Doğrusal Momentum ve Çarpışmalar Doğrusal Momentum ve Korunumu

Transkript

1 Fiz Ders 9 Doğrusal Momentum ve Çarpışmalar Doğrusal Momentum ve Korunumu İmplus (itme) ve Momentum Çarpışmalar Kütle Merkezi Roket Hareketi

2 Momentum Newton un ikinci yasasının F = ma doğrudan uygulanmasıyla açıklanamayan pek çok soru vardır. Bir kamyon kendisinden daha küçük bir otomobille kafakafaya çarpıştığında oluşan enkazın hangi yönde hareket edeceğini belirleyen şey nedir? Bir golf topuna vurulunca topun hızı nedir? Meteorit adını verdiğimiz bir gök cismi dünyaya çarptığında kinetik enerjinin ne kadarı serbest kalır?

3 Momentum ve Newton un İkinci Yasası F = ma = d mv dt F = dp dt a = dv dt v hızı ile hareket eden m kütleli bir parçacığın doğrusal (çizgisel) momentumu p = mv Vektörel bir nicelikte olan momentum, hızla aynı yönlü olup boyutu ML/T ve IS birim sisteminde birimi kg m/s dir. Newton un ikinci yasası: Bir parçacığın doğrusal momentumunun değişme hızı (zamana göre türevi) parçacığa etki eden kuvvet eşittir. Örnek 1: Aynı kinetik enerjiye sahip iki parçacığın momentumlarını karşılaştırınız. Örnek 2: Su jeti! Su jeti sporu yapan 70,0 kg kütleli bir kişi şekilde görüldüğü gibi dengededir. Su jetinden saniyede 20,0 kg su çıkışı olduğuna göre suyun jetten çıkış hızı nedir? v = 34, 3 m/s

4 Momentumun Korunumu Yasası Birbirleriyle etkileşen, çevrelerinden yalıtılmış iki parçacık ele alalım. F 21 = dp 1 dt F 12 = dp 2 dt F 21 = F 21 F 21 = F 21 F 21 + F 21 = 0 dp 1 dt + dp 2 dt = d dt p 1 + p 2 = 0 p = p 1 + p 2 = sabit p 1i + p 2i = p 1s + p 2s = sabit Doğrusal Momentumun Korunumu Yasası: Yalıtılmış bir sistemde iki veya daha fazla parçacık etkileştiğinde, sistemin toplam momentumu sabit kalır.

5 m = 60, 0 kg kütleli bir okçu sürtünmesinin ihmal edilebildiği buz üzerinde sabit durmaktadır. m ok = 500 g kütleli bir oku yere paralel v ok = 50, 0 m/s hızla fırlatmaktadır. a) Okçunun geri tepme hızı nedir? Problem 9.1 Okçu b) Okçu harcadığı enerjinin yüzde kaçını oka aktarmıştır? c) Eğer okçu oku yatayla θ = 30 yapacak şekilde atarsa (a) ve (b) şıkları nasıl değişir? Sonuç : a) v adam = 0,417 i m/s b) %99,2 c) v adam = 0,361i m/s %99,2 (oran değişmez.)

6 Problem 9.2 Serway P3/282 Çekirdek reaksiyonu sonucunda durmakta olan uranyum ( 238 U) çekirdeği alfa parçacığı yayınlayarak toryum ( 234 Th) çekirdeğine dönüşmektedir. Reaksiyon sonucunda 9,20 MeV luk enerji açığa çıktığına göre, alfanın hızı nedir? mu 238,2 akb, mth 234,1 akb, m 4,00 akb, 1akb 1,66 10 kg, 1 ev 1,66 10 J U Th 9,20 MeV Sonuç : v α = 2, m/s v Th = 3, m/s

7 İtme (İmpuls) ve Momentumun Momentum ile kuvvet arasındaki ilişki, bir çok karmaşık problemin çözümünü oldukça kolaylaştırır. Zamanla değişen bir F kuvveti m kütleli bir parçacık üzerine uygulandığını düşünelim. Newton un II yasasına göre parçacığın momentumundaki değişim, F = dp dt dp = F dt Eğer kuvvet belli bir zaman uygulanmış ise, momentum değişimini bulmak için bu ifadenin integralini almalıyız. p = p s p i = t s t s dp = F dt I İmpuls t i t i İmpuls - Momentum Teoremi Bir parçacık üzerine etki eden F kuvvetinin implusu, bu kuvvetin sebep olduğu parçacığın momentumundaki değişime eşittir.

8 İtme ve Momentumun Kuvvet uygulandığı zaman aralığında değişiyorsa cisim üzerindeki momentum değişimi (veya impulsu) kuvvetzaman grafiğinin altında kalan alandır. I = t s F dt t i F t süresince kuvvetin ortalama değeri F = 1 t t s F dt t i I = F t

9 Topa Vuruş Problem 9.3 Serway Ö9.3/257 50,0 g kütleli bir golf topunun golf sopası ile vurulmaktadır. Top üzerindeki kuvvet, sıfırdan, topun şeklinin bozulduğu andaki maksimum değere çıkar ve top şekildeki gibi olur. Topun maksimum 200 m gittiğini göz önüne alarak, a) çarpışmanın neden olduğu itmenin (impuls) büyüklüğünü bulunuz. (Hava direncini ihmal ediniz) b) Golf sopasını topla t = 4, s temas etmesi halinde sopa tarafından topa uygulanan ortalama kuvvetin büyüklüğünü bulunuz. Sonuç : a) I = 2,20 kg m/s b) F = 0, N

10 Problem 9.4 Serway P11/282 3,00 kg kütleli çelik bir gülle büyük bir duvara, duvarla 60º açı yapacak şekilde 10,0 m/s hızla çarpar ve top aynı hız ve açı ile yansıdığı bilinmektedir. Eğer topun duvarla 0,20 s temasta kaldığı bilindiğine göre duvarın topa uyguladığı ortalama kuvvet nedir? Sonuç : F = 260 i N

11 Çarpışmalar Çarpışma, iki parçacığın birbiri üzerine itme (impulsif) kuvvetleri oluşturarak kısa bir süre için birlikte olmaları şeklinde tanımlanır. Çarpışmadaki itme kuvvetinin, mevcut dış kuvvetlerden daha büyük olduğu kabul edilecektir. m 1 ve m 2 kütleli iki parçacık çarpıştığı zaman itme kuvvetleri (impulsif kuvvetler) şekilde görüldüğü gibi karmaşık bir şekilde zamanla değişebilir. Bu iki parçacıktan oluşan sistemin izole edilmiş olduğunu varsayalım. p 1 = t s F 21 dt t i p 1 = p 2 Doğrudan temasla iki cisim arasındaki çarpışma p 2 = t s F 12 dt t i p 1 + p 2 = 0 p = p 1 + p 2 = sabit İki yüklü parçacık arasındaki çarpışma Yalıtılmış bir sistemde gerçekleşen çarpışmalarda, çarpışmadan önceki sistemin toplam momentumu, çarpışmadan sonraki sistemin toplam momentumuna eşittir.

12 Esnek ve Esnek Olmayan Çarpışmalar Çarpışmalar Esnek Olmaya (inelastik) Çarpışma : Toplam momentum korunduğu halde toplam kinetik enerjinin çarpışmadan önce ve sonra aynı olmadığı çarpışmalardır. Tamamen esnek olmayan çarpışma, çarpışan cisimlerin çarpışmadan sonra kenetlenip birlikte hareket ettiği çarpışmalar. Esnek olmayan çarpışma, çarpışan cisimlerin çarpışmadan sonra birlikte hareket etmeyip fakat bir miktar kinetik enerji başka bir enerjiye dönüştüğü çarpışmalardır. Pek çok çarpışmada, kinetik enerji sabit değildir, çünkü cismin şekli bozulduğundan, bu enerjinin bir kısmı iç enerjiye, esneklik potansiyel enerjisine ve dönme enerjisine dönüşür. Esnek Çarpışma : Toplam momentum ve toplam kinetik enerjinin çarpışmadan önce ve sonra sabit kaldığı çarpışmalardır. Bilardo topu çarpışmaları ve herhangi bir sıcaklıkta hava moleküllerinin duvarla çarpışması yaklaşık olarak esnektir. Gerçek esnek çarpışmalar, atom veya atom-altı parçacıklar arasında gerçekleşir.

13 Esnek ve Esnek Olmayan Çarpışmalar Çarpışmalar Bu çarpışmada momentum korunur fakat kinetik enerji korunmaz. Şekildeki gibi izole bir sistemi ele alalım. (Yüzeyler sürtünmesiz.) p Önce = p Sonra m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 + m 2 v s v s = m 1v 1i + m 2 v 2i m 1 + m 2 Çarpışmadan sonraki ortak hız.

14 İki Arabanın Çarpışması Problem 9.5 Serway Ö9.5/260 Trafik ışığında durmakta olan 1800 kg kütleli bir arabaya, 900 kg kütleli küçük bir araba arkadan çarpar ve iki araba birlikte sürüklenir. Çarpışmadan önce küçük arabanın hızı 20,0 m/s ise, çarpışmadan sonra birleşik kütlenin (arabaların) sürüklenme hızı ne olur? Sonuç : v = 6,67 m/s

15 Balistik sarkaç Problem 9.6 Serway Ö9.6/263 Mermi gibi hızlı hareket eden bir mermi hızını ölçmek için kullanılan bir cihazdır. Kütlesi m 1 'den oluşan bir mermi, kütlesi ihmal edilebilen tellerle aslı büyük m 2 kütleli ağaç blok üzerine atılır. Kurşun blok içine saplanıp kalır ve tüm sistem h yüksekliğine kadar çıkar. Kurşunun hızını h ölçüsünden nasıl tespit edebiliriz? Sonuç : v 1i = m 1+m 2 m 1 2gh

16 Çarpışmalar Esnek Çarpışma : (Merkezsel Çarpışma) Şekildeki gibi izole bir sistemi ele alalım. (Yüzeyler sürtünmesiz.) Bu çarpışmada momentum ve kinetik enerji korunur. Momentumun Korunumu p Önce = p Sonra m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1s + m 2 v 2s Kinetik Enerjinin Korunumu E KE Önce = EKE Sonra 1 2 m 1v 1i m 2v 2i 2 = 1 2 m 1v 1s m 2v 2s 2

17 Esnek Çarpışma : (Merkezsel Çarpışma) Çarpışmalar İlk hızların ve kütlelerin bilinmesi durumunda, çarpışmadan sonraki hızlar, v 1s = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1i + 2m 2 m 1 + m 2 2 v 2i v 2s = 2m 1 m 1 + m 2 v 1i + m 2 m 1 m 1 + m 2 v 2i Örnek: Eğer ikinci parçacık durgun olsa idi son hızlar ne olurdu? v 1s = m 1 m 2 m 1 + m 2 v 1i v 2s = 2m 1 m 1 + m 2 v 1i Örnek: Eğer ikinci parçacık durgun ve kütleler eşit olsa idi son hızlar ne olurdu? v 1s = 0 v 2s = v 1i Örnek: Eğer ikinci parçacık durgun ve m 2 m 1 olsa idi son hızlar ne olurdu? v 1s = v 1i v 2s = 0

18 Yaylı iki cismin çarpışması Problem 9.7 Serway Ö9.7/264 v 1i = 4, 00 m/s hızla sağa doğru hareket eden m 1 = 1, 60 kg kütleli bir blok, şekilde görüldüğü gibi sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde v 2i = 2, 50 m/s hızla sola hareket eden m 2 = 2, 10 kg kütleli ikinci bir bloğa tutturulmuş bir yayla çarpışıyor. Yayın kuvvet sabiti k = 600 N/m dir. a) m 1 kütlesinin sağa doğru 3,00 m/s hızla hareket ettiği anda 2.bloğun hızını bulunuz. b) Yaydaki sıkışma miktarını bulunuz. c) m 2 durgun olduğu anda, m 1 in hızını ve yaydaki sıkışmayı bulunuz. Sonuç : a) v 2i = 1,74 m/s (b) x = 0,173 m (c) v 2i = 0,719 m/s x = 0,251 m

19 Sarkaçlar Problem 9.8 Şekilde görüldüğü gibi m kütleli bir sarkaç 2m kütleli birbiri ile temas halinde bulunan dört sarkaça tam merkezden esnek olarak çarpıyor. a isimli top ve kırmızı top bu çarpışma olaylarından sonra en fazla kaç h yükselebilirler. Sonuç : h a = 4 9 h, h Kırmızı = 1 9 h

20 İki Boyutta Esnek Çarpışmalar Tek boyut için elde ettiğimiz sonuç, iki parçacığın herhangi bir çarpışması içinde x, y ve z doğrultularının her birinde toplam momentumun korunacağını da ifade eder. p x önce = p x sonra p y önce = p y sonra p z önce = p z sonra Bu genel hali, şekildeki gibi durmakta olan m 2 cismine çarpan m 1 sistemi için yazacak olursak x ekseni için momentumun korunumu için; m 1 v 1i = m 1 v x 1s + m 2v x 2s y ekseni için momentumun korunumu için; 0= m 1 v y1s m 2 v y2s Çarpışma esnek ise kinetik enerji korunumundan 1 2 m 2 1 1v 1i = 2 m 2 1 1v 1s + 2 m 2 2v 2s

21 Bir kavşakta Çarpışma Problem 9.9 Serway Ö9.9/267 25, 0 m/s hızla doğuya doğru giden 1500 kg kütleli bir araba, şekilde görüldüğü gibi 20,0 m/s hızla güneyden gelen 2500 kg kütleli bir kamyonla çarpışıyor. Araçlar çarpışmadan sonra kenetlenip birlikte hareket ettikleri gözleniyor. Çarpışmadan sonraki araçların ortak hızı ve q açısını bulunuz. Sonuç : v s = 15,6 m/s θ = 53.1

22 Bilardo Topu Çarpışması Problem 9.10 Serway Ö9.11/268 Bir bilardo oyununda oyuncu, hedefteki topu köşedeki deliğe şekildeki gibi düşürmek ister. Gelen top hangi açı ile sapar. Sürtünme ve dönme hareketinin önemli olmadığını ve çarpışmanın esnek olduğunu varsayınız. Sonuç : θ = 55

23 Kütle Merkezi Eşit olmayan iki kütle hafif katı bir çubuğun ucuna bağlanır. (a) KM ile gösterilen noktadan yukarıda bir noktadan kuvvet uygulandığında saat yönünde döner. (b) KM ile gösterilen noktadan aşağıda bir noktadan kuvvet uygulandığında saat yönün tersi yönde döner. (c) KM ile gösterilen noktadan bir kuvvet uygulandığında herhangi bir dönme hareketi yapmadan hareket eder.

24 Kütle Merkezi Paralel ve düzgün bir kuvvet alanında bulunan bir sistemi dikkate aldığımızda, sistemi oluşturan parçalara paralel kuvvetler uygulanır. Bu kuvvetlerin döndürme etkilerinin sıfır olduğu noktaya sistemin kütle merkezi denir. Eğer kuvvet alanı yer tarafından oluşmuş ise, bu noktaya ağırlık merkezi denir. M = n i=1 m i Şekildeki sistem m 1, m 2,, m n tane parçacıktan oluşmuş olsun. Bu parçalara uygulanan yerçekim kuvvetinin orijine göre döndürme etkilerinin toplamı, kütle merkezi diye tanımladığımız noktaya tüm kütlenin bu noktada toplandığını varsaydığımızda ona uygulanan kuvvetin orijine göre döndürme etkisine eşit olmalıdır. m 1 g x 1 + m 2 g x m n g x n = Mg X X = m 1 x 1 + m 2 x m n x n M Y = m 1 y 1 + m 2 y m n y n M R = X i + Y i + Z i = 1 M i m i r i Z = m 1 z 1 + m 2 z m n z n M Kütle ve ağırlık merkezi, cismin her yerinde g değeri sabit ise aynı noktayı tanımlar.

25 Üç parçacığın kütle merkezi Problem 9.11 Serway Ö9.12/272 Şekilde görüldüğü ( m 1 = m 2 = 1,00 kg, m 3 = 3,00 kg ) gibi üç cisim xy düzlemine yerleştirilmiştir. a) Oluşan sistemin kütle merkezini bulunuz. b) m i r i vektörel toplamını yazınız. Sonuç : r KM = 0,750 i + 1,00 j m

26 Kütle Merkezi Eğer sistemi oluşturan cisimler sürekli kütle dağılımından oluşuyorsa; n X KM = 1 M m i x i X KM = i=1 lim m i 0 1 M n i=1 m i x i = 1 M x dm Y KM = 1 M y dm Z KM = 1 M z dm Genel olarak; r KM = 1 M r dm Bir beyzbol sopası şekilde gösterildiği gibi kütle merkezinin bulunduğu yerden kesilir. Daha küçük kütleli parça (a) sağdaki parça (b) soldaki parça (c) Her iki parça da aynı kütleye sahiptir. (d) belirlenmesi imkansız.

27 Bir çubuğun kütle merkezi Problem 9.12 Serway Ö9.13/272 a) Kütlesi M ve boyu L olan homojen bir çubuğun kütle merkezinin orta noktası olduğunu gösteriniz. b) Çubuğun homojen olmadığını, yoğunluğu λ = αx (α sabit bir sayı) x e doğrusal bağlı olduğunu varsayınız. Bu durumda kütle merkezini bulunuz.

28 Bir dik üçgenin kütle merkezi Problem 9.13 Serway Ö9.14/273 Boyutları şekilde gösterilen dik üçgen şeklindeki bir cismin kütlesi M dir. Cismin birim alan başına kütlesinin sabit olduğunu gözönüne alarak kütle merkezinin koordinatlarını bulun.

29 Parçacıklar Sisteminin Hareketi N parçacıktan oluşan bir parçacıklar sisteminin kütle merkezinin hızı nedir. R = 1 M i m i r i

30 Değişen kütleli sistemler : Roket Hareketi P önce = P sonra Mv = v v e dm+ M dm v + dv dm = M s M ö = dm dm dv 0 Bir roketin çalışması, parçacıklar sisteminde olduğu gibi, momentumun korunumu kanununa dayanır, burada sistem, roket ve yaktığı yakıttır. dv = v e dm M v s = v i + v e ln M i M s Roketi ileri iten etki (itici kuvvet), çıkan egzos gazları tarafından rokete aktarılan kuvvettir. Newton un II yasasına göre İtici Kuvvet = M dv dt = v dm e dt

31 Bir dik üçgenin kütle merkezi Problem 9.14 Serway Ö9.18/279 Serbest uzayda hareket eden bir roket, yere göre v = 3, m/s lik bir hıza sahiptir. Roketin motoru çalıştırılır ve yakıt rokete göre v = 5, m/s lik bir hızla zıt yönde atılır. a) Roketin kütlesi, ateşlemeden önceki kütlesinin yarısına düşünce, roketin yere göre hızı ne olur? b) Yakıt, 50,0 kg/s hızla yakılırsa roket üzerindeki itici kuvvet ne olur?