sadece 4 ve 5nci kademeler arasındaki ilişkinin tespiti için oluşturulan model üzerinde gösterilecek, uygulamada yapılan diğer 2 aşamada karşılaştırılmayacaktır. Küme bölünme yaklaşımının genel formülâsyonu aşağıdaki gibidir: Min z = cx Ax = 1 x j = 0 veya 1 Burada c ij, i- j arasındaki mesafeleri; x ij, karar değişkeni ise i ile j arasında ilişki olup olmadığını göstermektedir. Buna göre uygulamaya yönelik matematiksel model aşağıdadır: 7

8 Min z = 2 i1 12 j01 c ij x ij 2 i1 x ij =1 j=01,02,...,12 x ij = 0 veya 1 8 i=1,2; j=01,02,...,12 Burada, i 5nci kademe depoları, j 4ncü kademe depoları göstermektedir. Dolayısıyla c ij, 5nci kademe depo i ile 4ncü kademe depo j arasındaki mesafeyi göstermektedir. x ij karar değişkeni ise i nin aldığı değere göre 4ncü kademe deponun ihtiyacının hangi 5nci kademe depodan karşılandığını belirtmektedir. Yani j. 4ncü kademe deponun ihtiyacı, i=1 ise birinci 5nci kademe depodan; i=2 ise ikinci 5nci kademe depodan karşılanmaktadır anlamındadır. Model Lindo Paket programı ile çözüldüğünde 4 ve 5nci kademe depolar arasındaki mesafe 3950 kara mili olarak bulunmaktadır. Mevcut duruma göre ise 4 ve 5nci kademeler arası mesafe 4302,8 kara milidir Ya/Ya da Kısıtlarıyla Oluşturulmuş Model Yaklaşımı İki kısıt aşağıdaki şekilde verilmiş olsun (Winston 1994): f(x 1, x 2,.., x n ) 0 (1) g(x 1, x 2,.., x n ) 0 (2) (1) ve (2) numaralı kısıtlardan en az bir tanesinin sağlanması "ya/ya da" şeklinde kısıtlar olarak adlandırılır. Formülâsyona (3) ve (4) de ifade edilen şekilde iki kısıtın ilâve edilmesi (1) ve (2) numaralı kısıtların en azından birinin sağlanmasını temin eder. f(x 1, x 2,.., x n ) My (3) g(x 1, x 2,.., x n ) M(1 y) (4) (3) ve (4) numaralı kısıtlarda; y 0 1 değişkeni, M ise modeldeki diğer kısıtlara göre elde edilen tüm x 1, x 2,.., x n değişkenlerinin değerini f(x 1, x 2,.., x n ) M ve g(x 1, x 2,.., x n ) M kısıtlarında sağlayacak kadar büyük bir sayıyı temsil etmektedir. (3) ve (4) numaralı kısıtları beraber değerlendirildiğinde, y=0 ve y=1 değerine bağlı olarak, (1) ve (2) numaralı kısıtlardan sadece biri sağlanabilir. Eğer y=0 olursa, (3) ve (4) numaralı kısıtlar f 0 ve g M olur. Bu durumda, (1) numaralı

9 kısıt (ve muhtemelen (2) numaralı kısıt) sağlanır. Benzer şekilde eğer y=1 olursa, (3) ve (4) numaralı kısıtlar f M ve g 0 olur ve bu durumda (2) numaralı kısıt [ve muhtemelen (1) numaralı kısıt] sağlanır. Ya/ya da tipi kısıtları kullanılarak yine 4 ve 5. kademe depolar arasında kurulan model aşağıdadır: Min z = 2 i1 12 j01 x 1j y j 0 x 2j + y j 1 c ij x ij x ij = 0 veya 1 y j = 0 veya 1 j=01,02,...,12 i=1,2 j=01,02,...,12 Burada daha önce belirtildiği gibi c ij (i-j) arası mesafeyi; x ij karar değişkeni depolar arası ilişkiyi göstermektedir. Modelin açık yazılımında örneğin; (i-j) x 101 y 01 >= 0 x y 01 >= 1 kısıtı ele alınsın. y 01 = 0-1 değerini almasına göre x 101 ya da x 201 den biri geçerli olacaktır. Başka bir deyişle, eğer y 01 = 1 ise x 101 (birinci 5. kademe), y 01 = 0 ise x 201 (ikinci 5. kademe) geçerli olacaktır. Modelin çözümü incelendiğinde küme bölünme yaklaşımı ile elde edilen çözümün aynısı olduğu görülmektedir (sonuç değeri 3950 kara mili). Dolayısıyla, bu yaklaşıma göre oluşan yeni durumdaki kademeler arası ilişkiler ile küme bölünme yaklaşımında oluşan yeni durumun tamamen aynı olduğu görülmektedir Küme Örtüleme Yaklaşımı Küme örtüleme yaklaşımının genel formülâsyonu aşağıdaki gibidir: Min z N = j1 c j x j Ax B x j = 0 veya 1 ( j=1,..., N) 9

10 Küme örtüleme formülasyonun küme bölünme yaklaşımından tek farkı kısıtlarının ( ) şeklinde olmasıdır. Böylece, ilgili birim için oluşturulan her kısıtta en az bir değişken 1 değeri alacak ve örtüleme gerçekleşecektir. Buna göre 4 ve 5nci kademe depolar arası oluşturulan model aşağıdadır: Min z = 2 i1 12 j01 c ij x ij x 1j + x 2j 1 x ij = 0 veya 1 j=01,02,...,12 i=1,2; j=01,02,...,12 Modelin açık yazılımına göre, birinci 4ncü kademeyle ilgili kısıtı incelendiğinde: x x 201 >= 1 Buna göre; eğer x 101 =1 ise birinci 4ncü kademe depoyu birinci 5nci kademe depo besleyecektir, eğer x 201 =1 ise birinci 4ncü kademeyi ikinci 5nci kademe depo besleyecektir. Küme örtüleme yaklaşımıyla oluşturulmuş modelin lindo paket programı çözümü incelendiğinde daha önce belirtilen iki yaklaşımla tamamen aynı sonuçların bulunduğu görülmektedir (3950 kara mili). Sonuç olarak, bu 3 yaklaşımdan birinin kullanılması hâlinde neticeye ulaşmak mümkün olacaktır denilebilir. Ancak çalışmanın konusu olması itibarıyla, uygulamanın diğer aşamalarında küme örtüleme yaklaşımı kullanılacaktır Mevcut Durumun İyileştirilmesi Çalışmada 3, 4 ve 5nci kademe depolar için bir iyileştirme yapılacağı ve bu kademeler arasındaki ilişkiyi tekrar düzenleyebilmek için farklı bakış açılarının oluşturulacağı daha önce belirtilmişti. Bu bakış açılarına göre, kademeler arasında hiyerarşik bir yapı bulunduğundan 3ncü ve 4ncü kademe arasındaki ilişki ile 4ncü ve 5nci kademe arasındaki ilişki ayrı ayrı incelenebilir; 3, 4 ve 5nci kademeler arasındaki ilişki aynı anda dikkate alınabilir veya kriz veya savaş dönemi düşünülerek sadece 3ncü ve 5nci kademeler arası ilişki üzerinde 10

11 durulabilir. Çalışmada, bu 3 durumun ayrı ayrı iyileştirme modelleri kurularak mevcut durum ile karşılaştırmalar yapılmıştır (3ncü, 4ncü) ve (4ncü, 5nci) Kademe Depolar Arası İyileştirme 3ncü ve 4ncü kademeler arası ve 4ncü ve 5nci kademeler arası ilişki ayrı ayrı incelenmiştir. 4ncü ve 5nci kademeler arasındaki iyileştirme için kurulan model de kapalı olarak verilmiştir. Mevcut durumda 4ncü ve 5nci kademeler arası toplam mesafe 4302,8 kara milidir. Modelin çözümünden ortaya çıkan yeni duruma göre ise 3950 kara milidir. Görüldüğü gibi % 8,2 lik bir iyileşme sağlanmıştır. 3ncü ve 4ncü kademeler arası ilişkinin küme örtüleme yaklaşımına göre kapalı modeli aşağıdadır: 70 Min z = i01 12 j01 12 j01 c ij x ij x ij 1 i=01,02,...,70 x ij = 0 veya 1 i=01,02,...,70; j=01,02,...,12 Burada c ij, i. 3ncü kademe ile j. 4ncü kademe arası mesafeleri; x ij karar değişkeni i. 3. kademe ile j. 4ncü kademe arası ilişkiyi göstermektedir. Açık model incelendiğinde (70x12) 840 adet karar değişkeni ve 70 adet kısıt olduğu ve bu kısıtların her bir 3ncü kademe deponun en az bir 4ncü kademe depo tarafından örtülmesi gerektiğini ifade edecek şekilde modellendiği görülebilir. Örnek olarak, birinci sıradaki 3ncü kademe depo için oluşturulan kısıt aşağıdadır. (x x x x x x x x x x x x 0112 >= 1) Kısıta göre, bu 3ncü kademe depoya en az bir 4ncü kademe depo, amaç fonksiyonu kat sayısı dikkate alınarak atanacaktır. Mevcut durum incelendiğinde, sadece 3 ve 4ncü kademe depolar arası toplam uzaklığın 8634,3 kara mili olduğu görülmektedir. Modelin çözümünden elde edilen yeni duruma göre ise toplam mesafe 6260,7 kara mili olarak bulunmuştur. Sonuçta, mesafeden % 27,5 kazanmak mümkün olabilecektir. 11

12 Kurulan bu 2 model (4ncü, 5nci ve 3ncü,4ncü kademeler için) sonucunda elde edilen kademeler arası ilişkiler toplu bir şekilde incelendiğinde, başka bir deyişle tüm kademeler (3ncü, 4ncü ve 5nci kademeler) arası ilişki dikkate alındığında toplam mesafe 30598,5 kara milidir. Mevcut durumda ise (3ncü, 4ncü ve 5nci) kademeler arası mesafe 33306,5 kara milidir. Buna göre, toplam mesafeden % 8,13 azalma sağlanmıştır (3ncü, 4ncü ve 5nci) Kademeler Arası İlişki Bu durumda, hiyerarşik düzendeki tüm kademeler aynı anda dikkate alınacaktır. Böylece 3ncü, 4ncü ve 5nci kademeler arası toplam mesafeyi en aza indirmek amaçlanmaktadır. Bu durumla ilgili kapalı model aşağıdadır: Min z = 70 i01 12 j01 12 j01 02 j01 02 c i,2j-2+k x ijk k 01 x ijk 1 x ijk = 0 veya 1 i=01,02,...,70 i=01,02,...,70; j=01,02,...,12; k=01,02 Modelde kullanılan c i,2j-2+k, 3ncü, 4ncü ve 5nci kademe depolar arası mesafeleri gösterir. Açık model ve çözümü incelendiğinde (70x12x2) 1680 karar değişkeni olduğu görülmektedir. Burada amaç 3ncü kademe depoların örtülenmesi olduğundan modelde toplam 70 kısıt vardır. Örneğin, modeldeki birinci kısıt incelensin: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x >= 1 Bu kısıt en az bir 4 ve 5nci kademenin, birinci 3ncü kademeyi örtülemesini sağlayacaktır. 12

13 Mevcut duruma göre 3ncü, 4ncü ve 5nci kademeler arası toplam mesafe 33306,5 kara milidir. Modelin çözümünden elde edilen sonuca göre yeni durumda toplam mesafe 28281,6 kara milidir. Bu değerler dikkate alındığında % 15,08 lik bir fayda sağlamak mümkündür (3ncü ve 5nci) Kademe Depolar Arası İlişki Gerçekte barış zamanı hiyerarşik yapının bozularak 3 ten direkt 5nci kademeye gidilmesi mümkün değildir. Ancak kriz ve savaş zamanlarında acil durumlar göz önüne alınarak böyle bir ilişkinin direkt olarak sağlanabilmesi olasılığı yüksektir. Bu sebeple, sadece 3ncü ve 5nci kademe depolar arası direkt ilişki için bir model kurulabilir. 3ncü ve 5nci kademe depolar arası direkt ilişki için kurulan modelin kapalı yazımı aşağıdadır: 70 Min z =. i01 02 j01 02 j01 c ij x ij x ij 1 i=01,02,...,70 x ij = 0 veya 1 İ=01,02,...,70; j=01,02 Burada c ij, i. 3ncü kademe depo ile j. 5nci kademe depo arası mesafeyi; x ij karar değişkeni ise i. 3nci kademe depo ile j. 5nci kademe depo arası ilişkiyi göstermektedir. Açık model incelendiğinde, modelde (70x2) 140 adet karar değişkeni ve 70 adet kısıt olduğu görülmektedir. Küme örtüleme yaklaşımına göre bu modelde 3ncü kademe depoların örtülenmesi esas alınmıştır. Dolayısıyla kısıtlar 3ncü kademe depolar içindir. Başka bir deyişle, bir kısıt, ilgili 3ncü kademe deponun birinci 5nci kademe depo tarafından mı yoksa ikinci 5nci kademe depo tarafından mı besleneceği sorusuna cevap aranmasına yardımcı olacaktır. Aslında, mevcut durumda 3 ve 5nci kademe depolar arası direkt bir ilişki yoktur. Ancak özel durumlarda olasıdır. Eğer mevcut durumda hiyerarşik yapıyı göz ardı ederek, başka bir deyişle 4ncü kademe depoların aradan kalktığını düşünerek 3 13

14 ve 5nci kademe depolar arası toplam mesafe bulunduğunda kara mili çıkmaktadır. Yeni durum için modelin çözümünden 3 ve 5nci kademeler arası toplam mesafe kara mili bulunmaktadır. Buna göre, toplam mesafeden % 9,88 lik kazanç sağlanabilir. 3. SONUÇ VE ÖNERİLER 3.1. Sonuçlar Küme örtülemede, genelde 2 küme vardır ve bir küme diğerini örtülemeye çalışır. Bu basit anlayış gerçek hayatta bir çok uygulama alanı bulmuştur. Çalışmadaki uygulama ise Kara Kuvvetleri Lojistik Komutanlığında yapılmıştır. Çalışmada, 3ncü, 4ncü ve 5nci kademe depolar arası mesafelerin minimize edilmesi amaçlanmıştır. Bunun için kademeler arası mevcut ilişkiler üzerinde iyileştirme yapılmıştır. İyileştirmenin küme örtüleme yaklaşımı haricinde başka yaklaşımlarla da çözülebildiği görülmüştür. Bunlardan ikisi, küme bölünme ve ya/ya da kısıtlarıyla oluşturulmuş model yaklaşımı üzerinde durulmuştur. Bu 3 yaklaşımın problem için aynı sonuçları verdiği gösterilmiştir. Yaklaşımların aynı sonuçlar verdiği sadece 4ncü ve 5nci kademe depolar arasındaki iyileştirmede gösterilmekle birlikte, uygulamada sırasıyla aşağıdaki iyileştirmeler yapılmıştır. (3ncü-4ncü) ve (4ncü-5nci) kademe depolar arası iyileştirme, (3ncü-4ncü ve 5nci) kademeler arası iyileştirme, Savaş veya kriz dönemi için (3ncü ve 5nci) kademe depolar arası iyileştirmedir. Yukarıdaki üç iyileştirmede küme örtüleme yaklaşımı kullanılmıştır. İyileştirmek için kurulan modeller Lindo paket programı yardımıyla çözülmüştür. Tüm iyileştirmeler ve bu iyileştirmelerden sağlanan faydalar aşağıda Tablo 2 de özet hâlinde verilmiştir. Çalışmada yapılan bu üç iyileştirme, mesafelerden kazanç sağlama imkânı vermektedir. Lojistik açıdan, mesafelerden elde edilen kazanç doğru orantılı olarak benzin masrafları gibi maliyetlerden ve zamandan da kazanç sağlanması anlamına gelmektedir. 14

15 (3.-4.) VE (4.-5.) KADEMELER ARASI İYİLEŞTİRME (3.-4. VE 5.) KADEMELER ARASI İYİLEŞTİRME 3. VE 5. KADEMELER ARASI İYİLEŞTİRME MEVCUT DURUMDA TOPLAM MESAFE (kara mili) İYİLEŞTİRİLMİŞ TOPLAM MESAFE (kara mili) YÜZDE FAYDA 33306, ,5 % 8, , ,6 % 15, % 9,88 Tablo 2. Özet İyileştirme Tablosu 3.2. Öneriler Küme örtüleme yaklaşımı, gerçek dünya problemlerinde birçok uygulama alanı bulabilmiştir. Ancak, küme örtüleme yaklaşımının uygulandığı alanlarda, uygulamada örtülenmek istenen birimler genelde aynı cinsten ve birbirine eş değerdir. Örneğin, acil durumlar için ambülâns merkezlerinin bir şehre yerleştirilmesi probleminde, belli bir kriter dikkate alınarak (sürüş süresinin 15 dakika olması gibi) yerleştirme yapılmaya çalışılabilir. Ama bilindiği üzere bir şehir merkezinde, şehrin bazı bölgeleri diğerlerine nazaran daha fazla trafik ya da nüfus yoğunluğuna sahiptir. Dolayısıyla, her 15 dakika sürüş süresi olan yere hizmet verilebilir düşüncesi vardır. Oysaki, bu, çoğu zaman trafik sıkışıklıklarından dolayı böyle olmayabilir. Bu sebeple, burada bir parametrenin probleme katılmasının daha sağlıklı bir sonuç alınmasını sağlayacağı düşünülebilir. Bu parametreye yoğunluk denilebilir ve amaç fonksiyonunda, c (maliyet, mesafe...) parametresi yanına bir d (yoğunluk) parametresi ilâve edilebilir. Burada yoğunluk parametresinin tespiti için son birkaç yıldır çok büyük önem kazanan bilişim sistemlerinden faydalanmak gerekecektir. Trafik, ticaret, nüfus yoğunluğu gibi konular coğrafî bilgi sistemlerinden elde edilebilir. Bu tür yoğunlukla ilgili verilerin sürekli değiştiği ortadadır. Dolayısıyla sık yenilenen 15

16 coğrafî bilgi sistemleri ile küme örtüleme yaklaşımı kullanılarak modelleme yapmak mümkün olabilecektir (Taştan 1999). ABSTRACT Set covering problems is a special form of 0-1 integer programming model. Since set covering problems represent many of the real world problems, they find many application areas. The study is done in Land Forces Logistics Command. The objective is to minimize total distance among the 3rd, 4th and 5th level spare part warehouses. The hierarchic structure among the warehouses presented is. The improvements are done on all the three levels and the result is compared with the existing situation. Key Words: Set Covering, Set Partitioning, Set Packing, Integer Programming. Kaynaklar BALAS, E. and CARRERA, M.C., A Dynamic Subgradient-based Branch-and- Bound Procedure for Set Covering, Operation Research, s. 44, 87,5-890, CONFORTI, M.,CORNEUJOLS, G., KAPOAR, A., VUSKOVIC, K., Perfect, Ideal and Balanced Matrices, European Journal of Operational Research, 133, , GILMORE, P.C. and GOMORY, R.E., A Linear Programming Approach To The Cutting Stock Problem, Operation Research, 11, s , LINDO Systems Inc.: Lingo User Guide, Chicago, s. 380, MURTY, K.G., Operations Research/ Deterministic Optimization Models, New Jersey, s. 307, SOLAR, M., PARADA, V.,UMUTIA, R., A Parallel Genetic Algorithm to Solve The set Covering Problem, Computers and Operations Research, 29, , TAŞTAN, H., Coğrafi Bilgi Sistemelerinde Veri Kalitesi Doktora Tezi, Jeo. Ve Fotog. Müh., İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul, WILLIAMS, H.P., Model Building in Mathematical Programming, 3 rd Ed., John Wiley and Sons Ltd., New York,

17 WINSTON, W.L., Operations Research: Applications and Algorithms, Third Ed., International Thompson Publishing, California,