Journal of Naval Science and Engineering 2009, Vol. 5, No.2, pp. 55-74 PARÇALI LİNEER ÜYELİK FONKSİYONLARINI KULLANARAK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEM (ÇALKTP) ÇÖZÜMÜNE BULANIK PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI Dr. Öğ. Kd. Yzb.Nurdan ÇETİN Deniz Harp Okulu Koutanlığı, Fen Dersleri Bölü Başkanlığı, Mateatik Bölüü,Tuzla, İstanbul, Türkiye, ncetin@dho.edu.tr Prof. Dr.Fata TİRYAKİ Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Mateatik Bölüü,Davutpaşa, İstanbul, Türkiye, ftiryaki@yildiz.edu.tr Özetçe Bilindiği gibi, taşıa probleleri ve geliştirilen çözü yönteleri lojistikte, tedarik zinciri yönetiinde aliyetlerin azaltılası ve servis hizetlerini iyileştirede öneli bir rol oynaaktadır. Üreti erkezlerinden talep erkezlerine taşıa yapılırken aynı anda birden fazla kriter optiize edileye çalışılabilir. Örneğin, aliyetin iniizasyonu, öncelikli üşterilere ortalaa dağıtı zaanının iniizasyonu, yakıt tüketiinin iniizasyonu gibi. Bu kriterlerden bazıları da karlılık oranının aksiizasyonu gibi kesirli yapıda olabilir. Böyle taşıa problelerini Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Problei (ÇALKTP) olarak adlandıraktayız. ÇALKTP özel yapıda bir vektör-iniu (veya aksiu) probleidir. Genel olarak vektör aksiizasyon problelerinde bütün etotlar, basılaaz (pareto-optial) çözüler küesini ya da bir uzlaşık çözüü üretektedir. Bu çalışaızda non-lineer üyelik fonksiyonlarından biri olan parçalı lineer üyelik fonksiyonları kullanılarak ÇALKTP için Pareto-optial uzlaşık çözü elde edilektedir. Bulanık yaklaşııızı açıklaak üzere bir sayısal örnek verilektedir. 55
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı A FUZZY APPROACH FOR MULTI- OBJECTIVE LINEAR FRACTIONAL TRANSPORTATION PROBLEM (MLFTP) WITH PIECEWISE LINEAR MEMBERSHIP FUNCTIONS Abstract As known, transportation probles and their solution techniues play an iportant role in logistics and supply chain anageent for reducing cost and iproving service. In ultiple- objective transportation probles, several criteria the iniization of the cost, the iniization of average shipping tie to priority custoers, the axiization of production using a given process, the iniization of fuel consuption, etc. and soeties fractional criteria such as the axiization of transport profitability, etc. are considered. These probles are called ultiobjective linear fractional transportation proble (MLFTP). This proble is special type of vector-iniu (vector axiu) proble. All ethods generate either pareto-optial solution or coproise solution in vector axiu proble. In this paper we obtain coproise pareto-optial solution for MLFTP with piecewise ebership function which is nonlinear ebership function. An illustrative nuerical exaple will be given to explain this approach. Anahtar kelieler: Taşıa Problei, Çok Aaçlı Lineer Kesirli Progralaa, Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonları, Bulanık Mateatik Progralaa. Keywords: Transportation Proble, Multiobjective Linear Fractional Prograing, Piecewise linear ebership function, fuzzy atheatical prograing 1. GİRİŞ Taşıa probleleri, kısıtlı kapasiteye sahip üreti erkezlerinden talepleri belli olan tüketi erkezlerine aliyeti iniu veya kârı aksiu yapacak şekilde al dağıtıı yapa probleleridir. Gerçek yaşa problelerinde genellikle birbiriyle çelişen, örneğin aliyetin 56
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ iniizasyonu, öncelikli üşterilere ortalaa dağıtı zaanının iniizasyonu ve yakıt tüketiinin iniizasyonu gibi birden fazla aaç optiize edileye çalışılaktadır. Birden fazla aacın ele alındığı taşıa problelerine çok aaçlı taşıa problei (ÇATP) denir. Bit ve diğerleri [7,8], Das ve diğerleri [11], Abd El-Wahed [1,2], Li ve Lai [18], Aar ve Youness [4] ÇATP ne bulanık yaklaşı ile çözü önerisi geliştirişlerdir. Kâr/aliyet, kazanç/seraye, kâr/işgücü ihtiyacı gibi oranların optiize edileye çalışıldığı lineer kesirli progralaa probleleri (LKP), taşıa, üreti, finans, oyun teorisi gibi pek çok alanda sıkça kullanılaktadır [25]. LKP nonlineer progralaa problei olup ilk olarak Charnes-Cooper [10] tarafından geliştirilen dönüşüle lineer progralaa probleine indirgeniştir. Aaç fonksiyonu, iki lineer fonksiyonun oranı, kısıtları da taşıa problei kısıtları olan problee ise Lineer Kesirli Taşıa Problei (LKTP) denir [5]. Kornbluth ve Steuer [14,15], Nykowski ve Zolkiewski [20], Benson [6] ve Tiryaki [26] çok aaçlı lineer kesirli progralaa probleini çözek için farklı yaklaşılar önerişlerdir. Luhandjula [19], Sakawa ve Yuine [22] ve Sakawa ve Yano [23] ve Chakraborty ve Gupta [9] ise bu proble için bulanık yaklaşı kullanan çözü önerileri sunuşlardır. Zierann [28] lineer yapıdaki üyelik fonksiyonunu kullanan bulanık in operatör odelini geliştiriştir. Daha sonra, Leberling [16] vektör aksiizasyon problei için non-lineer (hiperbolik) yapılı üyelik fonksiyonunu, Lee ve Li [17] üstel üyelik fonksiyonunu, Dhingra ve Moskowitz [12] optial dizayn probleinde üstel, kuadratik ve logaritik üyelik fonksiyonlarını tanılaışlardır. Ayrıca Hannnan [13] ve Yang ve diğerleri [27] parçalı lineer üyelik fonksiyonlarını kullanışlardır. Bu çalışada ÇALKTP ye bulanık ateatik progralaa yaklaşıı ile çözü önerisi yapılaktadır. Çözü yönteiizde 57
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı Zierann [28] nın in operatör odelinin bir uzantısı olan Hannan ın yaklaşıı ele alınaktadır. Parçalı lineer üyelik fonksiyonlarını kullanan bu yaklaşıdan faydalanarak ÇALKTP çözülüştür. Nüerik bir örnek ile çözü yöntei açıklanıştır. 2. ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİ Kapasiteleri a1, a2,..., a olan tane kaynak noktası ve talepleri b1, b2,..., b n olan n tane varış noktası olan ÇALKTP için; i. kaynak noktasından j. varış noktasına taşınan iktar x ij ; 1,.., Q için z aacında i. kaynak noktasından j. varış noktasına taşınacak bir biri ürün için elde edilen kâr ve taşıa aliyeti sırasıyla p ij ve d ij ; sabit kâr ve sabit aliyet sırasıyla p 0 ve d 0 olak üzere, ÇALKTP forülasyonu aşağıdaki gibidir: n pij xij p0 p ( x) i1 j1 ax z ( x ) 1,.., Q n d ( x) d x d i1 j1 ij ij 0 n x ij ai, i 1,2,, ; j1 i1 x ij b j, j 1,2,, n; (1) x 0, i 1, 2,,, j 1, 2,, n ij Burada z x) ( z ( x),z ( x),..., z ( )) kriter vektörü; S, kısıtların ( 1 2 Q x sağlandığı kapalı ve konveks bir küe; d ( x ), a, b, p, d, p0, d0 0 ve n ai bj kabulleri geçerlidir. i1 j1 i j ij ij 58
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ Tanı 2.1: 1,2,..., Q için z ( x) z ( x) ve için z ( x) z ( x) olacak şekilde bir başka x S noktası evcut değilse x S noktasına 1,2,..., Q için z ( x) z ( x) olacak şekilde Pareto-optial çözü; bir başka x S noktası evcut değilse x S noktasına zayıf Paretooptial çözü denir. W E, zayıf Pareto-optial çözüler küesi, S W küesini gösterek üzere E E dır. S E Pareto-optial çözüler Tanı 2.2: x S uygun çözüünün bir uzlaşık çözü olası için gerek w ve yeter şart x E ve Z( x) Z( x) olasıdır. Burada ( 1 2 Q x x S Z x) ( z ( x), z ( x),..., z ( )) dir ve, in operatöre karşılık gelir. 3. ÇÖZÜM YÖNTEMİ 3.1. Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonu Literatürde çeşitli tiplerde örneğin, lineer veya nonlineer (hiperbolik, ters hiperbolik, üstel ve parçalı lineer v.s.) üyelik fonksiyonları evcuttur [24]. Çok genel non-lineer üyelik fonksiyonlarının kullanıında dönüştüre prosesi bir hayli karışıktır. Non-lineer üyelik fonksiyonlarına parça parça lineer fonksiyonlarla yaklaşarak, non-lineer progralaa odelleri bir dizi lineer progralaa odellerine indirgenebilir. Çok sayıda lineer yaklaşı yapak yani çok sayıda doğru parçasıyla yaklaşak kabul edilebilir bir hassaslık sağlar. Ancak buna karşılık dönüşüş odelde kısıt sayısı, dolayısıyla proble çözüünde yapılan işle haci artar. Çalışaızda Hannan ın yaklaşıı ÇALKTP ne uygulanacak ve yaklaşııız nüerik örnek üzerinde açıklanacaktır. 59
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı 3.2. Üyelik Fonksiyonlarının Oluşturulası Hannan ın parçalı lineer üyelik fonksiyonundan faydalanarak, ÇALKTP nin. lineer kesirli aaç fonksiyonuna karşılık ( z ( x)) parçalı lineer üyelik fonksiyonunu: N ( z ( x)) j z ( x) gj z( x) j1 olarak tanılayalı. Burada ( t t ) / 2 ; j, j1 j ( t t ) / 2 ;, N 1 1 ( s s ) / 2, 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N ( N, parçalana, N 1 1 noktalarının sayısı) dır. Her bir g r1 z ( x ) gr doğru parçası için bu parçalı lineer üyelik fonksiyonunun ( z ( x)) t z ( x ) s olduğunu kabul ediyoruz. Burada r r t r ve s r ler sırasıyla gr1, g r aralığında ( z ( x )) nun eğiini ve ekseninde kestiği noktayı gösterektedir. ( z ( x )) nin değerleri üyelik derecesini gösterdiğinden tü z ( x ), 1, 2,..., Q ler için 0 ( z ( x )) 1 dir. 60
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ Şekil 1: ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonu. KV nin bulanık hedeflerine göre kurulan parçalı lineer üyelik fonksiyonu kullanılarak ÇALKTP için Zierann ın in operatör odeli: Aaç: ax Kısıtlar: ( z ( x )), 1, 2,..., Q (2) x S, 0 şeklindedir. Bu problei hedef progralaa problei olarak ifade etek üzere g değerini, j. noktada. lineer kesirli aaç fonksiyonu z ( x ) için j hedef değeri olarak; d j ve d j değişkenlerini de j. nokta için sapa değişkenleri olarak tanılayalı. O halde proble için hedef kısıtlarını z ( x) d d g 1 1 1 61
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı z ( ) d x d g N N N şeklinde yazabiliriz. Böylece Hannan ın yaklaşıından faydalanarak ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonu, N ( z ( )) j ( d j d j ) z ( ) j1 x x, 1, 2,..., Q olur. Böylece (2) problei aşağıdaki hedef tipli kısıtlara sahip bir non-lineer progralaa probleine dönüşür: Aaç: Kısıtlar: ax N ( z ( )) j ( d j d j ) z ( ) j1 x x, 1, 2,..., Q (3) z ( ) d x d g j j j 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N x S, 0 d 0, d 0 j j 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N Ayrıca Hannan 1981 deki çalışasında bulanık karar yerine, herbir parçalı lineer üyelik fonksiyonu için ˆ ( 0 ˆ 1), 1, 2,..., Q hedef değerlerini ve hedefler arasında P l, l 1,..., L önceliklerini belirleiştir [24]. Böylece çok aaçlı non-lineer kesirli taşıa probleiizi aşağıdaki 62
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ genel bulanık non-lineer hedef progralaa taşıa probleine dönüştürebiliriz: Aaç: Kısıtlar: L l, l1 Il in P ( e ) ( z ( x )) e e ˆ, 1, 2,..., Q (4) Burada z ( ) d x d g j j j 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N x S, 0 d j 0, d j 0, 1, 2,..., Q ; j 1, 2,..., N e 0, e 0, 1, 2,..., Q i i Il, l. öncelik sınıfındaki aaç fonksiyonlarının indis küesini ve e, e lerde sapa değişkenlerini gösterektedir. Elde edilen ( x, ) çözüünün Pareto-optialliği için Pareto-optiallik testi yapılır ve herbir aaç için ( z ( x )), 1, 2,..., Q tatin seviyeleri bulunur. 3.3. Pareto-Optiallik Testi Kuvvetli-etkin çözüü bulak için (5) problei çözülür [3]. ax Q (5) 1 63
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı n n pij dij z x d0 z p0 i1 j1 i1 j1 ( ) x 0, 0 Q 1 Eğer Q ax 0 1 ise, 1,..., Q, x S, x Pareto-optial çözüdür. 0 ise çözülen son lineer progralaa probleinin çözüü x, x ın yerine konulur ve tekrar (5) problei çözülür. Bu işle Q ax 0 sağlanana kadar sürdürülür. 1 4. NÜMERİK ÖRNEK ax z 1 x x 11 11 2x 3x 12 12 8x x 21 21 6x 2x 22 22 4 2 ax z 2 2x x 11 11 4x 2x 12 12 10x 3x (6) 21 21 8x22 6 x 4 22 ax z 3 6x 2x 11 11 x x 12 12 4x x 21 21 5x 3x 22 22 8 5 x x 150, x x 250, 11 12 21 22 x x 50, x x 350, 11 21 11 12 21 22 12 22 x ( x, x, x, x ) 0 Üç tane lineer kesirli taşıa problei nonlineer yapıdadır. Bu kesirli taşıa problelerinin aksiu ve iniu çözüleri, GAMS [21], Gino gibi nonlineer probleleri direkt olarak çözebilen paket 64
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ progralar yardııyla bulunabilir. Tablo1 de üç tane lineer kesirli taşıa probleinin ayrı ayrı çözülesiyle elde edilen aksiu ve iniu çözüler ve bu çözülere karşılık gelen aaç fonksiyon değerleri verilektedir. z1 z2 z3 z 2.111 4.972 1.736 z 2.059 4.138 1.687 x (0,150,50,200) 1 2.111 4.138 1.687 x (50,100,0,250) 1 2.059 4.972 1.736 x (50,100,0,250) 2 2.059 4.972 1.736 x (0,150,50,200) 2 2.111 4.138 1.687 x (50,100,0,250) 3 2.059 4.972 1.736 x (0,150,50,200) 3 2.111 4.138 1.687 Tablo 1: Herbir aaç için iniu ve aksiu çözüler ve karşılık gelen aaç değerleri KV tarafından sağlanan z ( x ), z ( x ), 1 2 z ( ) 3 x aaç fonksiyon değerleri ve karşılık gelen üyelik fonksiyon dereceleri sırasıyla Tablo 2, Tablo 3 ve Tablo 4 de veriliştir. 65
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı KV den sağlanan bilgiler Üyelik fonksiyonunun lineer parçalarının elde edilesi ( z ( x)) z ( x) 1 1( z1( x)) t1r z1( x ) s1r, r 1, 2,3 1 1 0 g10 z1 2.059 0.45 0 t11 18.28822 2.08361 2.059 0.45 g11 2.08361 s11 1( z1 ( x)) t11z1( x) 37.65544 ( z ( x)) 18.28822 z ( x) 37.65544 11 1 1 0.45 g11 2.08361 0.80 g12 2.09572 0.80 0.45 t12 28.88265 2.09572 2.08361 s12 1( z1( x)) t12z1( x) 59.73017 ( z ( x)) 28.88265 z ( x) 59.73017 12 1 1 0.80 g12 2.09572 1 0.80 t13 13.09243 2.111 2.09572 1 g13 z1 2.111 s13 1( z1( x)) t13z1( x) 26.63807 ( z ( x)) 13.09243 z ( x) 26.63807 13 1 1 Tablo 2: 1 1 ( z ( x)) parçalı lineer üyelik fonksiyonunun elde edilesi. 66
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ KV den sağlanan bilgiler Üyelik fonksiyonunun lineer parçalarının elde edilesi ( z ( x)) z ( x) 2 2( z2( x)) t2r z2( x ) s2r, r 1, 2,3 2 2 0 g20 z2 4.138 0.15 0 t21 0.71992 4.34636 4.138 0.15 g21 4.34636 s21 2( z2( x)) t21z2( x) 2.97903 ( z ( x)) 0.71992 z ( x) 2.97903 21 2 2 0.15 g21 4.34636 0.65 g22 4.52878 0.65 0.15 t22 2.7409 4.52878 4.34636 s22 2( z2( x)) t22z2( x) 11.76294 ( z ( x)) 2.7409 z ( x) 11.76294 22 2 2 0.65 g22 4.52878 1 0.65 t23 0.78967 4.972 4.52878 s 1 23 2( z2( x)) t23z2( x) 2.92624 g23 z2 4.972 ( z ( x)) 0.78967 z ( x) 2.92624 23 2 2 Tablo 3 2 2 ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonunun elde edilesi. KV den sağlanan bilgiler Üyelik fonksiyonunun lineer parçalarının elde edilesi ( z ( x)) z ( x) 3 3( z3( x)) t3r z3( x ) s3r, r 1, 2,3 3 3 67
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı 0 g30 z3 1.687 0.45 0 t31 16.82432 1.71375 1.687 s31 3( z3( x)) t11z1( x) 28.38263 0.45 g31 1.71375 ( z ( x)) 16.82432 z ( x) 28.38263 31 3 3 0.45 g31 1.71375 0.60 g32 1.71541 0.60 0.45 t32 89.98201 1.71541 1.71375 s32 3( z3( x)) t32z3( x) 153.75667 ( z ( x)) 89.98201 z ( x) 153.75667 32 3 3 0.60 g32 1.71541 1 0.60 t33 19.43068 1.736 1.71541 s33 3( z3( x)) t33z3( x) 32.73158 1 g33 z3 1.736 ( z ( x)) 19.43068 z ( x) 32.73158 33 3 3 Tablo 4 3 3 ( z ( x )) parçalı lineer üyelik fonksiyonunun elde edilesi. Yukarıdaki verilerden yararlanarak her bir aaca ait elde edilen parçalı lineer üyelik fonksiyonları sırasıyla: 0, z1( x) 2.059 11( z1( x) 18.28822 z1( x) 37.65544, 2.059 z1( x) 2.08361 1( z1( x)) 12( z1( x) 28.88265 z1( x) 59.73017, 2.08361 z1( x) 2.09572 ( z ( x) 13.09243 z ( x) 26.63807, 2.09572 z ( x) 2.111 13 1 1 1 1, z1( x) 2.111 (7) 68
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ 0, z2( x) 4.138 21( z2( x) 0.71992 z2( x) 2.97903, 4.138 z2( x) 4.34636 2( z2( x)) 22( z2( x) 2.7409 z2( x) 11.76294, 4.34636 z2( x) 4.52878 23( z2( x) 0.78967 z2( x) 2.92624, 4.52878 z2( x) 4.972 1, z2( x) 4.972 (8) 0, z3( x) 1.687 31( z3( x) 16.82432 z3( x) 28.38263, 1.687 z3( x) 1.71375 3( z3( x)) 32( z3( x) 89.98201 z3( x) 153.75667, 1.71375 z3( x) 1.71541 ( z ( x) 19.43068 z ( x) 32.73158, 1.71541 z ( x) 1.736 33 3 3 3 1, z3( x) 1.736 (9) şeklinde yazılabilir. Hannan ın yaklaşıından ve Tablo 2, Tablo 3, Tablo 4 deki verilerden faydalanarak her bir aaca karşılık gelen ( z ( x )), 1,2,3 parçalı lineer üyelik fonksiyonları: ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) 1 1 11 11 11 12 12 12 1 1 1 ( z ( x)) 58.297215( d d ) 7.89511( d d ) 15.69033 z ( x) 32.14676 1 1 11 11 12 12 1 ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) 2 2 21 21 21 22 22 22 2 2 2 ( z ( x)) 1.01049 ( d d ) 0.97562 ( d d ) 0.7548 z ( x) 2.95264 2 2 21 21 22 22 2 ( z ( x)) ( d d ) ( d d ) z ( x) 3 3 31 31 31 32 32 32 3 3 3 ( z ( x)) 36.57885 ( d d ) 35.27567 ( d d ) 18.1275 z ( x) 30.55711 3 3 31 31 32 32 3 69
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı ve hedef kısıtları: z ( x) d d g z ( x) d d 2.08361 1 11 11 11 1 11 11 z ( x) d d g z ( x) d d 2.09572 1 12 12 12 1 12 12 z ( x) d d g z ( x) d d 4.34636 2 21 21 21 2 21 21 z ( x) d d g z ( x) d d 4.52878 2 22 22 22 2 22 22 z ( x) d d g z ( x) d d 1.71375 3 31 31 31 3 31 31 z ( x) d d g z ( x) d d 1.71541 3 32 32 32 3 32 32 yazılabilir. Böylece ÇALKTP için Zierann ın in operatör odeli, aşağıdaki hedef tipli kısıtlara sahip bir non-lineer progralaa probleine dönüşür: Aaç: ax Kısıtlar: ( z ( x)) 58.297215 ( d d ) 7.89511 ( d d ) 15.69033 z ( x) 32.14676 1 1 11 11 12 12 1 ( z ( x)) 1.01049 ( d d ) 0.97562 ( d d ) 0.7548 z ( x) 2.95264 2 2 21 21 22 22 2 ( z ( x)) 36.57885 ( d d ) 35.27567 ( d d ) 18.1275 z ( x) 30.55711 3 3 31 31 32 32 3 z1( x ) d11 d11 2.08361, z1( x ) d12 d12 2.09572, z2( x ) d21 d21 4.34636, z2( x ) d22 d22 4.52878, (10) 70
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ z3( x ) d31 d31 1.71375, z3( x ) d32 d32 1.71541, x x 150, x x 250, x x 50, x x 350, 11 12 21 22 11 21 0, d 0, d 0, 1,2,3 ; j 1, 2 j j 12 22 Herbir parçalı lineer üyelik fonksiyonu için hedef değeri ˆ 1; 1,2,3 ve hedefler arasında P l, l 1,..., L öncelikleri kullanılarak da çok aaçlı non-lineer kesirli taşıa problei aşağıdaki bulanık non-lineer hedef progralaa probleine dönüştürülebilir: Aaç: e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 in ( ) Kısıtlar: ( z ( x)) 5.297215 ( d d ) 7.89511 ( d d ) 15.69033 z ( x) 32.14676 e e ˆ 1 1 1 11 11 12 12 1 1 1 1 ( z ( x)) 1.01049 ( d d ) 0.97562 ( d d ) 0.7548 z ( x) 2.95264 e e ˆ 1 2 2 21 21 22 22 2 2 2 2 ( z ( x) 36.57885 ( d d ) 35.27567 ( d d ) 18.1275 z ( x) 30.55711 e e ˆ 1 3 3 31 31 32 32 3 3 3 3 z1( x ) d11 d11 2.08361, z1( x ) d12 d12 2.09572, z2( x ) d21 d21 4.34636, z2( x ) d22 d22 4.52878, (11) z3( x ) d31 d31 1.71375, z3( x ) d32 d32 1.71541, x x 150, x x 250, x x 50, x x 350, 11 12 21 22 11 21 d 0, d 0, e 0, e 0, 1,2,3 ; j 1, 2. j j 12 22 71
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı (11) problei GAMS paket prograı ile çözülür. Elde edilen x ( x11, x12, x21, x22) (0,150,50,200) zayıf Pareto-optial noktası, Paretooptiallik testi gereği, alternatif çözü oladığından, aynı zaanda Pareto-optial noktadır. Ayrıca örnek problein diğer sonuçları olarak: sapa değişkenleri e 1 0, e 1 0, e 2 0, e 2 0, e 3 0, e 3 0, d 11 0.027, d 11 0, d 12 0.015, d 12 0, d 21 0.495, d 21 0.704, d 22 0, d 22 0.391, d 31 0.014, d 31 0.040, d 32 0, d 32 0.028 ; aaç fonksiyon değerleri z ( x ) 2.110865, z ( x ) 4.137615, z ( x ) 1.686957 ; 1 2 3 aaçlardan sağlanan tatin dereceleri 1( z1( x )) 0.99828, 2( z2( x )) 0, ( z ( x )) 0 elde ediliştir. Dolayısıyla (10) problei için 0 dır. 3 3 5. SONUÇ Bu çalışada, aaç fonksiyonları lineer iki fonksiyonun oranı, kısıtları taşıa problei kısıtları olan ÇALKTP problei ele alınış ve bu proble için bir çözü önerisi veriliştir. Önerilen çözü yönteinde, ilk olarak nonlineer üyelik fonksiyonlardan biri olan parçalı lineer üyelik fonksiyonu tanılanıştır. Karar vericiden z (aaç fonksiyonunun iniu değeri) ve z (aaç fonksiyonunun aksiu değeri) aralığında aaç fonksiyonlarının birçok değerlerine karşılık üyelik derecelerini belirleesi isteniştir. Her bir alt aralıkta lineer üyelik fonksiyonu kurularak [ z, z ] aralığında parçalı lineer üyelik fonksiyonu oluşturuluştur. Daha sonra Zierann ın (1978) iniu operatör odelinin bir uzantısı olan Hannan ın bulanık progralaa yaklaşıı ile ÇALKTP çözülüştür.. Böylece bütün aaçlar için en teel tatin seviyesi bulunuş ve Pareto optial küeden bir uzlaşık çözü elde ediliştir. Ayrıca bir sayısal örnek üzerinde çözü yöntei açıklanıştır. 72
Nurdan ÇETİN & Fata TİRYAKİ KAYNAKÇA [1] Abd El-Wahed, W.F. (2001). A ulti-objective transportation proble under fuzziness. Fuzzy Sets and Systes 117: 27 33. [2] Abd El-Wahed, W.F., Lee, S.M. (2006). Interactive fuzzy goal prograing for ulti-objective transportation probles. Oega 34:158-166. [3] Ahlatcioglu M., Tiryaki F. (2007). Interactive fuzzy prograing for decentralized two-level linear fractional prograing (DTLLFP) probles. Oega 35: 432-450. [4] Aar E.E., Youness E.A. (2005). Study on ultiobjective transportation proble with fuzzy nubers. Applied Matheatics and Coputation 166 (2): 241-253. [5] Bajalinov, E.B. (2003), Linear Fractional Prograing: Theory, Methods, Applications and Software, Kluwer Acadeic Publishers, London. [6] Benson H.P. (1985). Finding certain weakly-efficient vertices in MOLFP. Manageent Science 31 (2): 240-245. [7] Bit A.K., Biswal M.P., Ala S.S. (1992). Fuzzy prograing approach to ulticriteria decision aking transportation proble. Fuzzy sets and Systes 50: 35-41. [8] Bit A.K., Biswal M.P., Ala S.S. (1993). An additive fuzzy prograing odel for ultiobjective transportation proble. Fuzzy Sets and Systes 57: 313 19. [9] Chakraborty M., Gupta S. (2002). Fuzzy atheatical prograing for ulti objective linear fractional prograing proble, Fuzzy Sets and Systes 125: 335-342. [10] Charnes, A. ve Cooper, W.W. (1962), Prograing with linear fractional functionals, Naval Research.Logistics Quarterly 9:181-186. [11] Das S.K., Goswai A., Ala S.S. (1999). Multiobjective transportation proble with interval cost, source and destination paraeters. European Journal of Operations Research 17: 100 112. [12] Dhingra A.K., Moskowitz, (1991). Application of fuzzy theories to ultiple objective decision aking in syste design. European J.Oper. Res. 55: 348-361. [13] Hannan, E.L. (1981). Linear prograing with ultiple fuzzy goals. Fuzzy Sets and Systes 6: 235-248. [14] Kornbluth J.S.H., Steuer R.E. (1981). Goal prograing with linear fractional criteria. European Journal of Operational Research 8: 58-65. [15] Kornbluth J.S.H., Steuer R.E. (1981). Multiple objective linear fractional prograing. Manageent Science 27: 1024-1039. [16] Leberling H. (1981). On finding coproise solutions in ulticriteria probles using the fuzzy in-operator. Fuzzy Sets and Systes 6: 105-118. [17] Li R.J., Lee E.S. (1991). An exponential ebership function for fuzzy ultiple objective linear prograing. Coputers Math. Applic 22 (12): 55-60. [18] Li L., Lai K.K. (2000). A fuzzy approach to the ultiobjective transportation proble. Coputers and Operations Research 27: 43 57. [19] Luhandjula M.K. (1984). Fuzzy approaches for ultiple objective linear fractional optiization. Fuzzy Sets and Systes 13: 11-23. 73
Parçalı Lineer Üyelik Fonksiyonlarını Kullanarak Çok Aaçlı Lineer Kesirli Taşıa Proble (ÇALKTP) Çözüüne Bulanık Progralaa Yaklaşıı [20] Nykowski I., Zolkiewski Z. (1985). A coproise procedure for the ultiple objective linear fractional prograing proble. European Journal of Operational Research 19: 91-97. [21] Rosenthal R.E. (2007). GAMS-A User s Guide, GAMS Developent Corporation, Washington, DC, USA. [22] Sakawa, M., Yuine T. (1983). Interactive fuzzy decision-aking for ultiobjective linear fractional prograing probles. Large Scale Systes 5: 105-113. [23] Sakawa M., Yano H. (1988). An interactive fuzzy satisficing ethod for ultiobjective linear fractional prograing probles. Fuzzy Sets and Systes 28: 129-144. [24] Sakawa, M. (1993). Fuzzy Sets and Interactive Multiobjective Optiization, Plenu Press, Newyork. [25] Stancu-Minasian, I.M. (2006). A sixth bibliography of fractional prograing. Optiization 55 (4): 405-428. [26] Tiryaki F. (1993). Çok Aaçlı Lineer Kesirli Progralaa Problei İçin Çözü Önerileri.Ph.D. thesis, Yildiz Technical University, Institution of Science. [27] Yang T., Ignizio J.P. ve Ki H-J. (1991), Fuzzy prograing with nonlinear ebership functions: Piecewise linear approxiation. Fuzzy Sets and Systes, 41:39-53. [28] Zierann H.J. (1978). Fuzzy prograing and linear prograing with several objective functions. Fuzzy Sets and Systes 1: 45-55. 74