TÜREVLİ HALKALARDA BAZI DEĞİŞMELİLİK KOŞULLARI

Transkript

1 T.C ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-8- TÜREVLİ HALKALARDA BAZI DEĞİŞMELİLİK KOŞULLARI NİHAL BABA GÜNEL DANIŞMAN PROF.DR. HATİCE KANDAMAR AYDIN- 8

2 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Memk An Blm Dlı Yüksek Lsns Pogmı öğens Nhl B GÜNEL fınn hılnn Tüevl Hlkl Bı Değşmellk Koşullı şlıklı e.9.8 hne ıln svunm sonuun şğı smle ulunn jü üelene kul elmş. Unvnı Aı Soı Kuumu İmsı Bşkn : Pof.D. He KANDAMAR Ann Menees Ünv.... Üe : Pof.D. Nun ARGAÇ Ege Ünv.... Üe : Y.Doç.D. Hül GÜNAYDIN Ann Menees Ünv.... Üe : Üe : Jü üele fınn kul elen u Yüksek Lsns e Ensü Yönem Kuulunun sılı kıl (Th hne onlnmışı. Unvnı Aı Soı Ensü Müüü

3 İNTİHAL BEYAN SAYFASI Bu ee gösel şsel ve ılı çme sunuln üm lg ve sonuçlın kemk kemk ve ek kuull uulk fımn ele elğn e çne e ln nk u çlışm ögü olmn üm sonuç ve lgle ee knk göseeek elğm en eem. Aı Soı : Nhl B GÜNEL İm :

4 v ÖZET Yüksek Lsns Te TÜREVLİ HALKALARDA BAZI DEĞİŞMELİLİK KOŞULLARI Nhl B GÜNEL Ann Menees Ünveses Fen Blmle Ensüsü Memk Anlm Dlı Dnışmn: Pof. D. He KANDAMAR Bu çlışm kkesğ en fklı oln üevl sl hlkl ı eğşmellk koşullını şımk mıl ele lınmışı. Bu ğlm leüe e ln mklelen öeleneek Le elle çn velen ı eğşmellk koşullının ( στ -Le elle çne nelenmesn şın u çlışm şğık ol lenmş. I. Bölüme hlkll lgl ı emel lgle velmş. II. Bölüme sl hlkl üev ve Le el kvmlı üene uulmuş ve u kvmll lgl eoemle nelenmş. III. Bölüme σ ve τ kkesğ en fklı sl hlknın k oomofmsı olmk üee Le el çn velen ı sonuçlın ( στ-le el çn ulnmsı e lmkı. Anı mn II ve III. ölümlee nelenen eoemlen hoelene un ve umn koşull lın önekle ulunk u eoemle üenek koşullın ıflılı ıflılmğı nelenmş. Asl hlkl üene slnn ı eoemlen ı sl hlkl çn nelenmes geekğ sonuun vılmışı. 8 5 sf Anh Söükle Asl hlk Le el (σ τ-le el üev (σ τ-üev

5 v ABSTRACT MS. Thess SOME COMMUTATIVITY CONDITIONS OF PRIME RINGS WITH DERIVATION Nhl B GÜNEL Ann Menees Unves Gue Shool of Nul n Ale Senes Demen of Mhems Suevso: Pof. D. He KANDAMAR The ojeve of hs hess s o nvesge some ommuv onons n me ngs wh evon of hes no. As esul of emnng some sues whh nlue ommuv onons he hess esens some sues nvesge he elonshs eween he evon n Le els. The followng ses wee ken s he ognson of he su. Some funmenl oees ou ngs hve een gven n Che I. In he II. some es h mnfes he elonsh eween he on evon n he Le el n he lons of some of hem hve een summe. Che III els wh he elonsh eween (σ τ-evon n (σ τ-le els une he onon h R s me ng of hes no σ n τ e uomohsms of R. Some sues une hese onons hve een emne n lso some emles hve een gven. Ke Wos: Pme ng Le el (σ τ-le el evon (σ τ-evon

6 v ÖNSÖZ Te çlışmm eseğn hç mn esgemeen nışmn hom eğel lm nsnı sın Pof. D. He KANDAMAR ve e leme komes üele eğel holım Pof. D. Nun ARGAÇ ve Y. Doç. D. Hül İneo GÜNAYDIN oumlıl çlışmm sğlmış oluklı lmsel kkılınn olı eşekküü oç lm. Çlışmlım sısın n he mn nlış ve sı göse esek oln kımel eşm Kohn GÜNEL e ve m ve mnev eseklen hç mn esgemeen ugünlee gelmeme üük sh oln leme sonsu eşekkü eem. Öellkle kemk çlışm mmı üük ölçüe eşvk een ve eseklen he m hsseğm Doç. D. A. Fev BABA le Y. Doç. D. Mu HATİPOĞLU n en çen şüknlımı sunım. Çlışmlım sısın n geekl çlışm omını sğln Ann Menees Ünveses Fen-Ee Fküles Memk Bölümüne eğel holım ve meslekşlım eşekkülem sunım. Nhl B GÜNEL Bu çlışm FBE 86 no ve Tüevl ve Genelleşlmş Tüevl Hlkl Bı Değşmellk Koşullı Üene ojes ıl Yüksek Lsns e ojes ksmın Ann Menees Ünveses Blmsel Aşım Pojele Kuulu fınn eseklenmş.

7 v SİMGELER DİZİNİ Z : R hlksının meke C στ : R hlksının (σ τ meke [ ] : le elemnlının komüö çımı [U V] : U le V kümelenn komüö çımı : R hlksı üene nımlı üev : elemn : elemn eğl : l küme : l küme eğl [ ] στ : le elemnlının (σ τ - komüö çımı

8 v İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI... İNTİHAL BEYAN SAYFASI... ÖZET...v ABSTRACT... v ÖNSÖZ...v SİMGELER VE KISALTMALAR... v GİRİŞ.... ÖN BİLGİLER ASAL HALKALARDA LİE İDEALLER VE TÜREVLER ASAL HALKALARIN (στ-lie İDEALLERİ SONUÇ KAYNAKLAR... 5 ÖZGEÇMİŞ... 5

9 GİRİŞ Tüev çeen ı koşull lın sl hlknın eğşmellğ konusunun şıılmsı 957 ılın E. C. Posne fınn slnn ve h sonk çlışml ışık un şğık eoem le şlmışı. R sl hlk R hlksının sıfın fklı üev olmk üee hlknın he elemnı kensnn üev lınk göünüsü le eğşmel se R hlksı eğşmel. Bu konu çlışn memkçle hlknın hng koşull eğşmel olğını şımışı. R hlksının üev meke Z ve R çn fes [ ] le göselmek üee. He R çn [( ]Z. (R Z. (R Z v. (R Z hlklın eğşmellğ konusun ele lınn koşulln ılıı. Bu koşull lın hlknın eğşmellğ nelenken. üev ene (σ τ-üev ve genelleşlmş üevle. R hlksı ene onun el Le-el (σ τ-sğ Le el (σ τ-sol Le el. Asl R hlksı ene ı sl hlk lınk genelleşmele ılmışı. I. N. Hesen fınn 978 ılın R kkesğ en fklı sl hlk R hlksının sıfın fklı üev olmk üee (R Z koşulu sğlnıos R hlksının eğşmel oluğu slnmışı. Dh son J. Begen ve kşlı fınn U kkesğ en fklı sl hlknın Le el olmk üee (U Z ken U Z oluğu slnk I. N. Hesen ın eoem genelleşlmş. 995 ılın Le el çn slnn u eoem N. Aın ve kşı fınn (σ τ-le el çn genelleşlmş.

10 R kkesğ en fklı sl hlk ve R hlksının sıfın fklı üev olmk üee (R Z koşulu lın R hlksının eğşmel oluğu 98 ılın P. H. Lee ve kşı fınn slnmışı. J. Begen ve kşlı fınn R hlksı ene onun U Le el lınk U Z oluğu knılnmış ve ölee önek eoem genelleşlmş. 995 ılın N. Aın ve kşı u eoem Le el ene (σ τ-le el lk genelleşlmşle. Dğe fn E. C. Posne 957 ılın ığı çlışmsın ve R sl hlksının k üev olmk üee üev ken ve oluğunu knılmışı. Dh son I. N. Hesen 978 ılın ı sl hlknın üev olmk üee ken oluğunu knılmışı. Dh son I R sl hlksının sıfın fklı el olmk üee (I ken oluğu slnı. Begen ve kşlı 98 ılın U R sl hlksının meke fınn ksnmn Le el olmk üee (U se hkkın ne sölenel sousun nı ıl. P. H. Lee ve kşı 98 ılın ve R sl hlksının sıfın fklı k üev olmk üee (R Z ken R hlksının eğşmel oluğunu slmışlı. Begen ve kşlının 98 ılın ıklı çlışm R sl hlksının meke fınn ksnmn U Le eln lk (U ken ve oluğunu knılmışlı. Hlknın öellkle nelenken onun elle Le-elle (σ τ-sğ ve (σ τ-sol Le elle önem şımkı. J. Begen ve kşlı U kkesğ en fklı R sl hlksının meke fınn ksnmn Le el olmk üee R hlksının [R M] U ve [R M] Z koşullını sğln M elnn vlığını knılmışlı. Bu eoem N. Aın ve kşı fınn R sl hlksının meke ve (σ τ-meke fınn ksnmn U (σ τ-le el çn genelleşlmş. 999 ılın N.Aın U kekesğ en fklı R ı sl hlksının meke fınn ksnmn Le el se u ke R hlksının [R M] U ve [R M] Z olk çme M elnn v oluğunu slk J.Begen ve kşlı fınn velen eoem genelleşmş. Bu çlışm J. Begen ve kşlının 98 ılın ığı çlışm knılığı lemm ve eoemlee e velmş u çlışm slnn lemm ve eoemlen h sonk ıll hng koşulll genelleşlğ ellmş ve önekle velmş.

11 Aı J. Begen ve kşlının knılığı ı eoemlen genelleşlmesnn e lığı N. Aın ve kşı fınn ıln çlışm knılnn lemm ve eoemlee e velmş ı lemm ve eoemle çn önekle velmş ve u eoemlen hng koşull genelleşleleeğ şıılmışı.

12 4 BÖLÜM: ÖN BİLGİLER..Tnım: R hlk olmk üee. R hlksı üene k şlem olsun.. He R çn. R R. olk şekle R R vs R hlksın ml hlk en.. He R çn.. se R hlksın eğşmel hlk en.. ve şıklının ks en sğlnıos R hlksın ml ve eğşmel hlk en. v. He R çn n olk çme n of msısı v se öle n sılının en küçüğüne R hlksının kkesğ en ve h R n le gösel. v. Z Z(R { R he R çn} kümesne R hlksının meke en...tnım: R hlk ve A B ve P R hlksının elle olsun. AB P oluğun A B ve B P oluos P e R hlksının sl el en...teoem: R hlk ve P R hlksının el olsun. Bun göe şğıkle enk.. P sl el.. He R çn R P se P ve P.. He R çn ( ( P se P ve P. v. U ve V R hlksının k sol el olmk üee UV P ken U P ve V P ı. v. U ve V R hlksının k sğ el olmk üee UV P ken U P ve V P ı..4.tnım : ( el sl el oln hlk sl hlk en..5.öneme: R hlk olsun. Bun göe şğıkle enk.

13 5. R sl hlkı.. He R çn R se ve ı.. R hlksının sıfın fklı he sğ elnn sğ sıfılnı sıfıı. v. R hlksının sıfın fklı he sol elnn sol sıfılnı sıfıı. M ( göe sl hlkı. kümes mslen olm ve çm şlemlene.6.tnım: R hlk A ve Q R hlksının k el olsun. A Q ken A Q se Q elne R hlksının ı-sl el en..7.teoem: R hlk ve Q R hlksının el olsun. Bun göe şğıkle enk.. Q ı-sl el.. R çn R Q se Q. R çn ( Q se Q v. U R hlksının sğ el ve U Q se U Q v. U R hlksının sol el ve U Q se U Q.8.Tnım: R hlk olsun.. R çn n olk çme n of msısı v se elemnın hlknın nloen elemnı en. n fk n- se n of msısın elemnının nloenlk neks en.. A R hlksının el olsun. A nın kef olk lınn n elemnlı çn. n se A elne R hlksının nloen el en.

14 6. Sıfın fklı nloen el olmn hlk ı-sl hlk en..9.öneme: R sl hlk olsun. Z se ve Z...Öneme: R ı-sl hlk olsun. elemnı R hlksının sıfın fklı sğ eln mekelesn. Bu ke Z...Tnım: R hlk ve A R hlksının olmsl l guu olsun. He A çn A ( A oluos A R hlksının Le (Jon l hlksı en. R çn - fes komüö çımı olk lnıılı ve [ ] le gösel...tnım: A R hlksının Le (Jon l hlksı ve U A olmsl l guu olsun. He u U ve he A çn u u U (u u U oluos U kümesne A nın Le (Jon el en...tnım: X ve Y R hlksının k l kümes olsun. [XY] le - X Y elemnlı fınn üelen olmsl l gu gösel. Öel olk U R olmk üee He u U he R çn n u u fes U kümes le R kümesnn komüö çımı olk lnıılı ve [U R] le gösel..4.tnım:.5.tnım göe R hlksının U olmsl l guu çn [UR] U se U kümesne R hlksının Le el en..5.öellk: R çn [[ ] ] [[ ] ] [[ ] ] eşlğ sğlnı. Bu öellğe Jo öeşlğ en..6.tnım: R hlk στ : R R k önüşüm olsun. R çn

15 7 σ( - τ( fes [ ] στ le göselsn. R hlksının U olmsl l guu çn. [UR] στ U se U kümesne R hlksının (στ - sğ Le el en. [RU] στ U se U kümesne R hlksının (στ - sol Le el en.. U kümes R hlksının hem (στ - sğ Le el ve hem e (στ - sol Le el se U kümesne R hlksının (στ - Le el en..7.tnım: [] στ σ( -τ( eşlğne ı öeşlkle şğıkle g.. [ ] στ [ ] στ [ τ(]. [ ] στ [ σ(] [ ] στ. [[ ] στ ] στ [[ ] στ ] στ [ [ ]] στ.8.tnım: C στ {R σ( τ( he R} kümesne R hlksının (στ - meke en..9.tnım: R hlk ve :R R olmsl önüşüm olsun. R olmk üee. ( ( ( se e R hlksının üev en.. g : R R fonkson olmk üee ( ( g(( (g( ( ve g g se e g le ellenen ı-üev en.. α : R R enomofm olmk üee ( (α( ( se e α-üev en. v. σ ve τ R hlksının k oomofmsı ve ( (σ( τ(( se e (στ - üev en.

16 8. BÖLÜM: ASAL HALKALARDA LİE İDEALLER VE TÜREVLER Bu ölüme sl hlklın Le elle le üevle sınk lşk ele ln çlışmln ılı ele lınk ı sonuçl çn önekle veleek...teoem: R kekesğ en fklı sl hlk olsun. R hlksının k üev olmk üee R hlksının üev se ve üevlenen en sıfıı (Posne Ew C :R R önüşümünün R hlksının üev oluğu göönüne lını ve..teoeme ve ene R le üelen I ç üev lınıs şğık sonuç ele el...sonuç: R kekesğ en fklı oln sl hlk R ve üev olsun. I se I ı. B şk eşle [ [ ]] se Z olu. I le üelen ç..lemm: R sıfın fklı nloen el çemeen kekesğ en fklı hlk U R hlksının sıfın fklı Le el ve l hlksı olsun. Bu uum U R hlksının mekene ve U R hlksının sıfın fklı eln çe (Hesen I.N Teoem: R sl hlksının sıfın fklı üev ve R hlksının he R çn ( ( koşulunu sğln elemnı olsun.. R kekesğ en fklı hlk se R hlksının mekene.. R kekesğ oln hlk se R hlksının mekene. (Hesen I.N Lemm: R -uulmsı ı sl hlk ve T R hlksının Le el olsun. [T T] meke fınn ksnıo se T e meke fınn ksnı (Hesen I.N Teoem: R ı sl -uulmsı hlk ve U R hlksının Le el olsun. Eğe R hlksının elemnı he u U çn u u elemnı le eğşmel se U Le elnn üün elemnlıl eğşmel (Hesen I.N.97.

17 9.7.Teoem: R hlk koşulunu sğln üev olsun. A (R fınn üelen l hlk se A l hlksı R hlksının sıfın fklı eln ks (Hesen I.N.978. Aksnen sö elmekçe unn sonk kısım R kekesğ en fklı sl hlk olk lınkı..8.lemm: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el olmk üee R hlksı [M R] U fk [M R] Z koşullını sğln en M el ks. İs: Öne [U U] oluğunu göseelm. [U U] oluğunu vslım. Bölee he U ve he R çn - U oluğunn (- - (- n [ [ ]] he R ele el. Bölee I ulunu...sonuçn olı Z olu. Dolısıl he U çn Z oluğunn U Z olu. Bu eoemn hoe le çelş. O hle [U U] ı. Şm [M R] U ve [M R] Z olk şekle R hlksının en ne M elnn v oluğunu göseelm. M R[U U]R R hlksının el. Anı mn [U U] oluğunn M ı. Dğe fn he R çn [[u v] ] [u v] -[u v] (uv-vu - (uv-vu uv vu uv vu [uv ] [vu ] U eşlkle sğlnığınn [M R] U ele el. Şm M R[U U]R el çn [M R] Z oluğunu göseelm.

18 [M R] Z se o mn [ M [M R] ] ele el. Bu M Z olmsını geek. Bu M R hlksının sıfın fklı el oluğunn R Z ele el. Bölee U Z oluğu göülü. Bu hoe le çelş. O hle [M R] Z olu. Aşğı.8.Lemmı sğln önek veleek. Önek: R sl hlksı ve R hlksının U Le el lınıs R hlksının M el [MR] U ve [MR] Z koşullını sğl. Çöüm: U R hlksının Le el. Çünkü he A ve B u w v u U çn A B U u w v u ( oluğunn U R hlksının olmsl l guuu. Şm [UR] U ve [RU] U oluğunu göseelm. { n} olmk üee A U B R çn A B B A - ( U

19 ele el. U R hlksının olmsl l guu oluğu çn ( A B B A U nun elemnıı. Bene şekle [RU] U oluğu göselel. n elemnı B 4 U ve C 4 R çn BC CB oluğunn U Z fınn ksnm. M R hlksının el. Çünkü A ve B M olmk üee A B ( ( ( M ( oluğunn R hlksının olmsl l guuu. He A M ve he B R çn AB ( ( M ( (

20 BA M ( ( ( ( ele el. [MR] Z oluğunu göseelm. 6 o R ve M 4 çn 6 o o oluğunn [M R] Z. 999 ılın N.Aın.8.Lemmı ı-sl hlkl çn genelleşmş (Aın N Şm u lemmnın R ı sl hlkl çn sğlnığın önek veelm. Önek: e e R ı sl hlksının U Z olk şekle U Le el çn R hlksının w v u w v u M el [M R] U ve [M R] Z koşullını sğl. U Le el. Çünkü he

21 A ve U B çn U B A oluğunn U R hlksının olmsl l guuu. Şm [UR] U ve [RU] U oluğunu göseelm. { n} olmk üee U A ve R e B se A B A B e e U ele el. U R hlksının olmsl l guu oluğu çn ( n A B B A elemnı U nun elemnıı. Bene şekle [RU] U oluğu göülü. R X ve U C olmk üee 9 6 XC CX ele el. Bu U Z oluğunu ve. M R hlksının el. Çünkü M w v u B ve w v u A olmk üee

22 4 M w w v v u u B A ( ( ( ( oluğunn M kümes R hlksının olmsl l guuu. R e B M ve w v u A çn M w w v u v u AB ( ( ( ( ve M v w u v w u BA ( ( ( ( ele el. R B M ve A olmk üee BA AB oluğunn [M R] Z. Şm [M R] U oluğunu göseelm. M w v u A R e B ve çn U w w v u v u AB ( ( ( ( Bölee [M R] U oluğu göülü..9.lemm: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el olsun. O mn C R (U Z.

23 5 İs: C R (U { R u u he u U } kümes he C R (U çn - C R (U oluğunn R hlksının l hlksıı. Aı he C R (U ve he R çn - C R (U oluğunn C R (U olmsl l guu R hlksının Le el. Bölee..lemmn C R (U Z. Dğe fn Z C R (U oluğu çıkı. Dolısıl C R (U Z ele el...lemm: UR hlksının Le el olsun. R [UU] kümesn mekele se U kümesn e mekele. Aı C R ([U U] C R (U u. İs: [U U] R hlksının Le el. [U U] Z olsun. Bu uum.8.lemm U ene [U U] lısk C R ([U U] Z oluğu göülü. Yn C R ([U U] se Z. Dolısı le C R (U u. Şm [U U] Z olsun. Bu uum R ve u U olmk üee α [u [u ]] elemnı [U U] Z oluğunn R hlksının mekene. Aı αu [u [u ]]u [u [u u]] Z. Sonuç olk α ve αu Z olu. O hle.9.öneme kullnılıs α ve u Z ele el. Eğe α se u Z olu. Yn C R (U olu. Bölee he k uum C R (U oluğu ele el. Bu C R ([U U] C R (U olmsını geek. Hesen 97 ılın ınlığı On he Le suue of n ssove ng sml mklesne ukı velen lemmı kekesğ ken fklı ı-sl hlkl çn slmışı (Hesen 97...Lemm: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el olsun. U se ve ı. İs: U U Z koşulunu sğln Le el ve U olsun..8.lemmn olı R hlksının [M R] U ve [M R] Z koşullını sğln en M el vı. He u U he m M ve he R olmk üee [mu ] [M R] U u. O hle [mu ]

24 6 [m ]u m[u ] eşlkle sğlnı. Son fee [u ] U oluğunn [m ]u ele el. Bu fe üenlen ve mu oluğu kullnılıs [m ]u mu mu mu ele el. Sonuç olk mu u U m M R ulunu. Yn MRU olu. se R sl hlk oluğunn U ı. Bölee he u U ve he R çn (u - u u - u olu. u oluğu gö önüne lınıs son feen u u U R ele el. O hle UR ı. Bölee U ve R sl hlk oluğunn ulunu...lemm: R hlksının sıfın fklı üev olsun. U R hlksının (U koşulunu sğln Le el se U Z. İs : He u U R çn (U oluğunn (u-u ı. Son fe üenlen ve (U oluğu kullnılıs (u-u (u-(u

25 7 u( (u (u (u u( - (u ele el. Bölee he u U ve he R çn u( (u oluğu göülü. Bun U nun (R mekeleğ ele el. Bu.4.Teoem kullnılıs U Z oluğu göülü...lemm: R hlksının sıfın fklı üev olsun. U R hlksının (U Z koşulunu sğln Le el se U Z. İs: U Z oluğunu kul eelm. Bu uum..lemmn V [U U] Z olu. He uw U çn (u (w Z oluğu kullnılıs (uw-wu ((uw-w(u (u(w-(wu ((uw-w(u (u(w-(wu ele el. Yn he u w U çn ([u w] ı. Bun ([U U] (V oluğu göülü...lemm U ene V [U U] Le el lınıs V Z ele el. Son fe kulümüle çelş. O hle U Z..4.Lemm: R hlksının sıfın fklı üev ve U R hlksının U Z koşulunu sğln Le el olsun. R olmk üee (U (ve (U se olmk ounı. İs: He u U R çn (u-uu (uu - (uu [u u] U oluğunn (u-uu ı. Bölee ((u-uu ((u-uu (u-u(u eşlkle sğlnı. ((u-uu oluğu kullnılıs son fe (u-u(u

26 8 olmsını geek. Son eşlke ene (v vu R lını ve oluğu kullnılıs u(u(u ulunu. Bölee u(ur(u olu. Bu (U oluğu göönüne lını R hlksının sl oluğu kullnılıs U(U ulunu...lemm kullnılıs son fe olmsını geek. Aşğı.4.Lemmı sğln önek veleek. Önek: R hlksını gö önüne llım. U R hlksının Le el ve : R R e le nımlnn üev olmk üee R çn (U (ve (U ken ı. Çöüm: R hlksının sl hlk oluğu çıkı. Yukı velen U kümesnn R hlksının Le el oluğunu göseelm. He A ve B u w v u U çn A B U u w v u ( oluğunn U R hlksının olmsl l guuu. Şm [UR] U ve [RU] U oluğunu göseelm. { n} olmk üee A U B R çn A B B A -

27 9 ( U ele el. U R hlksının olmsl l guu oluğu çn ( n A B B A elemnı U nun elemnıı. Bene şekle [R U] U oluğu çıkı. U Le elnn lın göünüsü U U ( ve R T çn T(U koşulunu sğlığını göseelm. Bu uum he (U çn T olu. Bu enklem çöülüse

28 ele el. (U oluğunn (U kümesne sıfın fklı elemn vı. ( U oluğu gö önüne lınıs oluğu göülü. Bölee T ulunu..5.teoem: R hlksının sıfın fklı üev ve U R hlksının (U koşulunu sğln Le el se U Z. İs: U Z olsun. Bu uum..lemmn olı V [U U] Z oluğu çıkı. Eğe V Z oluğu göselse s e. U Z oluğu gö önüne lınıs.8.lemmn olı [M R] U ve [M R] Z koşullını sğln M el vı. Dğe fn m[m R] U M ve u V ve R çn. w (u [U U] U ve (U oluğunn (w olu.. m [M R] ve (U oluğunn (m ı.. [w ] [m ] U oluğunn [w ] [m ] ı. v. mw U oluğunn [mw ] [M R] U olu. Yn [mw ] ı. [mw ] fes üenlen ve ( ( ( ve (v e ele elen fele kullnılıs [mw ] ([m ]w m[w ] ([m ]w (m[w ] ([m ]w (m[w ] ([m ]w [m ](w ((m[w ]m([w ] ([m ]w [m ](w ([m ](w [m ] (w (m[w ] (m([w ] (m([w ] m ([w ] (m([w ]

29 ele el. R hlksının kekesğ en fklı oluğunn son fe he m [M R] he R ve he u V çn (m[(u ] olmsını geek. Bölee ([M R]([(u R] u V ( oluğu göülü. Dğe fn [M R] R hlksının meke fınn ksnmn Le el oluğunn.4.lemm kullnılıs ( fes [(V R] olmsını geek. Bölee u V R çn (U oluğu kullnılıs ([(u] ((u-(u (u (u(-((u- (u (u(-((u [(u (] eşlkle sğlnı. Yn (V (R mekele. Bu.4.Teoem kullnılıs (V Z ele el. V [U U] kümesnn R hlksının (V Z olk şekle Le el oluğu gö önüne lınıs..lemmn V Z. Bu.5.Lemm kullnılıs U Z ele el. Bölee s e. Rm Aw.5.Teoemn h genel hl oln şğık eoem slmışı. Teoem: R hlksının sıfın fklı üev ve U R hlksının (U Z koşulunu sğln Le el se U Z (Rm Aw 984. Aı P.H.Lee ve T.K.Lee.5.Teoemn h genel uumu oln şğık eoem slmışı. Teoem: ve δ δ(u Z olk şekle R hlksının sıfın fklı üevle se U Z (P.H.Lee ve T.K.Lee Teoeme U R ve U R hlksının el olk lınıs (U olmsı olmsını geek..5.teoem..teoemn h genel hl.

30 .6.Sonuç: U R hlksının Le el olsun. R çn [ [ U]] se [ U] ı. İs:.5.Teoeme U R hlksının meke fınn ksnmn Le el ve üev e R le üelen ç üev olk lınıs (U n [ [ U]] oluğun [ U] olu..5.teoemn sonuu olk ele eğm ukık fe..sonuun genellemes. C R ((U ve Z olsun. Bu uum U Z oluğun.5.lemm kullnılıs [U U] Z oluğu göülü. Bölee U R hlksının meke fınn ksnmn Le el oluğu gö önüne lını ve.9.lemm kullnılıs C R ([U U] Z ele el. Anı mn şğı veeeğm sonuç.6.sonuun genellemes..7.sonuç: R -uulmsı ı sl hlk hlk ve U R hlksının Le el olmk üee R çn [ [ U]] se [ U] ı (Hesen I.N Teoem: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el ve R hlksının sıfın fklı üev se C R ((U Z. İs: C R ((U fk Z olsun. U R hlksının U Z koşulunu sğln Le el oluğunn.9.lemm kullnılıs V [U U] R hlksının meke fınn ksnmn Le el. Aı he u v U çn [u v] [(u v] [u (v] oluğunn (V [U U] U oluğu çıkı. Dğe fn C R ((U oluğunn (u (u u V U ( ulunu. Bu (u (V U oluğu kullnılı ve ( fesne u U ene (u lınıs ((u ((u ulunu. Yn (u (u u V ( ele el. ( fesne ek üev ugulnıs

31 ((u ((u n ((u (u (u (u( eşlğ ele el. Bu ( fes kullnılıs ((u (u( ele el. Bun ( elemnının (V kümesn mekeleğ göülü. Sonuç olk ve ( elemnlı (V mekele. Aı u V çn (u-u (u (u- (u - u( oluğu çıkı. Bu ( eşlğ kullnılıs (u-u (u- u( (V u V çn ( ulunu. Bölee ( elemnı (V kümesn mekeleğnen ( fes kullnılıs [( [( V]] ele el. Son fe.6.sonuçn [( V] olmsını geek. V Z oluğunn.9.lemm kullnılıs ( Z olu. Sonuç olk C R ((U se ( Z oluğu göselmş olu. Dolısıl C R ((U oluğunn ( Z. Yn ( ( Z olu. ChR oluğunn son fe ( Z olmsını geek. Bu uum ( Z ( Z Z oluğunn.9.öneme kullnılıs ( oluğu göülü. Bölee Z koşulunu sğln he C R ((U çn ( ı. C R ((U kümesnn elemnı çn ( se uk ıln şlemle kullnılk Z ele el.

32 4 Aı C R ((U Z se ( ı. C R ((U Z elemnlı çn ( ( ( ( oluğunn ( ı. C R ((U ve ( oluğunn Z olu. Bun Z ele el u Z oluşu le çelşk. Bölee C R ((U Z oluğu kul else he C R ((U çn ( oluğu ele el. W { R: ( } olsun. He C R ((U elemnı çn ( oluğunn W olu. Bun C R ((U W oluğu göülü. C R ((U se ( oluğu kullnılıs he u U çn (u-u (u-(u ele el. He C R ((U ve u U çn (u-u oluğunn [ U] W sonuun vılı. Dğe fn U R hlksının U Z koşulunu sğln el oluğunn.7.lemm kullnılıs [M R] U ve [M R] Z olk şekle en ne M elnn vı. m [M R] U M se m M olu. Bölee u U çn [m u] U ı. [m u] m[ u] U oluğu göülü. Dğe fn [u] W oluğu kullnılıs ([m u] m[ u] ([m u] ((m[ u] ele el. elemnı (U kümesn mekeleğnen ([m u] m[ u] n ([m u] ((m[ u] elemnı le eğşmel. elemnının ([m u] ve (m elemnlı le eğşmel oluğu kullnılıs [ ([m u] (m [ u]] (m[ [ U]] ele el. [M R] Z ve [M R] R hlksının Le el oluğunn.4.lemm kullnılıs [ [ U]] olu. U Z oluğu gö önüne lınıs.5. Teoemen Z ele el. Bu sı. U R hlksının meke fınn ksnmn Le el ve R hlksının sıfın fklı üev olmk üee (U le üelen l hlk olsun. 978 ılın se (R l hlksının R hlksının sıfın fklı el ksığı Hesen fınn slnı (Hesen 978.

33 5 Şm ken l hlksının R hlksının sıfın fklı eln ksığı göseleek. Aksnen sö elmekçe R kekesğ en fklı sl hlk U R hlksının meke fınn ksnmn Le el ve R hlksının sıfın fklı üev kul eleek. Aı V le [U U] Le el W le [V V] Le el göseleek..9.lemm: olmk üee R hlksının sıfın fklı λ sol eln ve sıfın fklı sğ eln ksıo se ks. R hlksının sıfın fklı eln İs: V [UU] ve (V U oluğunn ((V (U olsıl oluğu çıkı. λ ve R olsun. λ sol el oluğunn λ ı. Dolısıl ( (λ oluğunn ( ele el. Yn ( ( olu. Dğe fn ( ( oluğu kullnılıs he R ve λ çn ( λ oluğunn ( R ( ulunu. Bun R(λ oluğu göülü. Bene şekle (R fesnn sğlnığı göselel. V R hlksının Le el oluğunn he λ u V çn (u - u (u u( (u (u (V. Bun V Le elnn olmsl l gu oluğu kullnılıs (u u( (u (u ( ele el. ( fes λ nın sol el oluğu ve λ(v oluğu kullnılıs son fee e ln u( (u elemnlı fınn ksnı. Bölee ( fes

34 6 (u λ u V olmsını geek. O hle (λv olu. Bene olk V( oluğu göselel. I λv olmk üee I R hlksının el. V R hlksının Le el λ oluğunn I ı. Üselk (I (λv (λv λ(v λv( ve (λv V( λ oluğunn (I fınn ksnı. Bölee olu. R hlksının I elnn nı mn hlk ve (I oluğu gö önüne lını.7.teoem kullnılıs l hlksının R hlksının sıfın fklı eln ksığı çıkı. Bölee oluğunn R hlksının sıfın fklı eln ks...lemm: I R hlksının sıfın fklı el olmk üee R hlksının sıfın fklı sol eln ve sıfın fklı sğ el ksmsın Bu uum R çn [ I] se Z. İs: Hoeen he (U he I çn [ ] [ ] oluğu gö önüne lını ve nn l hlk oluğu kullnılıs [ ] [ ] [ ] fes [ ] olmsını geek. Bölee [(U]I olu. I R hlksının el oluğunn [(U]I R hlksının sğ el. R hlksının sıfın fklı sğ eln çemeğnen [(U]I ve I[(U] ı. R hlksı sl hlk ve I oluğunn son fe [(U] olmsını geek. Bölee.9.Teoemen Z ele el...lemm: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el R hlksının sıfın fklı üev ve W [[U U] [U U]] olmk üee (U se (W ı.

35 7 İs: U Z oluğu gö önüne lını ve.5. Lemm kullnılıs V [UU] Z ve W [VV] Z ele el. Dğe fn (V U (W V ve (W U oluğu göülel. (U oluğunn u U v V w W ve U çn (u ( ((v (w - (w(v ( ulunu. ( fes çılı ve (v U (w U ve (u oluğu kullnılıs (u(v( 4 (w (w( ( ele el. (V U oluğunn ( eşlğne ene ( v v V lınıs (u(v( 4 (w (w(v ele el. Dğe fn son fee V U oluğu gö önüne lınıs (w(v eşlğ sğlnığınn (u(v 4 (w(v he u U v v V w W ulunu. Bölee (u(v 4 (w(v olu..4.lemm kullnılıs son fe (u(v 4 (w u U v V w W olmsını geek. ( eşlğn ek üenlen ve (u(v 4 (w oluğu kullnılıs U u U v V w W çn (u(v 4 (w (u(v (w( (u(v (w( U eşlkle ele el. Bölee (u(v (w(u (

36 8 oluğu göülü. Bu.5.Lemm kullnılıs (u(v (w u U v V w W (4 ele el. ((v (w - (w(v (u oluğu kullnılıs ene ol leneek (w(v (u u U v V w W (5 oluğu göselel. Dğe fn w W ve v V çn ((v (v(w-(wv oluğu üşünüleek (5 fes kullnılıs he w W çn (V (w ele el...lemm kullnılk he w W çn (w ve ( ele el. Bölee (W sonuun vılı...lemm: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el R hlksının sıfın fklı üev olmk üee (U se ı. İs: U R hlksının Le el ve (U oluğunn he u U R çn [u] olu. [u] fes üenlen ve (U oluğu kullnılıs [u] (([u] (((u-u (((u-(u ( (u (u( (u( u ( (u ((u ((u (u (u (u( (u( (u ( (u( (u ( (u ( u ( (u ((u ((u ( (u ((u ( (u ( (u (u (u( ( (u (u ( ((u u ( (u eşlkle sğlnı. Bölee

37 9 [ (u(] [(u (] [u (] u U R ( olu. ( fesne u ene (w w W [V V] ılı ve (w oluğu kullnılıs [ 4 (w(] [ (w (] [ (w (] [ (w (] ele el. Yn [ (w (] u U R ( olu. ( fesne u elemnı ene (w w W elemnı ene ( R ılı ( fes kullnılıs [ (w (] [ (w (] [(w 4 (] [(w 4 (] ele el. [(w 4 (] w W R sonuun vılı. O hle 4 (R (W kümesn mekele. Bölee W Z oluğunn.8.teoem kullnılıs 4 (R Z ele el. 4 (R Z oluğunn he R çn 4 ( Z ı. Aı U R hlksının Le el oluğunn he u U çn 4 [u] oluğu çıkı. 4 [u] fes üenlen ve (U oluğu kullnılıs 4 [u] 4 (u (u( (u( (u ( (u( (u ( (u ( (u ( (u( (u ( (u ( (u ( (u ( (u ( (u ( u 4 ( 4 (u ((u ((u ( (u ((u ( (u ( (u ( (u ((u ( (u ( (u ( (u ( (u ( (u ( (u 4 (u 6[ (u (] 4[(u (] eşlkle sğlnı. Sonuç olk

38 6[ (u (] 4[(u (] u U R ( ele el. Aı (U ve (R R oluğu gö önüne lınıs he u U he R çn [u(] oluğu göülü. Son fe üenlense [u(] [ (u (] [(u (] u U R (4 ele el. (4 eşlğ le çılı ( eş le f f çıkılıs [(u (] ulunu. R hlksının kekesğ en fklı oluğunn [(u (] ele el..8.teoem ek kullnılıs (R Z ulunu. Bölee he R u U çn ( (u Z oluğu göülü. ( (u fes üenlen ve (U oluğu kullnılıs ( (u (( (u (u ( ( (u ( (u ( (u ( (u ( (u Z u U R (5 ele el. Bölee (R (U Z ulunu. Eğe (R se u uum (R Z oluğu gö önüne lını ve.9.öneme kullnılıs (5 fes (U Z olmsını geek. Sonuç olk (R oluğun (U Z olmk ounı. 4 (R Z oluğunn u U R çn 4 ((u Z. 4 ((u fesn çılı ve (U olmsı kullnılıs 4 ((u 4 ((u 4 ( (u Z ele el. Bu Z kümesnn l hlk ve 4 ((u Z oluğu kullnılıs 4 ((u Z ele el. O hle 4 (R(U Z olu...lemm ve.9.öneme kullnılıs son fe 4 (R olmsını geek. 4 ((u 4 ((u 4 ( (u 4 ( (u

39 eşlkle sğlnı. Yn 4 ( (u u U R olu. R hlksının kekesğ en fklı oluğunn (R (U ulunu. Dğe fn U Z oluğu gö önüne lınıs.5.teomen (U oluğu göülü. Bu uum.9.öneme kullnılıs (R (U olmsı (R olmsını geek...teoem: U R hlksının meke fınn ksnmn Le el ve koşulunu sğlk şekle R hlksının üev olsun. Bu uum hlksının sıfın fklı eln ks. R İs: V [UU] ve W [VV] olmk üee.9.lemm nn sıfın fklı R hlksının sğ ve sol ellen çeğ göselse.9.lemmn s e. l hlksının sğ el ksmığını kul eelm. Bu uum ([WW] oluğu göselse..lemm ve..lemm kullnılmk suele oluğu ele eleek çelşke vılkı. w [WW] olmk üee (w elemnı ve R çn ( ( ( [ ] W olu. Bölee (( (( ( (W ele el. (W (V oluğunn ( (V ve (( (W ulunu. Bun l hlk oluğunn (( ([W W] R ( ele el. Aı u V çn (W (V ve [ (u] oluğunn ([ u] [( u] [ (u] (V oluğu çıkı. olmsl oluğunn [( V] [W W] (

40 ele el. Aı (( ([( ] ([ (]. Bu ( fes kullnılıs olmsl oluğunn ([( ] [WW] R ( ele el. ( fesne ene [WW] ılıs s ( [( ] ((([(( ] (((([(] [(] ([( ] ([( ] ([( ] ([( ] eşlkle sğlnı. Bölee s ([( ] ([( ] [W W] R (4 ele el. Eğe [(( ] ([( ] [( ]( lını ve ( kullnılıs s ([( ] ([( ] ([( ] [( ]( ([( ] [( ]( s ve s oluğunn ele el. Bölee [((R]. R hlksının sıfın fklı sğ eln ve sol eln çemeğ gö önüne lını ve..lemm kullnılıs (( Z [W W] ele el. α (( olsun. ( fes kullnılıs (( (V ve ( oluğu kullnılıs α( ((( el olmk üee [ I]. ele el. α Z oluğunn I αr R hlksının

41 . I oluğu uum;.6.lemm kullnılıs he [WW] çn Z sonuun vılı. Yn [WW] Z olu. Bu..Lemm kullnılıs [WW] Z ulunu. Bölee.5.Lemmn U Z ele el.. I αr oluğu uum; α olu. B şk eşle he [WW] çn (( ı...lemm ve..lemm kullnılıs çelşksne vılı. Bu eoemn sını..4.teoem: R kekesğ ken fklı olk şekle sl hlk ve U R hlksının meke fınn ksnmn Le el olsun. δ ve δ(u koşulunu sğlk şekle R hlksın k üev se ve δ ı. İs: ve δ oluğunu kul eelm. V [U U] olsun. He v V çn (v U oluğunn δ([u (v] u U v V olu. Bölee δ([(u (v] [u (v] olu. Bu fe çılı ve δ(u oluğu kullnılıs δ([(u (v] [u (v] [δ((u (v] [(u δ(v] [δ(u (v] [u δ (v] [δ(u (v] eşlkle ele el. Bölee [δ(u (v] u U v V sonuun ulşılı. B şk eşle (V C R (δ(u u. Dğe fn.8.teoemen C R (δ (U Z oluğu lnğnen (V Z olu. Aı δ(u oluğunn v V ve R çn δ([(v ] ı. Son fe çılı ve (v Z oluğu kullnılıs δ([(v ] δ([ (v ] [(v(] [δ(v (] [(v δ(] [(v δ((]

42 4 eşlkle sğlnı. Bölee [(v δ(] v V R olu. Bun [(V δ(r] oluğu göülü. B şk eşle δ(r C R ((V..8. Teoemen C R ((V Z oluğu lnğnen son fe δ(r Z olmsını geek. Bölee he v V he u U çn δ((vu Z. δ((vu fes çılıs δ((vu δ( (vu (v(u δ (vu (vδ(u δ((v(u eşlkle sğlnı. Bu (vu oluğunn. Lemm kullnılıs δ(u Z oluğu göülü. Bölee δ(u olu. δ(u oluğunn (V Z ve (Vδ(U Z fes (V olmsını geek. Bun.5 Teoem kullnılıs ele el. Bu sı. δ seçlse.4.teoemn.5.teoemn h genel hl oluğu göülü..8.teoeme oluğu g R hlksının sıfın fklı üev ve C R ((U se δ üev δ( olk nımlnsın. Bölee δ(u oluğu göülü..4.teoemen olı oluğunn δ ele el. Bölee he R çn oluğunn Z ele el. Rm Aw 984 ılın ınlığı Le Suue n Pme Rng wh Devons sml mklesne ukı velen eoemn h genel hl oln R kekesğ ken fklı olk şekle sl hlk ve U R hlksının meke fınn ksnmn Le el olsun. δ ve δ(u Z koşulunu sğlk şekle R hlksın üevle olsun. O mn δ ı eoemn slmışı.

43 5. BÖLÜM: ASAL HALKALARIN (στ-lie İDEALLERİ Bu ölüme kkesğ ken fklı oln sl hlklın (στ-le elle ve (στ-üevle sınk lşke e veleek. Bölüm oun R kkesğ en fklı sl hlk ve στ : R R k oomofm olk lınkı. Eğe :R R olmsl önüşüm ve he R çn ( (σ( τ(( se R hlksının (στ - üev olk nımlnı. Aı R çn σ( -τ( [] στ le göseleek... Lemm: He R çn şğık öeşlkle sğlnı.. [ ] στ [ ] στ [ τ(]. [ ] στ [ σ(] [ ] στ. [[ ] στ ] στ [[ ] στ ] στ [ [ ]] στ..lemm: R hlksının sıfın fklı (στ - üev ve R hlksının sıfın fklı üev olsun. R hlksının (U U ve (U C στ koşullını sğln sıfın fklı U el vs R hlksı eğşmel (K.K 988..Lemm: U R hlksının (στ - sğ Le el olsun. R hlksının [U ] στ C στ koşulunu sğln elemnı vs Z ve U C στ olu. İs: Z ve U C στ olsun. O mn u C στ olk şekle en u U vı hoe ve..lemm kullnılıs he R çn [[u ] στ ] στ [u [ ]] στ [[u ] στ ] στ eşlğ sğlnı. Bun [[u ] στ ] C στ oluğunn he R çn [u [ ]] στ C στ ele el. Bölee u ( [u ] στ R hlksının (στ-üev ve ( [ ] R hlksının üev olmk üee son fe he R çn u ( C στ şeklne fe el. Bölee u (R C στ olu. Bu u ve oluğu gö önüne lınıs..lemmn R hlksının eğşmel oluğu ele el. Bu Z olmsını geek. Bu kulümüle çelş. Bölee s e..4.lemm: R ve U (ve U olsun.

44 6. U R hlksının (στ-sol Le el se o mn ve U Z.. U R hlksının (στ-sğ Le el se o mn ve U C στ ı. İs:. U R hlksının (στ-sol Le el ve U olsun. He R ve he u U çn [ u] στ [ σ (u] [ u] στ [ σ (u] eşlğ sğlnı. Yn [ σ (u] R ve u U olu. Bölee R[R σ (U] u. R sl hlk oluğunn son fe ve U Z olmsını geek. Bene olk U R hlksının (στ - sol Le el ve U ken e ve U Z oluğu göülü..5.teoem: U R hlksının (στ - sğ Le el ve [U ] olk şekle R hlksının elemnı se Z ve U C στ fele sğlnı. İs: U R hlksının (στ - sğ Le el ve [U ] olsun. He R ve he u U çn [[u ] στ ] ı. Bu eşlk çılı ve u u oluğu kullnılıs [[u ] στ ] [uσ ( τ (u ] uσ ( τ (u uσ ( τ (u uσ ( τ (u uσ ( τ (u u[σ ( ] [τ (]u eşlkle sğlnı. Bölee u[σ ( ] [τ ( ]u u U ve R ( sonuun vılı. ( fesne ene R lınıs u[σ ( ] [τ ( ]u ele el. Son fe üenlen ve ( fes e kullnılıs u[σ (σ ( ] [τ (τ ( ]u

45 7 uσ ([σ ( ] u[σ ( ]σ ( τ ([τ ( ]u [τ ( ]τ (u uσ ([σ ( ] [τ ( ]uσ ( τ (u[σ ( ] [τ ( ]τ (u (uσ ( τ (u[σ ( ] [τ ( ](uσ ( τ (u [u ] στ [σ ( ] [τ ( ][u ] στ ulunu. Bölee [u ] στ [σ ( ] [τ ( ][u ] στ u U ve R ( ele el. ( fesne ene σ - ( ılıs [u ] στ [σ ( σ - ( ] [τ ( ][u σ -- (] στ [τ ( ][u σ -- (] στ ele el. Yn [τ ( ][u σ -- (] στ R ve u U olu. Son fee ene R ılı ve u fe kullnılıs [τ ( ][u σ - (] στ τ ([τ ( ][u σ - (] στ [τ ( ]τ ([u σ - (] στ [τ ( ]τ ([u σ - (] στ R ele el. Bun τ önüşümünün R hlksının oomofmsı oluğu kullnılıs [τ (R ] R [U σ - (] στ ( ele el. R hlksının sl hlk oluğu kullnılıs ( fes Z ve [Uσ - (] στ olmsını geek...lemm kullnılıs son fe σ - ( Z ve U C στ olmsını geek. Bu σ önüşümünün R hlksının oomofmsı oluğu gö önüne lınıs Z oluğu göülü. Bölee s e..6.sonuç: U R hlksının (στ-sğ Le el olsun. U eğşmel se o mn U Z ve U C στ olu.

46 8 R hlk U R hlksının (στ-sğ Le el olmk üee T(U { R [R ] στ U } le nımlnn küme R hlksının l hlksıı..7.lemm: U R hlksının sıfın fklı (στ-sol Le el se R[T(Uσ(T(U] T(U ve [T(Uτ(T(U]R T(U ğınılı sğlnı. İs: T(U R hlksının hem (στ - sol Le el hem e l hlksı oluğunn he u v T(U ve R çn [u [ v] στ ] T(U olu. Bölee [u [ v] στ ] T(U u v T(U ve R ( ele el. Dğe fn he R ve he u v T(U çn [u v] στ U T(U u v T(U ve R (. ( ve ( e velen fele ve T(U kümesnn R hlksının l hlksı oluğu kullnılıs [u [v] στ ] [u v] στ T(U olu. Bu fe üenlense [u [ v] στ ] [u v] στ uσ (v uτ (v σ (vu τ (vu uσ (v τ (vu uσ (v uτ (v σ (vu uσ (v u [ v] στ [σ (v u] eşlkle sğlnığınn u [ v] στ [σ (v u] T(U olu. Bun u [ v] στ T(U oluğu ve T(U nun l hlk oluğu kullnılıs [σ (v u] T(U ele el. Sonuç olk [σ (v u] T(U u v T(U ve R ele el. Bu σ önüşümünün R hlksının oomofm oluğu kullnılıs R[T(U σ (T(U] T(U oluğu göülü. Dğe fn he uv T(U ve he R çn [u v] στ T(U ve u [ v] στ T(U oluklı kullnılıs [u v] στ u [ v] στ [u τ (v] T(U ele el. T(U kümesnn R hlksının l hlksı oluğu kullnılıs son fe

47 9 [u τ (v] T(U he R olmsını geek. Bun [T(Uτ (T(U]R T(U ele el..8.lemm: U R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn sıfın fklı (στ - Le el olsun. He R çn T(U se ve ı. İs: T(U kümesnn nımınn he u U he v T(U ve he R çn [uv ] στ U oluğu çıkı. U T(U oluğu ve hoe kullnılıs [u v] στ olu. Bu fe üenlen ve..lemm le U oluğu kullnılıs [u v] στ u[ v] στ [u τ (v] [u τ (v] uτ (v τ (vu τ (vu eşlkle sğlnı. Sonuç olk τ (vu u v T(U ve R olu. Bun τ (T(UUR ulunu.bu R hlksının sl oluğu kullnılıs τ (T(UU ve ı. τ (T(UU (4 olsun. Bölee he R he u U he v T(U çn τ (v[u ] στ τ (vuσ ( τ (vτ( u eşlkle sğlnı. Son fee ene σ - ( ılı ve (4 fes kullnılıs τ (vuσ (σ - ( τ (vτ (σ - (u τ (vu τ (vτ ( σ - (τ ( σ - (u τ (vτ ( σ - (τ (σ - (u eşlkle sğlnı. Bu σ ve τ nun öen oluğu kullnılıs

48 4 τ (vτ ( σ - (Ru ele el. R hlksı sl hlk oluğunn son fe τ(vτ( σ - ( ve U (5 olmsını geek. U se.4.lemmn olı ı. Bu sı. O hle τ(vτ( σ - ( v T(U çn (6 oluğunu kul eelm..7.lemmn olı [U τ (T(U]R T(U oluğunn [R [U τ (T(U]R] στ [RT(U] στ U T(U ele el. Bölee he R u U ve v T(U çn [τ ( [u τ (v]] στ U oluğu gö önüne lınıs [τ ( [uτ (v]] στ olu. Bu fe üenlense [τ ( [uτ (v]] στ τ (σ ([u τ (v] τ ([u τ (v]τ ( olu. Son fee ene σ - ( R ılı ve σ τ önüşümlenn oomofm oluğu kullnılıs R u U ve v T(U çn τ (τ (σ - (τ (σ ([u τ (v] τ ([u τ (v]τ (τ (σ - (τ ( τ (τ (σ - (τ (σ ([u τ (v] τ ([u τ (v]τ (σ - (τ ( (7 ele el. Dğe fn (6 fes ve [u τ (v] T(U oluğu kullnılıs τ ([u τ (v]τ (σ - ( τ (T(Uτ (σ - (τ oluğu göülü. Bölee (7 en τ (τ (σ - (τ (σ ([u τ (v] R u U ve v T(U ele el. O hle Rτ (σ - (Rσ ([u τ (v]r (8 ulunu. Bölee R hlksının sl hlk oluğu kullnılıs ve ve [Uτ(U] ele el. U R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn (στ - Le

49 4 el oluğunn.5.teoemen olı [U τ (U] ele el. Bölee ve olmk ounı..9.teoem: U R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn (στ - Le el olmk üee R hlksı [R M] στ U fk [R M] στ C στ koşullını sğln en M el ks. İs: U R hlksının (στ - Le el ve T(U R hlksının l hlksı oluğunn.7.lemm kullnılıs R[T(U σ (T(U] T(U ve [T(U τ (T(U]R T(U ıll. O hle he R u v w T(U çn [w σ (][u τ (v] T(U olu. Bölee R[T(U σ (T(U][T(U τ (T(U]R T(U ı. R hlksının M R[T(U σ (T(U][T(U τ (T(U]R l kümesn gö önüne llım. M kümesnn eoemek koşullı sğln R hlksının el oluğunu göseeeğ. M kümesnn R hlksının el oluğu çıkı. Şm M oluğunu göseelm. R[T(U σ (T(U][T(U τ (T(U]R ( se [T(U σ (T(U][T(U τ (T(U] ( olu. Bölee [u σ (v][w τ (] u v w T(U (9 ele el. (9 fesne w ene w T(U ılı ve (9 fes kullnılıs [u σ (v]w[ τ (] [u σ (v][w τ (] [u σ (v]w[ τ (] ele el. Bölee [u σ (v]t(u[ τ (] ( ulunu..8.lemmn [T(U σ (T(U] ve [T(U τ (T(U] ı. Öel olk U T(U oluğunn [U σ (U] ve [U τ (U] ılln. Bölee.5.Teoemen U Z ve U C στ ele el. Bu hoe le çelş. Bölee T(U sıfın fklı M R[T(U σ (T(U][T(U τ (T(U]R eln çe. M elnn [R M] στ U koşulunun sğlnığını göseelm. M T(U fınn ksnığınn [R M] στ [R T(U] στ sğlnı. U olu. Bölee eoemek koşulln Şm M elnn [RM] στ C στ koşulunu sğlığını göseelm.

50 4 [R M] στ C στ oluğunu kul eelm. R hlksı kensnn (στ - Le el oluğunn..lemm kullnılıs M Z ve R C στ ele el. Bu R hlksının eğşmel ve R C στ olmsını geek. Öel olk U Z ve U C στ sğlnı. Bu hoele çelş. Bölee [RM] στ C στ oluğu göülü..9. Teoem. ölüme vemş oluğumu... Lemmnın genelleşmes. R sl hlk olmsın. Anı mn σ ve τ homomofmlı öen olms le.9.teoem sğln önekle ulunl. Bu önekleen şğı sunulmuşu. Önek: R hlksı σ : R R σ ve τ : R R τ le nımlnn enomofmlını gö önüne llım. R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn U (στ-le el çn [RM] στ U ve [RM] στ C στ koşullı sğln sıfın fklı M el vı. Çöüm: R hlksı ı sl hlk eğl. Çünkü sıfın fklı A B elemnı çn ARB ulunu. O hle R sl hlk olm. σ : R R σ öen olmn enomofmı. Çünkü R çn σ σ σ σ

51 4 σ σ σ σ 5 σ olk şekle en ne R oku. O hle σ önüşümü öen eğl. τ : R R τ öen olmn enomofmı. Çünkü R çn τ τ τ τ τ τ τ τ 6 τ olk şekle en ne R oku. O hle τ önüşümü öen eğl. Şm U kümesnn R hlksının (στ-le el oluğunu göseelm. He A ve B U çn A B U oluğunn U R hlksının olmsl l guuu.

52 44 [U R] στ U ve [R U] στ U oluğunu göseelm. {.n} olmk üee A U B R çn A B B A ( ( τ σ τ σ U ele el. U R hlksının olmsl l guu oluğu çn ( ( ( n A B B A τ σ elemnı U nun elemnıı. Bene şekle [R U] στ U oluğu göülel. Şm U Z ve U C στ oluğunu göseelm. C τ σ C ve X R çn ve eşlkle sğlnığınn Cσ(X τ(xc ulunu. Bölee U C στ olu.

53 45 A U 5 ve B R olmk üee AB BA oluğunu göseelm oluğunn AB BA oluğu göülü. O hle U Z olu. Şm sıfın fklı M el nımllım. M olsun. Bu M kümesnn R hlksının el oluğunu göseelm. A ve B M olmk üee A B M ( ( oluğunn R hlksının olmsl l guuu. He A M ve he R B çn M M ele el. O hle M R hlksının sıfın fklı el. Aı M oluğunn M ı. [RM] στ U fk [RM] στ C στ oluğunu göseelm.

54 46 R M olmk üee σ τ oluğu kullnıls - ( ( U oluğunn [RM] στ U ele el. Aı X R ve S 6 M çn oluğunn Xσ (S τ (SX ele el. O hle [RM] στ C στ olu. Sonuç olk sl h ı sl olmn hlkl çn.9.teoemn sğlnı sğlnmğı şııll. Bu σ ve τ enomofmlının U kısılnmışlının oomofm oluğu göülel...sonuç: U R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn sıfın fklı (στ-le el olsun. R çn U se ve ı. İs: U R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn sıfın fklı (στ-le el oluğunn.9.teoem kullnılıs R hlksının [RM] στ U fk [RM] στ C στ koşullını sğln sıfın fklı M el vı. Bölee he R u U ve m M çn [τ - (uτ - (m] στ [RM] στ U oluğu kullnılıs [τ - (uτ - (m] στ σ(τ - (uσ(τ - (σ(m - uτ(m ele el. Son fee ek hoe kullnılıs kn em sıfı olğınn

55 47 Rσ(τ - (u(τ - (σ(m R u U ve m M ( ele el. R hlksı sl hlk oluğunn ( fes ve σ(τ - (u(τ - (σ(m u U m M olmsını geek. Eğe σ(τ - (uσ(m u U m M se σ(τ - (uσ(m ı. Bu R hlksının sl oluğu kullnılıs ve σ(τ - (u u U ele el. Bu σ ve τ önüşümlenn oomofm oluğu gö önüne lınıs U ulunu. Bölee.4.Lemmn ele el. O hle U oluğunn ve oluğu göülü... Sonuç.ölüme vemş oluğumu..lemmnın genellemes.

56 48 4. BÖLÜM: SONUÇ Bu çlışm önelkle J. Begen ve kşlının 98 ılın ığı çlışm knılığı lemm ve eoemle nelenmş. Bu lemm ve eoemleen ılın önekle velmş. U kekesğ en fklı R sl hlksının meke fınn ksnmn Le el olmk üee R hlksının hlksı [M R] U ve [M R] Z koşullını sğln M eln ksığı J.Begen ve kşlı fınn slnı. Bu lemml lgl şğık önek velmş. R sl hlksı ve R hlksının U Le el lınıs R hlksının M el [MR] U ve [MR] Z koşullını sğl. Aı J.Begen ve kşlının slığı ukı velen lemm N.Aın fınn ı sl hlkl çn genelleşlmş. Aşğı unun ugulmsı e lmkı. R e e ı sl hlksının U Z olk şekle U Le el çn R hlksının w v u w v u M el [M R] U ve [M R] Z koşullını sğl.

57 49 Dğe fn J. Begen ve kşlının knılığı ı eoeemlen genelleşlmesnn e lığı N. Aın ve H.Knm fınn ıln çlışm knılnn lemm ve eoemle göen geçlmş. σ ve τ R hlksının oomofmlı ve U kkesğ en fklı R sl hlksının meke ve (στ meke fınn ksnmn (στ-le el olmk üee R hlksının [R M] U fk [R M] C στ koşullını sğln en M el ksığı N.Aın ve kşı fınn slnı. Aşğı velen önek σ ve τ önüşümlenn öen olmn homomofml oluğun ve R hlksının sl olmığı uuml ukı velen lemmnın sının şıılmsı geekğn o komkı..9.teoeme velen koşulln R hlksının sl olmığı σ ve τ homomofmlı öen olms le eoem sğln önek velmş. R hlksı σ : R R σ ve τ : R R τ le nımlnn enomofmlını gö önüne llım. R hlksının Z ve C στ fınn ksnmn U (στ-le el çn [RM] στ U ve [RM] στ C στ koşullı sğln sıfın fklı M el vı. Bu öneklele velen eoem ve lemmlın hng koşullının ıflılı hng koşullının eğşlemeeğ hkkın şıml ılmışı.

58 5 KAYNAKLAR Aın N. n Knm H (σ τ-le Iels n Pme Rngs. T. J. Of Mhems 8(: Aın N. n Soük M (σ τ-le Iels n Pme Rngs wh Devon. T. J. Of Mhems 9(: Begen J. Hesen I. N. & Ke J. W. 98 Le Iels n Devons of Pme Rngs Jounl of Alge. 7: Bes M. 99. Cenlng Mngs n Devons n Pme Rng J. Of Alge. 56: Hesen I. N On he Le n Jon Rngs of Smle Assove Rng. Ame. J. Mh. 77: Hesen I. N The Le Rng of Smle Assove Rng. Duke Mh. J. : Hesen I. N Tos n Rng Theo. Unv. of Chgo Pes Chgo USA. Hesen I. N. 97. On he Le suue of n ssove ng. Jounl of Alge. 4: Hesen I. N Rngs wh Involuons. Unv. Of Chgo Pes Chgo USA. Hesen I. N A noe on evons. Cn. Mh. Bull. : Hesen I. N A noe on evons II. Cn. Mh. Bull. : Hungefo Thoms W Alge Gue Te n Mhems Sees 7. Snge-Velg New Yok In. USA. K K On (σ τ-devons of Pme Rngs. Doğ TU M. D. :. K K. 99. (σ τ-rgh Le Iels n Pme Rngs. Po. 4 Nonl Mhems Smosum Ank. Mnle III. W. S Pme Rngs Ssfng Genele Polnoml Ien J. Alge : Posne E. C Devons n Pme Rngs. Po. Ame. Mh. So. 8: 9-.

59 5 Posne E. C Devons n Pme Rngs. Unv. of Chgo n Bell Telehone Looes New Yok. Aın N Noe On Genele Le İels. Anlele Unv. Of Tmşo. Vol 77- Lee P.H. Lee T.K.98. On Devons of Pme Rngs. Chnese Jounel of Mhems. Vol 9nume. Lee P.H. Lee T.K.98. Le İels of Pme Rngs wh Devons. Demen of Mhems Nonl Twn Unves Tk Twn. Aw Rm Le Suue n Pme Rngs wh Devons. PulMhDeeen (

60 5 KİŞİSEL BİLGİLER ÖZ GEÇMİŞ Aı Soı : Nhl B GÜNEL Doğum Ye ve Th : Aın EĞİTİM DURUMU Lsns Öğenm Böl. Yüksek Lsns Öğenm Böl. Blğ Ynı Dlle : On Doku Mıs Ün. Fen-Ee Fk. Memk : Ann Menees Ün. Fen-Ee Fk. Memk : İngle BİLİMSEL FAALİYETLERİ Yınl -SCI -Dğe Blle -Uluslsı -Ulusl Kılığı Pojele İŞ DENEYİMİ Çlışığı Kuuml ve Yıl : Aın Youm Deshnes Aın 4. Ann Menees Ünveses Aın 4 İLETİŞİM E-os Aes : n@u.eu. Th : 7.7.8