Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri"

Ilkin Kaş
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü 584 Sivas emirov@cumhuriyet.edu.tr, yguldu@cumhuriyet.edu.tr Received:7.7.6, Accepted: Özet: Bu çalışmada solu aralığı iç otasıda süresizli oşulua sahip Dirac operatörü içi spetral verileri özellileri araştırılmıştır. Aahtar elimeler: Operatör, Spetrum, Dirac Operatör Spectral Properties of Dirac Operator With Discotiuity Coditios Iside a Iterval Abstract: We study properties of spectral datas for the Dirac operator o a fiite iterval with discotiuity coditios iside the iterval. Key Words: Operator, Spectrum, Dirac Operator. Giriş Dirac operatörü içi [, yarı eseide spetral fosiyoa göre ters problem M. G. Gasimov ve B. M. Levita[] tarafıda çözülmüştür. Bu çalışmada p ve q [, yarı eseii her solu aralığıda süreli, reel fosiyolar ve

2 p B, Q q olma üzere q y, y p y dy B + Q y y, < <. d y, y + Hy. y, y + H y H H. ϕ sıır problemi ele alımıştır. Bu tadirde ϕ, ϕ,. delemii ϕ,, ϕ,.3 başlagıç şartlarıı sağlaya çözümü, mooto arta ρ < < fosiyou.,. problemii spetral fosiyou ve her f L, fosiyou içi T F f ϕ d olaca biçimde { } lim F F dρ olma üzere T ρ f f d F d.4 Parseval eşitliğii sağladığı gösterilmiştir. İi spetruma göre regüler Dirac operatörüü belirlemesi problemi M. G. Gasimov ve C. Cebiyev[] tarafıda yapıla çalışmada verilmiştir. Bu çalışmada aşağıdai öemli teoremler ispatlamıştır: Teorem.: { } ve { } problemlerii özdeğerleri ise dir. α H µ H µ dizileri sırası ile.,. ve.. ' µ µ,, m, m, K.5

3 Teorem.: p ve türevleri, q, [, ] L de olaca biçimde { } aralığıda taımlı reel fosiyolar ve. mertebede ve { }.. problemlerii spetrumları olması içi. { } ve { } µ sayılarıı sıralı olması, yai µ dizileri sırası ile.,. ve K < µ < < K < < µ < < K < < µ < < K < + +. α β, β, α ve α,, β, serileri yaısa olma üzere α α α α, + + K + + β β β β, + + L µ + asimptoti formüllerii sağlaması gere ve yeterdir. mertebeli Dirac delemler sistemi içi ters saçılma problemi [3] çalışmasıda icelemiştir. Solu aralıta By + Ω y y, < <.6 Dirac diferasiyel delemleri aoi sistemi ele alısı. sıır oşulları ve y hy.7 y + Hy.8, aralığıı a iç otasıdai y a Ay a +.9 süresizli oşulu ve.6 delemi tarafıda üretile sıır değer problemi L ile gösterilsi. Burada, B, Ω p q y, q p y y p, q reel değerli ve p, q L,, α A, a α, α >, α ola reel sayıdır. Ayrıca.9 süresizli oşuludai A matrisi içi det A dir. Diğer tarafta T D L { y y y : y, y ;[, a, a, ] L operatörü, taım ümesi ve 3

4 aralılarıda y a Ay a + süresizli oşullarıı sağlaya mutla süreli fosiyolar, y hy, y + Hy } ola self-adjoit operatördür.. Karateristi Fosiyo ve Özellileri durumda, Ω olduğu durumda L problemi L olara gösterilsi. Ω olduğu By y delemii ϕ, başlagıç oşullarıı ve h α ϕ a Aϕ a +, A süresizli oşullarıı sağlaya α ϕ ϕ, çözümü, ϕ hsi+ cos, < < a hcos+ si hsi cos + + ϕ α hcos si + cos a hsi a + α, hcos a + si a a< < şelide gösterime sahiptir. ile L problemii arateristi fosiyou gösterilece olursa; y, + Hy, olduğuda + α h cos + si + α hcosa si a olduğu açıtır. + + H [ α cos hsi + α cosa hsi a ] Bu delemi öleri L problemii özdeğerleridir. Burada > ise >, içi ve < ise < olara abul edilirse;,, Kiçi olduğu açıtır. Aşağıdai lemma doğrudur. Lemma.: if m β > yai arateristi delemii öleri ayrıtır. 4

5 İspat: Tersi abul edilece olursa, yai { } dizisii { } ve ˆ { } alt dizileri vardır, öylei ˆ ve ie, ˆ ve ayrıca lim ˆ dır. L, ; R uzayıda L problemii ϕ ve ϕ ˆ özfosiyolarıı ortogoalli oşuluda yararlaılırsa; ˆ ϕ ϕ ϕ ϕ d d + ϕ ˆ ϕ, ϕ d veya a a ϕ ϕ d+ ϕ ϕ d + ϕ ˆ ϕ, ϕ d a ϕ ˆ ϕ ϕ ϕ ϕ d+ d a hsi cos + hsi + cos cos si h + d hcos + si + ϕ ˆ ϕ, ϕ d a h + d + ϕ ˆ ϕ, ϕ d h +a + ϕ ˆ ϕ, ϕ d olur. Burada <, > sembolü R ölid uzayıdai iç çarpımı gösterir. Böylece h + a + ϕ ˆ ϕ, ϕ d. eşitsizliği elde edilir. 5

6 ϕ, çözümüü ifadeside görüldüğü gibi her [, ] içi 'e göre düzgü olara lim ϕ ˆ ϕ hsiˆ + cosˆ + hsi cos lim h cos si h cos si + R lim h + siˆ si + h + cosˆ cos ˆ + ˆ + lim h cos lim h si olur. Burada <, > dir. R Bu edele. eşitsizliğide ie limite geçilirse > h + a olduğu elde edilir. Bu ise bir çelişidir. Bu çelişi Lemma.'i doğru olduğuu gösterir., { } ve { α }'ler sırasıyla L problemii arateristi fosiyouu, özdeğer dizisii ve ormalleştirici sayılar dizisii göstersi. ϕ, ϕ, ϕ fosiyou ile.6 delemii ϕ, başlagıç h oşullarıı ve.9 süresizli oşullarıı sağlaya çözümü gösterilsi. f h + i Y + ih, h + i F Y + ih vetör çözümleri yardımı ile, F F h + i h i ϕ Y Y i i + ih ih Y h f h + i f ϕ Y Y i i + ih yazılabilir. h i ih Y h Y Y + K e gösterimide yararlaılırsa, Bt dt Bt ϕ ϕ + K te, dt h 6

7 elde edilir. Böylece, ϕ, matris çözümüü ϕ, ve ϕ, bileşei içi ϕ, ϕ + { K t,[cost hsi t] + K t,[ hcost+ si t]} dt ϕ, ϕ + { K t,[cost hsi t] + K t,[ hcost+ si t]} dt olur. Burada, ϕ, ϕ + [ K t, + K ]cos tdt + [ K K t,] hsi tdt+ [ K t, + K ] hcos tdt + [ K t, K ]si tdt veya ϕ, ϕ + K t,cos tdt+ K th, sitdt yazılır. Burada K th tdt K t tdt +, cos +,si K K + K K K K K K Bezer şeilde, K + K K K t ϕ, ϕ + { K t,cos tdt+ { K th, si tdt + K th, cos tdt + K t,si tdt 7

8 olur. Burada K K + K K K K K K K + K K K t ve ayrıca K ij ve K ij L i, j i, j dir. Böylece L problemii arateristi delemi,cos, si + K t tdt+ K th tdt K, thcos tdt K,si t tdt + + +,cos +, si H K t tdt K th tdt + K, thcos tdt K +,si t tdt şelide elde edilir. Burada ϕ, + Hϕ, dır. Lemma.: L problemii özdeğerleri basittir. Yai dır. İspat: B ϕ + Ω ϕ ϕ B ϕ + Ω ϕ ϕ + ϕ olduğuda ϕ R ölid uzayıda.delem,,.delem ise ϕ, ile saler olara çarpılır ve taraf tarafa çıarılırsa, B ϕ ϕ Bϕ ϕ ϕ olur. Yai, < ϕ,, ϕ >< Bϕ, ϕ > < Bϕ, ϕ > elde edilir. Bu so eşitli [, ] aralığı üzeride yazılara itegralleirse ve 8

9 + α ϕ d [ ϕ ϕ ] d olduğu gözöüde buludurulursa, α ϕ d [ ϕ ϕ ϕ ϕ ] d [ ϕ ϕ ϕ ϕ ] d ϕ ϕ ϕ ϕ dϕ ϕ + ϕ ϕ d [ ϕ ϕ ϕ ϕ ] d ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, + ϕ, ϕ, + ϕ ϕ ϕ ϕ d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, + ϕ, ϕ,, ϕ, ϕ, ϕ,, ϕ, ϕ, Hϕ, ϕ, [ ϕ, + H ϕ, ] ϕ, olur. Yai α ϕ, elde edilir. Burada olduğu açıtır. 3. Özdeğerler ve Normalleştirici Sayıları Asimptoti İfadeleri Lemma.3.: L problemii özdeğerleri içi + ε asimptoti eşitliği doğrudur. Burada ε l dir. 9

10 β İspat: δ yeterice üçü pozitif sayı olma üzere δ << Γ : β +,, ±, ±, K { :,, ±, ±,K} G δ δ olsu. siüs tipli olduğuda, Gδ içi Im > Cδ e olaca şeilde C > vardır[4]. Diğer tarafta ve δ olduğuda ϕ, + Hϕ, ϕ, + Hϕ,,cos, si + K t tdt+ K th tdt yazılır. K th tdt K t tdt +, cos +,si + + H K,cos t tdt K, thsi tdt + K, thcos tdt K +,si t tdt e Im lim Im lim e K,cos t tdt K, thsi tdt + + K, thcos tdt K +,si t tdt Im + e H K t tdt+ K th tdt,cos, si + K, thcos tdt K +,si t tdt olur [5] Lemma.3. 'de.

11 Yai 'i yeterice büyü değerleride C δ < e Im Γ içi eşitsizliği sağlaır. Böylece yeterice büyü doğal sayı olma üzere Im Cδ Im > C δ e > e > eşitsizliği elde edilir. Γ içi Bu durumda Rouché teoremi uygulaırsa; 'i yeterice büyü değerleride Γ yörügesii iç ısmıda ve + { } fosiyolarıı eşit sayıda sıfırları yai + sayıda, K,, K, sıfırları vardır. Bezer şeilde Rouché teoremide yararlaara; yeterice büyü 'ler içi < δ dairelerii herbiride fosiyouu yalızca bir sıfırı olduğu gösterilir. Bu durumda δ yeterice üçü pozitif sayı olduğuda, lim ε olma üzere + ε yazılabilir. sayıları, arateristi fosiyouu öleri olduğuda, + ε + K,cos t + ε tdt+ K, thsi + ε tdt ε ε + K, thcos + tdt+ K,si t + tdt + H K,cos t + tdt+ K, thsi + tdt ε ε +, cos K th + ε tdt+ K,si t + ε tdt dır. Diğer tarafta, + ε ε + o ε + o ε dir. Eğer + ε ifadesi ifadeside yerie yazılırsa, ε ε ε + o + K,cos t + tdt+ K, thsi + tdt

12 ε ε + K, thcos + tdt+ K,si t + tdt + H K,cos t + tdt+ K, thsi + tdt ε ε +, cos K th + ε tdt+ K,si t + ε tdt olur. fosiyou siüs tipli olduğuda, tüm öleri içi N, N sabitleri vardır öyle i < N < ± < N <,, ±,, Kdir [4]. Ayrıca [5, 7] çalışmasıda yararlaılırsa; sup M olma üzere h + h elde edilir. O halde ε K,cos t + h + ε tdt+ K, thsi + h + ε tdt + o K + K, thcos + h + ε tdt+ K,si t + h + ε tdt + H K,cos t + h + ε tdt+ K, thsi + h + ε tdt +, cos K th + h + ε tdt+ K,si t + h + ε tdt,, K,, K,, K,, K,, K,, K,, K, L, olduğuda, 3.'de [5, sayfa 66-67]'ye göre ε l olduğu elde edilir. Lemma.3.: L problemii ormalleştirici sayıları içi α α + δ asimptoti eşitliği geçerlidir. Burada δ l dir. İspat:,cos, si + K t tdt+ K th tdt

13 K, thcos tdt K,si t tdt H K,cos t tdt K, thsi tdt + K, thcos tdt K +,si t tdt olduğuda,si +, cos yazılır. tk t tdt tk th tdt tk, thsi tdt+ tk,cos t tdt + H tk,si t tdt+ tk, thcos tdt, si tk th tdt+ tk,cos t tdt,, +,cos +, si ϕ ϕ K t tdt K th tdt + K, thcos tdt+ K,si t tdt ve ϕ, ϕ, + ε ϕ, + δ, δ l olduğu açıtır. + ε + ε + ε! +L ve + O ε α olduğuda, ϕ, 3

14 α ϕ, + tk,si t tdt+ tk, thcos tdt tk, thsi tdt+ tk,cos t tdt + H tk,si t tdt+ tk, thcos tdt, si tk th tdt+ tk,cos t tdt ϕ, veya [ + ], + +,cos K, thsi tdt K, thcos tdt K,si t tdt α O ε ϕ δ K t tdt tk,si t tdt + tk, thcos tdt tk, thsi tdt + tk,cos t tdt H tk,si t tdt tk + +, thcos tdt, si tk th tdt+ tk,cos t tdt ϕ, eşitliği alıır. Burada,, + +,cos K, thsi tdt K, thcos tdt K,si t tdt α ϕ δ K t tdt O ε ϕ, + O ε δ + O ε K,cos t tdt+ K, thsi tdt + K, thcos tdt+ K,si t tdt + tk,si t tdt tk +, thcos tdt 4

15 tk, thsi tdt+ tk,cos t tdt + H tk,si t tdt tk +, thcostdt, si tk th tdt+ tk,cos t tdt ϕ, olur. Böylece, Lemma 3. 'de olduğu gibi α olduğu açıtır., l α + δ δ Kayalar []. M. G. Gasymov, ad B. M. Levita, 966, The Iverse Problem for the Dirac System, Dol. Aad. Nau SSR, 67, []. M. G. Gasymov, ad T. T. Dzhabiev, 975, O the Determiatio of the Dirac System from Two Spectra, Trasactios of the Summer School o Spectral Theory Operator, Bau/ELM., pp [3]. M. G. Gasymov, 967, The Iverse Scatterig Problem for a System of Dirac Equatios of Order, Soviet Physics Dol., [4]. B. Ya. Levi, Etire Fuctios, Moscow Uiversity, Moscow 97. [5]. V. A. Marcheo, Sturm-Liouville Operators ad Their Applicatios, Nauova Duma, Kiev 977. [6]. V. F. Zhdaovich, Formulas for the Zeros of Dirichlet Polyomials ad Quasipolyomials, Dol. Aad. Nau SSSR, 35, No.8, [7]. M. G. Krei ad B. Ya. Levi, O Etire Almost Periodic Fuctios of Epoetial Type, Dol. Aad. Nau SSSR, 64, No.3,

Benzer belgeler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A