denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy"

Süleyman Bilgi
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada y buluur. Dolayısıyla k Z olmak üere π k y deklem tüm kökler y ep olarak buluur. π k Böylece verle deklem kökler ep, k,,,,,. olarak hesaplaır. Alteratf olarak çarpalara ayırma yötem le; veya 8 olarak buluur. Burada ( ) 8 ( )( ) olduğu gö öüe alıırsa 8 deklem br köküü ve 8 deklem br kökü dr. Bu taktrde w brm kökler olmak üere 8 deklem kökler deklem kökler,w ve w olarak hesaplaır. Alteratf olarak; r >, θ R olmak üere r ep( θ ) kutupsal formu kullaablr. Bu taktrde; r ep θ r ep θ ep π ( ( )) ( ) ( ), w ve w ve 8 yaılablr. Böylece k Z olmak üere r r ve θ π + kπ olarak buluur. Böylece kökler; ( k + ) π ep, k,,,,, ( k + ) π olarak hesaplaır. Sırasıyla ep deklemde sırasıyla k,,,,, değerler yaıldığıda kökler; +,, +,,, olarak elde edlr.

2 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. hesaplayıı. π π cos s eştlğ kullaarak cos π değer Çöüm cos + s cos + s cos s + cos s cos + s eştlğde s s cos ve cos cos s () olduğuu elde eder. cos + s { : } olduğuda cos + s yaablr. Buu () eştlğde yere yaacak olursak cos cos + olduğuu elde eder. Elde edle bu so formülü üste uygularsak olarak hesaplaır. π cos + + cos π değer ç k ke üst

3 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem 8. hesaplayıı. cos θ yı ve s θ yı sırasıyla cos θ ve s θ csde Çöüm ( cosθ + sθ ) cos θ + cos θ sθ cos θ s θ cos θ s θ + cosθ s θ + s θ cos θ cos θ s θ + cosθ s θ ( cos θ sθ cos θ s θ + s θ ) + yaılablr. Ayrıca De Movre Teorem gereğ ( cosθ + sθ ) cosθ + s θ olduğu bektedr. O halde cosθ cos θ cos θ s θ + cosθ s θ cos θ cos θ + cosθ ve s θ cos θ sθ cos θ s θ + s θ s θ s θ + sθ olarak elde edlr. Problem 9. Aşağıdak foksyoları reel ve saal kısımlarıı buluu. (a) + (b) + (c) (d) (e) + + Çöüm (a) (f) ( ) ( ) + y olmak üere f ( ) + f ( ) u(, y) + v(, y) foksyouu formuda yaablr. Böylece verle foksyou reel ve saal kısımları u, y y ve v(, y) + y olarak hesaplaır. ( ) (b) + y olmak üere f ( ) + foksyouu f u + v formuda yaablr. Böylece verle foksyou reel ve saal kısımları u ve v ; u v + ve uv y deklem sstem çöülmesyle elde edlr. (c) ρ( cosθ + sθ ) olmak üere f ( ) u( ρ, θ ) + v( ρ, θ ) yaablr. Böylece verle foksyou reel ve saal kısımları; u( ρ, θ ) ρ cos θ ve v( ρ, θ ) ρ s θ olarak hesaplaır.

4 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK (d) ρ( cosθ + sθ ) olmak üere f ( ) u( ρ, θ ) + v( ρ, θ ) yaablr. Böylece k,,,..., ç verle foksyou reel ve saal kısımları; θ + kπ θ + kπ u( ρ, θ ) ρ cos ve v( ρ, θ ) ρ s olarak hesaplaır. (e) olmak üere f ( ) + u(, y) + v(, y) + y alıırsa u (, y) y + ve v(, y) y y (f) + y olarak olarak hesaplaır. olmak üere f ( ) u(, y) + v(, y) ( )( + ) + + olduğuu elde eder. y + olarak alıırsa y y u(, y) v(, y) ( + ) + y ( ) + Problem. R çember f ( ) + altıdak görütüsüü buluu. Çöüm ve f ( ) foksyoları R ve çemberler f foksyou altıdak görütüler sırasıyla u + ( R + R) ( R R) v elps ve v, u doğrusudur. R ve çemberler f foksyou altıdak görütüler sırasıyla u + ( R R) ( R + R) Problem. f ( ) w v elps ve u, v doğrusudur. t mevcut olduğuu kabul ede, bu taktrde aşağıdak fadeler doğruluğuu göster. (a) f ( ) w Re f (b) ( ) Re w (c) Im f ( ) Im w Çöüm ( ) w (d) f ( ) w f şartı, her ε > ç < δ olacak şeklde br δ > sayısı vardır öyle k f ( ) w < ε olacağıı fade eder.

5 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Böylece; (a) < δ ( ε ) ç > f ( ) w f ( ) w f ( ) w edlr. ε olduğu elde (b) - (c) < δ ( ε ) ç ε > f ( ) w Re ( f ( ) w) Re f ( ) Re w ve ε > olduğu elde edlr. < δ ε f ( ) w Im ( f ( ) w) Im f ( ) Im w (d) ( ) ç > f ( ) w f ( ) w Re f ( ) Re w elde edlr. ε olduğu Problem. f ( ) w t mevcut olduğuu kabul ede. Hag değerler ç f ( ) Çöüm < δ ( ε ) ç > f ( ) f ( ) t mevcut olduğuu buluu. ε olduğuda w ç f ( ) t mevcuttur. Geelde, bu t sadece bu durum ( w durumu ç) ç mevcut olduğuu kaıtlamalıyı. w ç f ( ) A olduğuu kabul ede. Bu taktrde br öcek örekte A w dr. f ( ) A f ( ) A eştslğde ( < δ ( ε ) ç f ( ) A f ( ) A durumuu ele alacak olursak; olduğuda) eştlk ( A) ( f ( ) A ) ( f ( ) A) ( f ( ) A) f ( ) + A Re f ( ) Re f ( ) A f A f, elde edlr ve böylece Re ( ) ( ) ( ) A ( f ( ) A) ve f ( ) ( ) A ( A) Im olduğu elde edlr. Bu taktrde f reel ve o-egatf olmak orudadır k bu durum geel br kompleks f foksyou ç mümkü değldr. Öel olarak bu durum f ( ) A veya f reel olmasıyla mümküdür.,

6 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. Aşağıda verle fadeler doğruluğuu kaıtlayıı. (a) + Çöüm (b) + + (a) Verle herhag > bulmalıyı öyle k; + ε ç > N( ε ) olacak şeklde br ( ε ) + < ε olsu. Bu taktrde; + < + < ε olduğu elde edlr. Dolayısıyla N [ ε ] olarak alıablr ([ ] tam kısmıdır.). Böylece stee elde edlmş olur. (b) Verle herhag > + bulmalıyı öyle k; ( ) < ε + + ( ) N sayısı ε sayısı,ε sayısıı ε ç > N( ε ) olacak şeklde br ( ε ) + [( 9 + 9) ( + 9) ] ( + 9)( + ) + ( + 9)( + ) ( + 9)( + ) olsu. Bu taktrde; + 9 olduğu elde edlr. Böylece stee elde edlmş olur. Problem. Herhag kompleks sayısı ç + olduğuu göster. Çöüm Verle herhag > < ε ε ç > N( ε ) olacak şeklde br ( ε ) öyle k; + < ε olsu. + y olsu. Bu taktrde; + y y + + < ε olur. Böylece stee elde edlmş olur. N sayısı N sayısı bulmalıyı

7 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. t mevcut olmadığıı göster. Çöüm olacak şeklde keyf > M > M R buluableceğde verle t mevcut değldr. ( ) Problem 7. olduğuu göster. Çöüm Verle herhag ε > ç < δ ( ε ) δ δ sayısı bulmalıyı. ( ) ke < ε olacak şeklde br Problem 8. hesaplayıı. π olmak üere ( ) w w e t Çöüm ç dr. Bu halde; π π ( ) ( e ) e w w π π e e e Problem 9. Aşağıdak fadeler doğruluğuu göster (a) (b) Çöüm (a) + y olsu. dır. Böylece; olarak hesaplaır. (b) + y olsu. ve y dır. Böylece; olarak hesaplaır. + y + π

8 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. f ( ) boyuca f ( ) (a) Çöüm y + y foksyou verls. Aşağıdak eğrler + y t hesaplayarak elde edle souçları yorumlayıı. y (b) y (c) y (a) y doğrusu boyuca y + y (, y) (,) + y olarak hesaplaır. (b) y doğrusu boyuca + + y + y + + (, y) (,) + y + olarak hesaplaır. (c) y parabolü boyuca y + y + + (, y) (,) + y + + olarak hesaplaır. (,) oktasıa farklı eğrler üerde yaklaşıldığıda farklı t değerler elde edldğde f ( ) t mevcut değldr. y + y Problem. u(, y) foksyouu (, y) (,) mıdır? Çöüm ç t var (,) oktasıa y m doğruları üerde yaklaşalım, bu durumda; y m m (, ) (,) y + y + m + m olarak hesaplaır.

9 Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. L Hosptal kuralı yardımıyla aşağıdak tler buluu. (a) + (b) + (c) + + (d) (e) (f) Çöüm (a) tde belrslğ vardır. Böylece bu te L Hosptal kuralı uygulaırsa; olarak hesaplaır. (b) + tde belrslğ vardır. Böylece bu te + L Hosptal kuralı uygulaırsa; olarak hesaplaır. + (c) tde belrslğ vardır. Böylece bu te L Hosptal + kuralı uygulaırsa; + + olarak hesaplaır. + (d) tde + + L Hosptal kuralı uygulaırsa; olarak hesaplaır. + + belrslğ vardır. Böylece bu te ( + ) + + (e)-(f) Çöüm okuyucu tarafıda yapılacaktır.

Benzer belgeler

KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI 1 1.

KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI.., +.,.,. +.,,. +, + Re( ) İm( ) +. olmak üere? olmak üere.. + )? (. 6 +.. 9 + 8 ( ) olduğua göre İm (Z) Re (Z)?. + + 9 + 6 +... + 89 6. 0 + + +... + 7. P(x) x 7 + x x