Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler

Transkript

2 ifthmechanics OF MAERIALS ( τ ) df da Uygulanan bir tork şaft eksenine dik yüzeylerde kayma gerilmeleri meydana getirir. Dairesel bir milin üzerine eksene paralel çıtalar yerleştirilip burulma momentine maruz bırakılırsa; çıtaların birbirlerine göre yaptığı kayma görülebilir. 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. -

3 ifthmechanics OF MAERIALS 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - Gözlemler dairesel kesitli bir mildeki dönme açısının uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı olarak φ değiştiğini göstermiştir. φ L Burulmaya maruz dairesel kesitli bir milde (dolu ve içi boş); tüm kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez. Çünkü dairesel kesitli miller aksi-simetriktir ve deformasyon sonrası kesit görünümleri değişmez. Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi burulma sonrası yine düz kalır. Dairesel olmayan kesitler :

4 ifthmechanics OF MAERIALS Kayma şekil değiştirmesi ve kayma gerilmesi (Elastik bölgede) γ max Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır Lγ φ veya γ φ γ max ve γ L τ Gγ (Hooke Bağıntısı) φ L (Şekil ) G γ γ max (Şekil a) Gγ max τ τ max τ max τ τ da da Böylee dairesel millerin elastik burulmasında gerilme formülü: max J τ max ve τ J : burulma momenti (tork) (N.mm) τ : kayma gerilmesi (N/mm ) Φ: dönme açısı (radyan) γ : birim şekil değiştirme J : polar atalet momenti (mm 4 ) 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. J J 4 π 4 4 J π ( ) - 4

5 ifthmechanics OF MAERIALS Burulmada hasar şekilleri Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin hasarında ise çekideki normal gerilmeler daha etkilidir. Sünek malzeme Gevrek malzeme Şekildeki şaft için emniyetli kayma gerilmesi değeri 0 MPa olduğuna göre uygulanabileek burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz. 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 5

6 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 6 ifthmechanics OF MAERIALS Şekildeki şaftın BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 0 mm dir. Diğer kısımların içi dolu ve çapları d dir. Buna göre; a) AB ve CD kısımları için izin verilebilir kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise d ne olmalıdır? b) BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini bulunuz. Statik dengeden: M AB x 0 ( 6kN m) M x 0 ( 6kN m) + ( 4kN m) 6kN m CD AB BC 0kN m BC

7 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 7 ifthmechanics OF MAERIALS Elastik Bölgede Dönme Açısı φ γ max L Dönme açısı: φ L JG γ max τ G max JG Kademeli bir mil için Dönme açısı: (Hooke Bağıntısı) il φ i J G i i i Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G77 GPa olduğuna göre A noktasının toplam dönme açısını bulunuz.

8 ifthmechanics OF MAERIALS 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 8 Şekildeki AB mili ile CD tüpü C noktasında rijit bir plaka ile (kaynaklı olarak) birleştirilmişlerdir. Çelik milin emniyetli kayma mukavemeti 84 MPa, pirinç tüpün emniyetli kayma mukavemeti ise 50 MPa dır. Mil çapı d s 8 mm olduğuna göre; A noktasında uygulanabileek emniyetli tork () değerini bulunuz.

9 Fifth Edition MECHANICS OF MAERIALS y Şekildeki içi boş çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti 90 MPa, serbest uun (C noktası) izin verilebilir dönme miktarı ise dir. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 0 mm ve 5 mm dir. Mile boydan boya açılmış bulunan deliğin çapı ise 0 mm dir. Buna göre; B noktasında uygulanabileek maksimum burulma momenti () değerini bulunuz. G80 GPa B z C x y Şekildeki çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti 90 MPa dır. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 0 mm ve 0 mm dir. BC kısmının içi boş ve iç çapı 5 mm dir. Buna göre; z A 0. kn.m A B C x a) B noktasında uygulanabileek maksimum burulma momenti () değerini bulunuz. b) C nin B ye göre dönme miktarını bulunuz. (G80 GPa, LAB50 mm, LBC5 mm ) 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 9

10 ifthmechanics OF MAERIALS 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 0 kn.m lik torka maruz şekildeki bronz silindirde; a) Maksimum kayma gerilmesini b) D noktasındaki kayma gerilmesini ) 0 mm çapındaki çekirdek kısım tarafından taşınan tork miktarı bulunuz.

11 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - ifthmechanics OF MAERIALS Hiperstatik şaftlar (miller) Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 6 mm dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 0 N.m lik bir tork uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini bulunuz? A + 0 φ φ L J G A B N m + φ φ LJ + A 0 N m L J BL J G 0 veya φ L J A B A L J olmalı A 69.8 N m 50. N m B

12 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - ifthmechanics OF MAERIALS Sağ taraftan sabitlenmiş çelik bir mil ile alüminyum bir tüp, şekildeki gibi rijit bir diske bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminyum tüp için emniyetli kayma gerilmeleri sırasıyla 0 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; disk vasıtasıyla sisteme uygulanabileek maksimum tork değerini bulunuz. (Ga7 GPa, Gç77 GPa)

13 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - ifthmechanics OF MAERIALS İçi boş iki şaft şekilde dişliler ile bağlanmıştır. Miller için izin verilebilir kayma gerilmesi 55 MPa olduğuna göre, uygulanabileek o torkunu ve bu torka karşılık gelen A noktasının toplam dönmesini bulunuz.

14 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 4 ifthmechanics OF MAERIALS ransmisyon millerinin dizaynı Güç ve hızı belli olan bir mile etki eden tork değeri: P ω πf P ω P πf P: güç (N.m/s), wwatt : tork (N.m) ω: açısal hız (rad/s) f :frekans (/s), hertz 600 devir/dk hızla dönen ve.7 kw güündeki bir motora bağlı bir mildeki kayma gerilmesinin (güç aktarımı esnasında) 60 MPa değerini geçmemesi için mil çapı ne olmalıdır? İçi boş bir şaft (mil ) 00 kw lık bir güü 0 Hz lik bir frekansla aktarmaktadır. Mildeki kayma mukavemetinin 60 MPa değerini geçmemesi istendiğine göre, milin et kalınlığını bulunuz. Mil için dış çap50 mm.

15 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 5 ifthmechanics OF MAERIALS Dairesel kesitli millerde Plastik Deformasyonlar Malzemenin lineer elastik davrandığı kabul edildiğinde (bu durumda τ ile γ arasında lineer bir değişim vardır ve elastik bölgede Hooke bağıntısı geçerlidir), τ Gγ J τ max J Akma mukavemeti aşıldığında veya malzeme nonlineer bir gerilme-şekil değiştirme karakteristiğine sahipse bu bağıntılar geçerli olmaz. d Bir kesitteki kayma gerilmelerine karşılık gelen iç kuvvetlerin toplamı/integrali, kesite uygulanan tork değerine eşittir. ( π d ) π τ τ d 0 0

16 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. ifthmechanics OF MAERIALS - 6 γ + 0 d d τ π τ π Maksimum elastik tork (veya akmayı başlatan tork) ve dönme açısı : Akmadan sonra tork arttıkça, plastik bölge daha fazla yayılır. Herhangi bir değeri için toplam tork: τ τ τ π 4 4 φ φ için 0 4 P (tork) limit bir değere yaklaşır: J τ π τ L γ φ L φ φ γ φ φ / L γ φ Herhangi bir Φ değeri için toplam tork:

17 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 7 ifthmechanics OF MAERIALS Artık Gerilmeler Artık gerilmeler süperpozisyon prensibi ile bulunabilir: τ max J ( τ da) 0 Şekildeki milin kayma akma mukavemeti 50 MPa, kayma modülü 77 GPa olduğuna göre; verilen tork değeri için, a) elastik çekirdeğin yarıçapını, b) dönme açısını yük kaldırıldığında ) kalıı dönme açısını d) artık gerilmeleri bulunuz.

18 ifthmechanics OF MAERIALS τ Çözüm: Elastik çekirdeğin radyüsü (yarıçapı) için: J π J 4 4 ( 50 MPa)( 64 0 mm ) π τ J mm N mm.68 kn m mm he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved mm Dönme açısı için: φ φ φ φ L φ JG φ (.68 0 N mm)( 00 mm) 4 ( 64 0 mm )( 77 0 MPa) rad rad φ rad ork kaldırıldığında, Dönme açısı: 6 L φ JG rad 6.69 Kalıı Dönme açısı: φ p φ φ o φ p o o.8-8

19 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 9 ifthmechanics OF MAERIALS Süperpozisyon prensibi ile artık gerilmeler: τ J 6 ( N mm)( 5mm) max mm 87. MPa üklemedeki gerilmeler ük kaldırıldığında oluşan gerilmeler Artık gerilmeler

20 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 0 ifthmechanics OF MAERIALS Kayma akma mukavemeti 45 MPa, kayma modülü 77 GPa olan şekildeki çelik mil yavaş yavaş arttırılan momentine maruzdur. Buna göre; a) Akma başlangıı için tork değerini ( y ) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φ y ), b) Kesitin tamamını plastik deformasyona uğratan tork değerini ( p ) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φ f ) bulunuz. yük kaldırıldığında ) kalıı dönme açısını d) artık gerilmeleri bulunuz.

21 ifthmechanics OF MAERIALS 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - Burulma (orsion): Dairesel Olmayan Kesitler Dairesel olmayan parçalarda; düzlem olan kesitler burulmadan sonra düzlem kalmazlar. Gerilme-şekil değiştirme dağılımı lineer değildir. Üniform dikdörtgen kesitler için, τ φ ab max L ab G Açık dikdörtgen kesitlerde a/b nin çok büyük değerleri için, en büyük kayma gerilmesi ve dönme açısı değerleri aynıdır, değişmez (aynı ve L değerleri için).

22 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - ifthmechanics OF MAERIALS İçi boş ine idarlı kesitler Bir AB parçası üzerinde x-doğrultusundaki kuvvetlerin toplamından (statik denge), F 0 τ τ t A x A τ t B B A τt ( t x) τ ( t x) A q B B shear flow Kesit üzerindeki kayma gerilmelerine karşılık gelen momentleri integrali uygulanan yi verir. dm 0 p df dm 0 pτ ( t ds) q( pds) q da qa ; τ q da ta Dönme açısı : φ L 4A G ds t

23 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - ifthmechanics OF MAERIALS Şekildeki dikdörtgen kesitli alüminyum tüpler ekstrüzyonla üretilmiştir. Not: (b) deki parça imalat hatasından dolayı uniform kesitte üretilememiştir..7 kn.m için her iki kesitin idarlarındaki kayma gerilmelerini bulunuz.

24 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 4 ifthmechanics OF MAERIALS Şekildeki parçaların emniyetli mukavemet değeri τ em 40 MPa dır. Uygulanabileek emniyetli tork () değerlerini ve bulunan değerleri için dönme açılarını bulunuz. Çubuklar için L m, G70 GPa alınaaktır. Note: ve nolu parçaların kesit alanları, ve ün ise dış boyutları eşittir.

25 009 he MGraw-Hill Companies, In. All rights reserved. - 5 ifthmechanics OF MAERIALS Şekildeki içi boş, 50 mm dış çapa ve 40 mm iç çapa sahip tüplerden bir tanesi (b) eksene paralel olarak kesilmiştir. 0. kn.m için; a) tüplerde meydana gelen kayma gerilmelerini ve dönme açılarını bulunuz. b) Kapalı tüp için bulunan sonuçları, daha öne dairesel kesitli millerin burulması için çıkarılan bağıntılarda bulduğunuz sonuçlarla karşılaştırınız. (L m, G 77 GPa)