KAFES SİSTEMLERİN GERİLME, YER DEĞİŞTİRME, BURKULMA VE DOĞAL FREKANS KISITLARI ALTINDA OPTİMUM TASARIMI

Transkript

1 KAFES SİSTEMLERİN GERİLME, YER DEĞİŞTİRME, BURKULMA VE DOĞAL FREKANS KISITLARI ALTINDA OPTİMUM TASARIMI Cem Celal TUTUM İ.T.Ü. ROTAM, Makne Yük. Müh. ÖZET: Bu çalışmada düzlemsel kafes sstemlern belrl br yükleme koşulu altında gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre optmum tasarımı ncelenmştr. Ele alınan kafes sstemlerde, düğüm noktalarının yerler değşmemektedr. Tasarım değşken olarak kafes sstem elemanlarının kest alanları kullanılarak boyut optmzasyonu uygulanmıştır. Ayrıca optmzasyon şlem sırasında belrl br mnmum kest alanı değerne ulaşmış elemanlar, kafes sstemn rjtlğne katkısı olmayacağı düşüncesyle sstemden çıkarılmıştır. Optmzasyon problemndek amaç kafes sstemn kütlesn mümkün olan en küçük değere çekmektr. Kafes sstemlern statk ve dnamk davranışlarına lşkn blgler MATLAB te yazılan sonlu elemanlar programı kullanılarak elde edlmş, optmzasyon çn se MATLAB tek doğrusal olmayan programlama algortması olan SQP (Sequental Quadratc Programmng) yöntem kullanılmıştır. Elde edlen lk sonuçlar, belrl karşılaştırma problemler le kıyaslandıktan sonra kafes sstemdek eleman sayısı artırılmaya çalışılmıştır. Eleman sayısı arttıkça süre üstel olarak artmaya başlamıştır. Çözüm süresn kısaltmak çn sonlu elemanlar yöntem uygulanırken elde edlen katılık ve kütle matrslernn smetrk ve de bol sıfırlı yapısından yararlanarak LU (Lower Upper) Ayrıklaştırma yöntem kullanılmış ve daha kısa sürede çözülmes sağlanmıştır. Anahtar Kelmeler: Yapısal Optmzasyon, Kafes Sstemler, Sonlu Elemanlar Metodu. GİRİŞ: Kafes sstemler sadece eksenler boyunca yük taşıyan ve düğüm noktaları denlen noktalarda brleştrlen çubuklardan oluşur. Yükler kafes sstemn düğüm noktalarına uygulanır. Kafes sstemler, yapısal eleman olarak kullanılmasının yanı sıra sürekl br ortamı ayrıklaştırmak çn de kullanılır ve bu özellğ sebebyle de optmal topolojnn araştırıldığı brçok problemde göz önüne alınmaktadır. Kafes sstemlern optmum tasarımında farklı tasarım değşkenler veya kısıtları uygulanmaktadır. Şekl optmzasyonunda düğüm noktalarına hareket etme serbestlğ verlmştr. Tasarım değşken olarak, boyut optmzasyonundak kest alanı değşkenne lave olarak düğüm noktalarının global koordnatları alınır. Bu tp problemlerde genellkle penaltı yöntemler kullanılmaktadır, düğüm noktalarının yer değştrmes le lgl kısıt blgs amaç fonksyonunun çersne yerleştrlerek kısıtsız optmzasyon problem çözülür []. Uygun penaltı değernn belrlenmes öneml br husustur. Çünkü dış veya ç penaltı yöntemlernde çözüm, ancak penaltı parametrelernn belrlenen lmt yaklaşımı sonunda elde edlr. Augmented Lagrange Multpler Yöntem kullanıldığında bu sorun ortadan kaldırılır çünkü penaltı katsayısının belrl br değer çn kesn çözüm bulunur, yakınsama kısıtı yoktur fakat Lagrange çarpanlarının önceden bulunması gerekr [-5]. Kafes yapıların tasarımında, her türlü çalışma koşuluna yönelk çeştl kısıtlar göz önüne alınablr [6]. Bu çalışmada gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarını sağlayan, belrl br yükleme koşuluna göre mnmum ağırlığa sahp kafes sstemler araştırılmıştır. Yapıların statk ve dnamk davranışlarının elde edlmes çn sonlu elemanlar

2 yöntem kullanılmış, optmzasyon yöntem çn se SQP algortması seçlmştr [7]. Hem sonlu elemanlar programı, hem de optmzasyon çn gerekl programlar Matlab 6. da hazırlanmıştır. İlk başta on eleman çeren br sstem çözülmüş, daha sonrasında eleman sayısı artırılarak k yüz elemana kadar çıkarılmıştır. Eleman sayısı arttıkça çözüm süres üstel olarak artmıştır. Çözüm süresn kısaltmaya yönelk sonlu elemanlar modelnn çözümü çn LU Ayrıklaştırma yöntem dahl edlmştr [8, 9].. OPTİMİZASYON PROBLEMİNİN FORMÜLASYONU:.. Kısıtlı Optmzasyon Problem Kısıtlı optmzasyon problemlernde, amaç fonksyonunun belrl eştlk ve eştszlk kısıtları altında mnmum ya da maksmum değer aranır. Amaç ya da kısıt fonksyonlarının heps doğrusal se kısıtlı optmzasyon problem LP (Lnear Programmng) problem olarak tanımlanır. Optmzasyon problemn tanımlayan fonksyonlardan herhang brs doğrusal değl se problem NLP (Nonlnear Programmng) problem olarak ntelendrlr... SQP (Sequental Quadratc Programmng) Algortması SLP (Sequental Lnear Programmng) algortmasının en büyük kusuru rasgele seçlen hareket lmtlerdr. Hareket lmt parametresnn küçük seçlmes durumunda, yakınsama hızı optmum noktaya yaklaşıldıkça çok azalablr. Ters durumda büyük hareket lmt parametres seçldğnde se lneerleştrlmş kısıtların kullanılmasından dolayı problemler çıkablr; örneğn, orjnal problem konveks ken, kısıtların lneerleştrlmes sonucu problem sınırsız (unbounded) hale geleblr. SQP de se bu olumsuzluk hareket lmtnn dolaylı yoldan lneerleştrlmş amaç fonksyonuna eklenmes le gderlmştr. Bu durumda amaç fonksyonu knc dereceden br fonksyondur. Kısıt fonksyonları se halen lneerdr. Sonuç olarak yön bulma alt problem artık QP (Quadratc Programmng) problemne dönüşmüştür. QP Alt Problem aşağıdak gb fade edleblr, k T Mn. f ( x ) d + d Hd k k T h ( x ) + h ( x ) d = =,,..., p Şu kısıtlar altında: k k T g ( x ) + g ( x ) d =,,... m (.) denklemndek H (Hessan) matrsnn, H = f + m p u g + = = v h (.) (.) (.) denklemndek gb fade edlmes k yönden zorluk çıkarmaktadır; Fonksyonların knc türevlernn hesaplanması gerektğnden sayısal hesaplamalar zorlaşır ve Lagrange fonksyonunun Hessan matrs poztf belrl olmayablr, bu durumda amaç fonksyonuna eklenen knc dereceden term de poztf olmayablr. Bu zorlukları aşmak çn BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanon) yöntem le oluşturulmuş poztf belrl br Hessan kullanılır. İlk adımda Hessan olarak brm matrs kullanılır ve her adımda br yenlenr. H T ( k ) ( k ) ( k ) H ss = H + γγ + T T ( q s s H ( k ) k H ) s ( k )

3 s = x x ( k + ) ( k ), L = f + x m q = u g x + L L ( k + ) ( k ) x p = = v h γ = θq + ( θ ) H (k ) s (.3) T T ( k ). q s.s H s T ( k ).8s H s T T q s.s H T ( k ) T s H s q s Hessan matrsnn yenlenme şekl (.3) numaralı denklem setnde gösterlmştr. Arama yönü belrlendkten sonra arama yönü boyunca gdlecek adım mktarı tespt edlr. Bunun çn knc dereceden ya da üçüncü dereceden nterpolasyon kullanılablr. Adım mktarı hesaplandıktan sonra yen değşken değer belrlenr. ( k ) s ( k+ ) ( k) ( k) ( k) x = x + α d (.4) (.4) numaralı denklemde x (k+) yen tasarım değşkenn, x (k) şu ank tasarım değşkenn, α ( k ) adım mktarını ve de d araştırma yönünü göstermektedr. Eğer d belrl br tolerans değernden küçük se terasyon durdurulur. Aks takdrde QP problemne ger dönülür ve yen arama yönü hesaplanır. Arama yönü le lgl tolerans sağlandığı zaman (amaç fonksyonu daha fazla azaltılamadığı zaman) elde edlen x (k+) vektörü kısıtlı optmzasyon problemnn mnmum noktasını verr. 3. KAFES SİSTEMLER VE ÖRNEKLER 3.. Hperstatk Kafes Sstemlern Çözümü İzostatk kafes sstemlerde, çubuklardak kuvvetler düğüm noktalarında yazılan denge denklemler le hesaplanablr (Şekl 3.). Hperstatk sstemlerde, denge çn gerekl olandan daha fazla sayıda çubuk ya da destek vardır (Şekl 3.). Bu tp sstemlerde denge denklemler çözüm çn yeterl değldr. Uygunluk ve bünye denklemler gb başka bağıntıların kullanılması gerekr. Şekl 3.: İzostatk Kafes Sstem Şekl 3.: Hperstatk Kafes Sstem

4 3.. Kafes Sstemlern Sonlu Elemanlar Yöntem İle Çözümü Kafes sstemn düğüm noktaları sonlu eleman modelnn düğüm noktaları durumundadır. Kafes sstemn her br çubuğu, sonlu eleman modelnde brer eleman le temsl edlmştr. Çubuk elemanlar yalnızca doğrultuları boyunca yük taşırlar, eğlme yükü taşımazlar. Bu sebeple sonlu elemanlar modelnde de çubukların her br düğüm noktasında k serbestlk dereces mevcuttur. Dış kuvvetler yalnızca çubukların düğüm noktalarına uygulanır. v, F y x ', F y u, F x θ x v, F y x', F { } d e u v = u v u, F x Şekl 3.3: Düzlem Çubuk Elemanının Lokal ve Global Koordnatlardak Gösterm Şekl 3.3 te tanımlanan x eksen lokal koordnatlardak çubuk eksenn, x ve y eksenler se global koordnatları (k serbestlk dereces mevcut) belrtmektedr. [ ]{ d } { F } k = (3.) e e e (3.) numaralı denklemde { F e } global koordnatlarda elemanın düğüm noktalarına uygulanan kuvvet vektörünü, { de} global koordnatlardak yerdeğştrme vektörünü ve de [ k e ] global koordnatlar cnsnden eleman katılık matrsn temsl etmektedr. [ ] T k e = k [ k] = [ T ] [ k ][ T ] e c cs = k. c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s (3.) (3.) numaralı denklemde kullanılan c ve s termler sırasıyla cos( θ ) ve sn( θ ) fonksyonlarını temsl etmektedr, k nın açılımı se, şeklndedr ve de eksenel katılık adını alır. AE k = (3.) L Kafes sstemdek bütün çubukların global koordnatlardak element katılık matrsler (3.3) te görüldüğü üzere tek br katılık matrsnde toplanablr. Elde edlen lneer denklem sstem rahatlıkla çözüleblr. [ K ]{ D} = { W} { D} [ K ] { W} = (3.3)

5 Çubuk elemanın dnamk davranışının ncelenmesnden kastedlen doğal frekans analznn yapılmasıdır. Optmzasyon problemnde bz lglendren sstemn brnc doğal frekansının elde edlmes ve de sstemn rezonansa grmemes çn bu değern belrl br değerden daha yüksek olması stenmesdr. Bunun çn lk önce çubuk elemanın kütle matrs oluşturulmalıdır. Kütle matrsnn elde edlmes çn de aynı katılık matrsnn elde edlşnde referans alınan Şekl 3.3 geçerldr. T [ m] = [ T ] [ m ][ T ] e [ ] m e c = m. c = m + s + s c c (3.4) numaralı denklemde [m] matrs, global koordnatlar cnsnden kütle matrsn göstermektedr ve m nn açılımı şu şekldedr, + s + s, c c Bu denklemde ρ, malzemenn yoğunluğunu göstermektedr. + s + s c c + s + s (3.4) m = ρal (3.5) 6 Sstemn doğal frekansının hesaplanması çn çözülmes gereken özdeğer problem şu şeklde fade edleblr: [ ] w [ M ]){ φ} = { } ( K (3.6) Bu denklemde [K] matrs sstemn katılık matrsn, [M] matrs sstemn kütle matrsn, w sstemn.nc doğal frekansının karesn rad/sn cnsnden ve de { } mod şekln göstermektedr [-3] LU Ayrıklaştırma Yöntem [ K] w [ M ]{} ) φ = { } ([ ] w [ M ]) = ( φ sstemn.nc ttreşm K (3.7) Herhang br A matrsn, k matrsn çarpımı şeklnde yazmak mümkündür, L U = A (3.8) Denklem (3.8) dek L alt üçgen matrs (dyagonal ve dyagonaln altındak elemanlar) ve U üst üçgen matrs (dyagonal ve dyagonaln üstündek elemanlar) 4x4 lük br matrsn LU şeklnde ayrıklaştırılması aşağıda verlmştr. U U U3 A A A3 L U U 3 A A A = 3 (3.9) L 3 L3 U 33 A3 A3 A 33 Lneer denklem sstem şu şeklde verlmş olsun, A x = y A x = (L U) x = L (U x) = y (3.)

6 (3.) numaralı denklemde gerekl dönüşüm yapılıp x vektörü çözüleblr, (U x) = b L b = y U x = b (3.) Herhang br A matrsn k farklı matrsn çarpımı şeklnde fade etmek kolaylıklar sağlamaktadır, çünkü oluşturulan k matrs de bast formda dır ve bunların çözümler de kolay elde edlr Kafes Sstem Optmzasyonunun Matematksel İfades Bu çalışmadak optmzasyon problemnn amacı belrl yükleme koşulları çn gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre mnmum ağırlığa sahp kafes sstemlern bulunmasıdır [4-5]. Buna göre amaç fonksyonunu aşağıdak gb fade edeblrz, ( n A L = Mnmum Ağırlık Mn. ρ ) (3.) Gerlme, yer değştrme ve frekans kısıtlarının tanımlanablmes çn lmtlern belrlenmes gerekr. Gerlme kısıtıyla stenen her br çubukta oluşan gerlmelern, çubuklarda kullanılan malzemenn akma gerlmesnden küçük değerde olmasıdır. σ malzemenn akma gerlmes ve σ çubuklardak gerlmeler olmak üzere, gerlme kısıtları aşağıdak gb fade edleblr, σ σ ak =,,n (3.3) Yer değştrme kısıtları ve doğal frekans kısıtları da gerlme kısıtlarına benzer olarak doğrudan tanımlanablr. Belrl düğüm noktaları çn belrl br yer değştrme lmt tanımlanır, ayrıca sstemn lk doğal frekansının belrl br frekans değernden yüksek olması stenr. d d max =,,n (3.4) w krtk w =,,n (3.5) ak Burkulma le lgl kısıtları fade edeblmek çn öncelkle krtk burkulma yükünün burkulma gerlmesnn fade edlmes gerekr. ve de P krtk Şekl 3.4: Çubuğun Krtk Yük Altında Burkulması

7 Şekl 3.4 te görüldüğü gb br çubuğun eksen boyunca, belrl krtk br yükün zorlaması altında burkulma problem yaşanır. Euler burkulma yükü dye tanımlanan bu krtk yük şu şeklde gösterleblr, P krtk π EI = (3.6) L (3.6) numaralı denklemde fade edlen E çubuğun elastste modülünü, I alan atalet momentn ve de L çubuğun boyunu vermektedr. Bu fadeden yararlanarak krtk burkulma gerlmes oluşturulablr, π EI σ krtk = (3.7) AL Daresel sabt br keste sahp çubuk elemanı çn alan atalet moment, kest yarıçapına (R) (3.8) dek gb bağlıdır [6 8], I π 4 = 4 R (3.8) Bu denklemden de görüldüğü gb burkulma problemndek krtk yükün hesaplanmasında kest yarıçapının büyük rolü vardır. Bu çalışmada tasarım değşken olarak kest alanları kullanıldığından, alan atalet momentnn kest yarıçapı yerne kest alanları cnsnden fade edlmes gerekr. Bunun çn şöyle br yaklaşım zlenmştr, I = βa, 4 π 4 I = βa = β( π R ) = R β = 4 4π (3.9) denklem, (3.7) numaralı denklemde yerne konursa, E A E A EA σ = = = krtk π β π β π AL L 4L (3.9) (3.) elde edlr. Krtk burkulma gerlmesnn (3.) dek gb fade edlmes le brlkte önceden doğrusal olmayan kısıt denklem, tasarım değşken cnsnden (hçbr yaklaşıklık kabulü yapmadan) doğrusal hale getrlmş olur, bundan sonra burkulma kısıtı tanımına geçleblr. Burkulma problem, basma kuvvetlerne maruz elemanlarda ortaya çıktığından, σ σ krtk (3.) şeklndek tanım çekmeye zorlanan elemanlar çn doğrudan sağlanırken (pasf kısıt) basmaya maruz çubuk elemanları çn se aktf burkulma kısıtını fade etmektedr. Bütün bu kısıtların dışında tasarım değşkenlern doğrudan etkleyen boyut kısıtları vardır. Ele alınan kafes sstem optmzasyon problemnde çözüm ararken fzksel br çelşkye düşülmemes çn (negatf kest alanları bulunmaması çn) kest alanları çn mnmum br değer belrlenmeldr. A A mn (3.)

8 3.5. Optmzasyon Problemnn MATLAB Yardımıyla Çözümü Şekl 3.5 te kafes sstem optmzasyonu le lgl olarak MATLAB kullanılarak oluşturulmuş br kısıtlı optmzasyon döngüsü görülmektedr. Döngünün şleyşnn anlaşılablmes çn temel döngü elemanları aşağıdak gb tanıtılablr: Eleman Bağlantısı.TXT: Kafes sstem oluşturan herbr elemanın hang düğüm noktalarından oluştuğunu bldrr, Düğüm Noktası Koord.TXT: Kafes sstemdek düğüm noktalarının global koordnatlarını bldrr, OPT.m: Optmzasyon döngüsünün başlangıcında kullanılacak lk tasarım değşken değerlern çeren vektörü, zaman sayacını, kullanılacak optmzasyon algortmasını ve algortmanın verml çalışmasını sağlayacak parametreler ayarlayan fonksyonları çerr, AMAÇ.m: Eleman Bağlantısı.TXT ve Düğüm Noktası.TXT dosyalarını okuyarak mnmum değer aranacak olan kafes sstemn ağırlığını hesaplar, KISIT.m: Kafes sstemn statk ve dnamk davranışı le lgl blgler oluşturan sonlu elemanlar programı le gerlme, yer değştrme, burkulma ve doğal frekanslarla lgl kısıtları çerr, MOT: OPT.m dosyasında seçlen optmzasyon (SQP) ve Hessan yenleme (BFGS) algortmalarını çerr. Döngünün sonunda lerleme adımı belrl br tolerans değernden küçük se optmum tasarım değşken elde edlmş olur ve de döngü sonlanır, aks halde yen tasarım değşkenler aramak üzere döngü tekrarlanır. Elem an Bağlantısı.TXT OPT.m Düğüm Noktası Koord.TXT Başlangıç Tasarım Değşkenler, Zaman Sayacı Optmzasyon Yöntem le lgl Seçenekler AMAÇ.m Kafes Sstemn Ağırlığının Hesaplanması KISIT.m Sonlu Elemanlar Programı MATLAB OPTIMIZATION TOOLBOX (MOT) SQP BFGS Yakınsadı? hayır evet Kısıtlar k+ k k k x = x +α d Şekl 3.5: MATLAB de oluşturulan Optmzasyon Döngüsü

9 3.6. Örnekler Bu çalışmada ele alınan optmzasyon problemlernde aynı modelleme mantığı bütün ör neklerde uygulanmıştır. Ele alınan (hperstatk) kafes sstemlerde alt sıradak sınır koşul verlmemş bütün düğüm noktalarına düşey yönde br ( F=4448N) kuvvet uygulanmıştır ve de ve numaralı düğüm noktalarının düşey ve yatay yönlerde hareket etmes engellenmştr. Malzeme olarak alümnyum kullanılmıştır (Malzeme özellkler: σ =7.369Mpa, 9 E= Mpa, ρ =.765* ton/ mm 3 ). Yatay ve dkey çubukların boyları 944 mm, o çapraz elemanların yatayla olan açıları 45 dr. Kafes sstemlern gerlme, yer değştrme, doğal frekans ve burkulma kısıtları altında mnmum ağırlığa sahp olması stenmştr. Doğal freka ns kısıtı uygulanırken krtk frekans değer (wkrtk) olarak sstemn başlangıçtak geometrsne at brnc doğal frekansının.3 katı alınmıştır. Yer değştrme kısıtlarında se frekans kısıtlarında olduğu gb krtk yer değştrme lmt (d max ), sstemn başlangıçtak geometrs düşünüldüğünde yüklemeler sonucunda en büyük yer değşm değernn.8 katı ola rak belrlenmştr. Burkulma kısıtları çn β =/(4π ) alınmıştır. On elemandan başlanarak k yüz elemana kadar tasarım optmzasyonu ncelenmştr, örnek olarak se fazla yer tutmaması açısından k farklı eleman sayısına göre (çözüm karakterstğ benzer olduğundan bu sayı yeterl görülmüştür) grafk ve tablo göstermlerne yer verlmştr. ak 3.6. On elemandan oluşan kafes sstem y 5 y x F F x F F Şekl 3.6: On Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs Şekl 3.7: On Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu Tablo 3.: On Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kest Alanı (mm )

10 3.6. Ell elemandan oluşan kafes sstem F F F F F F F F F F Şekl 3.8: Ell Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Başlangıçtak Geometrs F F F F F F F F F F Şekl 3.9: Ell Elemandan Oluşan Kafes Sstemn Optmzasyon Sonucu Tablo 3.: Ell Elemandan Oluşan Sstemn Çözümü Eleman Numarası Kest Alanı (mm ) Eleman Numarası Kest Alanı (mm )

11 4.SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu çalışmada belrl br yükleme koşulu altında gerl me, yer değştrme, burkulma ve doğal frekans kısıtlarına göre mnmum ağırlığa sahp düzlem kafes sste m çözümü aranmıştır. Ele alınan kafes sstemlerde, dü ğüm noktalarının yerler değşmemektedr. Tasarım değşken olarak çubukların kest alanları alınmıştır. Optmzasyon problemnde çubuklar çn belrl br mnmum kest alanı değer göz önünde bulundurulmuş, buna göre optmzasyon şlem sonucunda bu değer alan eleman lar sstemden atılmıştır. Kafes sstemlern statk ve dnamk davranışlarına lşkn blgler sonlu eleman yöntem kullanılarak elde edlmş, optmzasyon çn se SQP yöntem kullanılmıştır. elemandan başlanarak eleman sayısına kadar çıkılmıştır. Eleman sayısı arttıkça çözüm süres üstel olarak artmaya başlamıştır. Çözüm süresn azaltmak çn sonlu elemanlar yöntem kullanılırken elde edlen katılık ve kütle matrslernn smetrk ve de bol sıfırlı yapısından faydalanarak LU Ayrıklaştırma yöntem kullanarak daha kısa sürede çözülmes sağlanmıştır. Çubukların kest alanlarının yanı sıra çubukların malzeme s de brer tasarım değşken olarak kullanılablr. Bu durumda optmum malzeme dağı lımı da bulunmuş olur. Ayrıca kafes sstemdek deformasyonların lneer olduğu kabul edlmştr, bu kabul yanında doğrusal olmayan geometrk davranış da nceleneblr [9-]. Gradyan tabanlı yöntemlerde tasarım değşkenlernn sayısı arttıkça başlangıç değernn seçlmes öneml br kıstas olmaktadır. Bunun çn optmzasyon problem k fazlı halde çalıştırılablr. Brnc fazda, optmzasyon adımlarına başlamadan önce kullanılan başlangıç değern daha y belrlemek çn rasgele arama yöntemler kullanılablr, gerekrse daha düşük br yakınsama krter belrlenr. Bu fazda elde edlen çözüm, knc fazda SQP algortmasının başlangıç noktası olarak kullanılablr. Böylece yakınsama hızlandırılmış olur. Tablo 4. de LU ayrıklaştırma yöntem kullanıldığında elde edlen çözüm sürecndek kazanç ortaya konmuştur. Hçbr yleştrme yapılmadığı zaman hesaplanan CPU süres Tablo 4.: Çözüm Sürelernn Karşılaştırılması LU Ayrıklaştırma Yöntem kullanıldığında hesaplanan CPU süres Eleman ( Hücre) 3. Eleman ( Hücre).97 5 Eleman (5 Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman ( Hücre) Eleman ( Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman (5 Hücre) 3.89 Eleman ( Hücre) Eleman ( Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman (5 Hücre) Eleman (3 Hücre) Eleman (3 Hücre) Eleman (4 Hücre) Eleman (4 Hücre)

12 5.KAYNAKLAR [] Gl, L., Andreu, A., Shape and cross-secton optmzaton of a truss structure, Computers&Structures, 79: ,. [5] Luenberger, D.G., Int roducton to Lnear And Nonlnear Programmng, Addson- Com pony, Wesley Publshng 973. [] Bhatt, M.A., Practcal Optmzaton Methods-Wth Mathematca Applcatons, Sprnger-Verlag,. [3] Arora, J.S., Introducton to Optmum Desgn, McGraw-Hll Book Company, Sngapore, 989. [4] Vanderplaats, G.N., Numercal Optmzaton Technques For Engneerng Desgn Wth Applca tons, McGraw-Hll Book Company, 984. [6] Haftka, R.T., Gürdal, Z., Kamat, M.P., Elements of Structural Optmzaton, Kluwer Academc Publshers, 99. [7] Matlab, Optmzaton Toolbox-For Use Wth Matlab, The MathWorks Company,. [8] Press, W.H., Numercal recpes n C: the art of scentfc computng, Cambrdge Unversty Press, 99. [9] Penny, J., Lndfeld, G., Numercal Methods Usng Matlab, Ells Horwood, 995. [] Kwon, Y.W., Bano, H., The Fnte Element Method Usng Matlab, CRC Pres,. [] Smth, I.M., Grffths, D.V., Programmng the Fnte Element Method, John Wley & Sons, 997. [] Kanch, M.B., Matrx Methods of Structural Analyss, John Wley & Sons, 993. [3] Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Wtt, R.J., Concepts And Applcatons Of Fnte Element Analyss, John Wley & Sons,. [4] Bendsøe, M.P., Sgmund, O., Topology Optmzaton-Theory, Methods, and Applcatons, Sprnger-Verlag, 3. [5] Pedersen, N.L., Nelsen, A.K., Optmzaton of practcal trusses wth constrants on egenfrequences, dsplacements, stresses, and bucklng, Struct. Multdsc. Optm., 5: , 3. [6] Crag, R.R., Mechancs of Materals, John Wley & Sons,. [7] Gu, Y.X., Zhao, G.Z., Zhang, H.W., Kang, Z., Grandh, R.V., Bucklng desgn optmzaton of complex bult-up structures wth shape and sze varables, Struct. Multdsc. Optm., 9: 83-9,. [8] Ülker, M., Hayaloğlu, M.S., Optmum Desgn of Space Trusses wth Bucklng Constrants by Means of Spreadsheets, Turk J. Engn Envron. Sc., 5: ,. [9] Salajegheh, E., Structural optmzaton usng response approxmaton and optmalty crtera methods, Engneerng Structures, 9: 57-53, 997. [] Khot, N.S., Kamat, M.P., Mnmum Weght Desgn of Truss Structures wth Geometrc Nonlnear Behavor, AIAA, 3:39-45, 985.

13 6. ÖZGEÇMİŞ Cem Celal Tutum 98 de İstanbul da doğdu. Lsey yılları arasında Kabataş Erkek Lses nde okudu. İstanbul Teknk Ünverstes (İ.T.Ü.), Makne Mühendslğ Bölümü nden yılında mezun oldu. Yüksek lsans eğtmn -5 yılları arasında İ.T.Ü., Katı Csmlern Mekanğ Programı nda tamamladı. 3 4 yılları arasında Fges A.Ş. de çalıştı. 5 yılından tbaren, İstanbul Teknk Ünverstes, Uçak ve Uzay Blmler Fakültes bünyesnde kurulmuş olan Rotorlu Hava Araçları Tasarım ve Mükemmelyet Merkez nde (ROTAM) çalışmakta ve de İ.T.Ü., Makne Mühendslğ Bölümü nde doktora eğtmn sürdürmektedr.