Modern Fizik (Fiz 206)

Transkript

1 Modern Fizik (Fiz 206) 3. Bölüm KUANTUM Mekaniği

2 Bohr modelinin sınırları Düz bir dairenin çevresinde hareket eden elektronu tanımlar Saçılma deneyleri elektronların çekirdek etrafında, çekirdekten uzaklaştıkça bulunma olasılığı eksponansiyel olarak azalan biçimde, bir küreyi doldurduklarını gösterir. Elektronların dalga hareketini hesaba katmaz Bohr elektronun en küçük açısal momentumunun ħ olduğunu varsayar. Gerçekte en küçük değer sıfırdır. Çok elektronlu atomların tayfını açıklayamaz. Atomların kendi aralarında nasıl etkileştiklerini ve bu tür etkileşmelerin maddenin gözlenen fiziksel ve kimyasal özelliklerini nasıl etkilediklerini anlamamızda yeterli değildir.

3 Atomun yapısını açıklamada son derece başarılı olan «KUANTUM MEKANİĞİ» Temel olarak; Maddesel dalgaların hareket eşitlikleri Kuantum mekaniğinin temel özelliklerinin bazıları Bir boyutlu basit sistemlere uygulamaları anlatılacak.

4 Çift Yarık Deneyinin Gözden Geçirilmesi Çift yarık deneyi; dalga ve parçacık özelliklerinin ikisini aynı anda ölçmenin imkansız olduğunu gösterir.

5

6 Sayaç, yeteri kadar uzun bir zamanda, Farklı konumlarda toplanan elektronları sayarsa, Elektronların detektöre ulaşma olasılığı veya sayım/dakika için tipik bir dalga girişim deseni bulunur.

7 Elektronlar belli bir anda bir noktada parçacık olarak ölçülürken, bu noktaya ulaşma olasılığı girişen iki madde dalgasının şiddetinin bulunmasıyla belirlenir. Kuantum mekanikde maddesel dalgalar kompleks değerli ψ ile betimlenir. Ψ nin kopleks eşleniği ψ* olmak üzere

8 Deney zamanını yarısında 1 ve diğer yarısında 2. yarık kapatılırsa Alt veya üst yarıklardan biri kapalı iken Her iki yarık açık iken Tek yarık eğrisinde ө =0 da, bir elektronun maksimum ulaşma olasılığı yoktur. Gerçekte, girişim desenleri kaybolur ve sonuç sadece bireysel sonuçların toplamıdır.

9 Gerçekte, girişim desenleri kaybolur ve sonuç sadece bireysel sonuçların toplamıdır. Her iki yarık da açık olduğu zaman, elektronun 1 ve 2. yarıktan geçtiği kabul edilir.

10 Elektron mikroskobu Elektronların dalga özelliklerine bağlı pratik bir alet elektron mikroskobudur. Herhangibi bir mikroskop, cismi görüntülemek için kullanılan ışınımın dalgaboyunun büyüklüğüyle karşılaştırılabilenayrıntıları belirleme yeteneğindedir. Tipik olarak elektronların dalga boyları, görünür ışığın dalgaboylarından100 kez daha kısadır. Bu nedenle elektron mikroskopları yaklaşık 100 kat daha küçük ayrıntıyı gösterebilir.

11

12 Belirsizlik İlkesi Herhangi bir anda bir parçacığın konumu ve hızını ölçmek istenirse ölçümlerde daima denysel belirsizliklerle karşı karşıya kalınır. Klasik mekanik te bu belrsizlik aşılabilir.

13 Kuantum teorisi, bir parçacığın konumunu ve hızını aynı anda son derece doğrulukla ölçmenin olanaksız olduğunu öngörür yılında Heisenberg, belirsizlik ilkesini; Eğer bir konum ölçümü x duyarlılığıyla ve momentumun ölçümüde aynı anda bir p x duyarlılığıyla yapılırsa; o zaman, iki iki belirsizliğin çarpımı asla ħ/2 mertebesinde bir sayıdan daha küçük olamaz. Yani Bu, bir parçacığın tam doğrulukla konumunu ve momentumunu Aynı anda ölçmek fiziksel olarak olanaksızdır.

14 Bu belirsizlikler maddenin kuantumlu yapısından ileri gelir. Bir elektronu konumunu ve momentumunu olanca doğrulukla ölçmeye çalışalım. Elektronu görebilmek için, elektrondan en az bir ışık fotonu sıçrayarak detektöre gelmelidir. Bu fotonun elektrona çarptığı zaman enerji ve momentumunun bir kısmını elektrona aktarır. Kısa dalga boylu (büyük momentumlu) ışık kullanarak elektronun çok hassas olarak konumunu bulma denemesinde, momentumda oldukça büyük bir belirsizliğe neden olunur

15 Gelen foton h/λ momentumuna sahiptır. Çarpışma sonunda foton x ekseni boyunca momentumunun bir kısmını elektrona aktarır. O halde çarpışmadan sonraki belirsizlik fotonun momentumu kadar büyük olabilir. Işık dalga özelliğine sahip olduğundan, konumu onu görünür hale getirmede kullanılan ışığın bir dalga boyu içinde belirleneceğini umarız. Böylece x=λ olur Bu iki belirsizliğin çarpımı Bu ifade 1/4π sayısal çarpan farkıyla uyumludur.

16 Diğer belirsizlikler

17 Örnek; Hidrojen atomunun Bohr modeline göre, taban durumundaki elektron 0,529x10-10 m yarıçaplı dairesel bir yörüngede hareket eder. Heisenberg belirsizlik ilkesinden dolayı bu model gerçekçi midir? Yarıçapı üç anlamlı basamak olma üzere r=0,0005x10-10 m Işınsal hızın belirsizliği ışık hızının 10 katı mertebesinde olduğu, buda iyi bir tasvir olmadığı görülür.

18 Örnek 41.2 Bir elektronun hızı yüzde 0,003 lük bir hata ile 5x10 3 m/s olarak ölçülüyor. Bu elektronun konumunu belirlemedeki belirsizliği bulunuz.

19 a) E =h f t=1,0x10-8 s t uyarılmış hali ölçmek için ortalama zamandır. t nin en küçük değeri b)

20 Olasılık Yoğunluğu

21 Burada k=2π/λ açısal dalga sayısı A sabit genlik

22 Dalganın yanlızca konuma bağlı kısmı (dalga atması) Dalga boyu tam belli olmayan bir parçacık için dalga fonksiyonu

23 Dalga boyu kesin olmadığından momentumda yaklaşık olarak bilinir. Momentumdaki belirsizlik arttıkça parçacığın konumuda belirginleşir. Bu durum parçacığın konumunda artan bir olasılık yoğunluğuna karşılık gelir.

24 X noktası komşuluğunda sonsuz küçük dx aralığında parçacığın bulunma olasılığı Parçacık x ekseni üzerinde herhangi bir yerde bulunmak zorunda olduğundan x in tüm değerleri üzerinden olasılıkların toplamı 1 olmalıdır. Ψ nin normalizasyon koşulu;

25 Bir taneciğin a x b aralığında bulunma olasılığı

26 Bir parçacığın dalga fonksiyonu bilinirse, birçok deneyden sonra, parçacığın ortalama konumu x i hesaplamak mümkündür. Bu ortalama konuma x in beklenen değeri denir. Bu ifade olasılık yoğunluğu zamandan bağımsız olduğunda, parçacığın belirli bir durumda olması gerektiği belirtilir.

27 Kutudaki Parçacık Eğer bir parçacık x Ekseni boyunca iki duvar arasında ileri geri gidip gelmeye zorlanırsa ne olur? Cismin hızı v, momentumu mv Enerjisi 1/2mv 2

28 Dalga mekaniği olarak hareket ne olur? İp üzerindeki kararlı dalgaların dalga boyunun kuantize olduğunu gösterir Dalga üzerinde her nokta basit hareketle aynı frekansta salınır y genliği her noktada aynı değildir. Bir uçtan ölçülen x uzaklığına bağlıdır.

29 Kararlı (Duran) dalga için dalga fonksiyonu y(x) =A sin (kx) A : maksimum genlik k: dalga sayısı k=2π/λ Yani n değerleri için dalga fonksiyonları şekildeki gibidir.

30 (izinli dalga fonksiyonları) L uzunluğunun yarım-dalgaboyunun tam sayı katına, L=nλ/2 ye eşit olan dalga boyları izinli olanlardır. Sistemin bu izinli hallerine kararlı durumlar denir.

31 Dalga fonksiyonu Olasılık Yoğunluğu

32 Dalga fonksiyonu olasılık yoğunluğu

33 n=0 hali izinli hal değildir. Bu parçacığın durgun halde asla bulunamayacağı anlamına gelir.

34 n=1 e karşılık gelen enerji en düşük enerjidir ve sıfır nokta enerjisi adı verilir. Bu klasik görüşe tamamen terstir. Eğer parçacık elektrik yüklü ise, uyarılmış halden düşük hallerden birine geçerken foton yayınlayabilir veya foton soğurarak düşük seviyeden uyarılmış seviyeye geçebilir. Foton frekansı hf=e 2 -E 1 olmalı

35 Örnek 41.4 Bir elektron birbirinden 0,2 nm uzaklıkta bulunaniki sızdırmaz duvar arasına hapsedilmiştir. n=1,2 ve 3 durumları için enerji düzeylerini bulunuz. me = 9.10 x kg L=0,2 nm n=1 için n=2 için E 2 =4E 1 = 37,7 ev n=3 için E 3 =9E 1 = 84,8 ev

36 Örnek g kütleli bir cisim, 1cm aralıklı iki katı duvar arasında hareket etmeye zorlanmaktadır. A) cismin minimum hızını hesaplayınız. Minumum hız, n=1 haline karşılık gelir. n=1 için E=K=1/2 m v 2 ve 1/2mv 2 =5,49x10-58 J

37 Örnek 41.6 Bir atom, pozitif yüklü bir çekirdek etrafında hareket eden birçok elektrondan meydana gelmiş gibi gözönüne alınabilir. Burada elektronlar çekirdeğin coulomb çekimine maruz kalırlar. Şekilde elektronun potansiyel enerjisi r nin fonksiyonu olarak görülmektedir. Bir kutu içindeki parçacık modelini kullanarak bir elektronu n=1 halinden n=2 haline çıkarmak için gerekli enerjiyi (ev olarak) bulunuz. Atomun 0,1 nm lik bir yarıçapa sahip olduğunu kabul ediniz. B) Bu geçişi sağlayan fotonun dalgaboyunu hesaplayınız. A) =9,40 n 2 ev B) Bu dalga boyu uzak mor ötesi bölgededir. Bu model atomun düşük enerji seviyeleri için oldukça iyi, yüksek seviyeli geçişler için kötü

38 SCHRÖDINGER EŞİTLİĞİ Kuantum mekaniği, bu eşitlikle sistemin izinli dalga fonksiyonlarını ve enerji düzeylerini verir. Dalga fonksiyonlarının kullanılması ile sistemin bütün ölçülebilir niceliklerini hesaplamak mümkündür.

39 Schrödinger in Dalga Eşitliği kinetik enerji potansiyel enerji

40 Bir boyutta hapsedilen bir parçacığın dalga fonksiyonu Zamandan bağımsız Schrödınger Eşitliği

41 nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazı şartlar dalga fonksiyonu tek değerli olmalıdır. (Uzayın herhangi bir noktasında bir elektron için iki olasılık mevcut olmaz.) 2. dalga fonksiyonu ve onun birinci türevi sürekli olmalıdır. Uzayın tüm noktalarında olasılık tanımlı olmalıdır ve bir noktadan diğerine geçişte âni bir şekilde değişemez. 3. r sonsuza giderken dalga fonksiyonu sıfıra yaklaşmalıdır. Çekirdekten uzak mesafelerde, olasılık gittikçe küçülmelidir.

42 4. Uzayın herhangi bir yerinde elektronun toplam bulunma olasılığı 1 dir. Buna dalga fonksiyonunun normalizasyon şartı denir.. * d = 1 tüm uzay 5. Bir atomdaki tüm orbitaller birbirleriyle ortogonal olmalıdır. A. B d =0 Örneğin, px, py pz orbitalleri birbirine diktir.

43 Bir Kutudaki Parçacık Problemi (Tekrar gözden geçirelim) Ve Sin 0 =0 olduğundan, kx=nπ n = tamsayı olmalı İzinli enerji seviyeleri Normalizasyon sabiti