1. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Örnek...3 : 3 x+ y= 5 2x 3 =2 y s i s t e m i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r i k aç t ır? a, b, c R, a 0, b 0, x v e y d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e, a x+ b y+ c = 0 b i ç im i n d ek i d e n k l em l e r e b i r i n c i d e r e c e d e n ik i b i l i n m e ye n l i d e nk l em d e n i r. a x + b y+ c = 0 d e n k l em i n i n ç ö zü m k ü m e s i s o n s u z t a n e s ı r a l ı i k i l i d e n o l u ş u r. Ç ö z üm k üm e s i a n a l i t i k d ü zl e m d e b i r d o ğ r u b e l i r t i r. İKİ İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ a1x + b1y + c1= 0 a2x + b2y + c2= 0 s i s t e m i n e ik i b i l i nm e ye n l i d e nk l e m s i s t e m i d e n i r. B u t ü r d e n k l em s i s t em l e r i n i n ç ö züm k üm e s i ( e ğ e r v a r s a ) b u l u n u rk e n i k i f a rk l ı ç ö züm ya p ı l a b i l i r. B i l i n m e ye n l e r d e n h e r h a n g i b i r i n i n k at s a yı l a r ı e ş i t l e n i r, t a r af t a r af a ç ık a r t ıl ı r. Örnek...1 : x y= 9 2 x + y= 2 3 s i s t em i n i s a ğ l a ya n x d e ğ e r i k a ç t ı r? 1. YOK ETME YÖNTEMİ Örnek...4 : a v e b d o ğ a l s a yıl a r o l m a k ü ze r e, ( 3 a + 2 ). ( a + b )= 2 0 i s e a+ b e n ç ok k a ç t ır? Örnek...5 : m x ( n+ 2 ) y = 5 x + (m+n)y = 7 s i s t e m i n i s a ğ l a ya n ( x, y) ik i l i s i ( 2, 3 ) i s e m. n d e ğ e r i k a ç t ır? Örnek...2 : (a+b 13)32+(a b 9)44=0 i s e ( a, b ) i k i l i s i n i b u l u n u z. 1/8
Örnek...9 : 2.YERİNE KOYMA YÖNTEMİ a +b =3 ab 3a 2b =4 ab i s e a k a ç t ır? Denklemlerden herhangi birinde, d e ğ i ş k e n l e r d e n b i r i ya l n ı z b ı r ak ı l ı r v e b u l u n a n b u d e ğ e r, d i ğ e r d e nk l em d e ye r i n e ya z ı l ı r Örnek...6 : x + y = 11 2x + 5y = 34 s i s t em i n i s a ğ l a ya n x d e ğ e r i k a ç t ı r? HATIRLATMA a x + b y + c = 0 d e nk l e m i n i n ç ö züm k üm e s i s o n s u z t a n e s ır a l ı ik i l i d e n o l u ş u r. Ç ö zü m k ü m e s i a n a l i t i k d ü zl e m d e b i r d o ğ r u b e l i r t i r. B u d o ğ r u ç i zi l i rk e n i k i n o k t a b u lm ak ye t e r l i d i r. B u l u n a n n o k t a l a r ın b i r l e ş t i r i lm e s i yl e d o ğ r u ç i zi lm i ş o l u r. x y = 5 2x+ y =13 s i s t em i n i s a ğ l a ya n y d e ğ e r l e r i ç a r p ı m ı kaçtır? Örnek...8 : Örnek...7 : Örnek...10 : D e n k l e m l e r i v e r i l e n d o ğ r u l a r ı n g r a f ik l e r i n i ç i zi n i z. a) 3x 4y 12=0 b ) x + 5 y= 3 1 1 + =2 y x 3 2 + =5 y x ise x kaçtır? c ) y= 3 x 2/8
Örnek...11 : GENELLEME D o ğ r u l a r ı v e r i l e n k oş u l l a b e r a b e r ç i zi n i z. a1x + b1y + c1= 0 a2x + b2y + c2= 0 a ) x+ y= 8 v e x > 2 ik i b i l i nm e ye n l i d e n k l e m s i s t em i n d e h e r b i r if a d e b i r d o ğ r u b e l i r t t i ğ i n d e n, d o ğ r u l a r ı n d u r u m u n a g ö r e ç ö züm incelenebilir: a1 b1 i s e d o ğ r u l a r k es i ş i r d o l a yı s ı yl a a2 b2 t ek ç ö z üm v a r d ır. 1) a 1 b1 c1 = = i s e d o ğ r u l a r ç a k ış ı r a 2 b2 c2 d o l a yıs ı yl a s o n s u z ç ö zü m v a r d ır. 2) a 1 b1 c1 = ise doğrular paraleldir a 2 b2 c2 d o l a yıs ı yl a ç ö züm yo k t u r. 3) b ) 3 x 5 y= 6 y< 2 Örnek...12 : ( 3m 2 ) x+ 4 y= 1 2 5 x+ ( n 5 ) y= 1 6 d e n k l em s i s t em i n i n ç ö z üm k üm e s i s o n s u z e l e m a n l ı i s e m + n t o p l a m ı k a ç t ır? c) x 5 y x+3=0 Örnek...13 : x my = 12 3 x+ 5 y = 2 1 s i s t e m i n i n ç ö zü m ü b o ş k ü m e i s e m d e ğ e r i n e olabilir? 3/8
Örnek...14 : Örnek...17 : ( a + 7 ) x a y= 1 2 2 x + 3 y= 2 5 d e nk l e m s i s t e m i n i n ç ö zü m k üm e s i t ek e l em a n l ı i s e a s e ç i m i n a s ı l o lm a l ı d ı r? m v e n t a m s a yıl a r o lm ak ü z e r e 1 1 + =1 n m n+m 10 e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n m v e n d e ğ e r l e r i n i b u l u n u z. UYARI a x + b y = 0 d e nk l em i h e r x v e y d e ğ e r i i ç i n s a ğ l a n ı yo r s a, a= 0 v e b = 0 o l m a l ı d ır. ( 2 x y+ 5 ) a + ( x+ y) b = 0 eşitliği her a, b için doğru ise y kaçtır? Örnek...16 : (m 3 ) x+ ( n + 1 ) y= 0 d e nk l e m i h e r x v e y r e e l s a yı s ı i ç i n s a ğ l a n ı yo r s a ( m, n ) ik i l i s i n e o lm a l ı d ı r? Örnek...15 : Örnek...18 : a+b=2 a+c=7 b + c = 9 i s e a. b. c k a ç t ır? Örnek...19 : a+ 2 b = 3 a+ 4 c = 4 b c = 5 o l d u ğ u n a g ö r e, a k aç t ır? 4/8
Örnek...20 : Örnek...22 : EŞİTSİZLİK GRAFİKLERİ ax + by + c < 0 ifadesi koordinat d ü zl e m i n d e g ö s t e r i l i rk e n : AD I M 1 a x + b y + c = 0 a l ı n a r a k g r af i ğ e ait noktalar bulunur AD I M 2 <, > i ç i n k e s ik l i,, i ç i n s ü r ek l i ş e k i l d e g r af ik ç i zi l i r AD I M 3 G r a f i ğ e a i t o lm a ya n b i r n o k t a denenerek bölge bulunur AD I M 4 B u l u n a n b ö l g e t a r a n ı r. Örnek...21 : 3 x 2 y 1 2 < 0 e ş i t s i zl i ğ i n i d ü z l em d e ç i zi n i z x 5 y+ 8 0 e ş i t s i zl i ğ i n i d ü zl em d e ç i zi n i z. a, b, c n e g a t if r e e l s a yı l a r v e a.b=12 a.c=3 b.c=4 olduğuna göre, a.b.c kaçtır? Örnek...23 : x + 3 y > 0 e ş i t s i zl i ğ i n i d ü zl e m d e ç i zi n i z Örnek...24 : x 2 y+ 4 0, x 2 y 4< 0 e ş i t s i zl i k s i s t em i n i d ü zl e m d e ç i zi n i z 5/8
Örnek...25 : Örnek...28 : x 2 =3, y =5 e ş i t s i zl i k s i s t em i n i n 4 3 d ü zl e m d e s ın ır l a d ığ ı b ö l g e n i n a l a n ın ı b u l u n u z 5 x 4 y+ 2 0 0, 2 x + 3 y+ 8 < 0 e ş i t s i zl i k s i s t em i n i d ü z l em d e ç i zi n i z Örnek...26 : Örnek...29 : x 4 y+ 8 > 0, 3 x + 2 y 4 < 0 v e y> 0 e ş i t s i zl i k s i s t em i n i n d ü zl em d e s ı n ı r l a d ı ğ ı b ö l g e n i n alanını bulunuz y x 3 <1, e ş i t s i zl ik s i s t e m i n i n d ü zl e m d e 4 s ın ı r l a d ığ ı b ö l g e yi ç i z e r ek g ö s t e r i n i z. Örnek...27 : x y x y + <1 <1 v e x > 0 e ş i t s i zl ik s i s t e m i n i n 5 4 5 3 d ü zl em d e s ı n ı r l a d ı ğ ı b ö l g e n i n a l a n ı n ı b u l u n u z HATIRLATMA Ş ek i l d e x ek s e n i n i A ( a, 0 ) v e y ek s e n i n i B(0,b) n ok t a s ı n d a kesen doğrunun d e nk l e m i x y + =1 o l a r ak a b ya z ıl a b i l i r. y b x a d 6/8
1) 2x y = 8 x + y = 13 olduğuna göre, x y kaçtır? 2) x + 2y = 4 3x + y = 17 denklem sistemini sağlayan (x, y) ikilisi nedir? 3) 2x + 3y 28 = 0 3x + 2y 27 = 0 olduğuna göre, x y farkı kaçtır? 4) 5) 2x my = 6, nx + 3y = 3 denklem sisteminin çözümü (1,2) ikilisi ise (m,n) ikilisi nedir? ax + y + 2 = 0 2x + 3y + b = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a +b toplamı kaçtır? DEĞERLENDİRME - 1 6) (3m 2)x+4y=12 5x + (n 5)y = 16 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? 7) 2x ay =12 (a + 7)x + 3y =32 denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaç olabilir? 8) (3a + 1).x + 3y 8 = 0 5x + y + 12 = 0 denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için, a kaç olmalıdır? 9) (m-3)x+(1+n)y=0 denklemin her (x,y) için sağlanıyorsa (m,n) ikilisi nedir? 10) xy 3y=2 ise x in hangi değeri için y bulunamaz? 8/8