Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli. Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012

Transkript

1 Fiziksel Sistemlerin Matematik Modeli Prof. Neil A.Duffie University of Wisconsin-Madison ÇEVİRİ Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU 2012

2 Matematik Modele Olan İhtiyaç Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik model gereklidir. Bir çok fiziksel sistemlerin modellenmesinde esas yöntemdir: Mekanik Elektrik Hidrolik Biyolojik 2

3 Modelleme Adımları Fiziksel sistemi ve elemanlarını anlamak Basitleştirmek için uygun kabuller yapmak Matematik modeli formüle etmek için temel prensipler kullanmak Modelini tanımlayan cebirsel veya diferansiyel denklemleri yazmak. Modelin geçerliliğini test etmek. 3

4 Modeli ne amaçla kullanacağız? Diferansiyel veya cebirsel denklemlerin çözülmesi sistem tepkisinin, performans analizinin ve tasarımının yapılmasına imkan verir. Modele Laplace dönüşümlerinin uygulanması; uygun yönlendirmelere ve dinamik analize imkan verir. Sistemler ve elemanları için giriş-çıkış ilişkileri alınabilir. Denetleyici modelleri donanıma uygun şekilde tasarlanabilecektir. 4

5 Mekanik Yay-Kütle Sistemi Kütlesi M olan bir cismin sürtünmesiz ortamda sabit bir duvara, katsayısı k olan bir yay ile bağlandığını kabul edelim: Kütlenin zamana bağlı konum pozisyonu için bir modele ihtiyaç vardır. 5

6 Fiziksel Sistemin Analizi Yay kuvveti yalnızca kütle kuvvetinden etkilenir. Yay kütleye ters yönde oransal bir kuvvet uygular: Newton Kanunu: F=M.a 6

7 Diferansiyel Eşitliğin Çıkarılması İkinci dereceden işlem 7 n : Doğal frekans (Sönümleşmemiş) n genel anlamı ile soyut bir terimdir.

8 Sistem Karakteristikleri 8 Türev eşitliğinde sağ tarafta sıfır ile gösterilir. Türev eşitliğinde bu birinci terimin ihmal edilmesiyle gösterilir. Sistem girişe sahip değildir. Kütleyi dışarıdan etkileyen bir kuvvet yoktur. Sistem sönümlemeye sahip değildir. Sistemde enerji salınımı yoktur. Kütle yay sabiti k olan bir yayın son konumundan x(t) gerilir. Sönümleme katsayısı c olan amortisör harekete hızla orantılı direnç gösterir.

9 9 Yay-Kütle-Damper Sistemi

10 10 Yay-Kütle-Damper Sistemi

11 İkinci Derecede İşlem Cevabı 11 Sistem girişi: x(t)=1 m n=2 r/s

12 12

13 13

14 14 Hidrolik Silindir

15 15 Hidrolik Silindir

16 Entegral İşlem Cevabı 16 Adım giriş: q(t)=1 cm 3 /s

17 17 RC Devre

18 18 RC Devre

19 Birinci Derece İşlem Cevabı 19 Adım girişi: x(t)= 1 Volt = 1 saniye

20 20 Karışım Vanası ve Boru

21 21 Yaygın İşlem Tipleri

22 22 Bileşen Kombinasyon Örneği

23 23 Bileşen Kombinasyon Örneği

24 24 Bileşen Kombinasyon Örneği

25 Çalışır Model Oluşturulması Hedef düşük dereceden doğrusal modeli geçerli kılmak ve bir bakışta hissetmektir. Fiziksel bileşenleri anlamak. Uygun kabuller yapmak. Model için basit bağıntıları kullanmak. Gerektiğinde doğrusal hale getirmek. Diferansiyel ve cebirsel eşitlikler yazmak. Bağıntıları birleştirmek ve basitleştirmek. Modelin geçerliliğini test etmek. 25

26 26 Yaygın İşlem Tipleri

27 Yay-Kütle Modeli İçin Varsayımlar Yay sola doğru aşırı sıkıştırılırsa model doğru mudur? Yay sağa doğru aşırı uzatılırsa model doğru mudur? Tüm modeller bir yaklaşım öngörür ve böylelikle bazı hatalar içerir. Bir aralıkta, belli bir çalışma noktası etrafında, sistem davranışlarını doğrusal bir modele yaklaştırılır. 27

28 Doğrusallaştırma Bir sistemin doğru bir bileşeni için; Şayet x 1 giriş için y 1 çıkış alınıyor ve Şayet x 2 girişi için y 2 çıkışı alınıyorsa sonra x 1 +x 2 girişi için y 1 +y 2 çıkışı alınır. 28

29 Taylor Serisi Açılımı-Tek değişkenli X 0 yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır. x-x 0 değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım gösterir. 29

30 Taylor Serisi Açılımı-Çok değişkenli x 0, y 0, yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır. (x-x 0 ), (y-y 0 ) değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım gösterir (yüksek dereceden terimler ihmal edilmiştir). 30

31 31 Doğrusal Olmayan Yay

32 32 Bileşen Kombinasyonu Örneği

33 33 Karıştırıcı ve Boru

34 34 Hidrolik Silindir

35 35 Bileşen Kombinasyonu Örneği

36 36 Bileşen Kombinasyonu Örneği

37 37 Bileşen Kombinasyonu Örneği

38 Model Basitleştirilebildi mi? Doğal frekans n beklenen çalışma frekanslarıyla karşılaştırıldığında çok yüksek ise sönümleme ne çok yüksek ne de çok düşük olur ( 1), D gecikmesi, beklenen cevap zamanıyla karşılaştırıldığında çok küçükse, 38

39 Laplace Dönüşümlerine Olan İhtiyaç Diferansiyel bağıntıları basitleştirip birleştirerek kullanışlı hale getirir. Modelleri sadeleştirip kolaylaştırır. Sistem ve bileşenlerin blok diyagramlarının çiziminde kolaylık sağlar. Diferansiyel bağıntıların çözümünü kolaylaştırır (Çeşitli girişler için çıkışlar bulunur). Kararlılık analizi, frekans cevabı, vb. hesaplamalarda kolaylık sağlar. Denetim cihazı tasarımını kolaylaştırır. 39

40 40 TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri

41 41 TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri (devam)

42 42 TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri (devam)