1 ) 1 kg yemde en az % 0.8, en çok % 1.2 kalsiyum, 2 ) 1 kg yemde en az % 22 protein,

Transkript

1 3.3. Bir şirket iki tip şapka üretiyor. Birinci tip her şapka ikinci tip şapkanın üretimi için gereken emek zamanının iki katı kadar zaman gerektiriyor. Eğer tüm şapkalar II. tip ise şirket günde 500 şapka üretiyor.pazar araştırması birinci ve ikinci tip şapkaların günlük satışlarının sıra ile 150 ve 200 şapka ile sınırlandığını gösteriyor.i. tip şapkanın bıraktığı kar 80 birim, ikinci tip şapkanın bıraktığı kar 50 birim dir. Karı en büyüklemek için her iki tip şapkadan ne kadar üretilmelidir? 3.4. Gübsan kimya sanayi suni gübreler üretmektedir. Bu amaçla nitrat, fosfat, potas ve bir dolgu maddesi kullanmaktadır. Bu üç maddeden A, B, C ile adlandırabileceğimiz üç çeşit suni gübre üretilmektedir. A tipi suni gübrede % 5 nitrat, % 10 fosfat, % 5 potas, B tipi suni gübrede % 5 nitrat, % 8 fosfat, % 8 potas, C tipi suni gübrede % 8 nitrat, % 12 fosfat, % 12 potas bulunmaktadır. Firma bu gübrelerin tonundan sırasıyla, 700 birim, 750 birim ve 800 birim gelir elde etmektedir. Bir ton nitrat, fosfat ve potasın maliyetleri sırasıyla 2000 birim, 600 birim ve 1000 birimdir. Dolgu maddesinin bir tonu ise 200 birimdir. Yapılan hesaplara göre, 1 ton suni gübrenin karıştırma, paketleme satişından dolayı toplam maliyet 250 birimdir. İşletmenin elinde 200 ton nitrat, 1500 ton fosfat ve 1500 ton potas ile sınırsız miktarda dolgu maddesi bulunmaktadır. Firma gelecek ay için B tipi gübre için 800 tonluk bir anlaşma yapmıştır. Üretilecek gübrenin tamamı aynı ay içinde satılabilecek veya çok az bir maliyetle depo edilebilecektir. Buna göre karı en büyük yapan üretim planı nasıl olmalıdır?

2 3.5. Bir çifttlikte piliç için yem karışımı hazırlanmak isteniyor. Daha önceki araştırmalardan piliçlerin haftalık tüketimi ortalama 0.5 kg dır. Piliçlerin belli bir kilo kazancına ulaşmaları için gerçek bir yem karışımında çok sayıda madde gerekir. Problemi basitleştirmek için üç tanesini seçelim : Kireçtaşı, mısır ve soya unu. Hayvanları kalsiyum, protein ve yağ gereksinimleri göz önüne alınarak karışım oluşturulmalıdır. Seçilen maddelerin ihtiva ettiği kalsiyum, protein ve yağ miktarları ile maliyetleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. 1 Kilodaki Miktarlar Maddeler Kalsiyum Protein Yağ Birim Fiyat Kireçtaşı Mısır Soya unu Yem karışımı ile ilgili kısıtlar şöyledir. 1 ) 1 kg yemde en az % 0.8, en çok % 1.2 kalsiyum, 2 ) 1 kg yemde en az % 22 protein, 3 ) 1 kg yemde en çok % 5 yağ bulunmalıdır. Maliyetleri en küçükleyecek ve kısıtları sağlayacak biçimde piliç için 1 haftalık yem karışımını belirleyen problemi kurunuz Bir yatırımcının 5 yıl için yatıracağı toplam 2200 birim parası vardır. Her yılın başında parayı bir ya da iki yıllık faizle yatırabilmektedir. Bir yıllık yatırdığında aldığı faiz % 8, iki yıllık yatırdığında % 17 dir. Ayrıca ikinci yılın başında 3 yıllık sertifika alıp

3 toplam % 27 faiz alabilmektedir. Bu yatırımcı elindeki parasını her yıl yatırırsa 5 yıl sonunda toplam geliri en büyükleyecek biçimde problemi formüle ediniz En iyi sığır yemi karışımı, mısır tanesi, saman ve buğday tohumundan oluşur. Her çiftçinin istediği yem karışımı farklıdır. Bir çiftçi 100 gr lık yem karışımının 10 gr protein, 5 gr yağ, 4 gr vitamin içermesini istiyor. Aşağıdaki tabloda her birimin 100 gramında bulunan protein, vitamin ve yağ miktarları ile 100 gramın maliyeti verilmiştir. maliyet en küçüklenecek biçimde çiftçinin istediği yem karışımında kaç gr. mısır tanesi, saman ve buğday tohumu bulunmalıdır? Karışımdaki Madde Protein (gr.) Yağ (gr.) Vitamin (gr.) Maliyet(100gr) Mısır Tanesi Saman Buğday tohumu Büyük bir hastanedeki diyetisyen her hastanın çeşitli vitamin ve minerallerden belirlenen en az miktarın altında almamasını sağlamak istiyor. Diyetisyen yiyeceklerin dikkatli bir planlaması ile her hastanın ihtiyacının vitamin hapları verilmeden sağlanacağını düşünüyor. Ancak hergün değişik yemek vermek için, hergün için yeni bir problem tanımlamalıdır. Bir gün için plan yapıldığı varsayılıyor. Rosto, patates ve bezelyenin olduğu düşünülüyor. Bu yemek A, B, C, D,E

4 ve F ile gösterilen vitamin ve minerallerden en az şu miktarlarda içermelidirler (mgr olarak); A B C D E F Bir kg. rostonun 500bin birim, patatesin 20bin birim ve bezelyenin 40 bin birim olduğu biliniyor. Aşağıdaki tabloda 1 kilo rosto, 2 kilo patates ve bezelyede bulunan A, B, C, D,E, F vitamin ve mineral miktarları verilmektedir. 1 kg Rosto 2 kg Patates 2 kg Bezelye A B C D E F En az gereksinimleri karşılayacak en düşük maliyetli yemek karışımını bulmak için matematiksel modeli kurunuz Bir öğrenciye 3 grup soru veriliyor. I gruptaki soruların herbiri 5 puan, II. gruptaki soruların herbiri 4 puan, III. gruptaki soruların herbiri 6 puandır. Daha önceki çalışmalardan I. gruptaki bir soru ortalama 3 dakikada, II. gruptaki bir soru ortalama 2 dakikada ve III. gruptaki her soru ortalama 4 dakikada çözülebildiği biliniyor. Bu

5 ödevi yapabilmek için 3.5 saatten çok ayrılmıyor. Ayrıca ilk iki soru grubunda sayısal hesaplamalar çok olduğundan bu problemlere en çok 2.5 saat ayırıyor. Öğrenciden doğru olarak çözülmüş 100 den çok problem istenmiyor. Bu şartlar altında her gruptan kaç soru yaparsa alacağı puan en büyük olur? Bir pazarcı sadece portakal ve elma satıyor. Elmanın kg ını 60, portakalın kg ını 70 bin birim den satıyor. Günde en çok 200 kg. portakal ve 150 kg. elma satabiliyor. Pazarcı portakal satışından kg. başına 15 bin, elmadan ise 10 bin birim kar edebiliyor.ve mallarını halden pazara bir seferde en çok 300 kg. yük taşıyabiliyor. Pazarcının kazancını en büyüklemesi için bir pazar günü hangi miktarlarda portakal ve elma satması gerektiğini belirleyiniz Düşük ve yüksek kaliteli olmak üzere vernik üretmeyi amaçlayan bir işletme stoklarında bulunan 121 varil alkol ve 49 varil reçineyi belli bileşimlerde karıştırarak üretimini gerçekleştirmeyi planlamaktadır. Bir varil düşük kaliteli verniğin % 80 i alkol ve % 20 si reçineden, bir varil yüksek kaliteli verniğin % 30 alkol, % 70 reçineden oluşacaktır. Firma düşük kaliteli verniğin varilini birim, yüksek kaliteli verniğin varilini birimden satacaktır. Yararı en büyükleyecek biçimde problemi formüle ediniz Kimyasal madde üreten bir şirket A, B ve C hammaddelerini içeren kg.lık bir karışım yapmak istemektedir. Bu hammaddelerin kg. başına fiyatları 50, 60 ve 70 birimdir.diğer taraftan işletmenin A hammaddesinden 3000 kg. dan daha çoğunu kullanmasının olanaksız olduğu, buna karşılık B hammaddesinden en

6 az 1500 kg. ve C hammaddesinden en az 2000 kg. kullanmak zorunda olduğu bilinmektedir. Maliyeti en küçükleyecek biçimde problemi formüle ediniz Bir firma kümes hayvanları yemi için en düşük maliyetli yem karışımını elde etmek istiyor Tavuklar 1,2 ve 3 ile gösterilen besleyici öğelerden ( vitamin, protein vb. ) günde en az 250, 150 ve 400 birim almalıdırlar. Tavuk yemi A, B, C ve D ile gösterilen 4 tip yem maddesi karıştırılarak elde edilmektedir. Bu yem maddelerinin 1, 2 ve ile gösterilen besleyici öğelerden ne miktar içerdikleri ve her yem Besleyici Yem maddeleri En az Öðeler A B C D Gereksinim ( günlük ) Maliyet Firma toplam maliyeti en küçükleyen ve besleyici öğelerle ilgili gereksinimleri karşılayan yem karışımını belirlemek istiyor. Problemi formüle ediniz Bir sanayi işletmesi piyasaya anne sütüne eşdeğer yeni bir çocuk maması üretmeyi planlamaktadır. Mamanın karışımında H 1 ve H 2 hammaddeleri bulunmaktadır. H 1 hammaddesinin bir biriminin işletmeye maliyeti 30 birim, H 2 hammaddesinin işletmeye maliyeti 50 birimdir. Bir birimlik H 1 ve H 2 hammaddelerinde bulunan yağ ve protein miktarları mgr. olarak şöyledir.

7 H 1 H 2 Yağ 3 9 Karbonhidrat 8 3 Protein 4 4 Karışımda en az 18 mgr. yağ, 24 mgr. karbonhidrat, en çok 20 mgr. protein bulunmalıdır. Sanayi işletmesinin maliyeti en küçükleyecek biçimde kullanılması gereken birleşimi geometrik yöntemle bulunuz Saç şampuanı imalatçısı bir firma kuru saçlar için A, yağlı saçlar için B marka şampuan imal etmeyi planlamaktadır. Eldeki şişe adedi en çok dir. A marka şampuandan 1000 adet şişelemek için gereken zaman 4 saat, B marka şampuandan 1000 adet şişelemek için gereken zaman 3 saattir şişenin hazırlanma süresi 200 saattir. Şampuan A nın şişesinden 9 birim, B nin şisesinden 7 birim kar edilmektedir. Firma kazancını en büyük yapabilmek için üretimi nasıl planlamalıdır a ) 3x 1 x 2, b) 8x1 2x2 amaç fonksiyonlarının aşağıdaki kısıtlar altında eğer varsa en küçük ve en büyük değerlerini bulunuz. x1 3x2 3 2x1 3x2 6 2x1 x2 8 4x1 x2 16 Bu en iyi değerleri veren tüm noktaları belirleyiniz x 3x in aşağıdaki kısıtlar altında en küçük ve en büyük 2 1 değerlerini bulunuz.

8 x1 x2 0 3x 6 2x x x1 x Aşağıdaki problemi d.p.p olarak formüle ediniz. m tane besleyici öğenin ( vitamin, mineral...) en az gereksinimini karşılayacak biçimde, n tane yiyecek bulunan listeden en düşük maliyeti verecek bir diyet oluşturmak istensin. Değişmez bir zaman aralığı gözönüne alındığında. a ) bu zaman aralığında her besleyici öğeden verilmesi gereken en az birim sayısı b ) Her yiyeceğin 1 biriminde bu besleyici öğeden bulunan birim sayısı c ) Her yiyeceğin 1 biriminin fiyatı veriliyor. Aşağıdaki simgeleri kullanınız. b i : Verilen zaman aralığı için i.inci besleyici öğeden alınması gereken en az birim sayısı, a ij : j. yiyeceğin bir biriminde bulunan i.besleyici öğe sayısı, c j : Bir birim j. yiyeceğinin maliyeti, x j : j yiyeceğinden satın alınacak birim sayısıdır. Maliyeti en küçük yapacak diyet problemini formüle ediniz Bir şirket montaj, kontrat ve paketleme olmak üzere üç aşamada üretimi tamamlanan üç ayrı ürün üretmektedir. Bir birimin her aşamada gerektirdiği süre saat olarak verilmiştir.

9 Bir haftada toplam montaj süresi 1800 saat, kontrol süresi 800 saat ve paketleme süresi 700 saattir.satılan bir birim üründen elde edilen kazanç A,B ve C için 200, 150, 100 birim dir. Kazancı en büyükleyecek haftalık üretim miktarları nedir? Problem 2.21'de, şirketin yaptığı kontrata göre A ürününden haftada en az 2000 birim ve C ürününden en az 1000 birim üretmesi gerektiği düşünülsün. Ayrıca B ürününden haftada 1500 birimden çok satamayacağını düşünmektedir. Bu ek kısıtları probleme ekleyerek yeniden formüle ediniz Bir hastaya doktoru b 1 vitamininden günde en az 24 birim, b 2 vitamininden 25 birim alması gerektiğini söylüyor. Bunlar I ve II ile gösterilen iki cins ilaçtan alınabilecektir. I. ilacın her tableti 1 birim b 1, 5 birim b 2, II. ilacın her tableti 4 birim b 1, 1 birim b 2 içeriyor. Birinci ilacın her bir tabletinin fiyatı1 birim, ikinci ilacın ise 3 birimdir. Bu şartlar altında herbir ilaçtan kaç tane alınmalı ki günlük vitamin ihtiyacı maliyet en küçüklenecek biçimde karşılansın? Üç hammadde karıştırılarak iki ürün üretilmektedir. Karıştırma aşağıdaki tabloya göre yapılmaktadır. Ürün Hammadde A % 10 % 30 % 80 B % 30 % 20 % 60

10 Elimizdeki hammadde miktarı haftada sıra ile 4000 kg, 6000 kg. ve kg. dır. Hammaddelerin 1 kg. ının fiyatı sıra ile 300, 200 ve 100 birim. dir. A ürününün kilosu 1200 birim. ye B ürününün kilosu 1500 birim. ye satılabilmektedir. Üretme ve karıştırma maliyeti 1 kg. da 200 birim. dir. Amaç kazancı max. yapacak biçimde bir haftada her ürün için kullanılacak karışımı belirleme ve ürünlerden bir haftada ne miktar üretileceğini belirlemektir. Verilen kısıtlar altında problemi kurunuz Bir ev kadını tüm beslenme gereksinimlerini karşılayacak biçimde ve maliyetleri en küçükleyecek biçimde 6 tür sebze kullanarak bir haftalık menü hazırlamak istemektedir. Sebzeler, besleyici öğelerin belirli miktarını karşılamaktadır. Bununla ilgili tablo aşağıdaki gibi verilmiştir: Sebze Demir Fosfor A C Nikotirik Asit Maliyet Fasulye Havuç Karnıbahar Lahana Pancar Patates Gereken en az mik. 6.0 mg 325 mg 17.5 mg 245mg 5.0 mg Bu kısıtların yanında lahana haftada iki kezden çok verilmemelidir. Ayrıca diğer sebzeler haftada 4 kezden çok verilmemelidir. Bütün hafta boyunca sebze toplam olarak 14 kez verilmelidir. Beslenme gereksinimlerini karşılayacak ve maliyeti en küçükleyecek biçimde bir haftada her sebzeden kaç kez verilmelidir?

11 3.24. Bir şahıs elinde bulunan birim. yi 4 yıl süre ile işletmek istiyor. Bu parayı vadesiz olarak bankaya yatırırsa % 7, iki yıl vade ile yatırırsa % 9 faiz alabilir. Diğer bir yol bir işletmenin 2 inci yıl başında satışa çıkaracağı hisse senetlerinden satın almaktır. İşletme henüz kuruluş halinde olduğundan ilk yıllar kara geçemez. Ancak 4 üncü yılın sonunda % 20 faiz verecektir. 5. yılın başında şahıs elinde bulunan paranın en büyük olabilmesi için parayı nerelere ve hangi miktarlarda yatırmalıdır? Bir televizyon imalatçısı, gelecek dönemde üç tür televizyondan kaçar tane üretirse kazancının en büyük olacağını belirlemek istiyor. Geçmiş istemlere bakarak her üç televizyon türünden en az sıra ile 200, 250 ve 100 birim istem olduğunu biliyor. Ayrıca gelecek dönemde üretime ayıracağı zaman 1000 zaman birimi ve hammadde ise 2000 birimdir. Üretim ile ilgili bilgiler, Tür Hammadde Zaman Kar I II III Elde bulunan olarak verilmiştir. Pproblemi formüle ediniz Bir kamyon üreticisi, verilen bir sürede 5 tür kamyon üretebilmektedir. Her 5 tür kamyon üretimi ile ilgili kısıtlar şöyledir. a-) Metal kalıp yapan bölüm hep I. tür kamyon yapsa en çok tane üretebilmektedir.

12 b-) Motor montaj bölümü hep I. tür kamyon motoru montajı yapsa tane yapabilmektedir. c-) Son montaj bölümünde yapılabilecek tüm 5 tür kamyonla ilgili kısıtlar aşağıda verilmiştir. Kamyon Metal kalıp Metal montaj Türü. ( I. türe göre oran ) ( I. türe göre oran ) Son montaj Kar. I ( bin ) II III IV V Kamyon üreticisi karını en büyüklemek için hangi tür kamyondan ne kadar üretmelidir? Bir fabrikada tek bir ürünün üç ayrı çeşidini üretebilen 4 tane makina vardır. Ürünün ve aynı çeşidini üreten 4 makinanın bir saatteki üretim oranları ve karları şöyledir. Üretim Oranı Makina Kar Makina Çeşit Çeşit Bu üç çeşit için gelecek ay boyunca beklenen istem 700, 500 ve 400 birimdir. Gelecek üretim döneminde üç çeşit üretebilmek için kullanılacak 4 makina en çok 90, 75, 90 ve 85 saat çalışabilmektedir. Fabrikanın karını en büyük yapacak biçimde problemi formüle ediniz.

13 3.28. Bir yapımevi A ve B gibi iki çeşit mal üretiyor. Bu malların herbiri I, II ve III ile gösterilen makinalarda işlem görüyor. Bir birim A nın yapımı için I. makinada 3 saat, II. makinada 1 saat, III. makinada 2 saat gereklidir. Bir birim B nin yapımında ise I. makinada 1 saat II. makinada 3 saat ve III. makinada 4 saat gereklidir. I. makina günde 10 saat, II. makina günde 13 saat ve III. makina günde 15 saatten fazla çalışamıyor. A malının biriminin satışı 16 birim, B malının biriminin satışı 18 birim kar getiriyor. Yapımcı herbir maldan ne kadar üretirse kazancı en büyük olur? Aşağıdaki d.p.p ni geometrik yöntemle çözünüz. a ) Min z 5x 2x 4x1 x2 8 x1 x2 5 x2 2 x1 0 x1, x2 0 c ) 1 2 Max z x1 x2 x1 x2 3 x1 2x2 4 x2 2 x1, x2 0 b ) Max z x1 + 2x2 3x1 3x2 9 x1 x2 2 x1 x2 6 x1 3x2 6 x1, x2 0 d ) Min z 3x1 x2 x x 1 2 4x 2x x x x x, x Bir şirket bir üründen 1800 birim almak istiyor. Bu üründen iki tür vardır. Birinci tür M 1 ürünü 2 m 3 yer tutmakta, 12 birim ye mal olmakta ve 3 birim lik kar bırakmaktadır. İkinci tür M 2 ürünü ise 3

14 m 3 yer tutmakta 15 birim ye mal olmakta ve 4 bin birim lik kar bırakmaktadır. Şirketin bütçesi 1.5 birim ve deposu 3000 m 3 tür. a ) Problemi d.p.p olarak formüle ediniz. b ) Geometrik yöntemle çözünüz saat çalışan kafeteryada gereken garson sayıları aşağıdaki gibidir. Saatler En az Garson Sayısı Her garson günde 8 saat çalışıyor. Amaç yukarıdaki gereksinimleri sağlayacak en az garson sayısını belirlemektir. Problemi d.p.p olarak formüle ediniz Dört ürün ardışık olarak iki makinada üretilmektedir. Her ürünün 1 biriminin makinalarda üretim süreleri verilmiştir. Ürün ( birim zaman) saat Makina Maliyet birim/saat birim/saat

15 Her üründen bir birim üretmenin toplam maliyeti, ürünlerin makinada kalış süreleri ile doğrudan ilgilidir. 1. ve 2. makinanın 1 saatlik işleme maliyetleri saatte 10 ve 15 birim. dir. Tüm ürünler için 1. makinada 500 saat, 2. makinada 380 saat ayrılabilmektedir. 4 ürünün satış fiyatları sıra ile 65 birim., 70 birim, 55 birim. ve 45 birim dir. Problemi formüle ediniz Süt kurumunun üç ayrı şehirde pastörize süt ve süt mamülleri üreten fabrikası vardır. Bu fabrikalardan elde edilen sütler 5 ayrı şehre gönderilmekte diğer mamuller ise ancak her fabrikanın içinde bulunduğu şehrin ihtiyacını karşılayacak kadar üretilmektedir. Sütler 1/2 lt lik şişeler halinde satışa çıkmaktadır. Sütlerin taşıma giderlerinin en küçük olması için herbir şehirin gereksinimi olan sütleri hangi fabrikaların üretmesi gerektiği araştırılıyor. Gerekli bilgiler aşağıda verilmiştir. Bu bilgilerden yararlanarak problemi formüle ediniz. Şehirler İhtiyacı olan süt miktarları ( Şişe sayısı ) Süt fabrikaları A B C Fabrika sığaları ( Şişe sayısı )

16 Taşıma Giderleri A B C Bir imalatçı bir üründen üç ayrı model üretmektedir. Üretim için A ve B olmak üzere iki tür hammadde kullanmaktadır. A hammaddesinden elinde 4000 birim, B hammaddesinden 6000 birim bulunmaktadır. Her modele ilişkin hammadde gereksinimleri aşağıda verilmiştir. Model 1 Model 2 Model 3 A B Model 1 den 1 birim üretmek için gereken emek zamanı model 2 için gerekenin 2 katı, model 3 için gerekenin 3 katıdır. Fabrikanın toplam emek zamanı 700 birimdir. Bir pazar araştırması üç model için gereken işlemlerin sıra ile en az 200, 200 ve 150 birim olduğunu göstermiştir. Üretilen birim sayıları arası oranlar 3 : 2 : 5 olmalıdır. Model 1, 2 ve 3 için elde edilen kazançlar sıra ile 30, 20 ve 50 birimdır. Problemi, kazancı en büyükleyen ürün sayısını verecek biçimde formüle edin.

17 3.35. Üç tip uçağın 4 farklı rotaya atandığı problem ele alınsın. Aşağıdaki tablo yolcu sayısı olarak max. kapasiteyi ve hertip uçaktan kaç tane olduğunu vermektedir. Uçak Tipi Kapasite Uçak Sayısı Her uçağın verilen rotada günlük yolculuk sayısı ve her rotada beklenen günlük yolcu sayısı şöyledir Yolcu sayısı ( Günlük ) Her yolculuğun farklı rotalara işletim maliyeti ile servis verilmeyen müşteri için penaltı maliyeti ( kar kaybı ) tabloda verilmiştir. Her yolculuğun verilen rotaya Uçak Tipi yapılması maliyeti ( birim )

18 Problemi uçakların rotalara, toplam maliyet en küçüklenecek biçimde atanmasını sağlayacak biçimde formüle ediniz Bir imalatçı üretim olanaklarını verilen bir zaman aralığında, n farklı ürünün bir kısmı yada tümünü üretmek için kullanabilmektedir. j. ürünün birim karı c j dir. b, i i 1,, m belirli bir zamanda i.üretim bölümünün üretim kapasitesi, a ij ; j ürünün bir birimin i. bölümde üretilmesi kapasitesi L j ve U j ise j. ürünün üretim miktarı üzerine konulan alt ve üst sınırlardır. Verilen bu zaman aralığında en yüksek karı verecek üretim programını belirleyiniz Problem3.38 için 3 ürün ve 4 üretim bölümü olsun. Üretim seviyesi ve bu birimin üretim saatleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ürün Min Max Bölüm 1 Bölüm 2 Bölüm 3 Bölüm 4 Birim kar A birim. B birim. C birim. Üretim saatleri En yüksek karı verecek üretim programını belirleyiniz.