ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR

Transkript

1 III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1 ], [ 3 ], [ 3 4 ],..., [ n 1 ] n n birleflimine çokgen denir. Verilen n noktaya çokgenin köfleleri, do ru parçalar na çokgenin kenarlar, kenarlar n oluflturdu u aç lara da çokgenin aç lar denir. Kenarlar d fl nda köfleleri birlefltiren do ru parçalar na çokgenin köflegenleri denir. Tan m : Konveks bölge oluflturan çokgenlere konveks (d flbükey) çokgen denir. Konveks çokgende, bütün kenarlar ve köfleler her bir kenar n ayn taraf nda bulunur. ÜÇGNLR Üçgen örtgen eflgen Tan m : Konkav bölge oluflturan çokgenlere konkav (içbükey) çokgen denir. Konveks çokgen Konkav çokgen Tan m : Üç kenarl çokgene üçgen denir., ve do rusal olmayan üç nokta olsun. [], [] ve [] n n birleflimine üçgeni denir. c a b = [] [] [] fiekildeki üçgen üç köfle yan yana yaz larak,,,,, gibi 6 de iflik flekilde adland r labilir., ve noktalar üçgenin köfleleri, [], [] ve [] kenarlar, = a, = b ve = c kenar uzunluklar, é, é ve é aç lar üçgenin iç aç lar, iç aç lar n komflu bütünleri olan aç lar da d fl aç lar olarak adland r l r. Üçgenin kenar uzunluklar a, b ve c ile gösterildi i gibi kenarlar da k saca a, b ve c ile gösterilebilir. é, é ve é üçgenin iç aç lar d r. é, é ve é üçgenin d fl aç lar d r. 63

2 ÜÇGN Çfi TLR 1. Kenarlar na Göre Üçgen Çeflitleri a. Çeflitkenar üçgen: Kenar uzunluklar farkl olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir. ise üçgeni çeflitkenar üçgendir. b. kizkenar üçgen: ki kenar efl olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. fl olan kenarlara üçgenin yan (ikiz) kenarlar, di er kenara taban, taban n karfl s ndaki köfleye üçgenin tepesi, köflesi tepe noktas olan aç ya tepe aç s, di er aç lara da taban aç lar denir. = ise üçgeni ikizkenar üçgendir. [] ve [] yan kenarlar, [] taban, é tepe aç s, é ve é da taban aç lar d r. c. flkenar üçgen: ütün kenarlar efl olan üçgenlere eflkenar üçgen denir. [] [] [] ise üçgeni eflkenar üçgendir. Çeflitkenar üçgen. ç lar na Göre Üçgen Çeflitleri a. ar aç l üçgen: ütün aç lar dar aç olan üçgenlere dar aç l üçgen denir. b. ik üçgen: ir aç s dik aç olan üçgenlere dik üçgen denir. ik aç n n karfl s ndaki kenara hipotenüs, di er kenarlara da dik kenar ad verilir. m(ë) = 90 ise üçgeni dik üçgendir. [] kenar üçgenin hipotenüsü, [] ve [] kenarlar da dik kenarlard r. Üçgenin di er aç lar dar aç d r. Niçin? m(ë) < 90, m(ë) < 90 ve m(ë) < 90 ise üçgeni dar aç l üçgendir. c. Genifl aç l üçgen: ir aç s genifl aç olan üçgenlere genifl aç l üçgen denir. m(ë) > 90 ise üçgeni genifl aç l üçgendir. Üçgenin di er aç lar dar aç d r. Niçin? = kizkenar üçgen = = flkenar üçgen ar aç l üçgen m(ë) < 90, m(ë) < 90 m(ë) < 90 ÜÇGN N YRIMI LMNLRI 1. Kenarortay: ir üçgenin bir köflesini karfl kenar n orta noktas na birlefltiren do ru parças na o kenara ait kenarortay denir. ik üçgen m(ë) = 90, m(ë) < 90 m(ë) < 90 Genifl aç l üçgen m(ë) > 90, m(ë) < 90 m(ë) < 90 = [], [] kenar na ait kenarortay G [] [] [] = {G} ise G, üçgeninin a rl k merkezidir. = ise = V a = ise = V b = ise = V c 64

3 üçgeninin a, b ve c kenar na ait kenarortaylar n n uzunluklar s ras yla V a, V b ve V c ile gösterilir. ir üçgenin üç kenarortay üçgenin içinde bir noktada kesiflirler. u noktaya üçgenin a rl k merkezi denir.. ç ortay: ir üçgenin bir aç s n n aç ortay n n karfl s ndaki kenar kesti i nokta ile aç n n köflesini birlefltiren do ru parças na üçgenin o aç s na ait aç ortay denir. ir üçgenin iç aç lar n n aç ortaylar na iç aç ortay, d fl aç lar n n aç ortaylar na da d fl aç ortay denir. K I = n = n = n [] [] [] [] [] = { I } [K [K [K = {K} m(é) = m(é) ise [], aç s n n iç aç ortay, m(é) = m(é) ise [], aç s n n d fl aç ortay olur. Üçgenin, ve aç lar na ait iç aç ortaylar n n uzunluklar n, n ve n ile gösterilir. ir üçgenin üç iç aç ortay üçgenin içinde bir noktada kesiflir. (u nokta üçgenin iç te et çemberinin merkezidir.) ir üçgende herhangi iki d fl aç ortay ile di er köfledeki iç aç ortay da bir noktada kesiflir. 3. Yükseklik: ir üçgenin bir köflesinden, karfl kenar do rusuna indirilen dikmenin, karfl kenar kesti i nokta ile köfleyi birlefltiren do ru parças na, üçgenin o kenar na ait yüksekli i denir. K L [] [] m(ë) < 90, m(ë) < 90 [] [ m(ë) > 90 ir üçgeninin a, b ve c kenarlar na ait yüksekliklerinin uzunluklar s ras yla h a, h b ve h c ile gösterilir. Üçgende üç yükseklik bir noktada kesiflir. u noktaya üçgenin diklik merkezi ad verilir. [] [L] [K] = {} = h a, L = h b, K = h c ÜÇGN ÇILR RSINK INTILR Teorem : ir üçgende, bir d fl aç n n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç n n ölçüleri toplam na eflittir. ipotez : bir üçgen ise üküm spat : m(é) = m(ë) + m(ë) dir. : [ // [] çizelim. 1. m(é) = m(ë). m(é) = m(ë) 3. m(é) + m(é) = m(ë) + m(ë) 4. m(é)=m(ë)+m(ë) Sonuç : ir üçgende bir d fl aç n n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç lar n her birinin ölçüsünden daha büyüktür. 65

4 Teorem : ir üçgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 180 dir. ipotez : bir üçgen ise üküm spat : m(ë) + m(ë) + m(ë) = 180 dir. : [ fl n n çizelim. 1. m(é) = m(ë) + m(ë). m(é) + m(ë) = m(ë) + m(ë) + m(ë) = 180 Örnek : üçgeninde; m(é) =, m(é) = y, m(é) = z ve + y + z = 56 oldu una göre, kaç derecedir? Çözüm : üçgeninde; 1. y + z = 360 (Üçgenin d fl aç lar n n ölçüleri toplam ). y + z = y + z = = 56 = 76 = 38 bulunur. y z Örnek : Yandaki flekilde; m(ë) = a, m(ë) = b a m(ë) = c, m(ë) = ise = a + b + c oldu unu gösteriniz. b c Çözüm : [ n çizelim. 1. m(é) = m(ë) + m(é). m(é) = m(ë) + m(é) 3. m(é) + m(é) = m(ë) + m(ë) + m(é) + m(é) a 4. m(é) = m(é) + m(é) 5. m(é) = m(ë) + m(ë) + m(ë) 6. = a + b + c olur. b c Örnek : Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusal [] // [], = ve = ise m(é) kaç derecedir? Çözüm : noktas ndan [ // [] çizelim. 1. m(é) = m(é) = α. m(é) = m(é) = β 3. m(é) = m(é) = α 4. m(é) = m(é) = β 5. α + β = m(é) = α + β = 90 dir. α β α β α β 66

5 Örnek : fiekildeki üçgeninde; [] ve [] iç aç ortay, m(ké) =, m(él) = y ve m(ém) = z ise + y + z = 70 oldu unu gösteriniz. Çözüm : ir üçgende iç aç ortaylar ayn noktada kesiflti inden [], köflesinden geçen iç aç ortayd r. undan dolay ; m(é) = m(é) = a, m(é) = m(é) = b ve m(é) = m(é) = c olsun. üçgeninde, a + b + c = 180 a + b + c = 90 ve üçgeninde, m(ké) = = c + a üçgeninde, m(él) = y = a + b M z M z üçgeninde, m(mé) = z = b + c olur. + y + z = c + a + a + b + b + c = 3(a + b + c) = 3.90 = 70 bulunur. K a a b b c c K I y y L L Teorem : ir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, ayn zamanda yükseklik ve aç ortayd r. ipotez : ikizkenar üçgeninde; = ve [] kenarortay ise üküm : [] hem yükseklik hem de aç ortayd r. spat : 1. =. m(ë) = m(ë) 3. = m(é) = m(é) olur ve [] aç ortayd r. 6. m(é) = m(é) = 90 olur ve [] yüksekliktir. Sonuç : ir eflkenar üçgenin bütün kenarlar na ait kenarortay, aç ortay ve yüksekliklerinin uzunluklar eflittir. Teorem : ir üçgende herhangi bir kenara ait kenarortay uzunlu u, ait oldu u kenar n uzunlu unun yar s na eflit ise bu üçgen dik üçgendir. ipotez : üçgeninde; = = ise üküm : m(ë) = 90 dir. spat : G = GG' olacak flekilde [] n uzatal m. u durumda G'G paralelkenar olur. 67

6 üçgeninde üçgeninde c + b 4 = 9p b + c 4 = 9t + 5. a 4 = 9(p + t ) p + t = 5a olur. 36 GG' üçgeninde kenarortay teoremine göre; (t) +(p) =. a + (k) 4.(t + p ) =. a 4 + 4k 4. 5a 36 = a + k 5a 9 a = k 10a 9a = k 18 a = 36k a = 6k a = 3k olur. Yani, = = bulunur. c c p t t a k G k b k p G t a p b Teorem : ir dar aç s n n ölçüsü 30 olan dik üçgende bu aç karfl s ndaki dik kenar n uzunlu u hipotenüsün uzunlu unun yar s na eflittir. ipotez : dik üçgeninde; m(ë) = 90 ve m(ë) = 30 ise üküm : = dir. 30 spat : [] kenarortay n çizelim. = = ve m(ë) = 60 oldu undan eflkenar üçgendir. uradan, = = bulunur. Sonuç : ir dik üçgende dar aç lardan birisi 60 ise bu aç n n karfl s ndaki dik kenar uzunlu u, di er dik kenar uzunlu unun ñ3 kat d r. Niçin? Siz bulunuz. Örnek : Yandaki üçgeninde, [] [], m(é) = 30, = 4 cm ise ve nu bulunuz. Çözüm : dik üçgeninde; 30 4 = = 4 = cm olur. u üçgende Pisagor teoreminden de = + 4 = + = 16 4 = 1 = 3 cm bulunur. =. ñ3 oldu una dikkat ettiniz mi? 68

7 UYGULMLR Örnek : Yandaki flekilde; = =, = ve m(é) = 5 ise m(é) kaç derecedir? 5 Çözüm : m(é) = olsun. m(é) = m(é) = + 5 ( = ) m(é) = m(é) = m(é)= 90 m(é) = m(é) = 90 = = 6 dir. Örnek : fiekildeki üçgeninde; m(é) = 45 ve m(é) = 15 ise oran n bulunuz Çözüm : [] yüksekli ini çizelim. m(é) = = 60 ve m(é) = 30 olur. dik üçgeninde, = ise = ñ3 ve ikizkenar dik üçgeninde de = ñ. = ñ6 dir. = = 6 6 = 6 3 bulunur ñ6 ñ Örnek : Yandaki flekilde; [] [], = = ve m(é) = 6 ise aç s n n ölçüsünü bulunuz. Çözüm : [] n çizelim. = = = ve 6 üçgeninde; m(é) = m(é) = 6 m(é) = 90 (6 + 6 ) = 38 olup ikizkenar üçgeninde, m(é) = m(é) = 38 bulunur

8 Örnek : Yandaki flekilde; [] [], = ve = ise 3 = aç s n n ölçüsünü bulunuz. Çözüm : [] [] çizelim. = olsun. = 3, = ve = 4 dir. = = = dik üçgeninde =. oldu undan m(é) = 30 ve m(é) = 60 bulunur. Örnek : Yandaki flekilde; [] [], <, =. ve m(é) = 15 ise aç s n n ölçüsünü bulunuz. 15 Çözüm : dik üçgeninin [] kenarortay n çizelim. = = = d r. ikizkenar üçgeninde, m(é) = m(é) = α = ve m(é) = m(é) = α ve dik üçgeninde, m(é) = 90 α olur. üçgeninde; m(é) = m(é) + m(é) α = α 3α = 105 α = 35 bulunur α α α α α Örnek : Yandaki üçgeninde; =, =, [] [] ve 15 m(é) = 15 ise aç s n n ölçüsünü bulunuz. Çözüm : [] n çizelim. =, [] [] verildi inden = = olup ve ikizkenar üçgenlerdir. α α 90 α m(é) = m(é) = α m(é) = 90 α ve m(é) = m(é) = α ve m(é) = α + 90 α = 90 + α = 15 α = 35 olur. α α üçgeninde, m(é) = 180 3α = = 75 bulunur. 70

9 Örnek : Yandaki flekilde; m(é) = 60 [] [], [] [], = 7 cm ve = 4 cm ise nu bulunuz Çözüm : [ ve [ fl nlar noktas nda kesiflsin. ve üçgenlerinde m(ë) = 30 olur. =. =.4 = 8 cm ve = 3 = 15 = cm bulunur Örnek : Yandaki flekilde, P noktas n n [O ve [O fl nlar na göre simetrikleri s ras yla ve noktalar ve m(ép) = 150 ise O üçgeninin eflkenar oldu unu gösteriniz. O P 150 Çözüm : [OP] n çizelim. m(éo) = 180 m(ép) = = 30 OP = O = O m(éo) = m(éop) = α ve m(éo) = m(éop) = 30 α olur. m(éo) =.m(éop) +.m(éop) = α +.(30 α) = 60 bulunur ve O ikizkenar üçgeninin eflkenar oldu u görülür. O P 150 α α Örnek : Yandaki flekilde; =, P [],, do rusal, P,, do rusal, [P] [] ve [] [] ise P + P =. oldu unu gösteriniz. Çözüm : m(ë) = m(ë) = α olsun. P P üçgeninde, m(ë) = 90 α 90 α P üçgeninde, m(pé) = 90 α = m(é) m(ë) = m(é) ve = olur. [K] [] çizelim. K = K ve = PK d r.. =. PK =. P +. K = P + ( P + K + K ). = P + P bulunur. α K 90 α 90 α α P 71

10 LIfiTIRMLR 1. Yandaki flekilde;, ve noktalar ile, ve noktalar do rusal, m(ë) = y, m(ë) =, m(ë) = z ve m(ë) = a oldu una göre a = y + z oldu unu gösteriniz. y z a. Yandaki flekilde; [] // [], [] // [], m(ë) = 80, m(é) = 35 ve m(é) = 5 oldu una göre m(é) kaç derecedir? Yandaki flekilde verilenlere göre b + c + d a = 360 oldu unu gösteriniz. c b d a 4. Yandaki flekilde; [], aç s n n [], aç s n n aç ortaylar d r. m(ë) = z, m(ë) = ve m(ë) = y oldu una göre = y + z ba nt s n n do rulu unu gösteriniz. z y 5. Yandaki flekilde; m(ë) = 100 m(ë) = a, m(ë) = b, m(ë) = c m(ë) = d oldu una göre a + b + c + d toplam kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; [] ve [] aç ortaylar, m(é) = 7 ve m(é) = 60 oldu una göre aç s n n ölçüsü kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; [] ve [] iç aç ortaylard r.,, ve noktalar do rusal, m(é) = 80 ve m(é) = 70 oldu una göre aç s n n ölçüsü kaç derecedir?

11 8. Yandaki üçgeninde; [ ve [I] iç aç ortay, [ d fl aç ortayd r. m(é) = 5 oldu una göre m(éi) kaç derecedir? I 5 9. Yandaki üçgeninde [] aç ortay ve > ise m(é) = 90 + m( ) m( ) oldu unu gösteriniz. 10. Yandaki üçgeninde; [K ve [K d fl aç ortaylard r. m(ék) = 40 oldu una göre m(ék) = kaç derecedir? K 11. Yandaki üçgeninde; [] [] ve [] [] dir. [] ve [], üçgeninin iç 70 aç ortaylar ve m(é) = 70 ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? 1. Yandaki üçgeninde; =, m(ë) = 40 ve [] [] oldu una göre m(ë) kaç derecedir? Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusald r. [ [], [ [] ve m(ë) = 44 ise m(é) = kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; [] [] ve [] [] ve m(é) = 40 oldu una göre m(é) + m(é) kaç derecedir? 40 73

12 15. ir üçgeninin iç aç lar n n ölçüleri 3, 4 ve 8 ile do ru orant l d r. u üçgenin aç lar n n ölçülerini hesaplay n z. 16. Yandaki üçgeninde; [] aç ortay ve m(ë) m(ë) = 4 oldu una göre m(é) kaç derecedir? 17. Yandaki fleklin,,, ve köflelerindeki aç lar n ölçüleri toplam n n 180 oldu unu gösteriniz. 18. Yandaki flekilde; m(é) = m(é), z m(é) =, m(é) = y, m(é) = z ve y = 80 oldu una göre z kaç derecedir? y 19. Yandaki flekilde; [ [, [ [, m(pé) = m(pé) ve m(pé) = m(pé) oldu una göre m(ép) kaç derecedir? P 0. Yandaki flekilde; m(é) = m(é), m(é) = m(é) ve m(é) = 80 oldu una göre, m(é) kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; [] ve [] iç aç ortaylar, [ ve [ d fl aç ortaylard r. m(é) = ve m(é) = 10 ise m(é) kaç derecedir? 74

13 . üçgeninde; [] ve [] iç aç ortaylar, m(é) = 100 ve m(é) = 85 ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; [] ve [] aç ortaylar ve m(é) = 40 ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; [] ve [] aç ortaylar ve m(é) = 7.m(é) ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? 5. Yandaki üçgeninde; [] ve [] aç ortaylar [K] [] ve [L] [] dir. m(kél) = α ise aç s n n ölçüsünü α cinsinden bulunuz. L α I K 6. Yandaki üçgeninde; [] aç ortay, m(é) =.m(é) ve m(é) = 50 ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? Yandaki üçgeninde; m(é) = m(é), m(é) = m(é), m(é) = m(é) ve m(ék) = 70 ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? K ir üçgeninin d fl aç lar n n ölçüleri 3, 4 ve 6 ile ters orant l d r. u üçgenin en küçük iç aç s n n ölçüsünü bulunuz. 75

14 9. Yandaki üçgeninde; =, = ve m(é) = 50 ise aç s n n ölçüsünü bulunuz Yandaki üçgeninde; = ve = = oldu una göre m(ë) kaç derecedir? 31. Yandaki üçgeninde; =, = ve m(é) = 4 oldu una göre m(ë) kaç derecedir? 4 3. Yandaki üçgeninde; m(é) =, = ve = oldu una göre aç s n n ölçüsünü cinsinden hesaplay n z. 33. Yandaki eflkenar üçgeninde; [] [], = ve = oldu una göre m(ë) kaç derecedir? R ÜÇGN N ÇILRI L KNRLRI RSINK INTILR Teorem : ir üçgenin iki kenar efl de ilse, bunlar n karfl lar ndaki aç lar da efl de ildir ve daha uzun olan kenar karfl s ndaki aç daha büyüktür. ipotez : üçgeninde; > ise üküm spat Sonuç : m(é) > m(é) dir. : [] do ru parças üzerinde = olacak flekilde bir noktas alal m. 1. m(é) = m(é) (ikizkenar üçgen özelli i). m(é) + m(é) = m(é) 3. m(é) > m(é) 4. m(é) = m(ë) + m(é) 5. m(é) > m(ë) 6. m(é) > m(é) > m(ë) olur. : 1.ir üçgeninde; a < b <c m(ë) < m(ë) < m(ë) olur.. ir üçgeninde;, ve köflelerindeki d fl aç lar 1, 1 ve 1 ise a < b < c m(ë 1 ) > m(ë 1 ) > m(ë 1 ) olur. 76

15 Örnek : üçgeninde; = 10 cm, = 1 cm ve = 9 cm ise iç aç lar n n ölçüleri aras ndaki s ralamay bulunuz. 1 9 Çözüm : 9< 10 < 1 < < oldu undan yukar daki sonuç 1 gere ince; m(ë) < m(ë) < m(ë) bulunur. 10 Örnek : Yandaki üçgeninde; m(é) = m(é) = 6, m(é) = 36 ve m(é) = 3 ise üçgeninin kenarlar n n uzunluklar aras ndaki s ralamay bulunuz. 6 6 Çözüm : m(é) = m(é) + m(é) = = 6 m(é) = m(é) + m(é) = = 58 m(é) = 180 [m(é)+m(é)] = 180 ( ) = 60 bulunur. O hâlde üçgeninin kenar uzunluklar aras ndaki s ralama < < olur ÜÇGN fi TS ZL Teorem : ir üçgenin herhangi iki kenar n n uzunluklar toplam, üçüncü kenar n uzunlu undan büyüktür. ipotez : bir üçgen ise üküm : + > olur. spat : [] n n uzant s nda = olacak flekilde bir noktas alal m. 1. m(é) = m(é). m(é) = m(é) + m(é) 3. m(é) > m(é) = m(é) 4. > 5. = > 7. + > olur. Kenar uzunluklar a, b ve c olan üçgeninde; Teorem den b < a + c a > b c ve a < b + c b > a c veya c > a b ba nt lar yaz labilir. O hâlde bir üçgeninin kenar uzunluklar aras nda; c a b 1. b c < a < b + c. a c < b < a + c 3. a b < c < a + b eflitsizlikleri vard r. Sonuç : ir üçgende herhangi bir kenar n uzunlu u, di er iki kenar n uzunluklar toplam ndan küçük, fark n n mutlak de erinden büyüktür. (üçgen eflitsizli i) 77

16 Örnek : Yandaki dörtgende; = 1 cm, = 7 cm, = 8 cm ve = 6 cm ise nun alabilece i de erleri bulunuz. Çözüm : üçgeninde üçgen eflitsizli inden; 1 7 < < < < 19 ve üçgeninde üçgen eflitsizli inden; 8 6 < < < < 14 olur. uradan 5 < < 14 bulunur Örnek : Yandaki üçgeninde; = 1 cm, = + 3 cm, = + 6 cm oldu una göre, in alabilece i kaç tam say de eri vard r? Çözüm : üçgeninde üçgen eflitsizli inden; + 3 ( + 6) < 1 < ( + 6) 3 < 1 < < 15 > 1 1 < < 15 olur. O hâlde in alabilece i 13 tam say de eri vard r. 1 LIfiTIRMLR 1. Yandaki flekildeki nde; =, = m(é) = 3 ve m(é) = 30 ise nin kenarlar n küçükten büyü e do ru s ralay n z. b a e d c. Yandaki flekilde; m(é) = 60, m(é) = 63 m(é) = 58 ve m(é) = 59 ise a, b, c, d ve e uzunluklar aras ndaki s ralamay yap n z Yandaki flekildeki nde; m(ë) < 90 = 7 cm ve = 9 cm ise = a n n alaca tam say de erlerini bulunuz Yandaki flekildeki; m(ë) >90 = 5 cm, = 6 cm, = 7 cm ve = 10 cm ise nun alabilece i tam say de erlerinin toplam n bulunuz. 7 a 9 5. Yandaki flekildeki; = 4 cm, = 5 cm ve = 6 cm ise nun alabilece i en küçük tam say de erini karfl l k = in alabilece i en büyük tam say de eri nedir? Yandaki nde; = 3 cm, = 5 cm ve = 14 cm ise in alabilece i tam say de erlerini bulunuz

17 TST 1. Yandaki flekilde;, ve noktalar do rusald r. =, m(é) = 90 ve m(é) = ise m(é) = α kaç derecedir? ) 45 ) 46 ) 56 ) 65 ) 66 α. Yandaki flekilde; [ ile [ aç ortaylar, = ve m(é) = 80 ise m(é) kaç derecedir? ) 50 ) 55 ) 60 ) 65 ) Yandaki flekilde; =, [] aç ortay m(é) = 90 ve m(é) = 108 ise m(é) kaç derecedir? ) 46 ) 48 ) 50 ) 5 ) Yandaki flekilde; =, = ve m(é) = 18 ise m(é) = kaç derecedir? ) 30 ) 3 ) 34 ) 36 ) Yandaki flekilde; [], aç s n n aç ortay [] // [], = ve m(é) = 34 ise m(é) = kaç derecedir? ) 66 ) 64 ) 6 ) 56 ) Yandaki flekildeki; m(é) = 80, m(é) = 50 y m(é) = m(é) = ve m(é) = m(é) = y ise m(é) kaç derecedir? ) 50 ) 45 ) 40 ) 35 ) y 7. Yandaki flekilde; =, [] [] [] // [], = 5 cm ve = 8 cm ise kaç cm dir? ) 10 ) 9 ) 8 ) 7 )

18 8. fiekildeki eflkenar üçgeninde; [] [] = 3 ve = 6 cm ise üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 7 ) 30 ) 33 ) 36 ) Yandaki flekilde; m(é) = 60, [] [] [] [], = 3 cm ve = 5 cm oldu una göre, oran kaçt r? 5 3 y ) ) ) ) ) Yandaki flekilde; m(ë) = 90, m(ë) = 30 [N] [], [N] aç ortay ve = 18 cm oldu una göre, N = kaç cm dir? ) 3 ) 4 ) 3ñ3 ) 6 ) 4ñ3 N fiekildeki üçgeninde; = =, [] [] ve m(é) = 5 oldu una göre, m(é) kaç derecedir? ) 115 ) 10 ) 15 ) 130 ) Yandaki flekilde; = 7 cm, = 5 cm ve = 6 cm dir. nun en küçük tam say de eri için = in alabilece i en büyük tam say de eri afla dakilerden hangisidir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 )

19 1. Yandaki flekilde; m(él) = m(él) m(ék) = m(ék), [L] [L] [K] [K] ve m(é) = 80 oldu una göre LK aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 115 ) 10 ) 15 ) 130 ) 135 TST L 80 K. Yandaki flekilde; =, =, [] [] ve m(é) = 30 ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 ) Yandaki dik üçgeninde; [] [], = ve = = oldu una göre aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 30 ) 40 ) 45 ) 50 ) fiekildeki dik üçgeninde; [] [] m(é) = m(é) ve = ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 5 ) 30 ) 40 ) 45 ) fiekilde, noktas n n [O ve [O fl nlar na göre dik simetrikleri s ras yla ve dir. m(é) = 130 oldu una göre O aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) 5 ) 30 ) 35 ) 40 O fiekildeki ikizkenar üçgeninde; [] [], = ve = ise oran kaçt r? 3 ) ñ ) ) ñ3 ) ) ñ5 7. Yandaki flekilde; eflkenar üçgen, [] [], = 7 cm ve = 3 cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) 11 ) 1 ) 13 )

20 8. Yandaki flekilde; eflkenar üçgen, 15 m(é) = 15 ve = ñ6 cm ise = kaç cm dir? ñ6 ) 1 ) ñ ) ñ3 ) ) ñ5 9. Yandaki flekilde; eflkenar üçgen, [] [], [K] [], = ve = ise K oran kaçt r? K K ) ) ) ) ) Yandaki flekilde; [] [] [] ve [] aç ortay, = 9 cm, = 5 cm ve = 8 cm ise = kaç cm dir? ) 11 ) 1 ) 13 ) 14 ) Yandaki flekilde; = K = K, [] [] [K] [] ve = 10 cm ise üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 K 1. Yandaki nde; =, = ve m(é) = 48,, ve noktalar do rusal ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 36 ) 38 ) 40 ) 4 ) Yandaki nde; = = ve [] [] ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? ) 10 ) 15 ) 18 ) 0 )

21 K ÜÇGN MTR K INTILR Teorem : ir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, üçgeni birbirine ve kendisine benzer iki üçgene ay r r. ipotez : üçgeninde m(ë) = 90 ve [] [] ise üküm spat : ~ ~ dir. : 1. m(ë) = m(ë). m(é) = m(é) = 90 (ipotezden) 3. ~ olur. (1,. ve.. benzerlik teoreminden) 4. m(ë) = m(ë) 5. m(é) = m(é) = 90 (ipotezden) 6. ~ (4, 5. ve.. benzerlik teoreminden) 7. ~ ~ (3. ve 6. dan) ÖKL TORMLR Teorem : ir dik üçgende; hipotenüse ait yüksekli in uzunlu u, hipotenüsten ay rd do ru parçalar n n uzunluklar n n geometrik ortas d r. ipotez : üçgeninde m(ë) = 90 ve [] [] ise üküm spat : =. dir. : ~ bulunur. = =. üçgeninde = h, = p ve = k ile gösterilirse h = p.k yaz l r. p h k Teorem : ir dik üçgende, bir dik kenar n uzunlu u, hipotenüsün uzunlu u ile hipotenüse ait yüksekli in hipotenüsten ay rd parçalardan kendisi taraf nda kalan parças n n uzunlu unun geometrik ortas d r. ipotez : üçgeninde m(ë) = 90 ve [] [] ise üküm spat Sonuç : =. ve =. dur. : Teoremden; ~ = =. ve ~ olur. = =. : üçgeninde; = a, = b, = c, = p ve = k ise c p b k c = p.a ve b = k.a b c = k p olur. 83

22 Örnek : Yandaki flekilde; dik üçgen [] [], [] [], = cm, = 6 cm oldu una göre, [], [] ve [] n n uzunluklar n bulunuz. Çözüm : = h a h a =. h a =. 6 = 1 6 h a = 1 = 3 cm bulunur. =. = b = 6.8 c =.8 = 16 b = 48 = c = 4 cm bulunur. = b = 4 3 cm bulunur. Örnek : Yandaki dik üçgeninde; m(ë) = 90, [] [], = 1 cm ve = 7 cm oldu una göre,, ve uzunluklar n bulunuz. Çözüm : üçgeninde Öklid ba nt lar ndan; =. 1 = p.(p+7) p + 7p 144 = 0 p = 9 cm, =. b = 7.16 b = 4ñ7 cm ve =. h = 9.7 h = 3ñ7 cm bulunur. 1 h p 7 b Örnek : ir dik üçgende; 1. ik kenarlar n uzunluklar çarp m, hipotenüs uzunlu u ile hipotenüse ait yüksekli in uzunlu u çarp m na eflit,. ipotenüse ait yüksekli in uzunlu unun karesinin tersi, dik kenarlar n uzunluklar n n karelerinin tersleri toplam na eflit oldu unu gösteriniz. Çözüm : dik üçgeninde (m(ë) = 90 ) ve [] [] ise 1.. =. veya b.c = a.h c h b. 1 = veya 1 h = 1 b + 1 c p 7 oldu unu gösterelim. ~ dir. 1. (Üçgenin benzerli inden) =. =. veya b.c = a.h olur. 1. olur. (Öklid ba nt lar ndan) b + 1 c = 1 p.a + 1 k.a = k + p k.p.a = a k.p.a = 1 k.p = 1 h 84

23 Örnek : üçgeninde; [] [], [] [], = ñ5 cm ve = 4ñ5 cm ise, ve uzunluklar n bulunuz. ñ5 4ñ5 Çözüm : 1. 1 = = = 1 16 = 4 cm,.. = = 4. = 10 cm, 3. =. 0 =.10 = cm, 4. =. 80 =.10 = 8 cm bulunur. P SGOR TORM Teorem : ir dik üçgende; hipotenüsün uzunlu unun karesi, dik kenarlar n uzunluklar n n kareleri toplam na eflittir. ipotez : üçgeninde; [] [] ise üküm : = + dir. spat : [] [] çizelim. 1. =. (Öklid ba nt s ndan). =. (Öklid ba nt s ndan) 3. + =. +. (1. ve. den) 4. + = ( + ). =. = olur. Örnek : fiekildeki üçgeninde; [] [], = 10 cm, = 6 cm ve = 15 cm ise uzunlu unu bulunuz. 10 Çözüm : dik üçgeninde Pisagor teoreminden; = + 10 = 6 + = 64 = 8 cm dir. dik üçgeninde Pisagor teoreminden; = + = = 89 = 17 cm bulunur

24 Örnek : Yandaki flekilde; d 1 // d d 1 m(ép) = m(ép), m(ép) = m(ép) = 10 cm ve P = 4ñ5 cm ise d 1 ve d do rular aras ndaki uzakl k kaç cm dir? 10 4ñ5 P d Çözüm : P noktas ndan [P] [] [P] [] ve [PK] [] dikmelerini çizelim. [P] ve [P] aç ortay oldu undan P = P = PK ve m(ép) = 90 olur. P dik üçgeninde; 4ñ5 P d 1 P = 10 (4 5) = = 0 P = 5 cm d ve. P = P. P 10. P = P = 4 cm bulunur. d 1 ve d, do rular aras ndaki uzakl k; K = P + PK =. P =.4 = 8 cm dir. Örnek : Yandaki üçgeninde; [] [] [] [], =, = 5 cm ve = 13 cm ise uzunlu u kaç cm dir? Çözüm : ve üçgenlerinde Pisagor teoreminden; = = = 13 5 = 144 olur. dik üçgeninde Pisagor teoreminden de; = = = 144 = 1 cm dir LIfiTIRMLR 1. Yandaki flekilde; [] [], [] [] = ò13 cm ve = 3ò13 cm oldu una göre, uzunlu u kaç cm dir? ò13 3ò13. Yandaki dik üçgeninde; [] kenarortayd r. [] [] ve oldu una göre kaçt r? =

25 3. Yandaki dik üçgeninde; m(ë) = 90, [] [], = ñ5 cm ve = 8 cm oldu una göre, ve nu bulunuz. ñ fiekildeki üçgeninde; [] [] = = 5 cm, = 1 cm ve = 7 cm ise aç s n n ölçüsü kaç derecedir? TST 1. Yandaki flekilde; [] [] =, = 1 cm ve = 7 cm ise kaç cm dir? ) 4 ) ) 5 ) ) 6 1. Yandaki flekilde; [] // [] [] ve [] aç ortay, = 0 cm, = 16 cm ve = 8 cm ise kaç cm dir? ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 ) Yandaki flekilde; = =, = 9 cm ve = 5 cm ise üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 15 ) 16 ) 17 ) 18 ) Yandaki flekilde; = m(é) = 60, = 6 cm ve = 7 cm ise = kaç cm dir? ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 )

26 5. Yandaki flekilde; [] [] m(é) = 45, = 6ñ cm ve = cm ise = kaç cm dir? ) 15 ) 14 ) 13 ) 1 ) 11 6ñ Yandaki flekilde; [] [] = = 15 cm ve = 18 cm ise = kaç cm dir? ) 0 ) 1 ) ) 3 ) Yandaki flekilde; m(é) = m(é) = 9 cm ve = = 4 cm ise = kaç cm dir? ) 6 ) ) 7 ) ) Yandaki flekilde; = m(é) = 60, = 8 cm ve = 5 cm ise = kaç cm dir? 5 ) 1 ) ) ) 3 )