Cebir Notları. Permutasyon Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 005 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Matematikçiler üçe ayrılır: Sayı saymayı bilenler ve bilmeyenler Matematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek sanırım yanılmış olmayız. Daha 1,5 yaşında bir bebek daha ne olduğunu bilmese bile 1,, 3, 4, diye en azından 10 a kadar sayabilir. Bunların birer rakam olduğunu bile bilmeden Çünkü sıfır ı bilen bebek ben görmedim. Biraz büyüdükçe artık sayıları değil nesneleri saymaya başlar. 3 elma, araba, 4 kitap diye Bizim saymak dediğimiz şey bu kadar basit değil! Bu dersimizin başında önce saymayı öğreneceğiz. Sonsuza kadar saymayı bilen bir adam bile bazen bazı şeyleri sayamaz. En azından buna ömrü izin vermez. Demek sayı saymayı bilen her zaman nesneleri sayabilir diyemeyiz. Nesneler sonlu miktarda olsalar bile! Sayma için bilinen 3 farklı metot vardır: i. Eşleme yoluyla sayma ii. Toplama yoluyla sayma iii. Çarpma yoluyla sayma İlk ikisi zaten günlük hayatta da kullandığımız sayma yöntemleridir. Birilerinin bunları kullanarak nesneleri sayması onun matematik biliyor olması anlamına gelmez. Ama üçüncü şıktaki saymayı bilmiyorsan, aslında saymayı bilmiyorsundur. Şimdi sırasıyla bunları öğreneceğiz: Eşleme yoluyla sayma. Bir sınıftaki öğrenci sayısını, bir apartmanın kaç katlı olduğunu, bir pakette kaç sigara bulunduğunu, sonlu bir kümenin eleman sayısını filan belirlemek için söz konusu elemanları sayma sayıları ile birebir eşlemeye eşleme yolu ile sayma denir. Örneğin, kitabın ilk sayfasına 1, ikinci sayfasına, üçüncü sayfasına 3, gibi isim vererek o kitapta kaç sayfa olduğunu bulabiliriz. Zaten başka yolu da yoktur. Bu işlem en temel sayma işlemidir. Ama bu her zaman geçerli bir yol değildir. Aslında geçerlidir de elverişli değildir desek daha doğru olur. Bir yüz kenarlı çokgenin tüm köşegenlerinin kaç tane olduğu sorulsa mesela n apacaksın? Diyelim inat ettin, yüzgeni çizdin, tüm köşegenlerini de çizip, bismillah deyip saymaya başladın. Ya yüzgen değil, bingen olsa veya milyongen? Olamaz mı, sen inat edersin de ben edemem mi? O halde saymanın başka yolları da olmalı. Yoksa biz sayamıyoruz diye orada köşegen yok demek değil! Aşağıda vereceğimiz ikinci sayma metodu da bu derdimize derman olmayacak ama çözümlerimizde bunu kullanacağız. Toplama yoluyla sayma. A ve B ayrık iki küme olsun, yani kesişimleri boşküme olsun. A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu bulmak için A B kümesinin elemanlarını saymalıyız, ki o da s(a) + s(b) dir. Örneğin, bir sınıftaki öğrenci sayısını eşleme yoluyla tek tek sayabileceğimiz gibi, eğer biliniyorsa sınıftaki kız öğrenciler kümesinin eleman sayısı ile sınıftaki erkek öğrencilerin eleman sayılarını toplayarak da sonuca ulaşabiliriz. Örneğin, bu sınıfta kız öğrenci ve 3 erkek öğrenci varsa, bu sınıfta + 3 = 45 öğrenci vardır deriz. İşte buna toplama yoluyla sayma işlemi denir. Örnek. A kentinden B kentine 40 farklı karayolu ve 0 farklı demiryolu vardır. A dan B ye gitmek isteyen biri kaç yoldan emeline ulaşabilir? Çözüm: = 60 farklı yol olduğundan, bu biri 60 farklı şekilde A dan B ye gider. Bu A ile B kentleri neredeyse, merak ettim bak şimdi, senelerdir ders anlatırım, herkes A dan B ye veya B den A ya gidiyor, bu kadar farklı yolu tabii yaparlar. Örnek. x + 1 < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayısı vardır? Çözüm: 3 < x + 1 < 3 olduğundan 4 < x < olur. Bu eşitsizlikleri sağlayan x tamsayıları { 3,, 1, 0, 1} olmak üzere 5 tanedir. Sabaha kadar

2 mutlak değer bil, saymayı bilmiyorsan 5 i bulamazsı Çarpma yoluyla sayma. A, B, C boş kümeden farklı birer sonlu küme olmak üzere; A ve B kümelerinden sırasıyla birer eleman seçerek oluşturulabilecek bütün sıralı ikililerin sayısı s(a B) = s(a) s(b) veya A, B, C kümelerinden birer eleman seçerek oluşturulabilecek bütün sıralı üçlülerin sayısını s(a B C) = s(a) s(b) s(c) şeklinde çarpma işlemi yaparak buluruz. Örneğin, 3 farklı gömleği, 4 farklı pantolonu olan biri kendine 3 4 = 1 değişik kıyafet yapabilir. Buna bir de 5 farklı kravat eklediğinizi düşünün = 60 farklı kıyafet olur. İşte bu çarpma yolu ile sayma kuralı, eşleme ve-ya toplama kuralı ile saatler, belki de bir ömür alacak toplamları birkaç saniyede bizim için yapar. İlerde farklı örneklerini göreceksiniz. Saymanın temel ilkesi. Sonuç olarak ayrık r tane işten, 1 incisi n 1 değişik yoldan, ncisi n değişik yoldan, r incisi n r değişik yoldan gerçekleştirilebiliyorsa; bu r tane işten her biri n 1 + n + n n r değişik yoldan gerçekleştirilebilir ve bu şekilde sayma işlemine toplama kuralı denir. Bu r tane işin hepsi birlikte, sıralı bir biçimde n 1 n n 3 n r değişik yoldan gerçekleştirilebilir ve bu şekildeki sayma işlemine genel çarpım kuralı veya saymanın temel ilkesi denir. Örnek. Adana dan Ankara ya 3, Ankara dan İstanbul a 4 farklı yol bulunmaktadır. Adana Ankara İstanbul i. Adana dan İstanbul a kaç farklı gidiş seçeneği vardır? Adana dan Ankara ya giden yollardan herhangi birini seçin. Hala Ankara dan İstanbul a gitmek için önünüzde 4 seçenek var. Ve bu diğer iki Adana-Ankara yolu seçimi için de geçerlidir. Dolayısıyla 3 4 = 1 farklı yoldan gidilebilir. ii. İstanbul dan Adana ya kaç farklı dönüş seçeneği vardır? Dönüş için de aynı olay geçerlidir. 4 3 = 1 farklı yoldan dönülebilir. iii. Adana dan İstanbul a kaç farklı gidiş-dönüş seçeneği vardır? Gidiş-dönüş için 1 1 = 144 farklı yol vardır. iv. Adana dan İstanbul a giden bir aracın, Adana ya dönerken daha önceden kullandığı yolu kullanmamak üzere kaç farklı dönüş seçeneği vardır? Hangisi kullanıldı bilinmez ama Adana dan Ankara ya ve Ankara dan İstanbul a gidilen yollardan biri kullanıldı. Dolayısıyla İstanbul dan Ankara ya kullanılmadık, Ankara dan Adana ya 3 yol kaldı. 3 = 6 dönüş seçeneği vardır. Örnek. A dan B ye, B den C ye 4 farklı yol bulunmaktadır. C den A ya dönüş için ise 5 farklı yol vardır. Soru bu ya, bazı yollar için gidişe izin var ama dönüşe yok. Bu şartlar altında A dan B ye uğramak kaydıyla C ye gidip, geri A ya dönmek isteyen birinin önünde kaç değişik seçenek vardır? Çözüm: Şimdi kim oturup da şehir çizecek, sonra şehirleri birbirine bağlayan yollar çizecek? Biz derdimizi kutu çizerek halledelim. Aslında kutu bile çizmesek de olur ama ilerde çok işimize yarayacak bu iş. A dan B ye gitmeye bir kutu, B den C ye gitmeye bir kutu, C den geri A ya dönmeye de bir kutu olmak üzere toplam 3 kutu çizelim. 4 5 Demek ki, bu adamın önünde 40 farklı seçenek varmış. Örnek. a, b, c farklı asal sayılar ve m, n, p birer sayma sayısı olduğuna göre a m b n c p sayısının kaç tane pozitif böleni vardır? Çözüm: Demek ki bu sayının m tane a çarpanı, n tane b çarpanı, p tane c çarpanı varmış. Bu çarpanların herhangi çarpımları bize bu sayının farklı pozitif bölenlerini verir. Canım ister, a dan 1 tane b den tane alır çarparım, canım ister b den 3 tane c den tane alır çarparım. Ama tane b varsa 3 tane b alamam tabii ki. Demek ki kaç farklı a, b veya c seçebiliyorsam, o kadar farklı pozitif bölen mevcut. Yalnız unutmayın ki bundan hiç almıyorum demek de bir seçenektir. Yani a çarpanını m + 1 değişik şekilde, b çarpanını n + 1 şekilde, c çarpanını da p + 1 şekilde seçebiliriz. O halde saymanın temel ilkesine göre (m + 1) (n + 1) (p + 1)

3 kadar farklı seçenek mevcut, bundan dolayı bu sayının pozitif bölenleri bu kadardır. Bazen bize bu sayının tek veya çift pozitif bölenlerinin kaç tane olduğunu sorar. Örneğimizde a nın çift, b ve c nin de tek sayı olduğunu farzedelim. a ile çarpılan her şey çift olmak zorundadır. Dolayısıyla içinde a olmayan çarpımlar bize kaç tane pozitif tek böleni olduğunu verir. O halde pozitif tek bölen sayısı (n + 1) (p + 1) tanedir. Toplam pozitif bölen sayısından tekleri çıkartırsak çift pozitif bölen sayısı da m (n + 1) (p + 1) olarak bulunur. 1. A köyünden B köyüne 5 yol, B köyünden C köyüne de 3 farklı yol vardır. A dan B ye uğramak kaydıyla C ye giden birinin dönüş için kaç farklı seçeneği vardır?. 3 farklı cep telefonu ve 4 farklı hattı bulunan bir kimse kaç değişik şekilde görüşme yapabilir? 3. Bir öğrenci kendini eksik hissettiği 5 dersi her hafta hem okulda, hem dershanede dinliyor ama yine anla-mıyor. Bir de bunlardan özel ders almaya başlıyor. Bu öğrenci haftada en az kaç kere ders dinliyordur? 4. Bir lokantada çeşit çorba, 5 çeşit yemek, 3 çeşit tatlı vardır. Her çeşitten birer tane yemek isteyen birinin kaç değişik seçeneği vardır? 5. farklı takım elbisesi, 3 farklı ayakkabısı, 4 farklı şapkası bulunan bir kişi, bu giysilerle kaç farklı şekilde giyinebilir? sayısının kaç farklı pozitif böleni vardır? sayısının kaç farklı pozitif tek böleni vardır? sayısının kaç farklı pozitif çift böleni vardır? Örnek. 5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? Çözüm: Sadece 1 kişi için kaç farklı seçenek var, ona bir bakalım. Ya başarılı olacak, ya başarısız. Yani seçenek var. O halde 5 kişi için = 5 = 3 farklı seçenek vardır. Sorunun çözümü için yine kutuları çizmek mümkün: Her adam için bir kutu çizilir ve her adamın kaç değişik şekilde sınavı sonuçlandırabileceği yazılır. Bunların çarpımı sonucu verecektir. Unutmayın, kutuları, hikayelerin başrol oyuncuları için çiziyoruz. Yani cümlelerin özneleri için. Çok kullanacağımız bu yönteme biz kutu yöntemi diyeceğiz. Örnek. 8 kişi arasından önce bir başkan, sonra kalanlar arasından iki başkan yardımcısı, sonra da kalanlar arasından bir sekreter seçilecektir. Bu seçim kaç türlü yapılabilir? Çözüm: Tahmin etmişsinizdir, başkana bir, yardımcılarına iki, sekretere de bir olmak üzere 4 lü kutu çizeceğiz = 1680 olduğundan 1680 farklı seçim yapılabilir. Örnek. İki zar ile bir madeni para birlikte atıldığında kaç farklı durum oluşabilir? Çözüm: İki tane zarlar için, bir tane de para için olmak üzere 3 lü kutu yapacağız. Zarların 6 şar, paranın ise yüzü olduğunu unutmayın. İki yüzlü şeyleri sevmeyi Ya para veya zarlardan biri dik gelirse geyiğini de yapmayı = 7 olduğundan 7 farklı durum vardır. Örnek. 4 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? Çözüm: Tanım kümesindeki 4 eleman için 4 lü bir kutu oluşturalım:

4 Her eleman değer kümesindeki canının istediği 3 elemanla da eşlenebilir. Bundan dolayı = 3 4 = 81 farklı fonksiyon tanımlamak mümkündür. Örnek. 4 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı bir kümeye kaç farklı bire-bir fonksiyon tanımlanabilir? Çözüm: Tanım kümesindeki 4 eleman için 4 lü bir kutu oluşturalım: Bu sefer tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde canının istediğiyle eşleşemez. Bire-bir fonksiyonun tanımına göre iki eleman tek elemanla eşleşemez. O halde tane bire-bir fonksiyon tanımlamak mümkündür kişilik bir gruptan önce bir başkan sonra bir yardımcı kaç değişik şekilde seçilebilir? kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? takımlı bir ligde bir hafta sonunda oynanan tüm maçların sonuçlarını (ev sahibi takım yener, misafir takım yener, berabere biter şeklinde) garanti bilmek için en az kaç tahminde bulunmak gerekir? takımlı bir futbol liginde sezon sonu ilk üç takım kaç değişik şekilde oluşabilir? takımlı bir futbol liginde belli üç takımın ilk üç sırayı paylaşacakları önceden bellidir. Sezon sonu kaç değişik sıralama oluşabilir? ili olan ülkemizde kendi alfabemizle 01 MY 001 şeklinde kaç değişik araç plakası yazmak mümkündür? 15. Bir haritadaki 1 şehrin 4 ü kırmızıya, 3 ü sarıya, 5 i maviye kaç farklı şekilde boyanabilir? toptan rastgele 6 sını seçip rasgele bir sıraya diziyorlar. Bu sırayı bilmek için en az kaç değişik tahminde bulunmak gerekir? 17. İki zar atıldığında oluşabilecek tüm durumlarda üst yüze gelen sayıların çarpımı kaç durumda tek sayı olur? 18. Birler basamağı tek sayı, onlar ve yüzler basamağı çift sayı olan kaç tane değişik üç basamaklı sayı yazılabilir? 19. Bir futbol takımı 6 kişi arkada 5 kişi önde olmak üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? 0. Bir futbol takımı en uzun 6 kişi arkada, en kısa 5 kişi önde olmak üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? 1. Bir kimse, bilgisayarındaki dosyalara 1 Türkçe harf ve rakamdan oluşan isimler vermektedir. Bu sistemle en çok kaç dosyayı isimlendirebilir?. 3 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? 3. 3 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye kaç farklı bire-bir fonksiyon tanımlanabilir? 4. 6 farklı oyuncak 3 çocuğa kaç değişik şekilde verilebilir? 5. 3 mektup 5 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? 6. 5 insan farklı asansöre kaç değişik şekilde binebilir? 4

5 7. 5 insan 5 kişilik bir arabaya öne, 3 arkaya olmak üzere kaç değişik şekilde binebilir? 8. İkisi ehliyetli 5 kişi, 5 kişilik bir arabaya, ehliyetliler öne, ehliyetsizler arkaya olmak üzere kaç değişik şekilde binebilir? Kişiye özel sayı oluşturmak. Tek basamaklı pozitif kaç tane sayı vardır? 10 değil mi? Hatta biz bunlara rakam deriz. Peki, iki basamaklı kaç sayma sayısı var? Bundan kolay ne var: 90. Peki üç basamaklı? 900. Dört? Beş? Ne kadar da kolay! Sen öyle sa Her zaman bu kadar basit değil. Bazen şöyle sorar: Şu şu şu rakamlarla şu kadar basamaklı kaç sayı var? Şu sayıdan büyük, şu sayıdan küçük, şu kadar basamaklı, tek veya çift kaç basamaklı sayı var? Üstüne üstlük bir de şu sayıya bölünsün. Hıı, unutmadan bir de şu sayıyla başlaması Olur, başka emriniz? İşte notlarımızın bu kısmında şımarıkça sorulan bu sorulara cevap arayacağız. Örnek soru-çözümlerle anlatalım: Örnek. Sadece 1,, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak; 1) Üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Birler, onlar ve yüzler basamağı için 5 er farklı seçeneğimiz var. O halde cevabımız 15 olmalı. ) Dört basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Aynen yukardaki gibi ama bu sefer 4 basamak olduğundan 5 4 = 65 değişik seçenekle karşı karşıyayız. 3) Üç basamaklı kaç değişik çift sayı yazılabilir? 5 5 Birler basamağı için {, 4} olmak üzere hakkımız var, diğer basamaklar için herhangi bir sınırlamamız yok. O halde cevabımız 5 5 = 50 dir. 4) Üç basamaklı kaç değişik tek sayı yazılabilir? Bunu ister yukardaki gibi birler basamağının 3 ayrı hakkı var diye yapabiliriz, ki bunlar {1, 3, 5} tir, istersek de yazılabilecek tüm üç basamaklı sayılardan çift olanları çıkararak yapabiliriz: = 75 bulunur. 5) Rakamları farklı kaç değişik üç basamaklı sayı yazılabilir? Yüzler basamağına 5 farklı rakam da gelebilir. Yalnız onlar basamağına böyle diyemeyiz. Çünkü oluşturacağımız sayının rakamlarının farklı olduğu söyleniyor. Hangi rakamı yüzler basamağına kullandıysak kullandık, fark etmez, onlar basamağına 4 hakkımız kalır. Aynen bunun gibi birler basamağına da 3 hakkımız kalır. O halde = 60 tane böyle sayı yazılabilirmiş. Aynı işlemleri birler basamağından başlayarak yüzler basamağına doğru giderek de yapabilirdik, sonuç değişmezdi. İsterseniz deneyi 6) Rakamları farklı kaç değişik üç basamaklı çift sayı yazılabilir? 3 4 Bu sefer birler basamağından başlayacağız. Sayının çift olması istendiğinden birler basamağına hakkımız var, hangisi gelirse gelsin, ortadaki kutuya 4 hak kalır. Aynı şekilde başa da 3. Bunları çarparsak 3 4 = 4 çıkar. Bu sorunun çözümüne yüzler basamağından başlanabilir miydi? Deneyelim: İlk kutuya 5 hak var, ikinci kutuya 4. Eee, son kutuya kaç? diyorsun ama ya bu sayıyı çift yapan değerler ilk kutularda kullanılmışlarsa? Belki de son kutuya hiç hak kalmadı! Belki de 1 tane kaldı, belki de si de hala duruyor. Demek ki kutu yönteminde ilk önce mecbur olduğumuz sayıları yerleştirmemiz gerekir. Başlamaya mecbur olmadığımız kutular, ne kaldıysa onunla yetinmek zorundalar. 7) Rakamları farklı kaç değişik üç basamaklı tek sayı yazılabilir? Bu soruda da mecbur olduğumuz basamak son basamak. O halde son kutuya 3 yazalım. Rakamları farklı istendiğinden, birer birer azalarak diğer kutulara sayılarımızı yerleştirip çarpalım: = 36 bulunur. Bu soruyu, istersek yazılabilecek tüm rakamları farklı değişik üç basamaklı sayılardan çift olanları çıkararak da bulabilirdik: 60 4 = 36. 5

6 8) Rakamları farklı, 300 den büyük üç basamaklı kaç değişik çift sayı yazılabilir? Yukardaki kutular niye boş, merak ediyorsunuz değil mi? Anlatayım: Mecbur olduğumuz kaç kutu var? Bu sefer. Çünkü hem son basamağa çift sayılar gelecek, hem de ilk basamağa 3 veya daha büyük rakamlar. Eee, hangisinden önce başlamamız gerekir? İkisinden de başlayamazsı Kutu yöntemini kullanabilmek için başlamaya mecbur olduğun kutu sayısı en çok 1 olmalı. O halde ne yapacağız? İki farklı kutu çizeceğiz. Bir mecburiyetimizi birinde, diğer mecburiyetimizi ise diğerinde gidereceğiz. Sorunu bir de başka türlü açıklayayım: Son basamağa {, 4} olmak üzere iki hakkımız var ya, eğer son basamağa gelirse bu ilk basamak için tehdit oluşturmaz ama ya 4 gelirse? 4 ü son basamakta kullandığımız için artık ilk basamakta kullanamayız. İşte bundan dolayı bir sona nin geldiği kutu çizeceğiz, bir de 4 ün geldiği. Son basamağı olan: Son basamakta kullanıldığından ilk basamakta 4 ü kullanabiliriz. İki rakam kullanıldığından onlar basamağına 3 hakkımız kalır. Bun-dan dolayı bu seçeneğin cevabı 9 dur. Son basamağı 4 olan: 3 1 Burada da son basamakta 4 kullanıldığından ilk basamağa sadece {3, 5} sayıları kalır. Yine iki rakam kullanıldığından ortadaki kutuya 3 hak kalır. Bu seçeneğin de cevabı 6 dır. İki seçenek sonuçları toplanırsa = 15 bulunur. 9) 100 den büyük dört basamaklı 5 ile bölünebilen 4 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Rakamları farklı denmediğinden bu sefer tehlike yok gibine geliyor değil mi? Sadece mecbur olduğumuz tek şey var, o da son rakamın 5 olması zannediyorsun. Hayır, durum bu kadar basit değil. Çünkü ilk rakam 1 olsa, ikinci rakam 1 olamaz. Ama ilk rakam, 3, 4, 5 rakamlarından biri olsa ikinci rakam 1 olabilir. O halde yine kutu çizmemiz gerekir. İlk basamağı 1 olan: İlk basamağı 1 olmayanlar: İlk seçenekte 0, ikinci seçenekte 100 sayı olduğundan cevabımız 10 olmalıdır. 10) Rakamları çarpımı çift olan üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Bir sayının rakamları çarpımının çift olması için ne olması gerekir? En az bir rakamı çift olmalı. Bu ne demek? Sadece bir rakamı çift olsa da olur, iki rakamı çift olsa da olur, üç rakamının üçü çift olsa da olur. E, bunlar için üç hatta daha çok kutu gerekir. Biz bunun yerine tüm sayılardan rakamları çarpımı tek olanları çıkartacağız. Zira bu çok kolay. Çünkü bir sayının tüm rakamları tek sayı oldu mu, rakamlarının çarpımı zaten tek olur. Üç basamaklı 15 değişik sayı yazılabileceğini bulmuştuk. Şimdi de tüm rakamları tek sayı olan kaç tane üç basamaklı değişik sayı yazabileceğimizi bulalım: Her kutuya mecburen {1, 3, 5} rakamlarından biri gelmeli. Rakamları farklı istenmediğinden = 7 tane böyle sayı yazılabileceğini anlarız. O halde sorunun cevabı 15 7 = 98 tir. Örnek. {0, 1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak kaç değişik rakamları farklı üç basamaklı çift sayı yazılabilir? Çözüm: Bu sorunun, üstte on şıkta çözdüğümüz sorudan farkı var. Çünkü bu sefer 0 sayısı da kullanılacak. Diğer rakamların hepsi ilk basamakta kullanılabilecekken, sıfırın böyle bir hakkı yok. Kullanmayız biter hocam, ne var ki? diyorsundur, haklısın ama bu soruda bir de sayının çift olması isteniyor. Yani 0 son basamakta kulanılırsa, ilk rakam için artık tehdit oluşturmaz ama ya son rakam da 0 değil de veya 4 kullanılmışsa? İşte bu yüzden iki farklı kutu çizmek zorunda kalacağız. Ama son rakamın çift olma zorunluluğu olmasa tek kutu işimizi görürdü, bunu da bilin Son basamağı 0 olan: Son basamağı veya 4 olanlar: 4 4 İlk durumda 0, ikinci durumda ise 3 değişik sayı elde ettik, bunları toplarsak = 5 değişik sayı yazılacağını anlarız. 9. M = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı kaç değişik sayı yazılabilir? 6

7 30. A = {1,, 3,4} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? 31. B = {0, 1,, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı 400 den küçük kaç çift sayı yazılabilir? 3. C = {0, 1,, 3, 5, 8, 9} kümesinin elemanlarıyla 3000 ile 8000 arasında kaç farklı sayı yazılabilir? 33. D = {0, 1,, 3, 4, 5, 9} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek üç basamaklı rakamları farklı sayıların kaç tanesi 15 ile kalansız bölünür? 34. E = {1,, 3, } kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayıların adedi 10 ise s(e) kaçtır? Oturma, dizilme, sıralanma. Sakın kıpraşma! manasında değil tabii ki Şimdi de bir miktar kimsenin/nesnenin boş buldukları bir yere/sıraya/rafa kaç değişik biçimde oturabileceğini/dizilebileceğini/sıralanacağını bulmaya çalışacağız. İşimiz yok ya! Yine örneklerle açıklayalım ama ilerde permutasyon konusunda bu soruları farklı şekillerde çözebileceğimizi de belirtelim. Bazen daha kısa ama bazen daha uzun. Örnek. Ahmet ve Mehmet in aralarında bulunduğu 5 kişi bir sıraya; i. Kaç değişik şekilde oturabilir? ii. Ahmet ile Mehmet yan yana olmak üzere kaç değişik şekilde oturabilir? iii. Ahmet ile Mehmet birbirlerine küsler ve bundan dolayı yan yana olmak istemiyorlarsa kaç değişik şekilde oturabilirler? iv. Ahmet ile Mehmet arasında her defasında sadece 1 kişi olmak kaydıyla kaç değişik şekilde oturabilirler? Çözüm: i. 5 kişi olduğundan 5 li bir kutu çizelim Sıranın en başına 5 kişinin 5 i de oturabilir. Onun sağına aday 4 kişi kaldı. Böylece ortaya 3, ortanın sağına da aday kaldı. En sağa da 1 kişi. O halde = 5! = 10 değişik şekilde oturabilirler. ii. Madem Ahmet ile Mehmet ayrılmak istemiyorlar, biz de onları bir iple bağlayalım. Artık Ahmet nereye giderse, Mehmet de oraya gideceğinden sanki tek kişi gibi oldular. 5 kişi bir sıraya 5! değişik şekilde oturuyorsa 4 kişi de 4! = 4 değişik şekilde oturur. Ama bu 4 durumun hepsinde Ahmet ile Mehmet yer değiştirebilirler. Bundan dolayı cevap 48 olmalıdır. iii. Toplam durumdan yan yana olma durumlarını çıkartırsak, yan yana olmama durumlarını bulmuş oluruz. O halde cevap = 7 dir. iv. Ahmet i A ile, Mehmet i M ile diğer üç insanı da X ile gösterelim. AXMXX, XAXMX ve XXAXM durumları mümkündür. Bir de A ile M yer değiştirirler, onu da unutmayacağız. Üç tane farklı X insanı kendi arasında 3! kadar yer değiştirirler, bir de A ile M nin yer değiştirme durumu olduğundan cevabımız 3!! = 1 dir. Örnek. 7 kişilik bir sıraya 5 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? Çözüm: Yine 5 kişi olduğundan 5 li bir kutu çizeceğiz İlk adamın oturmak için 7 seçeneği var. İkincisinin 6. Üçüncüsünün 5. Dördüncüsünün 4. Sonuncusunun ise 3. Bundan dolayı cevabımız = 50 Örnek. 4 farklı matematik, 3 farklı geometri kitabı bir rafa; i. Kaç farklı şekilde dizilebilir? Matematik kitapları birbirlerinden, geometri kitapları da birbirlerinden farklı olduğundan aslında 7 farklı kitap vardır. Bundan dolayı cevap 7! olur. ii. Geometri kitapları birbirinden ayrılmamak üzere kaç değişik şekilde dizilebilir? Madem geometri kitapları birbirinden ayrılmayacak, bunları bir iple birbirlerine bağlayalım. Hepsi birlikte hareket edeceğinden tek bir kitapmış gibi davranırlar. 4 matematik kitabıyla birlikte ortada 5 kitap varmış gibi olur. 5 kitap da bir rafa 5! kadar değişik şekilde dizilir. Ama geometri kitapları da bu 10 dizilişin her birinde kendi aralarında yer değiştirebilirler. Bundan dolayı cevap 5! 3! = 70 dir. 7

8 35. 4 kişi 8 kişilik bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilirler? 36. Belli üç kişi bir arada olmak kaydıyla 7 kişi bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir? 37. Belli üç kişinin üçü birden yanyana olmamak üzere 7 kişi bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilirler? farklı matematik, 4 farklı fizik kitabı bir rafa aynı dersin kitapları yan yana olmak üzere kaç değişik şekilde dizilebilir? farklı matematik, 4 farklı fizik, 5 farklı kimya kitabı bir rafa dizilecektir. Matematik kitapları birbirinden ayrılmamak üzere kaç değişik şekilde diziliş sağlanabilir? 40. Üstteki soruda fizik kitabı ile başlayıp, fizik kitabı ile biten bir sıralama kaç değişik şekilde yapılabilir?. r < n olduğu bir durumda, n tane farklı nesnenin r tanesini aynı anda seçerek sıraya dizersek, yani bu nesnelerle bir sıralı r li oluşturursak, bu sıralamaya n nin r li bir permutasyonu denir. Oluşturabileceğimiz tüm sıralı r liler de n nin r li permutasyonlarının tümünü verir. Kaç farklı sıralı r li yapılabiliyorsa, n nin r li permutasyonu o kadardır denir. Örneğin, A = {a, b, c, d} kümesinden aynı anda 3 eleman seçelim. Bunlar da örneğin a, b, c olsun. O halde bca, A kümesinin 3 lü bir permutasyonudur. Peki seçtiğimiz bu elemanları başka türlü sıraya dizebilir miydik? Tabii ki, abc, acb, bac, bca, cab, cba gibi 6 farklı şekilde dizilebilirlerdi. O halde A nın 3 lü permutasyonlarının sayısı 6 dır deriz. Eğer 4 elemanın 4 ünü de seçseydik, abcd, abdc, acbd, acdb, gibi 4 farklı diziliş meydana gelirdi ki A nın 4 lü permutasyonlarının sayısı da 4 tür derdik. Dikkat ederseniz, A kümesinin 3 lü permutasyonlarının sayısı 6 yani 3!, 4 lü permutasyonlarının sayısı da 4 yani 4! çıktı, demek ki bu hesaplamanın faktöryelle bir alakası olmalı diye şüpheye düştük. Yanılmadık, var! Ama tabii ki r! değil. Öyle olsaydı 1 li permutasyonların sayısı 1! = 1 çıkmalıydı, halbuki A kümesinin a, b, c, d olmak üzere 4 farklı 1 li permutasyonu vardır. O halde n nin r li permutasyonlarının sayısı kaç? Şimdi bu soruya cevap arayacağız. Başlıyoruz: n nin r li permutasyonlarının sayısı. Önce r tane eleman seçeceğiz, sonra bu r tane elemanı değişik değişik sıralara dizeceğiz. Bunu yapabilmek için başkan ve yardımcılarını seçtiğimiz örneği aklınıza getirin. 1 başkan, yardımcı ve 1 sekreter seçtiğimizden 4 lü bir kutu çizmiştik. Burada da r tane eleman seçeceğimizden r li bir kutu çizeceğiz. Nasıl ki başkana 8 aday var diye başkan kutusuna 8 yazmıştık, burada da ilk elemanın kutusuna n yazacağız. Sonraki kutuya (n 1), bir sonrakine (n ) filan yazacağız ve bu böyle devam edecek. r.inci kutuya ise (n r + 1). Şimdi geriye bunları çarpmak kaldı. n(n 1)(n ) (n r + 1) n( n 1)( n )...( n r+ 1)( n r)( n r 1) = = ( n r)( n r 1) ( n r)! Zor değilmiş değil mi? İşte bu n nin r li permutasyonu sayısı da P n veya P(n, r) ile gösterilir. Unutmamamız gereken bu eşitliği tekrar r yazalım: P(n, r) = ( n r)! Uyarı. Biraz önceki işlemlerin başında bulduğumuz P(n, r) = n (n 1) (n ) (n r + 1) eşitliği gereği, n nin r li permutasyonunu yani P(n, r) yi pratik yoldan hesaplamak isteyenler n den başlayan ve birer birer azalan r tane sayıyı çarpmalılar. Örneğin, P(11, ) = 11 10, P(10, 3) = , P(15, 4) = gibi 8

9 Teorem. P(n, 0) = 1. Kanıt: P(n, 0) = = ( n 0)! n! = 1. Teorem. P(n, 1) = n n( n 1)! Kanıt: P(n, 1) = = = n. ( n 1)! ( n 1)! Teorem. P(n, n) = Kanıt: P(n, n) = = = ( n n)! 0! Soru. P(n, 4) = 4 P(n, 3) olduğuna göre n kaçtır? Çözüm: = 4 ( n 4)! ( n 3)! olduğundan (n 3)! = 4(n 4)! yani (n 3)(n 4)! = 4(n 4)! olur ki n = 7 dir. Soru. 10 kişilik bir grupta herkes birbirine tokat atarsa, toplam kaç tokat atılmış olur? Çözüm: (A, B) sıralı ikilisi, A insanı B insanına tokat atmış demek olsun. Bu on insana isim verirsek, bu isimlerle yapabileceğimiz tüm sıralı ikililer bize atılmış bir tokat verir. O halde P(10, ) = 10 9 = 90 tokat atılmış olur. Soru. 10 kişilik bir grupta herkes birbiriyle dans ederse, toplam kaç dans edilmiş olur? Çözüm: (A, B) sıralı ikilisi, A insanı B insanıyla dans etti demek olsun. Ama bu aynı zamanda B insanının da A ile dans etmiş olduğunu söyler. Yani deminki gibi çözeceğiz ama her dansı iki kere saymış olacağımızdan (ama ortada edilmiş tek dans olduğundan) cevabı ikiye böleceğiz. P(10, )/ = P(n, ) + P(n, 3) = 5 P(n, 1) ise n kaçtır? 4. P(n+, ) = P(n+1, ) ise n kaçtır? 43. P(10, ) + P(9, 3) = P(n, 1) ise n kaçtır? 44. Herkesin birbirine hediye aldığı bir toplulukta toplam 110 hediye verilmişse, bu toplulukta kaç kişi vardır? Soru. A = {a, b, c, d} kümesinin içinde a bulunan 3 lü permutasyonlarının sayısı kaçtır? Çözüm: Önce a yı n olur n olmaz diye kenara bir ayıralım. A kümesinin a dışındaki elemanlarının kaç değişik li permutasyonu var onu hesaplayalım, sonra bunların arasına a yı koyarız. P(3, ) = 6 olur. Bu altı li permutasyonun hepsinde a yı en başa da koyabiliriz, iki elemanın arasına da, en sona da O halde 3 6 = 18 tane içinde a bulunan 3 lü permutasyon vardır. Bu soruyu ilerde kombinasyon dersinde farklı bir şekilde daha çözeceğiz. Ben size o yolu tavsiye ederim. Soru. A ={a, b, c, d, e, f, g} kümesinin a ve b elemanlarını yan yana bulunduran 5 li permutasyonlarının sayısı kaçtır? Çözüm: Biz a ile b elemanlarını, birbirlerinden ayrılmasınlar diye, ab gibi tek bir elemanmış gibi düşünelim. O halde şu an A kümesi 7 değil, 6 elemanlı olur. ab elemanını yine n olur n olmaz diye kenara ayıralım. Kalan 5 eleman ile değişik sıralı 3 lüler yapıp, aralara bu ab elemanını serpiştireceğiz. Böylece 5 li permutasyonlar oluşacak. c, d, e, f, g elemanlarıyla P(5, 3) = 60 tane sıralı 3 lü yapılabilir. Bu ab leri en başa koyabileceğimiz gibi, birinci ile ikinci elemanın arasına da koyabiliriz, ikinci ile üçüncü elemanların arasına da, en sona da. Yani 4 seçenek var. O halde içinde ab bulunan 5 li permutasyon sayısı 60 4 = 40 tür. Son dikkat edilmesi gereken ise soruda ab bulunan demiyor, a ile b nin yan yana bulunduğu diyor, yani ba olsa da olur demek istiyor. Bulduğumuz sonucu ile çarparsak soruyu çözmüş oluruz, cevabımız 40 = 480. Kombinasyon dersinde bu soruyu tekrar çözeriz. 45. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permutasyonlarının kaç tanesinde b eleman olarak bulunur? 9

10 46. B = {a, b, c, d, e} kümesinin 4 lü permutasyonlarının kaç tanesinde a veya b eleman olarak bulunur? 47. C = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permutasyonlarının kaçında a bulunur ama e bulunmaz? 48. F = {1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla içinde 1 ya da yi barındıran kaç farklı 3 lü permutasyon yazılabilir? Tekrarlı. n 1 tanesi birinci türden, n tanesi ikinci türden, n 3 tanesi üçüncü türden,, n r tanesi r ninci türden olmak üzere n 1 + n + n n r = n tane elemanın birbirlerinden farklı dizilişlerine birer tekrarlı permutasyon denir. Böyle bir diziliş n1!. n!... nr! farklı şekilde yapılabilir. Örnek. MUSTAFA kelimesinin harfleri ile anlamlı veya anlamsız kaç değişik 7 harfli kelime yazılabilir? Çözüm: MUSTAFA kelimesinin tüm harfleri farklı olsaydı, bu harflerle 7! tane farklı kelime yazabilirdik ama burada iki tane A olduğundan, yani bunlar kendi aralarında yer değiştirseler bile oluşacak yeni kelime eskisiyle aynı olacağından, 7! sayısı! e bölünmelidir. 7! 5040 O halde cevabımız = = 50.! Örnek. MATEMATİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 7 harfli; 1) Kaç değişik kelime yazılabilir? Hepsi farklı harf olsaydı 9! tane değişik kelime yazabilirdik. Ama iki tane M, iki tane A, iki tane T 9! harfinden dolayı kadar değişik kelime yazılabilir.!.!.! ) E harfiyle başlayan kaç değişik kelime yazılabilir? Madem ki E harfi mecbur başta olacak, al E yi başa koy. Kaç harf kaldı? 8 değil mi? Yani MATMATİK kelimesinin harfleriyle kaç değişik kelime yazabilirsen o kadar E harfiyle başlar. Bu 8! da tanedir.!.!.! 3) M harfiyle başlayıp, K harfiyle biten kaç değişik kelime yazılabilir? Şimdi de M yi başa, K yı sona koy. ATEMATİ kelimesinin harfleriyle kaç değişik 7 harfli kelime 7! yazabilirsen cevap odur. O halde cevap olur.!.! 4) Sesli harfle başlayıp, sesli harfle biten kaç değişik kelime yazılabilir? Önce kaç tane sesli harfimiz var, ona bakalım. A, A, E, İ olmak üzere 4 tane. Peki, bunlarla kaç farklı şekilde harfli kelime yapabileceğimizi bulalım: = 1. Bu 1 farklı iki harfli kelimenin bi- 4!! rinci harfleri oluşturacağımız 9 harfli kelimenin ilk harfleri, ikinci harfleri de son harfleri olacak. Yalnız, iki durumda (başa E, sona İ ve başa İ, sona E harfleri geldiğinde), ortadaki 7 harfli kelime MTMTKAA olur, diğer 10 durumda ise ortadaki kelime MTMTKS 1 S olur. O halde 7! 7! 7! + 10 = 11!.!.!!.!!.! tane değişik kelime yazılabilir. Örnek sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden değişik; 1) Kaç sayı yazılabilir? Hepsi farklı rakam olsaydı 6! değişik sayı yazılabilirdi. Üç tane 1, iki tane olduğundan dolayı 6! = 60 değişik sayı yazılabilir. 3!.! ) 3 ile başlayan kaç sayı yazılabilir? Madem 3 ile başlayacak. 3 ü aldık, başa koyduk. Kalan sayının rakamlarıyla kaç değişik sayı yazabilirsek, onları getirip 3 ün sağına koyacağız. O 5! halde 111 sayısıyla = 10 sayı yazılabildiğinden cevap 3!.! 10 dur. 3) Kaç çift sayı yazılabilir? Çift sayı olabilmesi tek durum ile mümkün, sayının son rakamının olmasıyla. Hangisinin olduğunun önemi yok, lerin birini al, sona koy. Ge- 10

11 riye ne kaldı? Bunun rakamlarıyla sayı yazılacağından cevabımız 0 dir. A A B biçimde gidilebilir? B A A B B 5! = 0 3! Örnek. Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan B ye en kısa yoldan kaç değişik Çözüm: Yolun en kısa olması için, daima sağa veya yukarıya gitmeliyiz. 1 kere bile sola veya aşağıya gidersek, yol uzamış olur. O halde yan şekildeki gibi sağa doğru hareket etmeyi 1 ile, yukarı doğru çıkmayı ile gösterelim sayısında rakamlar yer değiştirdikçe A dan B ye giden yollar da değişir ama hala en kısa yol olur. Demek ki bu sayının rakamları ile kaç farklı 10 basamaklı sayı yazabilirsek, o kadar farklı rota belirlemiş oluruz. Bundan dolayı cevabımız Örnek. A dan C ye en kısa yoldan; i. B ye uğramak kaydıyla ii. B ye uğramamak kaydıyla kaç farklı şekilde gidilebilir? Çözüm: i. A dan B ye farklı en kısa yol sayısını, B den C ye farklı en kısa yol sayısıyla çarpacağız, cevap o olacak. 10! = 10 olmalıdır. 3!.7! A dan B ye farklı en kısa yol sayısı 111 sayısının rakamlarıyla kaç değişik dört basamaklı sayı yazılabiliyorsa o kadardır. B den C ye farklı en kısa yol sayısı da 1111 sayısının rakamlarıyla kaç değişik altı basamaklı sayı yazılabiliyorsa o ka- 4! 6! dardır. O halde cevabımız = 60 olmalıdır. 3! 1! 4!! ii. Bulmuştuk, toplam 10 farklı yol vardı, bunların 60 ının B den geçtiğini de demin bulmuştuk, o halde = 60 yolun B den geçmeyen en kısa yol olduğunu söyleyebiliriz. Örnek. Her defasında sadece 1 veya 3 basamak atlayan bir çocuk, 1 basamaklı bir merdiveni kaç değişik şekilde çıkabilir? C C Çözüm: Canı isterse tüm basamakları teker teker çıkar. Bu 1 seçenektir. Canı isterse sadece 1 kere 3 basamak atlar, diğerlerini teker teker çıkar. Bu da sayılarının kaç değişik şekilde dizilebileceği kadardır. Veya kere 3 basamak atlar, diğerlerini yine tek tek çıkar. Burada da sayılarını kaç değişik şekilde sıraya dizebileceğimiz kadardır. Benzer durumda ve 3333 durumu vardır. O halde cevap: 10! 8! 6! = 60. 9!!.6! 3!.3! 49. GEOMETRİ kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? 50. TASTAMAM kelimesinin harfleriyle A harfiyle başlayıp A harfiyle biten kaç farklı 8 harfli kelime yazılabilir? aynı matematik kitabı, 4 aynı fizik kitabı bir rafa kaç değişik şekilde dizilebilir? 5. Üstteki soruda matematik kitabı ile başlayan fizik kitabı ile biten bir sıralama kaç değişik şekilde yapılabilir? sayısının rakamlarıyla kaç değişik 8 basamaklı sayı yazılabilir? sayısının rakamlarıyla kaç değişik 8 basamaklı çift sayı yazılabilir? 55. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm beş harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, baştan 7. kelime ne olur? 56. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 5 harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, sondan 5. kelime ne olur? 11

12 57. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 5 harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, YAĞCI baştan hangi sırada olur? 58. YAĞCI kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız, harfleri farklı en çok 4 harfli kelime kaç değişik biçimde yazılabilir? 59. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 5 harfli kelimelerin kaç tanesi Y harfiyle başlar ama I harfiyle bitmez? 60. YAĞCI kelimesinin harfleriyle sesli harflerin alfabetik sırada olduğu beş harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazmak mümkündür? 61. YAĞCI kelimesinin harfleriyle sessiz harflerin alfabetik sırada olduğu beş harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazmak mümkündür? 6. A noktasından B noktasına, çizgiler üzerinden gitmek şartıyla en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? 63. A noktasından B noktasına, çizgilerin dışına çıkmadan ve U ya uğramak kaydıyla en kısa yoldan kaç değişik şekilde gidilebilir? 64. Üstteki soruda U dan geçmek yasak ise kaç farklı yol vardır? 65. Her defasında 1 veya 4 basamak atlayan bir çocuk, 1 basamaklı bir merdiveni kaç değişik şekilde çıkabilir? 66. Rakamları çarpımı 300 den büyük 3 basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı vardır? A A U B B Dairesel (Dönel). Sonlu bir kümenin elemanlarının bir çember üzerinde (kapalı bir eğri üzerinde) birbirlerine göre farklı biçimde dizilişlerinin her birine bu elemanların bir dairesel permutasyonu veya dönel sıralaması denir. Toplam diziliş sayısı ise (n 1)! formülüyle hesaplanır. (n 1)! sayısı nerden çıktı? n tane nesnenin, bir sıraya kadar değişik şekilde dizilebileceğini kanıtlamıştık. Bunu unutmayın. Şimdi bu n tane nesneyi sıraya değil de yuvarlak bir masa etrafına oturtalım. Canımız nasıl isterse öyle oturtalım. Sonra herkes aynı yöne doğru birer sandalye kaysın. Sizce birbirlerine göre başka bir sıralama mı elde ettik, yoksa deminkinin aynısını mı? Aynısını değil mi? Peki bu kaymalar ne kadar sürerse sürsün fark etmez, onu da biliyorsunuz değil mi? Yani n tane dizilişin hepsi aslında birbirlerine göre aynı diziliştir. Onun için ilk bulduğumuz sayısını n ye bölmeliyiz, buradan da (n 1)! sayısına ulaşırız. Örnek. 5 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler? Çözüm: Kanıtladığımız üzere (5 1)! = 4! = 4 değişik şekilde oturabilirler. Örnek. 6 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafında yemek yiyecektir. i. Anne ile baba yan yana oturacaksa ii. En küçük çocuk, anne ile babanın arasında olacaksa iii. Anne ile baba yan yana olmayacaksa Bu yemek kaç farklı şekilde yenir? Çözüm: i. Madem anne ile baba ayrılmayacak, onları bir iple bağlayalım. Şimdi 5 kişi oldular. 5 kişi yuvarlak masa etrafına 4! = 4 kadar değişik şekilde otururlar. Bir de anne ile babanın kendi aralarında yer değiştirme durumlarını düşünürsek 4 = 48 farklı şekilde olabileceğini buluruz. ii. Bu sefer anne-çocuk-babayı bir iple bağlayalım. Oldular 4 kişi. Yuvarlak masa etrafına 4 kişi 3! = 6 değişik şekilde otururlar. Anne ile baba yine kendi aralarında yer değiştirebilirler, ortadaki çocuk, hala ortada olduğundan sorun yok. O halde cevabımız 6 = 1 dir. iii. 6 kişi yuvarlak masaya 5! = 10 değişik şekilde otururlar. 48 seferinde anne ile babanın yan ya- 1

13 na olduğunu bulmuştuk. O halde = 7 durumda yan yana değillerdir. Örnek. 4 erkek ve 4 kadın yuvarlak bir masada aynı cins iki kişi yan yana olmayacak biçimde kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm: Önce centilmen olup, şu kadınları bir oturtalım bakalım. 4 kadın yuvarlak masaya 3! = 6 değişik şekilde oturur. 4 kadın oturunca 4 kişilik boş yer kaldı aralarda. İşte bu boş 4 yere 4 erkek oturacak. Ama artık masanın yuvarlaklığının bir ehemmiyeti kalmadı yani. Onun için erkekler 4! = 4 değişik şekilde otururlar. O halde cevap: 6 4 = 144. Soru. 6 farklı anahtar dairesel bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? Çözüm: Anahtarlık sorularında diğerlerinden farklı bir durum vardır. Çünkü anahtarlar diğer nesnelerden biraz farklıdır da ondan. Aynı farka sahip her nesneye ait sorularda birazdan bahsedeceğimiz ayrıntıya dikkat ediniz. Anahtar problemlerinde anahtarların önü ile arkası aynı kabul edilir ve yapılan herhangi bir dizilişte aslında farklı dizilişin birlikte yapıldığı düşünülür. Örneğin A, B, C isminde 3 farklı anahtarın olduğunu düşünün. Bunları bir anahtarlığa takın. Örneğin ABC sırasıyla taktınız. Şimdi anahtarlığı elinize alın ve şöyle bir havaya fırlatıp yere düşmesini sağlayın. Tekrar elinize aldığınızda anahtarları CBA diziliminde görmeniz mümkün müdür? Pek tabii ki İşte bu yüzden anahtarlık problemlerinde 1 diziliş aslında diziliş demek olduğundan bulduğumuz cevabı ye bölmeliyiz. Şimdi dairesel anahtarlığı bir yuvarlak masa, anahtarları da bu yuvarlak masa etrafına oturan insanlar olarak farzedin. Bu problemin cevabı (6 1)! = 10 olurdu, o halde bizim anahtarlık probleminin cevabı da 10/ = 60 olmalıdır. yan yana gelirler. İşte bu yüzden maskotlu anahtarlıklar dairesel bile olsalar sıra gibi düşünülmelidirler. Peki, bir anahtarlığı maskotlu diye artık havaya atamaz mıyız? Kim tutar bizi? Yani, hala cevabı ikiye bölmeye devam! İşte bu sebeplerden dolayı sorumuzun cevabı 6!/ = 70/ = 360 olmalıdır kişi yuvarlak bir masa etrafında otururken kaç değişik şekilde poz verebilirler? 68. Belli üç kişi birbirlerinden ayrılmamak üzere 7 kişi yuvarlak masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler? erkek ve 5 kadın, yuvarlak bir masa etrafına erkek arasına 1 kadın gelecek biçimde kaç değişik şekilde oturabilirler? farklı anahtar dairesel bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? farklı anahtar dairesel ve maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik şekilde takılabilir? 7. 6 farklı anahtar belli ikisi yan yana olmak kaydıyla dairesel ve maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik şekilde takılabilir? Soru. 6 farklı anahtar dairesel ve maskotlu bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? Çözüm: Şimdi bu maskotlu lafı nerden çıktı diyorsunuzdur. Çiçekli-böcekli si de mi var yoksa? Anahtarlık problemlerinde maskotun işlevi yuvarlak masayı sıraya çevirmektir. Çünkü daha önceden yan yana sayılan anahtarları artık birbirlerinden ayırmıştır. Yuvarlak masa ile sıranın da zaten böyle bir ayrımı yok mudur? ABC insanları bir sıraya otursalar A ile C ye yan yana diyemeyiz ama bir yuvarlak masada her halükarda A ile C 13