DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

Transkript

1 KARARLILIK Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur: Geçici Durum Cevabı Kararlılık Kalıcı Durum Hatası Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer bir sistem kararlı değilse, diğer iki kriterin hiçbir anlamı yoktur. Bu derste doğrusal, zamanla değişmeyen sistemlerin kararlılığından bahsedeceğiz. Kararlılığın çok sayıda tanımı yapılabilir. Daha önce bir sistemin zaman cevabının, yani çıkışın zamana göre değişim ifadesinin iki bileşeni olduğunu söylemiştik: Doğal Cevap ve Zorlanmış Cevap. 1

2 Kararlılığın çok sayıda tanımı yapılabilir. Daha önce bir sistemin zaman cevabının, yani çıkışın zamana göre değişim ifadesinin iki bileşeni olduğunu söylemiştik: Doğal Cevap ve Zorlanmış Cevap. c( t) c ( t) c ( t) doğal zorlanmış Bu konsepti kullanılarak, kararlılık, kararsızlık ve marjinal kararlılık kavramlarının tanımı şu şekilde yapılabilir: Doğrusal, zamanla değişmeyen bir sistem, eğer zaman sonsuza giderken doğal cevabı sıfıra yakınsıyorsa kararlıdır. Doğrusal, zamanla değişmeyen bir sistem, eğer zaman sonsuza giderken doğal cevabı sınırsız olarak artıyorsa kararsızdır. Doğrusal, zamanla değişmeyen bir sistem, eğer zaman sonsuza giderken doğal cevabı ne sıfıra yakınsıyor ne de sınırsız artıyorsa, ancak sabit kalıyor ya da sabit genlikli osilasyon yapıyorsa marjinal kararlıdır. 2

3 Bu tanımlar, doğrudan sistemin doğal cevabı üzerinden yapılan tanımlardır. Yani sistemin doğal cevabının sınırlı olup olmamasına göre kararlılığı tanımlar. Ancak karmaşık sistemlerde doğal cevap ile zorlanmış cevabı birbirinden ayırmak her zaman kolay olmayabilir. Sınırsız bir giriş için sistem çıkışının da sınırsız olması durumunda, bu tanımlar üzerinden kararlılık hakkında herhangi bir sonuca varılamaz. Bu nedenle de kararlılığın aşağıda verilen oldukça basit ve yaygın tanımı daha çok kullanılır ve daha açıklayıcıdır: Bir sistem, eğer tüm sınırlı girişler için sınırlı çıkış üretiyorsa kararlıdır. Bu tanım ise kararlılığın Sınırlı Giriş Sınırlı Çıkış (Bounded Input Bounded Output - BIBO) tanımı olarak bilinir. Bu tanım, kararlılığı sadece doğal cevap cinsinden değil, total cevap (doğal + zorlanmış) cinsinden tanımlar. Bu durumda karasızlık tanımı da aşağıdaki gibi olur: Bir sistem, eğer herhangi bir sınırlı giriş için sınırsız çıkış üretiyorsa karasızdır. Bu tanım göz önünde bulundurulduğunda, BIBO kararlılık tanımına göre, daha önce marjinal kararlı olarak tanımladığımız sistemler kararsız sistem sınıfına dahil edilir. Çünkü marjinal kararlı sistemler bazı sınırlı girişler için sınırlı çıkış üretirken, bazıları için sınırsız çıkış üretir. 3

4 Fiziksel olarak bir sistemin çıkışının sonsuza gitmesi demek, sistemin (ve etrafındaki insanların) zarar görmesi ihtimalini ortaya çıkarır. Örneğin bir elektrik motorunun devri sonsuza gitmek isterse motorun mekanik aksamı buna mukavemet gösteremeyecek ve motor parçalanacak ya da hasar görecektir. Bu nedenle kararsızlık, kompanze edilmesi gereken bir problemdir. Peki bir sistemin kararlı olup olmadığı nasıl belirlenir? Eğer bir sistemin tüm kapalı çevrim kutupları negatif reel kısma sahipse, yani kapalı çevrim kutupları s-düzleminin sol yarı tarafında ise, sistem kararlıdır (Neden?) Eğer bir sistemin kutuplarından bir tanesi bile s-düzleminin sağ yarı tarafında ise, ya da sistemin imajiner eksen üzerinde katlı kutbu varsa sistem kararsızdır. Eğer bir sistemin sadece imajiner eksen üzerinde ve katlı olmayan kutupları varsa, sistem marjinal kararlıdır, yani sistem çıkışı ne sonsuza gider, ne de sıfıra yakınsar, sabit genlikli osilasyon yapar. 4

5 Örneğin aşağıda kararlı bir sistemin birim adım girişine cevabı görülmektedir. Zaman sonsuza giderken doğal cevap sıfıra yakınsar, sadece zorlanmış cevap kalır, yani sistem çıkışı zorlanmış cevaba yakınsar. 5

6 Aşağıda ise kararsız bir sistemin birim adım girişine cevabı görülmektedir. Zaman sonsuza giderken sistem çıkışı üstel olarak artan bir zarfla sonsuza gider. 6

7 Görüldüğü gibi sistemin kararlı olup olmadığını belirlemek için, kapalı çevrim kutuplarının lokasyonunun bulunması gerekir. Eğer sistemi modelleyen transfer fonksiyonu birinci veya ikinci mertebeden ise, kutupların bulunması için analitik yöntemler mevcuttur. Ancak üçüncü ve daha yüksek mertebeden ise, bu durumda kutupların bulunması için analitik bir yöntem mevcut değildir. Günümüz bilgisayarları yüksek dereceli denklemlerin köklerini bulabilmektedir. Yıllar önce önerilen bir metod ise, kökleri bulmaya gerek kalmadan sistemin kararlı olup olmadığını belirlemeye yaramaktadır. Her ne kadar artık günümüz bilgisayarları ile kökler (kutuplar) bulunabilse de, bu yöntem bugün hala (özellikle tasarım amaçlı olarak) kullanılmaktadır. Şimdi bu yöntemi tanıtalım: 7

8 Routh Kriteri Routh Kriteri, kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarının değerini bulmaksızın, bu kutupların kaç tanesinin sol yarı düzlemde, kaç tanesinin sağ yarı düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde olduğunu bulmaya yarar. Bunu bulmak için Routh Tablosu adı verilen bir tablo oluşturulur. Bu tablonun oluşturulmasını açıklayalım: Bir sistemi kapalı çevrim transfer fonksiyonu, Ns () a s a s a s a s a şeklinde olsun. Bu sisteme ilişkin Routh Tablosu şu şekilde oluşturulur: Tablonun ilk sütununa, transfer fonksiyonunun paydasının en yüksek derecesinden başlayıp, s 0 a kadar s in kuvvetleri yazılır. Daha sonra tablonun ilk satırına, s in en yüksek dereceli teriminin katsayısı yazılıp, daha sonra birer terim atlanarak katsayılar yazılıp ilk satır tamamlanır. İkinci satır ise paydanın ikinci teriminin katsayısı ile başlar ve yine birer terim atlanarak katsayılar yazılıp ikinci satır da tamamlanır. Yani Routh Tablosunun ilk iki satırı, kapalı çevrim transfer fonksiyonunun katsayıları ile doldurulur. 8

9 Tablonun geri kalan hücreleri ise, hesaplama yoluyla aşağıdaki gibi doldurulur. Her bir hücrenin değeri, üstteki iki satırın ilk elemanları ve sağ üstteki iki elemandan oluşan negatif determinantının bir üstteki satırın ilk elemanına bölünmesiyle elde edilir. Bu şekilde tablo en alt satırına kadar doldurularak tamamlanır. Tablonun oluşturulmasına ilişkin bir örnek yapalım. 9

10 Ör: Aşağıda verilen geribeslemeli sisteme ilişkin Routh Tablosunu oluşturunuz. C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: Herhangi bir satırdaki bütün katsayılar, işlem kolaylığı olması için aynı sayıya bölünerek sadeleştirilebilir. 10

11 Routh Tablosunun Yorumlanması: Az önceki örnekte Routh tablosunun nasıl oluşturulacağını gördük. Peki bu tabloyu kararlılık açısından nasıl yorumlayacağız? Routh tablosunun ilk sütununda işaret değişimi yoksa, bütün kapalı çevrim kutupları sol yarı düzlemdedir ve sistem kararlıdır. Routh tablosunun ilk sütununda kaç kere işaret değişimi varsa, sistemin o kadar kutbu sağ yarı düzlemdedir ve dolayısıyla sistem kararsızdır. Az önceki örnekte oluşturduğumuz Routh tablosunu ele alalım: 11

12 Birinci sütunun ilk satırındaki değer +1 dir. İkinci satırdaki değer de pozitif bir değer (+1) dir. Ancak üçüncü satırdaki değer -72 dir ve dolayısıyla ikinci satırdan üçüncü satıra geçerken bir işaret değişimi olmuştur. Dördüncü satırdaki değer ise +103 dür ve dolayısıyla üçüncü satırdan dördüncü satıra geçerken yine bir işaret değişimi olmuştur. Toplamda iki kere işaret değişimi olduğu için, bu sistemin iki kutbu sağ yarı düzlemdedir ve dolayısıyla sistem kararsızdır. 12

13 Ör: Aşağıda verilen sistemin kararlı olup olmadığını bulunuz. 200 C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: Ts () s 6s 11s 6s 200 İlk sütunda iki kere işaret değişimi olduğu için sistemin iki kutbu sağ yarı düzlemdedir ve sistem kararsızdır. 13

14 Routh Kriteri: Özel Durumlar Routh Tablosu oluşturulurken iki özel durum meydana gelebilir: (1) İlk sütunda herhangi bir elemanın sıfır olması durumu, (2) Herhangi bir satırın komple sıfır olması durumu. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim: 1. İlk Sütunda Herhangi Bir Elemanın Sıfır Olması Durumu: Hatırlanacağı üzere, Routh Kriteri yardımıyla bir sistemin kararlılığını belirlerken Routh Tablosunun ilk sütununa bakıyorduk. Eğer bu sütundaki herhangi bir eleman sıfır olursa, sıfır ne pozitif ne de negatif olduğundan işaret değişimi olup olmadığı hakkında herhangi bir yorum yapamayız. Dolayısıyla kararlılık konusunda bir çıkarımda da bulunamayız. Böyle bir durumda, sıfırın yerine ϵ şeklinde küçük bir pozitif (ya da negatif) sayı yazılır ve daha sonra bilinen şekliyle işaret değişimi olup olmadığına bakılarak kararlılık hakkında sonuca varılır. Bu durumu örnekler üzerinden açıklayalım: 14

15 Ör: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olan sistemin kararlı olup olmadığını bulunuz. Ts () s s s s s C: Routh Tablosu aşağıdaki gibi oluşturulur. İlk sütunda s 3 ün karşındaki terim sıfır olmaktadır. Buraya sıfırın yerine ϵ yazılır işlemler sürdürülür. 15

16 ϵ yerine çok küçük bir pozitif bir sayı da yazılsa, negatif bir sayı da yazılsa aynı sonucun elde edileceğini göstermek için aşağıdaki tabloya bakalım. Her iki durumda da birinci sütunda iki kere işaret değişimi olmaktadır ve bu nedenle sistemin iki kutbu sağ yarı düzlemdedir. Dolayısıyla sistem kararsızdır. 16

17 İlk sütundaki herhangi bir elemanın sıfır çıkması durumunda başvurulacak ikinci ve daha basit bir yöntem, verilen kapalı çevrim transfer fonksiyonunun paydasının katsayılarını ters çevirip, Routh tablosunu bu yeni katsayı dizilişine göre hazırlamaktır. Az önceki örnekte kapalı çevrim transfer fonksiyonu Ts () s s s s s şeklindeydi. Paydadaki polinomun katsayılarına göre hazırlanan Routh Tablosunun ilk sütununda bir eleman sıfır değerini almıştı. Böyle durumlarda payda polinomunun katsayıları ters çevrilerek, yeni bir polinom yazılır ve bu polinoma göre yeni bir Routh Tablosu oluşturularak, verilen sistemin kararlılığı incelenir. Bu örnek için, payda polinomunun katsayılarının ters çevrilmiş hali, D s s s s s s ( ) şeklindedir. Şimdi bu polinomu kullanarak yeni bir Routh tablosu oluşturalım ve elde edeceğimiz kararlılık sonucunun, daha önce kullandığımız ϵ yöntemi ile tamamen aynı olduğunu, yani kutupların iki tanesinin sağ yarı düzlemde olması nedeniyle sistemin kararsız olduğu sonucuna varıldığını görelim. 17

18 D s s s s s s ( )

19 Ör: Aşağıda verilen sistemin kararlı olup olmadığını bulunuz. 1 C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: Ts () s 3s 2s 3s 2s 1 İlk sütunda s3 ün karşısındaki satır sıfır olduğu için, buraya ϵ yazılır ve ϵ yerine çok küçük bir pozitif sayı yazılırsa, iki kere işaret değişimi olduğu, dolayısıyla iki kutbun sağ yarı düzlemde, diğerlerinin sol yarı düzlemde olduğu ve sistemin kararsız olduğu görülür. Aynı sonucu, katsayıları ters çevirmek suretiyle de elde edelim: 19

20 D s s s s s s ( ) Bu yöntem kullanıldığında, ilk sütunun dördüncü satırında eleman sıfır olmaktadır. Ancak yine de bu tablo, ϵ yönteminde elde edilen tabloya göre daha basittir. Burada da ϵ yöntemi kullanılırsa aynı kararlılık sonucu elde edilir. 20

21 Routh Kriteri: Özel Durumlar 2. Bütün Bir Satırın Sıfır Olması Durumu: Eğer Routh Tablosunun herhangi bir satırı tamamen sıfır olursa, bu durumda takip eden satırlar hesaplanamaz. Bu durum, az önce bahsedilen, ilk sütunda herhangi bir elemanın sıfır olması durumundan oldukça farklıdır ve bu nedenle daha farklı bir şekilde ele alınır. Bu duruma ilişkin çözümü de örnekler üzerinden anlatalım. Ör: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu Ts () s s s s s olan bir sistemin, kutuplarının kaç tanesinin sağ yarı düzlemde olduğunu bulunuz. C: Routh Tablosunu aşağıdaki gibi oluşturalım: şeklinde Bu satır komple sıfır oldu. Artık alttaki satırlar hesaplanamaz. 21

22 Böyle durumlarda, tüm elemanları sıfır olan satırın hemen üstündeki satırdan bir yardımcı polinom yazılır. Bu yardımcı polinomun ilk teriminde s in üssü, yardımcı polinom hangi satırdan yazılıyorsa o satırdaki s in üssüdür (bu örnek için s 4 ). İlk terimin katsayısı ise bu satırdaki ilk elemandır. Daha sonra bu satırdaki katsayılar kullanılarak ve her seferinde s in üssü bir atlanarak yardımcı polinom tamamlanır. Bu örnek için yardımcı polinom: P s s s 4 2 ( ) 6 8 Yardımcı polinomun s e göre türevi alınarak, elde edilen katsayılar, tabloda tüm elemanları sıfır olan satıra yazılır ve bundan sonra tablo bilindik şekilde tamamlanır. dp() s 3 Elde edilen katsayılar 4, 12 ve 0, tüm elemanları 4s 12s 0 sıfır olan satıra yazılarak tablo tamamlanır. ds

23 Tablonun tamamlanmış hali yukarıdaki gibidir. Tablonun ilk sütununda işaret değişimi olmadığı için, sağ yarı düzlemde kutup yoktur. 23

24 Bir önceki örnekte, sadece sağ yarı düzlemde kutup olup olmadığını belirttik. Peki diğer kutupların lokasyonu hakkında ne söyleyebiliriz? Daha da önemlisi bunu nasıl söyleyebiliriz? Eğer Routh tablosunda tüm satırın sıfır olması durumu söz konusu olursa, kutuplardan bazıları imajiner eksen üzerinde olabilir! Yani sağ yarı düzlemdeki kutupların sayısını belirttikten sonra, geri kalanların tamamı sol yarı düzlemdedir diyemeyiz. Çünkü tablosunda tüm satırın sıfır olması durumu söz konusu olursa, kutuplardan bazıları imajiner eksen üzerinde olabilir. Esas soruya dönersek, Routh tablosunda tüm satırın sıfır olması durumu söz konusu olduğunda sağ yarı düzlemdeki, sol yarı düzlemdeki ve imajiner eksen üzerindeki kutupların sayısını nasıl bulabiliriz? Bunun için Çift Polinomlar a ilişkin kısa bir açıklama yapalım: 24

25 Bir Çift Polinom, s in bütün üslerinin çift sayı olduğu polinomdur. Örneğin, s 3s polinomu bir çift polinomdur. Çift polinomlar, her zaman orjine göre simetrik kutuplara sahiptir. Bu simetri üç şekilde olabilir: A) Kutuplar reel ve simetrik olabilir, B) Kutuplar kompleks ve simetrik olabilir, C) Kutuplar kuadrantal olabilir. Yandaki şekil, bu 3 durumu göstermektedir: 25

26 Routh tablosunda herhangi bir satırın tamamen sıfıra eşit olması durumunda yazılacak olan yardımcı polinom her zaman çift polinomdur. Buna göre, herhangi bir satırın tamamen sıfır olması durumunda, yardımcı polinom yazılıp tablo tamamlandıktan sonra, kutupların kaç tanesinin sağ yarı düzlemde, kaç tanesinin sol yarı düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde olduğunu belirlemek için aşağıdaki analiz yapılır: İlk önce yardımcı polinomun yazıldığı s n satırından en alt satıra yani s 0 satırına kadar bakılır. Bu iki satır arasında işaret değişimi olup olmaması toplamda n tane kutbun lokasyonunu belirler. Bu iki satır arasında ilk sütunda kaç tane işaret değişimi varsa o kadar kutup sağ yarı düzlemdedir ve çift polinomlar simetrik olduğu için, aynı sayıda kutup da sol yarı düzlemdedir. Geri kalan kutuplar imajiner eksen üzerindedir. Eğer bu iki satır arasında hiç işaret değişimi yoksa bu n kutbun tamamı imajiner eksen üzerindedir. Sistemin geri kalan kutuplarının lokasyonu için ise ilk satırdan s n satırına kadar olan kısma bakılır ve bilinen şekilde kutupların hangi bölgede olduğu tayin edilir. Örneklerle açıklayalım: 26

27 Ör: Transfer fonksiyonu, Ts () s s s s s s s s şeklinde olan bir sistemin kutuplarının kaç tanesinin sağ yarı düzlemde, kaç tanesinin sol yarı düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde olduğunu bulunuz. C: Routh tablosu aşağıdaki gibi olur. s 6 nın karşısındaki satır 10 ile, s 5 in karşısındaki satır ise 20 ile sadeleştirilmiştir. s 3 ün karşısındaki satır, tüm elemanları sıfır olan bir satırdır. Bu nedenle bir üst satırdan, yani s 4 satırından yardımcı polinom şu şekilde yazılır: P s s s 4 2 ( ) 3 2 Bu polinomun türevi alınır ve elde edilen polinomun katsayıları tabloda yerine yazılır. dp() s ds 3 4s 6s 0 Elde edilen bu polinomun katsayıları da tabloda 2 ile sadeleştirilmiştir. 27

28 Şimdi ilk önce tabloda, yardımcı polinomun yazıldığı satır olan s 4 satırından son satıra kadar olan kısmın ilk sütununa bakalım. Bu kısımdan, toplam 4 kutbun lokasyonunu bulacağız. s 4 satırından son satıra kadar olan kısımda hiçbir işaret değişimi olmadığı için, bu dört kutuptan sağ yarı düzlemde olan yoktur. Simetri gereği sol yarı düzlemde olan da yoktur. Dolayısıyla bu 4 kutbun tamamı imajiner eksen üzerindedir. Sistem sekizinci mertebeden olduğu için toplam 8 kutup vardır ve geriye kalan 4 kutbun lokasyonunu belirlemek için bu sefer ilk satırdan s 4 satırına kadar olan kısma bakılır. Bu kısımda ilk sütunda iki kere işaret değişimi olduğu için iki kutup sağ yarı düzlemdedir. Sistemin geriye kalan iki kutbu ise sol yarı düzlemdedir. Sonuç olarak 4 kutup imajiner eksen üzerinde, 2 kutup sağ yarı düzlemde ve 2 kutup sol yarı düzlemdedir. 28

29 Ör: Aşağıda blok diyagramı verilen sistemin kutuplarının kaç tanesinin sağ yarı düzlemde, kaç tanesinin sol yarı düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde olduğunu bulunuz. Sistemin kararlılığını yorumlayınız. C: Sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu: Ts () s s s s s s s s Buna göre Routh tablosu şu şekilde olacaktır: 29

30 Ts () s s s s s s s s s 5 in karşısındaki satırın tüm elemanları sıfır olmaktadır. s 6 nın karşısındaki satırdan yardımcı polinom yazılırsa; P( s) s 8s 32s 64 Türevi alınırsa; dp() s 5 3 6s 32s 64s ds Bu polinomun katsayıları kullanılarak ve gerekli sadeleştirmeler yapılarak tablo tamamlanır. 30

31 Yardımcı polinomun yazıldığı satırdan son satıra kadar olan kısma bakılırsa, iki kere işaret değişimi olduğu görülür ve dolayısıyla iki kutup sağ yarı düzlemdedir. Simetri gereği iki kutup ise sol yarı düzlemdedir. Bu kısma ilişkin 6 tane kutbun iki tanesinin ise imajiner eksen üzerinde olduğu anlaşılır. Sistemin toplam 8 kutbundan geriye kalan iki tanesi için ilk satırdan yardımcı polinomun yazıldığı satıra kadar olan kısma bakılır ve bu kısımda işaret değişimi olmadığı için bu iki kutup sol yarı düzlemdedir denir. Sonuç olarak sistem kararsızdır. 31

32 Routh Kriteri Yardımıyla Tasarım: Routh Kriteri, herhangi bir sistemin sabit bir K kazancının, sistemin kararlı olmasını sağlayacak şekilde tasarlanmasına olanak sağlar. Bu tasarım yaklaşımı, aşağıda bir örnekle açıklanmıştır. Ör: Aşağıda verilen sistemde, sistemin a) kararlı b) kararsız c) marjinal kararlı olmasını sağlayacak K değer aralıklarını bulunuz. (K>0) 32

33 C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: Routh Tablosu: Ts () K 3 2 s 18s 77s K Tabloya göre, eğer K<1386 olursa ilk satırda işaret değişimi olmaz ve sistem kararlı olur. Eğer K>1386 olursa ilk satırda işaret değişimi olur ve sistem kararsız olur. Eğer K=1386 olursa, s 1 in karşısındaki satırın tüm elemanları sıfır olur ve bir üst satırdan yardımcı polinom P s 2 ( ) 18s 1386 şeklinde yazılır. Bunun türevi, dp() s ds 36s 0 olur ve bu türev polinomunun katsayıları tabloda yerine yazılırsa, tablonun son hali şu şekilde olur: 33

34 Yardımcı polinomun yazıldığı satırdan son satıra kadar herhangi bir işaret değişimi olmadığı için sistemin 2 kutbu imajiner eksen üzerindedir. Kalan bir kutup ise sol yarı düzlemdedir. Sistem marjinal kararlı olur. 34

35 DURUM UZAYINDA KARARLILIK Şu ana kadar kararlılığı sadece frekans uzayında inceledik. Şimdi zaman uzayında kararlılığın nasıl test edileceğini açıklayalım. Daha önce defalarca vurgulandığı gibi, bir sistemin transfer fonksiyonu modelinin kutupları ile durum uzay modelinde sistem matrisinin özdeğerleri aynıdır. Dolayısıyla dinamik modeli durum uzayında verilmiş bir sistemin kararlılığını belirlemek için A matrisinin özdeğerlerini bulmak gerekir. A matrisinin özdeğerleri, veya eşdeğer olarak, det I A 0 det si A 0 denkleminin köklerini bularak hesaplanır. Eğer sistem ikinci mertebeden ise, özdeğerler analitik olarak bulunabilir. Ancak sistem daha yüksek mertebeden ise, bu denklemin köklerini bulmak için analitik bir yöntem yoktur ve dolayısıyla Routh tablosu yine sistemin özdeğerlerinin kaç tanesinin negatif reel kısma, kaç tanesinin pozitif reel kısma sahip olduğunu ve kaç tanesinin saf imajiner olduğunu bulmaya yarar. Yani sistemin kararlılığı yine Routh tablosu kullanılarak incelenebilir. 35

36 Ör: Aşağıda verilen sistemin kararlılığını inceleyiniz x x 0 u y C: Önce (si-a) matrisini oluşturalım: x s s 3 1 si A 0 s s s s 2 Şimdi (si-a) matrisinin determinantını bulup Routh tablosunu oluşturarak sistemin kararlılığını inceleyelim: 36

37 det si A s 6s 7s İlk sütunda bir kere işaret değişimi olmuştur. Sistemin bir özdeğeri (kutbu) sağ yarı düzlemdedir ve bu nedenle sistem kararsızdır. 37

38 Alıştırma: Aşağıda verilen sistemin kararlılığını inceleyiniz x x 0 r y C: İki özdeğer (kutup) sağ yarı düzlemde bir kutup sol yarı düzlemdedir. x 38