ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

Transkript

1 ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

2 Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile ilgili üç ana noktayı yeniden gözden geçirelim. 1. Eğer bir F kuvveti a noktasından b noktasına giden bir parçacık üzerine etki ediyorsa, bu kuvvetin yaptığı iş bir çizgi integrali ile verilir.

3 Burada dl, parçacığın izlediği yol üzerindeki sonsuz küçük bir yerdeğiştirme, ise yolun her noktasında F ile dl arasındaki açıdır.

4 2. Eğer bir F kuvveti korunumlu ise (Yani bir kuvvetin bir işi yapması izlediği yoldan bağımsız ise böyle kuvvetlere korunumlu kuvvet denir), F in yaptığı iş her zaman U ile gösterilen bir potansiyel enerji olarak ifade edilir. Eğer bir parçacık potansiyel enerjinin U a olduğu noktadan U b olduğu noktaya hareket ettiriliyorsa potansiyel enerjideki değişim U = U b U a (Son potansiyel-ilk Potansiyel) olur ve bu kuvvetin yaptığı iş;

5 Kuvvetin yaptığı iş (W a b ) pozitif değerler alıyorsa, U a, U b den büyüktür ve potansiyel enerjideki değişim ( U) ise negatif değer alır ve böylece potansiyel enerji azalır. Örneğin bir beysbol topunun yerin kütle çekimi etkisiyle yüksekteki (a) noktasından daha aşağıdaki (b) noktasına düşmesi durumunda kütle çekim kuvveti pozitif iş yaparken kütle çekim enerjisi azalmaktadır.

6 Son olarak iş-enerji teoremine göre, herhangi bir yer değiştirme sırasında oluşan kinetik enerjideki değişim ( K = K b K a ), parçacık üzerindeki yapılan toplam işe eşittir. Bu tanım aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır. K b K a = (U b U a ) Bunun anlamı toplam mekanik enerjinin (kinetik ve potansiyel toplamı) korunmuş olmasıdır.

7 Bu temel kavramların ardından sabit bir elektrik alanında elektriksel potansiyel enerji kavramını incelemeye çalışalım. Sabit Bir Elektrik Alanında Elektriksel Potansiyel Enerji Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi iki yüklü paralel metal levhanın aşağıya doğru büyüklüğü E olan düzgün bir elektrik alanı oluşturduğu düşünelim.

8 Kütlesi m olan bir beysbol topuna etki eden kütle çekim kuvvetinin sadece y ekseni bileşeni olup değeri F y = mg dir. Aynı zamanda kütle çekim kuvveti için potansiyel enerji ise U = mgy ifadesiyle tanımlanmaktadır.

9 Benzer şekilde iki levha arasındaki bir deneme yüküne etki eden elektriksel kuvvet -y ekseni doğrultusunda olup değeri F y = q 0 E ile ifade edilmekte olup bu kuvvet için potansiyel enerji ifadesi aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

10 Deneme yükü y a yüksekliğinden y b yüksekliğine giderse, elektrik alanının yük üzerinde yaptığı iş aşağıdaki gibi yazılmaktadır.

11 Bu durumda eğer y a, y b den büyükse elektrik alanı pozitif iş yapmakta olup potansiyel enerji azalmaktadır. Tam tersine y a, y b den küçükse elektrik alanı negatif iş yaparken potansiyel enerji artmaktadır. (Bir beysbol topu için aynı durumlar söz konusudur).

12 Dolayısıyla mekanikte olduğu gibi (Fizik-1) potansiyel enerji için aşağıdaki durumlar. 1. Sonsuz küçük bir ds yer değiştirmesi için, bir deneme yükü üzerine elektrik alan tarafından yapılan iş, F ds = q 0 E ds ile verilir. Elektrik alanı tarafından bu miktarda iş yapılırken yük ve elektrik alanından oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi du = q 0 E ds kadar azalır.

13 2. Bir deneme yükünün A ve B noktaları arasında sonlu bir yer değiştirmesi yapması durumda, sistemin U = U B U A potansiyel enerji değişimi, İntegrali ile hesaplanmaktadır. İntegral q 0 deneme yükünün A dan B ye gittiği yol boyunca alınır ve adına yol integrali veya çizgi integrali denir. Bu iki terim eş anlamlı olup q 0 E kuvveti korunumlu olduğundan, bu çizgisel integral A ve B noktaları arasında alınan yola bağlı değildir.

14 3. Birim yük başına U/q 0 potansiyel enerjisi niceliğine elektriksel potansiyel V (veya kısaca potansiyel) denir. O halde elektrik alanın her hangi bir noktasındaki elektriksel potansiyel V = U q 0 dır ve bu büyüklük skaler bir niceliktir.

15 4. Bir elektrik alan içinde A ve B gibi herhangi iki nokta arasındaki V = V B V A potansiyel farkı, sistemin potansiyel enerjisindeki değişimin, q 0 deneme yüküne oranı olarak tanımlanır: Bu durumda V = U q 0 = B A E ds eşitliğindeki A noktasını sonsuzdaki bir nokta olarak alırsak, herhangi bir P noktasındaki elektriksel potansiyel;

16 NOT ALINIZ U; Potansiyel enerji U; İki nokta arasındaki potansiyel enerji değişimi ( U = U B U A ) V;Herhangi bir noktadaki potansiyel V; İki nokta arasındaki potansiyel fark ( V = V B V A )

17 Düzgün Bir Elektrik Alandaki Potansiyel Fark Düzgün bir elektrik alanının negatif y ekseni boyunca yöneldiği ve aralarındaki uzaklığın d olduğu A ve B gibi iki nokta arasındaki potansiyel farkı belirlemeye çalışalım.

18 Şekildeki d uzaklığı elektrik alan çizgilerine paralel olduğundan (cos θ = cos 0 = 1) B noktası ile A noktası arasındaki potansiyel farkı; E sabit olduğundan potansiyel fark ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir.

19 Elde edilen bu ifadedeki eksi işareti, B noktasının A noktasından daha düşük potansiyelde olmasından kaynaklanır, yani V B < V A dır. Şimdi ise q 0 deneme yükünün A dan B ye gittiğinde potansiyel enerjisindeki değişimi belirlemeye çalışalım. ifadesi kullanılarak potansiyel enerjideki değişim;

20 Elde edilen bu sonuca göre q 0 pozitifse, U negatif olmaktadır. Dolayısıyla bir pozitif yük elektrik alan doğrultusunda hareket ederse, elektriksel potansiyel enerjini kaybetmektedir. Bir başka ifadeyle bir pozitif deneme yükü, elektrik alan içinde durgun halden serbest bırakılırsa, elektrik alan doğrultusunda q 0 E elektriksel kuvvetin etkisi altında kalır ve böylece yük kinetik enerji kazanarak aşağı doğru hızlanırken kazandığı kinetik enerjiye eşit miktarda potansiyel enerji kaybeder.

21 Eğer q 0 negatifse, U pozitif olur ve olay ters yönde gelişir. Yani negatif yük, elektrik alan doğrultusunda hareket ettiği zaman elektriksel potansiyel kazanır ve elektrik alan içinde durgun halden serbest bırakılırsa, elektrik alana zıt doğrultuda ivmelenir.

22 Şimdi, şekildeki gibi, x ekseni boyunca yönelmiş düzgün bir elektrik alan içinde, herhangi iki nokta arasında bir dış etken olmadan hareket eden bir yüklü parçacığın daha genel durumunu inceleyelim. A ve B noktaları arasındaki yer değiştirme vektörü s ile gösterilirse iki nokta arasındaki potansiyel fark aşağıdaki gibi ifade edilmektedir (Elektrik alanı E sabittir). Yükün potansiyel enerjisindeki değişim ise;

23 Şimdi E s skaler çarpımını inceleyelim. E elektrik alan vektörü ile s vektörü arasındaki açı θ olmak üzere s vektörü s = AC + CB vektörü ile temsil edilebilir.

24 AC vektörü ile E vektörü arasındaki açı θ = 0 dır ve bu durumda skaler çarpım sonucu E AC elde edilirken CB vektörü ile E vektörü arasındaki açı θ = 90 dır ve bu durumda skaler çarpım sonucu sıfırdır.

25 Bu nedenle V B V A potansiyel farkı V C V A potansiyel farkına eşit olup V B = V C dir. Bu nedenle aynı potansiyele sahip olan noktaların sürekli dağılımlarının oluşturduğu herhangi bir yüzeye eş potansiyel yüzey adı verilir.

26 Örnek Zıt Yüklü İki Paralel Levha Arasındaki Elektrik Alanı Batarya, belirli bir potansiyel farkını batarya kutuplarına bağlanmış iletkenler arasında oluşturan bir elektriksel cihazdır. 12 V luk bir batarya, iki paralel levha arasına şekildeki gibi bağlanıyor. Levhalar arasındaki uzaklığın d = 0,30 cm ve elektrik alanının düzgün olduğu varsayılıyor. Levhalar arasındaki elektrik alanın şiddetini bulunuz.

27 Örnek Bir Protonun Düzgün Bir Elektrik Alan İçindeki Hareketi Bir proton, pozitif x ekseni doğrultusu boyunca yönelen 8, V/m lik düzgün bir elektrik alan içinde durgun halden serbest bırakılıyor. Proton bu elektrik alanın etkisiyle 0,50 m yer değiştiriyor. Buna göre A ve B noktaları arasındaki elektriksel potansiyeldeki değişimi ve protonun potansiyel enerjisindeki değişimi bulunuz.

28 Elektriksel Potansiyel ve Noktasal Yüklerin Oluşturduğu Potansiyel Enerji Şekilde gösterilen noktasal artı q yükünden r uzaklıkta bir noktada elektriksel potansiyeli bulmak için keyfi olarak seçilen A ve B noktalarının potansiyel farklarından yararlanılmaktadır. Bu durumda potansiyel fark ifadesi aşağıdaki gibidir.

29 Noktasal yükün oluşturduğu elektrik alanı E = k e qr/r 2 olduğundan E ds skaler çarpımı aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Burada tanımlanan r vektörü yükten elektrik alanının hesaplanacağı noktaya yönelen birim vektör olup büyüklüğü birdir.

30 Bu durumda skaler çarpımı sonucu r ds = ds cos(θ) olur. Burada ifade edilen θ açısı şekilde gösterildiği gibi r ile ds arasındaki açıdır. Ayrıca ds cos(θ) değeri, ds vektörünün r vektörü üzerindeki izdüşümü olup ds cos θ = dr olarak ifade edilebilmektedir.

31 Dolayısıyla potansiyel fark ifadesindeki E ds yerine (k e q/r 2 )dr yazılır ve integral işlemleri yapılırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.

32 Elde edilen bu matematiksel ifade bize aşağıda yazılı önemli sonuçları gösterir. B 1. E ds A integrali A ve B noktaları arasındaki yoldan bağımsızdır. 2. A ve B gibi herhangi iki nokta arasındaki potansiyel farkı, yalnızca r A ve r B radyal koordinatlara bağlıdır.

33 3. r A = da, referans elektriksel potansiyeli sıfır olarak seçilebilir. 4. Böyle bir seçim yapıldığında (yani r A = iken) bir noktasal yükün kendisinden herhangi bir r uzaklıkta oluşturduğu potansiyel aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

34 İki veya daha fazla nokta yükün bir P noktasında oluşturduğu toplam elektriksel potansiyel, her bir yükün bu noktada oluşturduğu potansiyellerin cebirsel toplamıdır. Yukarıdaki denklem incelendiğinde toplam ifadesinin vektörel toplamdan ziyade skaler sayıların cebirsel toplamı olduğu görülmektedir.

35 İki Yüklü Parçacık Sisteminin Potansiyel Enerjisi Aşağıdaki iki parçacıklı sistemde yükler arasında r 12 kadar uzaklık varsa bu sistemin potansiyel enerjisi (yani yüklerden birinin diğerinin yanına getirebilmek için yapılması gereken iş) aşağıdaki gibi ifade edilir. Sistemde ikiden fazla yük varsa, toplam potansiyel enerji her bir yük çifti için potansiyel enerji ayrı ayrı hesaplanarak sonuçlar cebirsel olarak toplanır.

36 Örnek İki Nokta Yükün Elektriksel Potansiyeli Şekilde görüldüğü gibi, q 1 = 2,00 μc luk yük orijinde iken q 2 = 6,00 μc luk yük (0,00 ; 3,00) m koordinatındadır. (a) Bu yüklerin (4,00; 0) m koordinatında buluna bir P noktasında oluşturmuş olduğu toplam elektriksel potansiyeli bulunuz. (b) Sonsuzdan P noktasına getirilen 3,00 μc luk yükün potansiyel enerjisindeki değişimi bulunuz.

37 ELEKTRİK ALAN DEĞERİNİN ELEKTRİKSEL POTANSİYELDEN ELDE EDİLMESİ Belirli bir bölgede elektriksel potansiyel biliniyorsa, elektriksel alan değerinin hesaplanabilmesi için aralarında ds kadar uzaklık bulunan iki noktasal yükün aşağıda ifade edilen dv potansiyel farkından yararlanılır.

38 Eğer elektrik alanının yalnızca E x bileşeni varsa (x doğrultusundaki bileşeni), E ds = E x dx olur ve böylece elektrik alanın E x bileşenin büyüklüğü aşağıdaki gibi tanımlanır. Bu durumda bir koordinat ekseni doğrultusundaki elektrik alanın büyüklüğü, bu koordinata göre elektriksel potansiyelin türevinin negatifine eşittir.

39 Eğer elektrik alanı oluşturan yük dağılımı küresel simetriye sahipse, yani hacimce yük yoğunluğu yalnız r radyal (yarıçapsal) uzaklığa bağlı ise; o zaman elektrik alanı da radyaldır denir. Bu durumda, E ds = E r dr olur ve böylece dv = E r dr ifadesinden elektrik alanının büyüklüğü aşağıdaki gibi ifade edilir. Örneğin, bir noktasal yükün elektriksel potansiyeli V = k e q/r ile ifade edilmektedir. Dolasıyla noktasal yükün oluşturduğu elektrik alanın büyüklüğü E r = k e q/r 2 olarak hesaplanır.

40 Eğer dv = E ds = 0 ise 1. dv = 0 dır. Yani tanımlanan bir yol boyunca potansiyel fark yoktur (dv B dv A =0). O zaman tanımlanan bu yol aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi (mavi kesikli çizgiler) eşpotansiyel çizgileridir. 2. E ds = 0 = E ds cos (90 ) dır. O zaman tanımlanan yolda elektrik alanı bu yola diktir.

41 Sonuç: Eşpotansiyelli yüzeyler elektrik alan çizgilerine daima diktir denir. Aşağıdaki şekilde bir elektrik dipolünün eş potansiyel yüzeyleri mavi çizgilerle gösterilmiştir. Bir deneme yükü, eşpotansiyelli yüzeyde bir ds yerdeğiştirmesi yaptığında dv = 0 olur çünkü eşponsiyelli yüzeylerde potansiyel sabittir. O halde E elektrik alan vektörü, eşpotansiyelli yüzey boyunca yerdeğiştirmeye dik olmak zorundadır. Bu sonuç, eşpotansiyelli yüzeylerin her zaman elektrik alan çizgilerine dik olduğunu gösterir.

42 Genel olarak elektriksel potansiyel, üç uzaysal koordinatın bir fonksiyonu cinsinden verilirse V(x, y, z) elektrik alan vektörünün bileşenleri (E x, E y, E z ) potansiyel fonksiyonunun kısmı türevleri alınarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Örnek Bir Dipolün Elektriksel Potansiyeli Eşit ve zıt işaretli iki yükten oluşan elektrik dipolünde yükler arasındaki uzaklık 2a dır. (a) P noktasındaki elektriksel potansiyeli hesaplayınız. (b) Dipolden çok uzak bir noktada V ve E x i hesaplayınız.

43 Sürekli Yük Dağılımının Oluşturduğu Elektriksel Potansiyel Sürekli bir yük dağılımının bir P noktasında oluşturduğu elektriksel potansiyeli, yüklü cismi çok küçük dq yük elemanlarına bölerek ve bütün bu yük elemanlarının potansiyele katkılarını toplayarak hesaplayabiliriz. Şekilde görülen dq yük elemanının oluşturduğu dv potansiyeli aşağıdaki gibi tanımlanır.

44 Her bir yük elemanı P noktasından farklı uzaklıklarda olması nedeniyle yük dağılımının bir P noktasında oluşturduğu elektriksel potansiyeli ifadesi aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

45 Örnek Düzgün Olarak Yüklenmiş Bir Halkanın Potansiyeli Toplam yükü Q ve yarıçapı a olan düzgün yüklenmiş bir halkanın (a) Merkezinden geçen çapına dik eksen üzerindeki bir P noktasındaki elektriksel potansiyeli bulunuz. (b) P noktasındaki elektrik alanının büyüklüğünü belirleyiniz.

46 Örnek Sonlu Çizgisel Yükün Elektriksel Potansiyeli l uzunluklu bir çubuk, x ekseni boyunca yerleştiriliyor. Çubuktaki toplam yük Q dur ve birim uzunluk başına düzgün dağılmış yük yoğunluğu λ = Q/l dir. y ekseni boyunca, orijinden a uzaklıktaki bir P noktasında elektriksel potansiyeli bulunuz.

47 Örnek Düzgün Yüklenmiş Bir Diskin Potansiyeli Yüzeyindeki yük yoğunluğu σ, yarıçapı a olan düzgün yüklenmiş bir diskin merkezinden dik geçen eksen boyunca (a) Elektriksel potansiyeli bulunuz (b) Elektrik alanın büyüklüğünü bulunuz.

48 Örnek Düzgün Yüklenmiş Bir Kürenin Potansiyeli Düzgün dağılmış pozitif bir yük yoğunluğuna sahip, toplam yükü Q olan R yarıçaplı yalıtkan bir küre veriliyor. (a) Kürenin dışındaki bir noktada, yani r > R de elektriksel potansiyeli bulunuz. r = da potansiyeli sıfır olarak alınız. (b) Yüklü kürenin içindeki elektriksel potansiyeli bulunuz. Yani r < R için.

49 KAYNAK Fen ve Mühendislik İçin FİZİK-2 Serway.Beichner Palme Yayıncılık