Türkiye demir ve çelik sektöründe bir irketin yangn risklerinin aktüeryal modeli

Transkript

1 statistikçiler Dergisi 3 (010) statistikçiler Dergisi Türkiye demir ve çelik sektöründe bir irketin yangn risklerinin aktüeryal modeli Özlem Ceren Gültekin skenderun Demir ve Çelik Fabrikalar A skenderun, Antakya, Türkiye cergultekin@gmail.com Cenap Erdemir HacettepeÜniversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü Beytepe, Ankara, Türkiye cenap@hacettepe.edu.tr Özet Bu çalmada demir ve çelik sektöründe faaliyet gösteren bir irkette gerçeklemi olan yangn hasarlarnn skl! ve hasar büyüklükleri incelenmi, kollektif risk modeli varsaym altnda toplam hasar da!lmnn momentleri elde edilmitir. %irketin yllar arasndaki yangn hasar skl!nn Poisson, hasar büyüklü!ünün ise lognormal da!lma, toplam hasarlarn ise bileik Poisson da!lmna sahip oldu!u görülmütür. Mevcut da!lm kullanlarak toplam hasarlarn gelecek dönemleri için öngörüleri ve poliçenin prim tahminleri elde edilmitir. Anahtar sözcükler : Toplam hasar da!lm; Demir ve çelik sektörü; Kollektif risk modeli; Yangn sigortas. Abstract An actuarial model of fire risks for a corporation in Turkish iron and steel sector In this study, under the collective risk model assumption, moments of the distribution of aggregate claims are obtained by analysing the numbers and sizes of the fire insurance claims data supplied from a corporation of iron and steel industry in Turkey. The claim numbers and claim sizes shows Poisson and lognormal distributions respectivly for the years of beetween , so aggregate claims shows a compound Poisson distribution for this period. Finally, using the current distribution, the predictions of aggregate claims and the premiums of the policies are computed for a future period. Keywords: Total loss distributions; Iron and steel sector; Collective risk model; Fire insurance. 1. Giri Bir maddenin üzerinde dahilen veya haricen herhangi bir sebep ve ekilde meydana gelecek dumanl, ateli ve alevli yanma olayna yangn riski denilmektedir. Yangn veya yangn dolaysyla çeitli ekilde ziyana u!rayan malzeme üzerinde, yangn bastrmak için sarf edilen gayretler srasnda o maddenin civarndaki mallarda meydana gelecek yanma, krlma, dökülme ve bozulmalar ile emsali yangnl, yangnsz hasarlar, yangn riski kapsam içindedir. Yangn önleme ve korumann genel yöntemleri varsa da her riskin özelli!i ayrca önem tar. Binalarn yap tarzlar öncelikli olarak incelemeye tutularak aratrmalar yaplmaktadr. Yap kullanma ekline ba!l olarak, yapnn mimari tasarm, yap malzeme ve elemanlarnn seçimi, pasif yangn güvenli!i önlemlerinin esasn oluturur [6].

2 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Bireyler ve toplumlar için de!er tayan herhangi bir mal, gerçeklemesi yasal bir hakkn ihlaline yol açabilecek veya hukuki bir sorumluluk do!urabilecek herhangi bir olay, sigortann konusunu oluturabilir. Bir yangn sigortasnn konusu, ev ya da fabrika olabilir [7]. Demir ve çelik sektöründe fabrikalar için düzenlenen yangn sigortas özel veya ticari amaçla kullanlan her türden bina ve bina kapsam, kendili!inden meydana gelen yangn, yldrm, infilak ile bunlardan kaynaklanan buhar, hararet, duman gibi tehlikelerin neden oldu!u fiziki hasarlara kar teminat altna alan sigortadr. Ayrca, meydana gelmi olan yangn söndürmek, dolaysyla muhtemel hasar azaltmak amacyla, su veya baka bir kimyevi madde ile yaplan müdahalelerin sonucunda ortaya çkan fiziki hasarlar da, bu sigortann kapsamna dahildir. Yangn sigorta riskinin olumasnda alevin varl! zorunlu ise de zararn muhakkak alev sonucu olumas art de!ildir. Alevden oluan yangnn meydana getirdi!i yüksek s ve duman ve olayn çevresindeki eyaya verdi!i hasarlar yangn sigorta teminat içindedir. TTK nn 1304/1 ve 1305/1inci maddeleri hükmü bu amaçla konulmutur [8]. Bu çalmada demir-çelik sektöründe kullanlabilen risk modelleri, hasar sklk oran ve büyüklükleri incelenmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da!lm bulunmutur.. Kolektif risk modeli {, n = 1,,... } X n risk büyüklüklerini gösteren ardk birbirinden ba!msz ve ayn da!lma sahip pozitif rasgele de!ikenleri, N risklerin sabit bir dönem içerindeki saysn gösteren, hasar büyüklü!ünden ba!msz, pozitif kesikli rastlant de!ikeni olmak üzere, risklerin toplamn gösteren kolektif risk modeli S = X1 + X X N (1) ile ifade edilir. Bu ba!lamda N, portföyden gelen hasar saysn (hasar skl!n) {, n = 1,,... } X n birbirini izleyen bireysel hasar miktarlarn (hasar büyüklüklerini), S ise toplam hasar gösteren rastlant de!ikenleridir. S rastlant de!ikeni bileik da!lma sahiptir. P(x) ba!msz ve ayn da!lml p k = E[ X k ]. X n lerin olaslk da!lmn belirtsin. X rastlant de!ikeni ise, Toplam hasar da!lmnn beklenen de!eri ve varyans, [ S] E[ E[ S N ] = E[ p N ] p E[ N ] E 1 = 1 = () [ ( S N )] Var( E[ S N] ) Var ( S) E Var += [ ] [ ] ( ) = E NVar( X) + Var( p N) = E N Var X + p Var( N) 1 (3) olarak elde edilir. Bu sonuçla, toplam hasarn beklenen de!erinin, hasar saylarnn beklene de!eri ile beklenen hasar büyüklü!ünün çapmndan olutu!u söylenebilmektedir. Toplam hasarn varyans iki bileenden olumaktadr. Birinci bileende hasar büyüklüklerinin varyans beklenen hasar says ile ikincisi bileende ise hasar saylarnn varyans hasar büyüklü!ünün ikinci momenti ile a!rlklandrlmaktadr [1].

3 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Hasar says N nin da!lm için ilk seçenek Poisson da!lmdr. Poisson da!lm için E[ N] = ar( NV ) = dr. N toplam hasar says olmak üzere toplam hasar miktar S 'nin da!lm "bileik Poisson da!lm olarak adlandrlr. Beklenen de!eri ve varyans E ( ) = ps (4) 1 Var ( ) = ps (5) biçiminde elde edilir. Toplam hasar saysnn varyansnn, beklenen de!erden büyük oldu!u durumlarda Poisson da!lm yerine negatif binom da!lmnn kullanlmas daha uygundur. N için negatif binom da!lm seçildi!inde, toplam hasar miktarnn da!lm "bileik negatif binom da!lm" olarak adlandrlr. Da!lmn birinci beklenen de!eri ve varyans aa!daki gibidir: rq E [ S] = p1 (6) p rq rq Var ( S) p += p 1 (7) p p Uygulamada S 'nin da!lmnn, konvülasyon yöntemiyle saysal olarak hesaplanmasna çallr ya da S 'nin da!lm do!rudan bileik poisson veya bileik negatif binom da!lm alnarak S 'nin farkl de!erleri için olaslk de!erleri konvülasyon yardmyla bulunabilir [1][][4][5]. 3. Uygulama Yangn sigortas yaptran Hskenderun Demir ve Çelik Anonim %irketinden (HSDEMHR) alnan yllar arasndaki yangn verilerine göre hasar sklklar ve büyüklüklerinin da!lm incelenmi ve kollektif risk modeli kullanlarak toplam hasar da!lmnn beklenen de!er ve varyans bulunmutur. Hasar tarihleri ve ilgili tarihlerdeki hasar büyüklükleri ABD Dolar cinsinden Çizelge 1 de belirtilmektedir yllar arasnda hasar sklklar ve büyüklüklerine ait veriler incelendi!inde 009 ylna ait hasar skl!nn di!er yllara göre daha fazla oldu!u görülmütür. Kolektif risk modeli varsaymna göre sabit bir dönem içerisinde ortaya çkan hasarlar ayn da!lma sahiptir ve hasar saylar her dönem ayn kabul edilmektedir. Bu varsaymn geçerli olup olmad!n test etmek amacyla sabit dönemler bir yl yerine iki yl olarak kabul edilmi ve böylece üç dönem oluturulmutur. Hasar skllarnn da sabit dönemlerde ayn da!lma uydu!u varsaylmaktadr. Bu varsaymn test edilemesi için de, dönemlerdeki veri saysn artrmak ve her dönemde de hasar sklklarnn ayn da!lma sahip oldu!unu göstermek Çizelge 1. Hasar büyüklükleri: ABD Dolar (ay/yl) (0/04) (0/04) (04/04) (06/04) (07/04).330 (08/04) 9.80 (11/04) 8.58 (0/05) (04/05) (06/05) (07/05) (10/05) (11/05) (11/05) (1/05) (0/06) (0/06) (14/06) (03/06) 497 (03/06) 4600 (04/06) 33 (07/06) (07/06) (10/06) (10/06) (04/07) (05/07) (07/07) 1.34 (08/07) 967 (08/07) (10/07) (03/08) (06/08) (08/08) (11/08) (1/08) (01/09) (0/09) 19 (0/09) (03/09).650 (03/09) 4.89 (04/09) (05/09) 5.90 (06/09) 800 (06/09) (07/09) 300 (07/09) (07/09) (08/09) (08/09) (09/09) 3.95 (09/09) 1.95 (09/09).898 (10/09).95 (10/09)

4 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Çizelge. Dönemlere göre üç aylk yangn hasar sklklar. 1. Dönem Yangn skl) Ocak-%ubat-Mart-004 Nisan-Mays-Haziran-004 Temmuz-A!ustos-Eylül-004 Ekim -Kasm-Aralk Ocak-%ubat-Mart Nisan-Mays-Haziran-005 Temmuz-A!ustos-Eylül Ekim -Kasm- Aralk Dönem Yangn skl) Ocak-%ubat-Mart-006 Nisan-Mays-Haziran-006 Temmuz-A!ustos-Eylül-006 Ekim -Kasm-Aralk-006 Ocak-%ubat-Mart Nisan-Mays-Haziran-007 Temmuz-A!ustos-Eylül-007 Ekim -Kasm- Aralk Dönem Yangn skl) Ocak-%ubat-Mart Nisan-Mays-Haziran Temmuz-A!ustos-Eylül Ekim -Kasm-Aralk-008 Ocak-%ubat-Mart Nisan-Mays-Haziran Temmuz-A!ustos-Eylül Ekim -Kasm- Aralk-009 için iki yllk sabit dönemler daha uygun bir çözümleme yöntemi olarak kabul edilmitir. Bu sebeple hasar sklklar ve büyüklükleri iki yllk dönemlerde gerçekleen üçer aylk yangn hasar oluma skl!na göre incelenmitir (Çizelge ). Çizelge 3 ten görülece!i gibi, hasar skl! da!lmlarnn Poisson da!lmna uygunluk gösterip göstermedi!i Kolmogorov Smirnov testiyle snanm ve = 0, 05 hata düzeyinde da!lmn Poisson da!lmna uyum gösterdi!i hipotezi reddedilememitir. Hasar skl!nn üç dönem için de Poisson da!lmna uydu!u, birinci ve ikinci dönem ortalamalarnn benzer olmasna karlk üçüncü dönemin ortalamasnn di!er iki dönemdeki seviyenin önemli derecede üstünde gerçekleti!i gözlenmektedir. Bunun sebebinin, bu dönemdeki hasar bildirimlerinin fazlal!ndan kaynakland! söylenebilir. Her üç dönemdeki da!lm ayn kalmasna ra!men son dönemin parametresi farkllk göstermektedir. %irketteki ayn anlay ve politikann devam edece!i varsaym ile gelecek dönemlerde de, hasar sklklarnn üçüncü dönemle ayn parametre de!erine sahip Poisson da!lm gösterece!ini kabul etmek çok hata tayan bir varsaym olmayacaktr.

5 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Çizelge 3. Dönemlere göre hasar sklklarnn Poisson da!lmna uyum testi Birinci dönem Poisson parametresi Ortalama= 1,8750 Mutlak,165 En uç farkllklar Pozitif,165 Negatif -,153 Kolmogorov-Smirnov Z testi,465 Hki yanl snama testi,98 kinci dönem Poisson parametresi Ortalama= 1,650 Mutlak,67 En uç farkllklar Pozitif,3 Negatif -,67 Kolmogorov-Smirnov Z Testi,755 Hki Yanl Snama Testi,619 Üçüncü dönem Poisson parametresi Ortalama= 3,0000 Mutlak,0 En uç farkllklar Pozitif,0 Negatif -,113 Kolmogorov-Smirnov Z testi,571 Hki yanl snama testi,900 Verilere ait risk modelini oluturmadan önce her üç dönem için ayr ayr hasar skl! ve büyüklüklerinin da!lmlarn bulmak için SPSS ve Easyfit paket programlarndan yararlanlmtr[9]. Hasar büyüklü!ü da!lmnn belirtilen sürekli da!lmlara uygunluk gösterip göstermedi!i = 0, 05 yanlma düzeyinde incelenmitir (Çizelge 4). Hasar büyüklü!ünün ise üç dönemin herbirinde ters Gaussian, Weibull ve lognormal da!lmlarna uydu!u görülmütür. Hasar büyüklü!ünün da!lm için bu da!lmlardan hepsinin kullanlabile!i sonucu çkmaktadr. Bu da!lmlardan birisi seçilerek analize devam edilebilir. Bu uygulamada lognormal da!lm seçilmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da!lmnn beklenen de!er ve varyansnn bulunmasnda kullanlmtr.

6 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Çizelge 4. Dönemlere göre hasar büyüklükleri için incelenen da!lmlar. Da)lmlar p de)eri = Birinci dönem Burr 0,00976 Red 0,05 için karar Üstel 0,145 Kabul Gamma 0,8747 Kabul Weibull 0,59151 Kabul Pareto 0,03469 Red Ters Gaussian 0,77935 Kabul Lognormal Kabul kinci dönem Burr 0,8430 Kabul Üstel 0,00043 Red Gamma 0,0435 Kabul Weibull 0,76 Kabul Pareto 0,0148 Red Ters Gaussian 0,1709 Kabul Lognormal Kabul Üçüncü dönem Burr 0,8850 Kabul Üstel 0,00054 Red Gamma 0,0063 Red Weibull 0,5374 Kabul Pareto 0,00616 Red Ters Gaussian 0,1709 Kabul Lognormal Kabul Birinci dönem hasar büyüklü!ü, srasyla µ = 8, 8896 ve = 0, 608 ile, ikinci dönem hasar büyüklü!ü µ = 9, 1008 ve =, 401 parametreleri ile üçüncü dönem hasar büyüklü!ü ise µ = 8, 9739 ve = 1, 8554 parametreleri ile lognormal da!lma sahiptir. Bu parametreler da!lmn beklenen de!er ve varyansnn bulunmasnda aa!daki eitlikler kullanlarak bulunmutur. E µ + [ X ] = e Var( X ) µ = e 1)( e + Bu eitliklere göre hasar büyüklü!ünün dönemlerdeki ortalama ve varyanslar Çizelge 5 de verilmitir. Çizelge 5. Dönemlere göre hasar büyüklü!ünün ortalama ve varyans. Hasar büyüklü)ü 1. Dönem. Dönem 3. Dönem Ortalama(USD) 8.798, , ,5 Varyans(USD) , , ,01

7 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Kolektif risk modeli altnda toplam hasar da!lmnn ortalama ve varyansnn bulunmas için, sklk da!lmnn Poisson göstermesi durumunda elde edilen (3) ve (4) nolu eitlikler uygulanm ve sonuçlar Çizelge 6 da verilmitir. Çizelge 6. Toplam hasar da!lmnn ortalama ve varyans. Üç dönem için toplam hasar da)lmnn beklenen de)er ve varyans 1. Dönem. Dönem 3. Dönem E[S] , , ,356 V[S] ,8,98077E+1 1,8758E+11 Sigortalanan taraf olarak ödenecek iki yllk primi bulmak için; son iki yllk dönemin toplam hasarnn beklenen de!eri ve varyans esas alnarak, mümkün yükleme faktörleri, = 0,10; 0,0;...;0,90;1,00 olmak üzere, P = ( 1 + ) ( SE ) P = E( S) + Var( S) 1/ eitliklerinden beklenen de!er ve standart sapma prim hesaplama prensiplerine göre mümkün olabilecek üç aylk prim miktarlar Çizelge 7 de verilmitir. Buna göre sigortalanan firma, bu hesap sonuçlarn ve yangn sigortalarnn özelliklerini de göz önüne alarak, sigortac firma ile sözleme tartmalarn yürütmesi en aklc yöntem olacaktr. Bu sonuçlara göre sigortacya ödenecek üç aylk sigorta primi dolar geçmemelidir. Yangn sigortalar için farkl prim hesaplama prensiplerini esas alnmas halinde hesaplanacak primler toplam hasar da!lmna ba!l olaca!ndan sigortalanan firma bu primleri de kendi açsndan hesaplayacak ve sigortacya kar aklc pazarlk tarmalarn en iyi biçimde yürütebilecektir. Yükleme faktörü Çizelge 7. Üç aylk prim miktarlar (USD) Beklenen de)er prensibi Standart sapma prensibi , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00

8 Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (010) Sonuç ve öneriler Bu çalmada demir-çelik sektöründeki sigortalanabilen riskler içinde önemli bir ksm oluturan ve meydana gelmesi halinde büyük zaralara sebep olan yangn sigortas teminatlar ve kapsam, risk modelleri, hasar sklk oran ve büyüklükleri incelenmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da!lm bulunmutur. Demir ve çelik sektöründe faaliyet gösteren bir irketten alnan alt yllk veriler ile yaplan uygulama sonucunda, verilerin iki yllk dönemlerde üç aylk hasar skl! ve hasar büyüklükleri olarak incelenerek, yllar arasnda yangn hasar skl!nn Poisson, hasar büyüklü!ünün ise lognormal da!lma uygun oldu!u görülmü ve toplam hasar skl! ve büyüklü!ünün beklenen de!eri ve varyans bulunmutur. Varyans de!erlerine bakld!nda çok yüksek oldu!u, bunun da her bir dönem içinde gerçekleen yangn hasarlarnn çok farkl de!erler tamasndan ve lognormal da!lmn üstel bir da!lm olmasnda kaynakland! söylenebilir. Alt yllk verilerde elde edilen sonuçlara göre iki yllk hasar skl! da!lmnn Poisson, hasar büyüklü!ünün da!lmnn lognormal çkt! gözönüne alnarak 010 ve daha sonraki yllar için olmas beklenen hasar skl! ve hasar büyüklü!ünün benzer da!lm özelli!i gösterece!i düünülmektedir. Hki yllk de!erler dikkate alnarak yangn hasar büyüklüklerine göre prim hesaplanm, bu sayede irketin geçmi dönemlerde ödemi oldu!u sigorta primleriyle farklarn tespit edilebilmesi ve önümüzdeki yllar için ödenecek sigorta primlerini yaklak olarak tahmin edebilmesi sa!lanmtr. Bu çalmann sonuçlarna dayanarak yaplabilecek bir öneri de udur: Büyük sigorta primleri ödeyen firmalarn kendi risk modellerini kurmalar ve prim hesaplarn kendilerinin yapmalar gerekmektedir. Aksi durumda firmalarn gereksiz fazla prim ödemeleri ile kar karya kalma riskleri her zaman mevcuttur. Bunun yannda yangn sigortalar için özel prim prensiplerinin gelitirilmesi konusunda çalmalar yaplmas önerilebilir [3]. Kaynaklar [1] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, (1997), Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Schaumburg, IL,753p. [] C. D. Daykin, T. Pentikainen, and M. Pesonen, (1994), Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall, London, 55, 58, 79-80, [3] Ö. C. Gültekin, (010), Demir ve Çelik Sektöründe Aktüeryal Riskler, Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, Ankara. [4] R. Kaas, M. J. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit, (001), Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston, 309p. [5] S. A. Klugman, H. Panjer, and G. E. Willmot, (1998), Loss Models, John Wiley and Sons, New York, [6] H. Kubilay, (1999), Uygulamal Özel Sigorta Hukuku, Bar Yaynlar, Hzmir. [7] C. Nomer, H. Yunak, (000), Sigortann Genel Prensipleri, Ceyma Matbaaclk, Hstanbul. [8] I. Ula, (00), Uygulamal Sigorta Hukuku, Ankara. [9] EasyFit-Distribution Fitting Software,