PROBLEMLERLE GÖRELİ MEKANİK VE ELEKTRODİNAMİK

Transkript

1 PROBLEMLERLE GÖRELİ MEKANİK VE ELEKTRODİNAMİK ÇÖZÜMLÜ 11 PROBLEM Prof. Dr. Harun AKKUŞ 215

2 1 PROBLEMLERLE GÖRELİ MEKANİK VE ELEKTRODİNAMİK ÇÖZÜMLÜ 11 PROBLEM Prof. Dr. Harun AKKUŞ 215

3 2 İÇİNDEKİLER Önsöz BİRİNCİ BÖLÜM: GÖRELİ MEKANİK Problemler Çözümler İKİNCİ BÖLÜM: ELEKTRODİNAMİK Problemler Çözümler Kaynakça

4 3 ÖNSÖZ Bu kitap, Özel Görelilik Teorisine dayalı Göreli Mekanik ve Klasik Elektrodinamiğin temel kavramlarını problemler yardımıyla anlatabilmek amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, göreli mekaniğe dair 51 ve elektrodinamiğe dair 5 olmak üzere toplam 11 çözülmüş problemden ibarettir. Elbette bu teorilere ait her şey kitabın kapsamında değildir. Ancak göreli mekaniğin ve elektrodinamiğin temel felsefelerinin kavratılması amacıyla kavramsal problemlere ağırlık verilmiştir. Elektrodinamik kısmında temel yük dinamiği ile ilgili problemlere yer verilmiş ve Maxwell denklemleri bu kısma dâhil edilmemiştir. Dünya fizik literatüründe söz konusu alanlarda yazılmış sayısız ders kitabı ve ders notları mevcuttur. Ancak kitabın özellikle bu alanlardaki Türkçe fizik literatürüne katkısı olacağı kanaatindeyim. Kitap göreli mekaniğe ve elektrodinamiğe ait her şeyi okuyucuya yansıtmasa da lisans ve lisansüstü seviyede söz konusu alanlarda gerekli temellerin atılmasına yardımcı olacak niteliktedir. Yararlanmak isteyen her okuyucuya faydalı olması dileğiyle 29 Ekim 215, Van Harun AKKUŞ

5 4 BİRİNCİ BÖLÜM GÖRELİ MEKANİK

6 5 PROBLEMLER

7 6 Problem 1.1. Lorentz koordinat dönüşümlerini elde ediniz. Problem 1.2. Ters Lorentz dönüşümlerini elde ediniz. Problem 1.3. Lorentz koordinat dönüşümlerinin, limiti altında Galileo koordinat dönüşümlerine indirgendiğini gösteriniz. Problem 1.4. Lorentz dönüşüm tensörünü oluşturunuz. Problem 1.5. Lorentz koordinat dönüşümlerini kullanarak 3-boyutlu hızın bileşenleri için dönüşüm formüllerini bulunuz. Problem 1.6. Problem 1.5 te bulunan hız dönüşümlerini limiti altında Galileo hız dönüşümlerine indirgeyiniz. Problem 1.7. Minkowski uzayında 4-boyutlu hızın bileşenlerini bulunuz. Problem 1.8. Hareketli bir cismin (veya koordinat sisteminin) üzerine çakılı bir saatin gösterdiği özgün zamanı, durgun bir koordinat sistemine çakılı bir saatin gösterdiği zaman cinsinden bulunuz. Problem 1.9. Bir hareketli referans sistemine göre uzunluğu l olan bir çubuğun boyunu, çubuğun durgun olduğu referans sistemindeki özgün uzunluğu cinsinden bulunuz. Problem 1.1. Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın eylem fonksiyonelini bulunuz. Problem Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın Lagrange fonksiyonunu bulunuz.

8 7 Problem Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın momentumunu bulunuz. Problem Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın toplam mekanik enerjisini bulunuz. Problem Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın toplam enerjisi ile momentumu arasında bir bağıntı bulunuz. Problem boyutlu momentum vektörünün bileşenlerini bulunuz. Problem boyutlu momentum vektörünün bileşenleri için Lorentz dönüşümlerini bulunuz. Problem boyutlu kuvvet vektörünün bileşenlerini bulunuz. Problem Özgün hacmi = olan bir dikdörtgenler prizmasının kenarı, durgun olduğu sistemde ( referans sisteminde) -ekseni boyunca yerleştirilmiştir. referans sistemi ise sistemine göre doğrultusunda sabit hızıyla hareket ettiğine göre prizmanın referans sistemine göre hacmi ne olur? Hesaplayınız. Problem Durgun olduğunuz bir eylemsiz referans sistemine göre bir uzay aracı, +-yönünde.8 hızıyla ilerlemektedir. Bu uzay aracından +yönünde yayılan ışık demetinin hızını ölçtüğünüzde ne bulursunuz? Problem 1.2. Kırılma indisi olan bir şeffaf blok size göre, sabit bir hızıyla +-yönünde ilerlemektedir. Bir ışık demeti de aynı yönde bloğun içinden geçmektedir. Size göre ışık demetinin şeffaf blok içindeki hızı ne olur?

9 8 Problem Bir eylemsiz referans sisteminin orijininde durgun haldesiniz. Sizden 1 km uzaklıkta, -ekseni üzerinde bir noktada bir olay olduğunu gözlemlediniz. Bu olaydan 1 saniye sonra, yine -ekseni üzerinde sizden 2 km uzaklıkta başka bir noktada ikinci bir olay daha gözlemlediniz. Başka bir eylemsiz referans sisteminin orijininde durgun olan başka bir gözlemci ise bu iki olayı, -ekseni üzerinde aralarında 1 km mesafe olan eş-zamanlı olaylar olarak görmüştür. Bu ikinci referans sisteminin size göre hızı ne kadardır? Problem Problem 1.21 deki eylemsiz referans sistemleri için Lorentz dönüşüm tensörünü yazınız. Problem Bir cismin hızı, bir eylemsiz referans sistemine göre = + olarak; diğer bir eylemsiz referans sistemine göre ise = + olarak ölçülmüştür. Bu iki eylemsiz referans sistemi arasındaki göreli hızın yönünü ve büyüklüğünü bulunuz. Problem Bir çubuk =,9 hızıyla, boyu doğrultusunda hareket ederse boyundaki kısalma ne kadar olur? Problem Durgun olduğunuz referans sisteminde bir çubuğun boyunu ölçüp not ettiniz (ki bu, çubuğun özgün uzunluğudur). Daha sonra aynı çubuğun boyunu, boyu doğrultusunda hareket ederken ölçtünüz ve özgün uzunluğunun yarısına eşit buldunuz. Çubuk hangi hızla hareket etmiştir? Problem yaşındaki bir uzay gezgini, Dünya dan yola çıkarak Samanyolu galaksisinin sınırına sabit hızla gidip geri dönmüştür ve döndüğünde kendi saatine göre artık 11 yaşındadır. Dünya dan galaksi sınırına uzaklığın

10 9 yaklaşık olarak 5 bin ışık yılı olduğunu varsayarsak, gezginin aracı seyahati boyunca hangi sabit hızla hareket etmiştir? Problem Problem 1.26 daki gezginin seyahati esnasında Dünya da ne kadar zaman geçmiştir? Problem Bir müon demetinin hızını =,8 ve müonların ortalama ömürlerini 3 olarak ölçtünüz. Müonların durgun oldukları referans sisteminde ortalama ömürleri ne kadar olur? Problem boyutlu açısal momentum tensörünün bileşenlerini bulunuz. Problem boyutlu açısal momentum vektörünün bileşenlerinin Lorentz dönüşümlerini bulunuz. Problem Ay ın özgün yarıçapı yaklaşık olarak 174 ve yörüngesel hızı yaklaşık olarak 1,2 / dir. Dünya daki bir gözlemci, Ay ın yarıçapında yörüngesel hareketinden dolayı ne kadarlık bir kısalma görür? Problem eylemsiz referans sistemi, eylemsiz referans sistemine göre -doğrultusunda sabit hızıyla hareket etmektedir. Üçüncü bir eylemsiz referans sistemi ise referans sistemine göre aynı doğrultuda sabit hızıyla hareket etmektedir. ve eylemsiz referans sistemleri arasındaki Lorentz dönüşümlerini bulunuz. Problem Problem 1.32 deki eylemsiz referans sisteminde - ekseni boyunca yerleştirilmiş ve özgün uzunluğu olan bir çubuğun boyu, ve eylemsiz referans sistemlerindeki gözlemcilere gör ne kadardır?

11 1 Problem Durgun haldeyken, -ekseni yönünden bir paçacığın size doğru,6 hızıyla; bir diğer parçacığın ise +-ekseni yönünden size doğru,8 hızıyla geldiğini gözlemlediniz. Parçacıkların birbirlerine göre hızlarının büyüklüğü ne kadardır? Problem Bir uzay aracı, Jüpiter in yakınlarındaki bir uzay istasyonun yanından =,75 hızıyla geçip Dünya ya doğru ilerlemektedir. Uzay aracı istasyonun yanından geçtiğinde, istasyondan Dünya ya bir radyo sinyali gönderilmiştir. Gönderilen sinyal Dünya daki bir gözlemci tarafından 35 dakika sonra alınmıştır. Dünya daki gözlemciye göre, uzay aracının Dünya ya varması ne kadar sürer? Problem Problem 1.35 teki uzay aracının Dünya ya varış süresi, uzay aracının mürettebatına göre ne kadar olacaktır? Problem Bir uzay aracı Dünya dan uzaklarda =,5 sabit hızıyla Dünya dan uzaklaşmaktadır. Uzay aracı Dünya dan 1 milyar km uzakta iken Dünya dan uzay aracına bir sinyal gönderiliyor. Dünya daki gözlemciye göre sinyal, uzay aracına ne kadar sürede varır? Problem Problem 1.37 deki sinyalin Dünya dan uzay aracına varış süresi, uzay aracının mürettebatına göre ne kadar olacaktır? Problem Türkiye nin yıllık ortalama elektrik enerjisi tüketimi yaklaşık 26 milyar kwh (kilovat-saat) civarındadır. Bir yılda tüketilen bu enerji miktarı, ne kadarlık bir kütlenin enerjiye dönüştürülmesiyle elde edilebilir?

12 11 Problem 1.4. Bir cismin kinetik enerjisinin, durgun kütle enerjisine eşit olabilmesi için hangi hızla hareket etmesi gerekir? Bu hız cismin kütlesine bağlımıdır? Problem Elektronun, protonun ve nötronun durgun kütle enerjilerini elektron-volt (ev) cinsinden hesaplayınız. Problem Bir elektronu, bir elektriksel potansiyel fark altında durgun halden,9 lik bir hıza çıkarmak isteseniz ne kadarlık bir elektriksel potansiyel farka gereksiminiz vardır? Problem Dalga boyu 7 olan bir kırmızı ışık fotonunun ve dalga boyu 1 olan bir -ışını fotonunun etkin kütlelerini bulunuz. Problem Minkowski uzayında 4-boyutlu ivmenin bileşenlerini bulunuz. Problem Minkowski uzayında 4-boyutlu hızın kendisiyle skaler çarpımını bulunuz. Problem Minkowski uzayında 4-boyutlu ivme ile 4-boyutlu hızın birbirlerine dik (ortogonal) olduklarını gösteriniz. Problem Minkowski uzayında klasik dinamiğin ana yasasını (yani Newton un ikinci yasasını) ifade ediniz. Problem Problem 1.47 de eğer kütle sabit olmazsa dinamik yasası nasıl değişir?

13 12 bulunuz. Problem boyutlu ivmenin bileşenleri için Lorentz dönüşümlerini Problem 1.5. Klasik (göreli olmayan) mekanikte, sabit ivmeli bir cismin, -eğrisinin bir parabol olduğunu biliyoruz. Minkowski uzayında sabit ivmeli bir cismin, -eğrisi ne olur? Problem Sabit kütleli ve sabit ivmeli bir cisme etki eden 4- boyutlu kuvvet aşağıdaki gibidir: = sinh, cosh,, Cismin Minkowski uzayındaki evren çizgisini bulunuz.

14 13 ÇÖZÜMLER

15 14 Problem 1.1 Lorentz koordinat dönüşümlerini elde ediniz. Çözüm 1.1 Fizikte, bir referans sisteminden diğerine geçiş (yani koordinat dönüşümü) matematiksel olarak iki şekilde yapılabilir: 1. Koordinat orijinini, koordinat eksenlerinden birine paralele olarak öteleme; 2. Koordinat eksenlerinin birinin etrafında, diğer eksenleri belli bir açı kadar döndürme ki bu açı referans sistemlerinin arasındaki göreli hıza bağlıdır. Şekil 1.1. Aralarında sabit göreli hızı doğrultusunda olan iki eylemsiz referans sistemi ve.

16 15 İki eylemsiz referans sistemi arasındaki geçişi sağlayan dönüşüm formülleri, yukarıda verdiğimiz ikinci yolla elde edilir. Birinci yolla elde edilecek dönüşüm, koordinat orijinini ötelemekten başka bir şey sağlamaz. Şekil 1.1 de verildiği üzere ve gibi iki eylemsiz referans sistemimiz olsun. referans sistemi, referans sistemine göre doğrultusunda sabit hızıyla hareket ediyor olsun. Bu referans sistemleri arasındaki göreli hız doğrultusunda olduğundan ve koordinatları değişmez kalacaktır. Ancak koordinatı ve zaman koordinatı (zaman mutlak olmadığından) değişecektir. Şekil 1.2. Minkowski uzayında ve eksenlerinin açısı kadar döndürülerek ve eksenlerine dönüşmesi ki burada ve referans sistemini, ve ise referans sistemini temsil eder.

17 16 bileşenlerini, Minkowski uzayında 4-boyutlu yer vektörünün kontravaryant =, =, =, = ile gösterelim (burada = 1 dir). İlk üç problemde zaman koordinatı = olarak da alınmıştır çünkü bu seçim matematiksel işlem kolaylığı sağlar. Ancak daha sonraki tüm problemlerde Minkowski uzayının metriği = olacak şekilde alınacaktır. Şimdi Minkowski uzayında bir koordinat sisteminin sadece ve eksenlerini alıp bu eksenleri diğer eksenlerden birinin (- veya -ekseni) etrafında bir açısı kadar döndürelim ve yeni eksenlere ve diyelim (bak Şekil 1.2). =, =, =, = referans sistemini temsil ederken, =, =, =, = referans sistemini temsil eder. Şekil 1.2 deki gibi,,, eksenleri yönündeki baz (birim) vektörleri sırasıyla,,, olsun. Her iki koordinat sisteminin ortak olan orijininden bir P noktasına çizilen vektör, vektörü olsun. Şekil 1.2 de görülen pasif dönüşüm ( vektörünü sabit tutarak koordinat eksenlerini döndürme) sonucunda vektörü değişmez kalır. Bu değişmezliği her iki koordinat sistemine göre yazarsak, + = + (1)

18 17 olur. Şimdi (1) denkleminin her iki tarafını bir kere ile bir kere de ile skaler çarpalım (burada ve, kovaryant baz vektörleridir):. +. =. +. (2) Şekil 1.2 ye göre,. +. =. +.. = 1,. =,. = cos,. = cos = sin. =,. = 1,. = cos + = sin,. = cos olduğundan, (2) denklemleri aşağıdaki gibi olur: = cos + sin ; = sin + cos (3) Bulduğumuz bu genel dönüşüm formülleri, özel durumlarda da geçerlidir. Mesela, gözlemlenen bir cismin, referans sistemindeki bir gözlemciye göre orijinde durgun olduğunu varsayalım ki bu bir özel durumdur. Böylece bu özel durum için = olur ve (3) denklemleri de aşağıdaki gibi olur: Buradan, = cos ; = sin (4) = = tan

19 18 olur. = olduğundan ( ve referans sistemleri arasındaki sabit göreli hız) olur. Eğer / = dersek, = tan = tan (5) yazabiliriz. (5) ifadesinden, (3) denklemlerindeki cos ve sin ifadelerini cinsinden bulabiliriz. olduğundan, buluruz. Eğer, = tan = 1 1 cos cos = ve sin = 1 = 1 dersek, (3) denklemleri aşağıdaki gibi olur: = + ; = +

20 19 =, =, =, = olduğundan, = + ; = + veya = olur. Zaten = ve = olduğundan, ; = = + ; = + ; = ; = (6) olur ki bu formüllere, Lorentz Koordinat Dönüşüm Formülleri denir. Problem 1.2 Ters Lorentz dönüşümlerini elde ediniz. Çözüm 1.2 Çözüm 1.1 de bulduğumuz (1) denklemlerinin her iki tarafını bu defa bir kere ile bir kere de ile skaler çarparsak,. +. =. +.

21 2. +. =. +. denklemlerini elde ederiz. Bu denklemlerde parantezler içindeki skaler çarpımları Şekil 1.2 ye göre yerine yazarsak, = cos sin ; = sin + cos (1) genel ters dönüşüm formüllerini elde ederiz. Yine Çözüm 1.1 deki özel duruma benzer olarak bu defa gözlemlenen cismin referans sistemindeki gözlemciye göre referans sisteminin orijininde durgun olduğunu kabul edersek, = olacaktır. Bu durumda (1) denklemleri aşağıdaki gibi olacaktır: = cos ; = sin Buradan, olduğunu kolayca görürüz. = = tan = olacağından (çünkü referans sisteminin, referans sistemine göre hızı dir), olur. Böylece yine, = tan

22 21 cos = ; sin = olarak bulunur. Sonuç olarak (1) denklemleri, = ; = + olur. =, =, =, = olduğundan, = ; = buluruz. Zaten = ve = olduğundan, = ; = ; = ; = (2) olur ki bu dönüşümlere Ters Lorentz Dönüşümleri denir. (2) ile verilen ters Lorentz dönüşümlerini, Çözüm 1.1 de (6) ile verilen Lorentz dönüşümlerinde, dönüşümü ile de elde etmek mümkündür. Çünkü referans sistemi, referans sistemine göre hızıyla hareket ederken; referans sistemi, referans sistemine göre hızıyla hareket etmektedir. Ters Lorentz dönüşümleri için Çözüm 1.1 de alınırken ve dönüşümleri de unutulmamalıdır.

23 22 Problem 1.3 Lorentz koordinat dönüşümlerinin, limiti altında Galileo koordinat dönüşümlerine indirgendiğini gösteriniz. Çözüm 1.3 Göreli mekaniğin tüm formülleri, limiti altında klasik mekaniğin (göreli olmayan mekaniğin) formüllerine indirgenir. Burada ışık hızının sonsuza gitmesinin matematiksel değil de fiziksel anlamı vardır. demek, gözlemlenen hızlara nazaran ışık hızının çok ama çok büyük olmasıdır. Yani, olmasıdır. Burada, gözlemlenen cismin hızıdır. Bu hız yerine referans sistemleri arasındaki göreli hızı alırsak, ve olur. lim = lim lim = lim (1) 1 (2) Bu limitler altında, Çözüm 1.1 de (6) ile verilen Lorentz dönüşümleri, = ; = + ; = ; = (3)

24 23 dönüşümlerine indirgenir. (3) ile verilen dönüşümler, bilindiği üzere Galileo Koordinat Dönüşümleridir. Problem 1.4 Lorentz dönüşüm tensörünü oluşturunuz. Çözüm 1.4 Çözüm 1.1 de buluğumuz Lorentz dönüşümlerini yeniden yazalım: = + ; = + ; = ; = Bu dönüşümleri bir denklem sistemi formunda yazarsak, = = = = olur. Şimdi de bu lineer denklem sistemini tensörel formda yazalım.

25 24 = 1 (1) 1 Veya Burada, =, 1, 2, 3 değerlerini alır. = (2) = 1 (3) 1 tensörüne, Lorentz Dönüşüm Tensörü denir. Çözüm 1.2 deki ters Lorentz dönüşümleri kullanılarak benzer şekilde ters Lorentz dönüşüm tensörü de bulunabilir. Eğer Minkowski uzayının metriği = olacak şekilde alınırsa o zaman Lorentz dönüşüm tensörü aşağıdaki gibi olacaktır: = 1 (4) 1 Bu durumda herhangi bir 4-boyutlu vektörünün kontravaryant bileşenlerinin Lorentz dönüşümleri şöyle olacaktır: = + ; = + ; = ; = (5)

26 25 Problem 1.5 Lorentz koordinat dönüşümlerini kullanarak 3-boyutlu hızın bileşenleri için dönüşüm formüllerini bulunuz. Çözüm 1.5 Çözüm 1.1 de bulduğumuz Lorentz dönüşümlerinin diferansiyellerini alırsak aşağıdaki denklemleri buluruz: = + ; = + ; = ; = (1) Şimdi bu diferansiyelleri kullanarak, gözlemlenen bir cismin referans sistemine göre 3-boyutlu hızının bileşenlerini yazalım. Gözlemlenen cismin 3-boyutlu hızı referans sistemine göre, referans sistemine göre ise olsun. = = + + = + + Hem payı hem de paydayı ile bölersek, = (2) olur ki burada, =

27 26 gözlemlenen cismin, referans sistemine göre 3-boyutlu hızının -bileşenidir. Benzer şekilde gözlemlenen cismin, referans sistemine göre 3-boyutlu hızının -bileşeni, = = / = = (3) ve son olarak gözlemlenen cismin, referans sistemine göre 3-boyutlu hızının bileşeni ise = = / = = (4) olur. Problem 1.6 Problem 1.5 te bulunan hız dönüşümlerini limiti altında Galileo hız dönüşümlerine indirgeyiniz. Çözüm 1.6 Çözüm 1.5 te bulduğumuz (2), (3) ve (4) ile verilen 3-boyutlu hız dönüşümlerinde, Çözüm 1.3 deki (1) ve (2) ile verilen limitleri uygularsak, = + ; = ; = (1)

28 27 hız dönüşümlerini buluruz ki bunlar Galileo Hız Dönüşümleridir. Problem 1.7 Minkowski uzayında 4-boyutlu hızın bileşenlerini bulunuz. Çözüm 1.7 Minkowski uzayında 4-boyutlu hız, kontravaryant bileşenler cinsinden, = (1) olarak tanımlanır. Burada, 4-boyutlu yer vektörünün kontravaryant bileşenlerinin diferansiyelleri; ise intervalin diferansiyelidir. Minkowski uzayında interval, = = 1 (2) olarak yazılır ki burada, gözlemlenen cismin 3-boyutlu hız vektörüdür. Şimdi önce 4-boyutlu hızın zaman bileşenini yazalım: = = = Benzer olarak 4-boyutlu hızın uzay bileşenlerini de yazalım: (3)

29 28 = = = = = = = = Eğer 4-boyutlu hızı kompakt formda, = (4) (5) (6) =, (7) olarak yazabiliriz. Kovaryant bileşenler cinsinden ise =, (8) olur. Problem 1.8 Hareketli bir cismin (veya koordinat sisteminin) üzerine çakılı bir saatin gösterdiği özgün zamanı, durgun bir koordinat sistemine çakılı bir saatin gösterdiği zaman cinsinden bulunuz.

30 29 Çözüm 1.8 Şekil 1.1 deki gibi aralarındaki göreli hız olan ve eylemsiz referans sistemleri arasındaki koordinat dönüşümlerini (Lorentz dönüşümlerini) Çözüm 1.1 de bulmuştuk. ve için dönüşümler aşağıdaki gibiydi: = + ; = + (1) Gözlemlenen herhangi iki olay arasında geçen zaman, referans sistemine göre, referans sistemine göre ise olsun. Burada, = ve = (2) şeklindedir. ve, referans sistemine göre sırasıyla birinci ve ikinci olayların oluş zamanı; ve ise bu olayların referans sistemine göre oluş zamanlarıdır. (1) deki zaman dönüşümünü kullanarak referans sistemine göre olan ve yi yazalım: = + ; = + (3) referans sistemine göre bu iki olay aynı uzay noktasında olmuş olsun. Yani, olsun. Bu durumda, = = = = + Böylece,

31 3 = (4) buluruz. Burada, durgun referans sistemindeki (veya cisimdeki) saatin okuduğu zamanı gösterirken;, hareketli referans sistemindeki (veya cisimdeki) saatin okuduğu zamanı gösterir ve hareketli cisim için özgün zamandır. Tüm maddi cisimler için, veya en fazla < olduğundan daima < (5) olacaktır. Yani hareketli cisimlerin üzerindeki saatin gösterdiği zaman (özgün zaman) daima durgun cisimlerin üzerindeki saatin gösterdiği zamandan daha küçüktür. Problem 1.9 Bir hareketli referans sistemine göre uzunluğu l olan bir çubuğun boyunu, çubuğun durgun olduğu referans sistemindeki özgün uzunluğu cinsinden bulunuz. Çözüm 1.9 Şekil 1.3 de görüldüğü gibi, referans sisteminde boyu olan bir çubuğu, bu referans sisteminde -ekseni boyunca yerleştirelim.

32 31 Şekil 1.3. Durgun olduğu referans sisteminde boyu olan çubuğun referans sisteminde ölçülen boyu dir. Çubuk referans sistemine göre durgun olduğundan, çubuğun özgün uzunluğudur. Çubuğun referans sistemine göre boyu olsun. = = ; = = (1) Lorentz dönüşümlerine göre, = + ve = + (2) olacaktır. referans sistemindeki gözlemci çubuğun uçlarının koordinatlarını aynı anda ölçmüş ise, = = olacağından, = = = =

33 32 yani, = (3) buluruz. Sonuç olarak, < olur ki bu olaya Lorentz Kısalması denir. bulunuz. Problem 1.1 Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın eylem fonksiyonelini Çözüm 1.1 kütleli, serbest göreli bir parçacığın eylem fonksiyoneli, Lorentz dönüşümleri altında değişmez kalmalıdır. Bu nedenle yazacağımız integral formundaki eylem fonksiyoneli bir skalere bağlı olmalıdır. Ayrıca eylem integralinin integrantı, birinci dereceden diferansiyel olmak zorundadır. Bu şartları taşıyan integrant tabi ki interval yani metriktir. Dolayısıyla Minkowski uzayında göreli serbest parçacığın eylem integrali (veya eylem fonksiyoneli), ~ (1) biçiminde olmalıdır. Burada integral sınırları ve, Minkowski uzayında herhangi iki olaydır. (1) deki orantıyı eşitliğe dönüştürmek için integrali herhangi bir sabit ile çarpalım:

34 33 = (2) Ancak biliyoruz ki (2) deki eylem integrali, Minkowski uzayında düz bir evren çizgisi boyunca maksimum değer sahiptir. (Oysa 3-boyutlu Öklid uzayında durum bunun tam tersidir yani düz bir çizgi boyunca (2) deki integral minimum değer sahiptir!) Ayrıca klasik mekanikten biliyoruz ki eylem integrali, gerçek hareket için minimumdur. Bu yüzden (2) deki integrali -1 ile çarparsak, maksimum değeri minimum yaparız: = (3) Böylece göreli serbest parçacığın eylem fonksiyonelini, sabiti hariç yazmış olduk. Çözüm 1.7 de (2) ile verilen metriği (veya intervali) yukarıda yerine yazarsak, = 1 (4) olur ki bu, göreli serbest parçacığın eylem fonksiyonelidir. Burada, parçacığın 3-boyutlu hızıdır. sabitini, Çözüm 1.11 de belirleyeceğiz. bulunuz. Problem 1.11 Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın Lagrange fonksiyonunu

35 34 Çözüm 1.11 Klasik mekanikten iyi biliyoruz ki eylem integrali, =,, (1) biçimindedir. Burada, parçacığın (veya mekanik sistemin) Lagrange fonksiyonudur. ve ise sırasıyla genelleşmiş koordinat ve genelleşmiş hızdır. Çözüm 1.1 da (4) ile verilen eylem fonksiyoneli ile yukarıdaki fonksiyoneli karşılaştırırsak, göreli serbest parçacığın Lagrange fonksiyonunun, olduğunu görürüz. = 1 (2) Şimdi katsayısını bulalım. Biliyoruz ki göreli mekaniğin tüm formülleri, limiti altında klasik karşılıklarına indirgenirler. Bu limit altında, (2) ile verilen Lagrange fonksiyonu, = (3) klasik karşılığına indirgenmelidir. (2) deki, 1 ifadesini limiti altında seriye açıp serinin ilk iki terimiyle yetinirsek,

36 35 lim 1 1 olur. (4) ifadesini (2) de yerine yazarsak, (4) = + (5) buluruz. Bu sonucu (3) ile kıyaslarsak, + = (6) olduğu sonucuna ulaşırız. Lagrange fonksiyonundaki sabit terimler parçacığın hareket denklemlerini etkilemediğinden, terimini ihmal edebiliriz. Böylece = (7) olur ki buradan da = (8) buluruz. (8) ifadesini (2) de yazarsak, göreli serbest parçacığın Lagrange fonksiyonu, = 1 (9) olarak; eylem fonksiyonelini (Çözüm 1.1 da (4) ifadesi) ise = 1 (1)

37 36 veya = (11) olarak buluruz. Problem 1.12 Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın momentumunu bulunuz. Çözüm 1.12 Klasik mekanikten biliyoruz ki parçacığın momentumu Lagrange fonksiyonu cinsinden, = (1) biçiminde ifade edilir. Burada genelleşmiş hızdır. Çözüm 1.11 de (9) ifadesindeki Lagrange fonksiyonunu yukarıdaki momentum tanımında kullanırsak, göreli serbest parçacığın momentumunu bulmuş oluruz. = = 1 / 12 / = 1 2 = = (2)

38 37 limiti altında, lim 1 1 olacağından, lim olur ki bu da parçacığın klasik (göreli olmayan) momentumudur. bulunuz. Problem 1.13 Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın toplam mekanik enerjisini Çözüm 1.13 Klasik mekaniğe göre parçacığın toplam mekanik enerjisi (veya serbest parçacık olduğu için toplam kinetik enerjisi), E = (1) ile belirlenir. Çözüm 1.11 de (9) ile verilen Lagrange fonksiyonunu ve Çözüm 1.12 de (2) ile verilen momentum ifadesini yukarıdaki enerji ifadesinde yerine yazarsak, göreli serbest parçacığın toplam kinetik (veya mekanik) enerjisini buluruz.

39 38 E = = = E = (2) Şimdi = durumunda toplam enerjiye bakalım. Bu durumda göreli serbest parçacığın toplam enerjisi, E = = E = (3) olur ki bu klasik karşılığı olmayan bir durumdur. Biliyoruz ki göreli olmayan serbest parçacığın toplam enerjisi = durumunda sıfıra eşittir. Ancak görüldüğü gibi göreli mekanikte durum farklıdır. (3) ile verilen E enerjisine Durgun Kütle Enerjisi denir. Parçacığın kinetik enerjisi ise şeklinde ifade edilir. = E E = E 1 = 1 (4) Problem 1.14 Kütlesi m olan serbest göreli bir parçacığın toplam enerjisi ile momentumu arasında bir bağıntı bulunuz.

40 39 Çözüm 1.14 Çözüm 1.12 de göreli serbest parçacığın momentumunu, = olarak, Çözüm 1.13 de ise toplam enerjisini, (1) E = olarak bulmuştuk. Bu iki ifadeyi bir araya getirirsek, (2) olduğunu kolayca görebiliriz. Buradan, = E (3) = E olur. (2) ifadesinin her iki tarafının karesini alırsak, = 1 E elde ederiz. Bu son ifadeyi (4) de yerine yazdığımızda, olduğunu buluruz ki aradığımız bağıntı budur. (4) E = + (5)

41 4 Problem boyutlu momentum vektörünün bileşenlerini bulunuz. Çözüm 1.15 Çözüm 1.11 de serbest göreli parçacık için eylem fonksiyonelini, = (1) olarak bulmuştuk. Varyasyonlar hesabından ve klasik mekanikten biliyoruz ki eylemi ekstremal yapan yolu (parçacığın izlediği yolu) bulmak için eylemin birinci varyasyonunu alıp sıfıra eşitlemeliyiz. Ancak burada amacımız parçacığın izlediği yolu değil de eylemin birinci varyasyonunu kullanarak 4-boyutlu momentumunu bulmaktır. Minkowski uzayının metriğini, yani, = (2) tanımını kullanarak, (1) ifadesinin birinci varyasyonunu alırsak, = (3) olur ki burada, = (4)

42 41 4-boyutlu hızım kovaryant bileşenleridir. (3) denkleminin sağ tarafına kısmi integrasyon metodunu uygularsak, = + (5) olur. Eylemin birinci varyasyonunun koordinatların varyasyonuna göre değişimini bulursak, 4-boyutlu momentumun bileşenlerini de bulmuş oluruz. Çünkü klasik mekaniğe göre, olmalıdır. = (6) Ayrıca Minkowski uzayındaki serbest parçacık için, = (7) olacağından (Minkowski uzayında sabit hız), (5) denkleminin sağ tarafındaki ikinci terim sıfır olacaktır. Böylece, = (8) olur. Eğer (8) ifadesinde sınırları, = ; = (9) olacak şekilde seçersek, = (1)

43 42 sonucuna ulaşırız. Eylemin birinci varyasyonunu aynı zamanda, = (11) biçiminde yazabiliriz. (1) ve (11) ifadelerini birleştirirsek, = (12) olduğunu hemen görürüz. Son olarak (6) ile (12) yi karşılaştırırsak, = veya = (13) olur ki bu ifadeler 4-boyutlu momentumun sırasıyla kovaryant ve kontravaryant bileşenleridir. Şimdi 4-boyutlu momentumun kontravaryant bileşenlerini yazalım: = ; = ; = ; = (14) Çözüm 1.7 de bulduğumuz 4-boyutlu hızın bileşenlerini (14) te yerlerine yazarsak, 4-boyutlu momentumun kontravaryant bileşenlerini bulmuş oluruz. = E (15) = = = (16) = (17)

44 43 = Eğer kompakt biçimde yazmak istersek, = (18) = E, ve = E, (19) yazabiliriz. Görüldüğü gibi 4-boyutlu momentumun zaman bileşeni bize parçacığın toplam enerjisinin ışık hızına bölümünü verirken, üç uzay bileşeni ise parçacığın 3-boyutlu momentumunu vermektedir. bulunuz. Problem boyutlu momentum vektörünün bileşenleri için Lorentz dönüşümlerini Çözüm 1.16 Çözüm 1.4 de bulduğumuz gibi Minkowski uzayında herhangi bir vektörünün bileşenleri, Lorentz dönüşümleri altında aşağıdaki gibi dönüşür: = + ; = + ; = ; = (1) Burada bileşenleri referans sistemine göre, bileşenleri ise referans sistemine göredir.

45 44 Şimdi (1) deki dönüşümleri kullanarak, Çözüm 1.15 de bulduğumuz 4- boyutlu momentumun bileşenlerinin Lorentz dönüşümlerini bulalım. = E = + = E + E = E + (2) = = + = + E = + E (3) = = (4) = = (5) Problem boyutlu kuvvet vektörünün bileşenlerini bulunuz. Çözüm boyutlu kuvvet vektörünün kontravaryant bileşenleri, = (1)

46 45 biçiminde ifade edilir. Çözüm 1.15 de bulduğumuz 4-boyutlu momentumun bileşenlerini (1) ifadesinde yerine yazarak 4-boyutlu kuvvet vektörünün kontravaryant bileşenlerini kolayca bulabiliriz. Önce 4-boyutlu kuvvet vektörünün zaman bileşenini bulalım. = = E E = (2) olur. Şimdi toplam kinetik enerjinin (kinetik enerji artı durgun kütle enerjisi) zamana göre tam türevini bulalım. E = = 1 / = / (3) Şimdi de 3-boyutlu momentumun zamana göre tam türevini bulalım. = = / (4) (3) ve (4) ifadelerini karşılaştırırsak, E = = (5) olduğunu görürüz ki burada, 3-boyutlu kuvvet vektörüdür. (5) ifadesini (2) de yerine yazarsak, = (6)

47 46 olarak buluruz. Şimdi 4-boyutlu kuvvet vektörünün uzay bileşenlerini bulalım. = = = = = = = = = = (7) = Burada, ve, 3-boyutlu kuvvet vektörünün bileşenleridir. 4-boyutlu kuvvet vektörün kompakt formda yazarsak, (8) = (9) = veya kovaryant bileşenler cinsinden,, (1) olur. =, (11)

48 47 Problem 1.18 Özgün hacmi = olan bir dikdörtgenler prizmasının kenarı, durgun olduğu sistemde ( referans sisteminde) -ekseni boyunca yerleştirilmiştir. referans sistemi ise sistemine göre doğrultusunda sabit hızıyla hareket ettiğine göre prizmanın referans sistemine göre hacmi ne olur? Hesaplayınız. Çözüm 1.18 Referans sistemleri arasındaki göreli hız, doğrultusunda olduğundan prizmanın kenarı Lorentz kısalmasına maruz kalacak; diğer kenarları değişmez kalacaktır. Çözüm 1.9 da bulduğumuz (3) formülüne göre prizmanın kenarındaki kısalma aşağıdaki gibi olacaktır: = (1) Diğer iki kenar değişmez kalacağından, = ; = (2) olur. Böylece prizmanın referans sistemine göre hacmini, = = = (3) olarak buluruz.

49 48 Problem 1.19 Durgun olduğunuz bir eylemsiz referans sistemine göre bir uzay aracı, +-yönünde.8 hızıyla ilerlemektedir. Bu uzay aracından +-yönünde yayılan ışık demetinin hızını ölçtüğünüzde ne bulursunuz? Çözüm 1.19 Çözüm 1.5 te (2) ile verilen hız dönüşümü, = (1) formundadır. Burada, =,8 (2) uzay aracının size göre hızıdır. Uzay aracından yayılan ışık demetinin uzay aracına göre hızı ise = (3) olacaktır. Böylece ışık demetinin size göre hızı, = olur.,, = (4)

50 49 Bu, zaten beklenen bir sonuçtur çünkü Einstein ın görelilik ilkelerine göre ışık hızı, tüm eylemsiz referans sistemlerinde değişmez bir sabittir. Problem 1.2 Kırılma indisi olan bir şeffaf blok size göre, sabit bir hızıyla +yönünde ilerlemektedir. Bir ışık demeti de aynı yönde bloğun içinden geçmektedir. Size göre ışık demetinin şeffaf blok içindeki hızı ne olur? Çözüm 1.2 Sizin durgun olduğunuz referans sistemi ( referans sistemi diyelim) ile şeffaf bloğun durgun olduğu referans sistemi ( referans sistemi olsun) arasındaki göreli hız olacaktır. referans sisteminde durgun olan bir gözlemciye göre ışık demetinin blok içindeki yayılma hızı, = (1) olacaktır. Işık demetinin blok içindeki hızı size göre ( referans sisteminde durgun olan bir gözlemciye göre) hızı (Çözüm 1.19 daki (1) formülüne göre), olacaktır. (1) ifadesini (2) de yerine yazarsak, = (2)

51 5 = = (3) buluruz. Problem 1.21 Bir eylemsiz referans sisteminin orijininde durgun haldesiniz. Sizden 1 km uzaklıkta, -ekseni üzerinde bir noktada bir olay olduğunu gözlemlediniz. Bu olaydan 1 saniye sonra, yine -ekseni üzerinde sizden 2 km uzaklıkta başka bir noktada ikinci bir olay daha gözlemlediniz. Başka bir eylemsiz referans sisteminin orijininde durgun olan başka bir gözlemci ise bu iki olayı, -ekseni üzerinde aralarında 1 km mesafe olan eş-zamanlı olaylar olarak görmüştür. Bu ikinci referans sisteminin size göre hızı ne kadardır? Çözüm 1.21 Birinci referans sistemine, ikincisine diyelim. Bu iki eylemsiz referans sistemi arasındaki Lorentz dönüşümlerine göre, = + (1) olmalıdır. Birinci olayın oluş zamanına, ikinci olayın oluş zamanına dersek (tabi ki referans sistemine göre), = + ; = + (2)

52 51 olur. Dolayısıyla, = + (3) yazabiliriz. = 1 ; = 1 ; = olduğundan, = = ,29 (4) olur. Problem 1.22 Problem 1.21 deki eylemsiz referans sistemleri için Lorentz dönüşüm tensörünü yazınız. Çözüm 1.22 Çözüm 1.4 de bulduğumuz Lorentz dönüşüm tensörü aşağıdaki gibiydi:

53 52 = 1 (1) 1 Çözüm 1.21 e göre, = ; = (2) olduğunu kolayca buluruz. (2) deki değerleri (1) tensöründe yerine yazarsak, 3/29 3/1 = 3/1 3/29 1 (1) 1 buluruz. Problem 1.23 Bir cismin hızı, bir eylemsiz referans sistemine göre = olarak; diğer bir eylemsiz referans sistemine göre ise = + + olarak ölçülmüştür. Bu iki eylemsiz referans sistemi arasındaki göreli hızın yönünü ve büyüklüğünü bulunuz.

54 53 Çözüm 1.23 = + (1) hızı, referans sistemine göre; hızı da referans sistemine göre ölçülmüş olsun. = + (2) (1) ve (2) den görüldüğü gibi cismin hızı -doğrultusunda değişmediğinden, ve referans sistemlerinin arasındaki göreli hız - doğrultusundadır. Cismin hızının sadece -bileşeni değiştiğinden, hızın bu bileşeni için Lorentz dönüşümünü yazalım: = (3) = ; = (4) değerlerini (3) de yerine yazarsak, ve referans sistemleri arasındaki göreli hızın büyüklüğünün, olduğunu hemen görürüz. = (5)

55 54 Problem 1.24 Bir çubuk =,9 hızıyla, boyu doğrultusunda hareket ederse boyundaki kısalma ne kadar olur? bulmuştuk: Çözüm 1.24 Çözüm 1.9 da bir çubuk için Lorentz kısalmasını aşağıdaki gibi = (1) Burada, çubuğun özgün uzunluğu (durgun olduğu referans sistemindeki uzunluğu) idi. Çubuğun hızını kullanarak yı hemen bulabiliriz: Dolayısıyla, = = = 2.29 (2) buluruz. O zaman çubuktaki kısalma miktarı, olur. =. =,44 (3) = =,56 (4)

56 55 Problem 1.25 Durgun olduğunuz referans sisteminde bir çubuğun boyunu ölçüp not ettiniz (ki bu, çubuğun özgün uzunluğudur). Daha sonra aynı çubuğun boyunu, boyu doğrultusunda hareket ederken ölçtünüz ve özgün uzunluğunun yarısına eşit buldunuz. Çubuk hangi hızla hareket etmiştir? Çözüm 1.25 Çubuğun özgün uzunluğu, hareket halindeki uzunluğunun iki katı ise, olmalıdır. Diğer taraftan, olduğunu biliyoruz. (1) ve (2) yi kıyaslarsak, olur. Buradan, = 2 (1) = (2) = 2 (3) = 1 1 = 3 4 = = 3 2 veya = (4)

57 56 = 2,6 1 / (5) buluruz. Problem yaşındaki bir uzay gezgini, Dünya dan yola çıkarak Samanyolu galaksisinin sınırına sabit hızla gidip geri dönmüştür ve döndüğünde kendi saatine göre artık 11 yaşındadır. Dünya dan galaksi sınırına uzaklığın yaklaşık olarak 5 bin ışık yılı olduğunu varsayarsak, gezginin aracı seyahati boyunca hangi sabit hızla hareket etmiştir? Çözüm 1.26 Gezginin, toplamda 1 bin ışık yılı uzunluğundaki seyahati, kendi saatine göre 1 yıl sürmüştür. = = = 1 ı (1) Burada, Çözüm 1.8 de bulduğumuz, = (2) formülünü kullandık. Burada, Dünya daki gözlemciye göre geçen zaman; ise gezginin zamanı yani özgün zamandır. (1) e göre,

58 57 1 ı = 1 ı = 1 (3) olur. Buradan da hemen =, ve =, (4) buluruz. geçmiştir? Problem 1.27 Problem 1.26 daki gezginin seyahati esnasında Dünya da ne kadar zaman Çözüm 1.26 ya göre, Çözüm 1.27 olacaktır. = 1 (1) = = 1 1 ı = 1 ı (2)

59 58 olduğunu kolayca buluruz. Görüldüğü gibi gezgine göre 1 yıl zaman geçtiğinde, Dünya da 1 milenyumluk bir zaman geçmiş olacaktır. Problem 1.28 Bir müon demetinin hızını =,8 ve müonların ortalama ömürlerini 3 olarak ölçtünüz. Müonların durgun oldukları referans sisteminde ortalama ömürleri ne kadar olur? Çözüm 1.28 Sizin durgun olduğunuz referans sistemine göre müonların (veya müonların durgun olduğu referans sisteminin) hızı =,8 ve yine size göre müonların ortalama ömürleri, = 3 = 3 1 olacaktır. Dolayısıyla müonların özgün ortalama ömürlerini, = = 1 = 1 = 1,8 3 1 = 1,8 1 = 1,8

60 59 olarak buluruz. Problem boyutlu açısal momentum tensörünün bileşenlerini bulunuz. momentumu, Çözüm 1.29 Klasik mekanikten iyi bildiğimiz gibi bir mekanik sistemin toplam açısal = (1) ile verilen eksenel bir vektördür. Burada ler sistemin alt parçacıklarının yer vektörleri iken ler bu parçacıkların momentumlarıdır. Dolayısıyla tek bir parçacık için açısal momentum vektörü, formundadır. = (2) Ancak göreli mekanikte açısal momentum artık bir vektörel değil, tensörel bir niceliktir. Tek bir parçacık için bu açısal momentum tensörü, aşağıda tanımlandığı gibi 2-ranklı ve 4-boyutlu bir tensördür: = (3)

61 6 Burada, parçacığın 4-boyutlu yer vektörü; ise parçacığın 4-boyutlu momentumudur. (3) tanımına göre, = = = (4) olduğundan açısal momentum tensörü, antisimetrik bir tensördür. Dolayısıyla köşegen elemanları sıfırdır: = = = = (5) Şimdi geriye kalan 12 bileşeni bulalım. = = E (6) = = E (7) = = E (8) = = E (9) = = E (1) = = E (11) = = = (12) = = (13) = = = (14)

62 61 = = (15) = = = (16) = = (17) Burada, ve, (2) ile verilen 3-boyutlu eksenel açısal momentum vektörünün bileşenleridir. Problem boyutlu açısal momentum vektörünün bileşenlerinin Lorentz dönüşümlerini bulunuz. Çözüm 1.3 Çözüm 1.4 de 4-boyutlu bir vektörünün bileşenleri için Lorentz dönüşümlerini aşağıdaki gibi vermiştik: = + ; = + ; = ; = (1) 4-boyutlu, 2-ranklı bir tensörünün bileşenlerini, iki 4-boyutlu vektörün bileşenlerinin çarpımı şeklinde yazabiliriz: = (2)

63 62 Burada ve herhangi iki 4-boyutlu vektörlerdir ve (2) deki çarpım bir skaler çarpım değil, olağan bir çarpımdır. (1) ve (2) yi kullanarak tensörünün bazı bileşenleri için Lorentz dönüşümlerini bulabiliriz. Bu dönüşümleri bulduktan sonra tensörü yerine Çözüm 1.29 da bulduğumuz tensörünü koyarak (ki bu tensörün bazı bileşenleri, 3-boyutlu açısal momentum vektörünün bileşenlerinden ibarettir) 3- boyutlu açısal momentum vektörünün bileşenlerinin Lorentz dönüşümlerini bulabiliriz. = = + = + = + (3) = = + = + = + (4) = = = (5) Şimdi bu dönüşümleri Çözüm 1.29 da bulduğumuz tensörünün bileşenlerine uygulayalım. (3) e göre, (4) e göre, = + = E + (6)

64 63 = + = + E = + E (7) (5) e göre, = = (8) buluruz. (6), (7) ve (8) dönüşümleri, 3-boyutlu açısal momentum vektörünün bileşenlerinin Lorentz dönüşümleridir. Problem 1.31 Ay ın özgün yarıçapı yaklaşık olarak 174 ve yörüngesel hızı yaklaşık olarak 1,2 / dir. Dünya daki bir gözlemci, Ay ın yarıçapında yörüngesel hareketinden dolayı ne kadarlık bir kısalma görür? Çözüm 1.31 Ay ın yörüngesel hızı, = 1,2 1 / olduğundan, = =, = 3,4 1 (1)

65 64 olur. Dolayısıyla Dünya daki gözlemciye göre Ay ın yarıçapındaki kısalmayı, olarak buluruz. = = = 1 1 = 1 1 = 5,9 (2) Problem 1.32 eylemsiz referans sistemi, eylemsiz referans sistemine göre - doğrultusunda sabit hızıyla hareket etmektedir. Üçüncü bir eylemsiz referans sistemi ise referans sistemine göre aynı doğrultuda sabit hızıyla hareket etmektedir. ve eylemsiz referans sistemleri arasındaki Lorentz dönüşümlerini bulunuz. Çözüm 1.32 Üç eylemsiz referans sistemi ve aralarındaki hızlar, Şekil 1.4 deki gibidir. ve referans sistemleri arasındaki Lorentz dönüşümlerinin, = + ; = + ; = ; = (1) olduğunu artık biliyoruz. Burada,

66 65 = ; = (2) biçiminde tanımlıdırlar. Şekil 1.4., ve eylemsiz referans sistemleri ve onların birbirlerine göre hızları. ve eylemsiz referans sistemleri arasındaki Lorentz dönüşümleri ise aşağıdaki gibi olacaktır: Burada, = + ; = + ; = ; = (3) = ; = (4) biçiminde tanımlıdırlar.