SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Algoritma ve Programlama I Hafta 1 Yrd. Doç. Dr. Cemil ÖZ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır 2008 Sakarya Üniversitesi
Algoritma Kavramı ve Özellikleri 1. Algoritma Kavramı Algoritma, bir problem sınıfının sistemli çözümü için; sıralanmış, belirsizlik taşımayan, işlenebilir, sonlu, işlem adımları kümesidir. Algoritma, sayıları kolay ve doğru tanımlama sanattır. Bir işlem dizisinin sonucunu elde etmek için, çok iyi tanımlanmış, sonlu sayıdaki işlem cümlelerinin bütünüdür. Bilgisayar programlamasının temel adımı olan bilgisayarın işleyişine uygun çözüm modelini kurmada bu güne kadar uygulanan yaklaşım çözüm algoritması kurma yöntemidir. Algoritma yaklaşımı, 9. yüzyılda yaşamış Türk İslam matematikçi ve astronomu Harzemli Mehmet in ikinci derece denklemin kolayca çözümü için geliştirdiği çözüm yönteminin genelleştirilmiş şeklidir ve algoritma sözcüğü onun adından türemiştir. Bilgisayarlar düşünemez. Bu sebeple bilgisayarların istenen amaçlara uygun biçimde kullanılabilmesi için programlanması gerekmektedir. Programlama, bir işlemin bilgisayarın anlayabileceği bir biçime dönüştürülmesi işlemidir. Bir programın amaca uygun olarak çalışabilmesi için, belirli aşamaları yerine getirmek gerekmektedir; 1. ANALİZ: Problem analiz edilir ve çözümlenir. 2. TASARIM: Yapılan çözümlemeye göre algoritma tasarımı/akış diyagramı oluşturulur. Doğruluğunun mantıksal sınaması yapılır. 3. KODLAMA: Oluşturulan algoritma/akış diyagramı bir programlama dili ile yazılır (kodlanır). 4. DERLEME: Program derlenir ve çalıştırılır. Yazım hataları varsa düzeltilir. 5. TEST: Program istenilen sonuçları üretmiyor ise 1. adıma dönülür ve problem çözümlenmesi ve algoritma/akış diyagramı gözden geçirilir ve revize edilir. 6. DOKÜMANTASYON: Programın dokümantasyonu oluşturulur. Problem analizi ve çözümlemesi, problemin tanımlanması, problemin giriş bilgileri ve sonuca ulaşmak için bu bilgiler üzerinde yapılması gereken işlemlerin ayrıntılı olarak belirlenmesidir. Algoritma, bir problemin çözümü için yapılması gereken işlemlerin gereken sırada, adım, adım ve basit deyimlerle yazılmış halidir. Akış diyagramı, algoritmaların özel geometrik şekiller ile gösterilmesidir. Algoritmaların ifade edilmesinde akış diyagramlarının yanı sıra, konuşma dili ile programlama dili arasında, sözde kod (pseudo code) adı verilen bir araç kullanılır. Sözde kod, programlar gibi derlenmez ve işlenmez. Her programcı kendi sözde kodunu geliştirebilir. Fakat kişisel sözde kodlar başkaları tarafından anlaşılabilir bir biçimde açık olmalıdır. Derleme, bir programlama dili ile yazılan kodların işletilebilmesi için makine diline çevrilmesidir. Makine dili, bir bilgisayarın anlayabileceği tek dildir. Makine dili ile yazılan programlar yalnızca 0 ve 1 lerden oluşur. Bu dille program yazabilmek için CPU nun iç yapısını bilmek gerekir. Makine dilinde programlama çok karmaşık olduğundan makine dili kodları simgesel (assembly) dili ile ifade edilir. Simgesel (assembly) dillerde,0 ve 1 ler yerine bazı sözcükler ve simgeler kullanılır.
Bellek, üzerine bilgilerin yazılıp silinebileceği hücrelerden oluşur. Her hücrenin sayısal bir adresi vardır. Bu hücrelere çoğu kez sözcük (word) adı verilir. Programlarda yapılan işlemler bellek hücrelerinde saklanan veriler üzerinde yapılır. Örnek: 1. 100 ile 101 numaralı hücrelerdeki bilgileri topla, sonucu 102 numaralı hücreye yaz. 2. 100, 101 ve 102 numaralı hücrelerdeki bilgileri kağıda yaz. 3. Dur. Daha uzun ve karmaşık problemlerde hangi bilginin hangi hücrede bulunduğunun çetelesinin tutulmasının programcıya büyük bir yük getireceği açıktır. Bu nedenle bütün programlama dillerinde hücrelerin sembolik adresleri olan değişken kullanılır. Değişken aynı zamanda o adreste bulunan bilginin adıdır. Yukarında verilen işlem değişkenler ve aritmetik işaretler kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir; 1. Z=X+Y. 2. X,Y,Z yi yaz. 3. Dur. Değişken kullanımı program yazımını kolaylaştırır. İki program karşılaştırılırsa X, Y, Z nin sırası ile 100, 101, 102 numaralı hücrelerdeki bilgileri temsil ettiği görülebilir. Fakat programcı açısından X bilgisinin belleğin hangi adresinde yerleştirildiğinin bilinmesi gerekmez. 1.1. Algoritmanın özellikleri Algoritma kurduktan sonra bir programlama dilinde yazılması o dilin deyim yapılarını, kurallarını ve kullanılacak derleyiciyi bilmeyi gerektirir. Bu beceri birkaç aylık bir çalışma sonunda elde edilebilir. Algoritmanın kurulması bir çözümleme işidir. Programcının belirli bir konudaki bilgisine ve algoritma kurma deneyimine bağlıdır. Bu nedenle algoritma kurma becerisinin kazanılması çok daha uzun bir çalışma ve zaman gerektirir. Algoritma kurma becerisi bir programa dilini kullanmaktaki rahatlık ve ustalıkla da doğru orantılıdır.
Kullanılan programlama dili algoritmayı biçimsel açıdan etkiler. Bir algoritmanın sahip olması gereken bazı özellikler vardır. Bunların bir kısmı aşağıda verilmiştir ve bunlar daha da artırılabilir; o Bilgisayarlar düşünemez. Bu yüzden algoritmanın her adımı anlaşılır, basit ve kesin bir biçimde ifade edilmiş olmalıdır. Yorum gerektirmemeli ve belirsiz ifadelere sahip olmamalıdır. o Algoritma etkin olmalıdır. Algoritmada gereksiz tekrarlar bulunmamalıdır. Algoritmalar yapısal ve modüler olmalı ve yazılan bir algoritma daha sonra ihtiyaç duyulduğunda başka algoritmalar tarafından da kullanılabilmelidir. o Algoritmanın sonlu sayıda yürütülebilir adımı olmalıdır. o Algoritmanın girdi ve çıktısı olmalıdır. 1.2. Örnek algoritmalar Örnek alg.1; Problem: klavyeden okunan sayı sıfırdan büyük ise karesini alıp sonucu ekrana yazan, sayı sıfırdan küçük ise yürütmeyi sonlandıran bir algoritmanın tasarlanması. Tasarım: kıyaslama gerektiğinden algoritmada if then (eğer ise) yapısı kullanılacak. Algoritma sözde kodlar ile ifade edildiğinde aşağıdaki şekilde yazılabilir; Adım 1: Oku (a) /* sayıyı a değişkenine oku */ Adım 2: Eğer a<0 ise Adım 6 ya git /* a<0 ise programı durdurmak için Adım 6 ya git */ Adım 3: b=a*a /* a nın karesini al ve b değişkenine ata */ Adım 4: Yaz (b) /* hesaplanan sonucu (b) ekrana yaz */ Adım 5: Adım 1 e git /* yeni sayıyı okumak için Adım 1 e git */ Adım 6: Dur /* programı sonlandır */ Örnek alg.2; Problem: klavyeden okunan iki farklı sayıdan büyük olanı belirleyen ve ekrana yazan bir algoritmanın tasarlanması. Tasarım: iki sayı arasında kıyaslama ve seçim gerektiğinden algoritmada if then else (eğer isedeğilse) yapısı kullanılacak. Algoritma sözde kodlar ile ifade edildiğinde aşağıdaki şekilde yazılabilir; Adım 1: Oku (a) /* birinci sayıyı a değişkenine oku */ Adım 2: Oku (b) /* ikinci sayıyı b değişkenine oku */ Adım 3: Eğer a<b ise eb = b /* a<b ise, büyük olan b yi eb değişkenine ata */ değilse eb = a /* a<b değilse, büyük olan a yı eb değişkenine ata */ Adım 4: Yaz (eb) /* büyük olan sonucu (eb) ekrana yaz */ Adım 5: Dur /* programı sonlandır */
Örnek alg.3; Problem: klavyeden okunan bir reel sayının karekökünü bulup sonucu ekrana yazan bir algoritmanın tasarlanması. Tasarım: öncelikle problemin çözümünün matematiksel olarak ifade edilmesi gerekmektedir; a, karekökü bulunmak istenen sayı olun, x değeri a nın tahmini karekökü ve b değeri ise a nın gerçek karekökü ile tahmin edilen karekökü arasındaki fark olsun. Bu durumda a aşağıdaki şekilde ifade edilebilir; a = (x+b) 2 a = x 2 +2xb+b 2 Küçük olması beklene b 2 değeri ihmal edilirse, b değeri yaklaşık olarak hesaplanabilir; b (a x 2 )/2x hesaplanan b değeri kullanılarak a nın kareköküne daha yakın yeni bir tahmin yapılabilir; x i+1 = x i + b /* burada x i önceki tahmin, x i+1 ise kareköke yakın yeni tahmin değeridir */ Bu şekilde a nın karekökü girerek yakınsayan bir iterasyon (tekrarlama) ile bulunabilir. a nın karekökünü yakınsayarak bulan bu iteratif (mutlak hata b, ε hata değerinden küçük eşit olana kadar işlem tekrar edilecek) algoritma sözde kodlar ile ifade edildiğinde aşağıdaki şekilde yazılabilir (ifade kolaylığı için x i yerine x ve x i+1 yerine y kullanılarak); A1: Oku (a) /* karekökü bulunacak sayıyı a değişkenine oku */ A2: Oku (x) /* ilk tahmini karekökü x değişkenine oku */ A3: Oku (ε) /* kabul edilebilir hata değerini ε değişkenine oku */ A4: b=(a x 2 )/2x /* fark (hata) değeri olan b yi hesapla */ A5: y=x+a /* daha yakın yeni karekök değerini (y) hesapla */ A6: Eğer b ε ise A9 a git /* b ε ise iterasyonu durdurmak için A9 e git */ A7: x=y /* y yeni karekök değerini x değişkenine ata */ A8: A4 e git /* işlemi yeni x tahmini ile tekrarlamak için A4 e git */ A9: Yaz (y) /* en son hesaplanan karekök değerini (y) ekrana yaz */ A10: Dur /* programı sonlandır */ Bu algoritmada işlemlerin bir çevrimin içinde tekrarlandığı ve istenilen hassasiyete ulaşıldığında çevrimin dışına çıkılarak işlemin tamamlandığı görülmektedir. Bilgisayar da program işletilirken bir değişkene yeni bir değer verildiğinde eski taşıdığı değerin kaybolacağı not edilmelidir. Aşağıda bu algoritmanın nasıl çalıştığı, işlemlerin her tekrarında (çevrimin her adımında) değişkenlerin aldığı değerler bir çizelgede verilerek açıklanmıştır.a, x ve ε değerlerinin sırası ile 31.8, 5.0 ve 0.005 olarak okunduğu kabul edilsin.
Çevrim adım no a x ε b y 31.8 5.0 0.005 1 31.8 5.0 0.005 0.68 5.68 2 31.8 5.68 0.005 0.04 5.64 3 31.8 5.64 0.005 0.0001 5.64 Çizelgeden de görüleceği gibi üçüncü çevrim adımında b değeri ε değeri olan 0.005 den küçük olduğu için yeni karekök değeri hesaplanmaz en son hesaplanan karekök değeri y=5.64 olarak kalır ve işlem sonlandırılır. Örnek alg.4; Problem: klavyeden okunan bir dizi harfin alfabetik sıraya konulmasını sağlayan ve sonucu ekrana yazan bir algoritmanın tasarlanması. Tasarım: öncelikle problemin çözümünün mantıksal olarak ifade edilmesi gerekmektedir; Harflerin oluşturduğu diziye h adı verilsin ve dizinin n adet harften oluştuğu kabul edilsin. Örneğin n=5 için h dizisi aşağıdaki şekilde olabilir; B A E C D Dizinin elemanları birbirinden indis kullanılarak (h i şeklinde) ayırt edilecektir. Örneğin yukarıdaki dizide h 3 E harfini ifade etmektedir. Sıralama harfleri ikişer ikişer ele alıp karşılaştırarak ve gerekirse yerlerini değiştirerek yapılacaktır ve bu işlem dizi başına dönülerek harfler alfabetik sıraya getirilene kadar devam ettirilecektir. Örneğin yukarıdaki dizi ele alınır ise, ilk adımda A ile B nin yerleri değiştirilecek ikinci adımda B ile E oldukları yerlerde kalacak, üçüncü adımda C ile E, dördüncü adımda D ile E yer değiştirecektir. Dizi sonuna geldiğinde E yerini bulmuş olacaktır. Bu işlem dizi başına dönülerek harfler alfabetik sıraya getirilene kadar çevrim devam ettirilecektir. Bu işlemi gerçekleştirmek için sözde kod ile yazılan aşağıdaki algoritmada alfabetik sırada önce olan harfin, sonrakinden daha küçük olduğu kabul edilmiştir. A1: Oku (n) /* dizi eleman sayısını ata */ A2: Oku (h dizisi) /* h dizisinin n elemanını oku */ A3: k=n /* k ya n değerini ver */ A4: k=k 1 /* k yı bir eksilterek çevrim sayısını belirle */ A5: Eğer k=0 ise A14 e git /* k=0 a ulaştı ise A14 e git (çevrimi atla) */ A6: i=0 /* dizi indis değerini sıfırla */ A7: i=i+1 /* dizi indis değerini bir artır */ A8: Eğer i>k ise A4 e git /* indis değeri çevrim değerinden büyükse A4 e git */ /* her çevrimde bir harf yerini yerleştiği için */ /* karşılaştırma indisi çevrim değerini aşmıyor,*/ /* yani yerini sağ tarafta yerine yerleşmiş */ /* karakterler tekrar kontrol edilmiyor */ A9: Eğer h i <h i+1 ise A7 ye git /* karşılaştırılan harflerin alfabetik sıralaması doğru ise yer değiştirmeyi atla */ A10: b=h i /* geçici değişken b ye h i değerini ver */ A11: h i =h i+1 /* h i ye h i+1 değerini ver */ A12: h i+1 =b /* h i+1 e geçici b değişkenindeki eski h i değerini ver */ A13: A7 ye git /* kıyaslamayı bir sağa kaydırmak için */ A14: Yaz (h dizisi) /* h dizisinin elemanlarını ekrana yaz */ A15: Dur /* programı sonlandır */
Algoritmanın değişkenlerinin algoritmanın çalışması sırasında alacakları değerler aşağıdaki çizelgede gösterilmiştir. Başlangıçta belirsiz olan değişkenlerin her adım sonunda aldıkları değerler bu çizelgede incelenebilir. Görüleceği gibi algoritmanın bazı adımları sadece bir kez bazı adımları ise birçok kez işlem görmektedir. İşlem adımı Algoritma adımı n h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 k i b 1 A1 5 2 A2 5 B A E C D 3 A3 5 B A E C D 5 4 A4 5 B A E C D 4 5 A5 5 B A E C D 4 6 A6 5 B A E C D 4 0 7 A7 5 B A E C D 4 1 8 A8 5 B A E C D 4 1 9 A9 5 B A E C D 4 1 10 A10 5 B A E C D 4 1 B 11 A11 5 A A E C D 4 1 B 12 A12 5 A B E C D 4 1 B 13 A13 5 A B E C D 4 1 B 14 A7 5 A B E C D 4 2 B 15 A8 5 A B E C D 4 2 B 16 A9 5 A B E C D 4 2 B 17 A7 5 A B E C D 4 3 B 18 A8 5 A B E C D 4 3 B 19 A9 5 A B E C D 4 3 B 20 A10 5 A B E C D 4 3 E 21 A11 5 A B C C D 4 3 E 22 A12 5 A B C E D 4 3 E 23 A13 5 A B C E D 4 3 E 24 A7 5 A B C E D 4 4 E 25 A8 5 A B C E D 4 4 E 26 A9 5 A B C E D 4 4 E 27 A10 5 A B C E D 4 4 E 28 A11 5 A B C D D 4 4 E 29 A12 5 A B C D E 4 4 E 30 A13 5 A B C D E 4 4 E 31 A7 5 A B C D E 4 5 E 32 A8 5 A B C D E 4 5 E 33 A4 5 A B C D E 3 5 E 34 A5 5 A B C D E 3 5 E 35 A6 5 A B C D E 3 0 E 36 A7 5 A B C D E 3 1 E 37 A8 5 A B C D E 3 1 E 38 A9 5 A B C D E 3 1 E 39 A7 5 A B C D E 3 2 E 40 A8 5 A B C D E 3 2 E 41 A9 5 A B C D E 3 2 E 42 A7 5 A B C D E 3 3 E 43 A8 5 A B C D E 3 3 E 44 A9 5 A B C D E 3 3 E
45 A7 5 A B C D E 3 4 E 46 A8 5 A B C D E 3 4 E 47 A4 5 A B C D E 2 4 E 48 A5 5 A B C D E 2 4 E 49 A6 5 A B C D E 2 0 E 50 A7 5 A B C D E 2 1 E 51 A8 5 A B C D E 2 1 E 52 A9 5 A B C D E 2 1 E 53 A7 5 A B C D E 2 2 E 54 A8 5 A B C D E 2 2 E 55 A9 5 A B C D E 2 2 E 56 A7 5 A B C D E 2 3 E 57 A8 5 A B C D E 2 3 E 58 A4 5 A B C D E 1 3 E 59 A5 5 A B C D E 1 3 E 60 A6 5 A B C D E 1 0 E 61 A7 5 A B C D E 1 1 E 62 A8 5 A B C D E 1 1 E 63 A9 5 A B C D E 1 1 E 64 A7 5 A B C D E 1 2 E 65 A8 5 A B C D E 1 2 E 66 A4 5 A B C D E 0 2 E 67 A14 5 A B C D E 0 2 E 68 A15 5 A B C D E 0 2 E Çizelgede verilen başlangıç örnek dizisi için algoritma, dizi kısmen kolay olduğu için, 29. adımda alfabetik sıralamayı tamamlamıştır. Fakat algoritma daha karmaşık ve uzun dizileri de değişiklik yapmadan çözebilmesi için bütün kontrolü tamamlayana kadar işleme devam eder.