Çeviri: Sayfa 104-116 arası

Çeviri: Sayfa 104-116 arası Çeviri Aydok MORALIOĞLU ve Emrah BİLGİÇ tarafından yapılmış olup Fuzzy Thinking doktora dersi ödevi bu çevirinin düzeltilmesi idi. Düzelten: Elyase İSKENDER

What the Uncertainity Principle Says Most people know quantum mechanics is strange. They do not know the details but they know about Heisenberg's uncertainty principle. They know that Einstein's relativity bends light, digs black holes, slows clocks, and measures the energy of nuclear explosions (e = mc2). And they know quantum mechanics is strange because light comes in quantal packets and behaves both as a particle and a wave. And they know the uncertainty principle sums up the strangeness: You disturb what you measure. They have heard about it in school or in movies or at a party. Pop-science writers cite it when they write about the history of science or the detection of subatomic particles. Journalists and social scientists point to it to illustrate how the news media disturbs the news. Parents tell it to their kids when the kids ask them about atoms or microprocessors or free will. And they all get it wrong. Pollsters should test this and let us know how deep the embarrassment runs. Here truth is stranger than fiction. There is nothing strange about a thermometer that disturbs the soup. The fiction lies in that stove-top description of the uncertainty principle. Çoğu insan kuantum mekaniğinin garip olduğunu bilir. Detayları bilmezler ama Heisenberg in belirsizlik kuralı hakkında bir fikirleri vardır. Einstein in göreceliliğinin ışığı büktüğünü kara delikler açtığını ve nükleer patlamaların enerjilerini ölçtüğünü E=mc2 belirler. Kuantum mekaniğinin kuantum paketleri şeklinde gelip hem parça hem de dalga olarak davranış sergilediği için garip olduğunu bilirler. Ve belirsizlik kuralının garipliği özetlediğinide bilirler. Ölçtüğün şeyi sen bozarsın. Bu konuyu okulda filmde ya da bir partide duymuş olabilirler. Popüler-bilim yazarları bilim tarihi hakkında ya da atomaltı parçalrın bulunması konusunda yazdıklarında ondan alıntı yaparlar. Gazeteler ve sosyal bilimler ile ilgilenen bilim insanları, haber medyasının haberleri nasıl tahrip ettiğini göstermek için kuantum teorisine işaret ederler. Ebeveynler çoçukları atomlar, mikroişlemciler ya da özgür irade konusunda birşey sorduklarında çocuklarına kuantum teorisini anlatırlar. Ve hepsi onu yanlış anlarlar. Kamuoyu araştırmaları bunu test etmeli ve bu utancın ne kadar yoğun olduğunu bize bildirmeliler. Burada gerçekler kurgudan daha gariptir. Çorbaya zarar veren termometrede bir gariplik yoktur. Kurgu ise belirsizlik ilkesinin set üstü tanımında yatar.

The truth is strange: If you drive very fast down a freeway in a straight line and watch your speedometer, then you may not know where your car sits on the freeway at any moment. If you drive fast enough, faster than our cars and gravity allow, then you cannot know how fast you drive if you know where your car sits on the freeway, or you cannot know where your car sits if you know how fast you drive. Speed or position. You get one or the other. At slower speeds you face tradeoffs. The more you can pin down your speed (velocity) the less you can pin down your position and vice versa. Here speedometers and thermometers disturb nothing. They measure only the effects of the cause. And the cause lies in the nature of things. In the math of things. In the linear math we attribute to things. We drive our cars and fly our airplanes at speeds so slow that the Heisenberg tradeoff is negligible. We can know our speed and position up to several decimal places of accuracy. Evolution and daily experience have formed our intuitions around these slow velocities. So we took millions of years to grasp Heisen-berg's world of quantum mechanics as well as Einstein's world of special relativity. No one even guessed at them. The speed (momentum) uncertainty in a drifting dust particle equals about 10~26 or less than a trillionth of a trillionth of a unit of velocity (momentum). Gerçek tuhaftır. Eğer çok hızlı bir şekilde bir yolda ilerliyosanız ve hız saatini izliyorsanız, o anda arabanın yolun neresinde durduğunu bilemeyebilirsiniz. Eğer bizim arabalarımız ve yerçekiminin izin verdiği kadar hızlı sürerseniz, arabınızın yolun neresinde olduğunu bilirseniz ne kadar hızlı sürdüğünüzü bilemezsiniz ve eğer ne kadar hızlı sürdüğünüzü bilirseniz yolun neresinde olduğunuzu bilemezsiniz. Hız ya da konum. ya birini ya da diğerini elde edersiniz. Daha düşük hızlarda değiş tokuş ile karşılaşırsınız. Hızınızı ne kadar fazla ayrıntılı araştırısanız konumunuzu o kadar az ayrıntılı araştırısınız veya tam tersi. Burada hız göstergesi ve termometre hiçbirşeye zarar vermez sadece sebebin sonuçlarını ölçer ve sebep nesnelerin doğasında vardır. Sabep nesnelerin matematiğindedir. Nesnelere mal ettiğimiz Lineer matematikte. Arabaları ve uçakları o kadar düşük hızlarda kullanıyoruz ki Heisenberg (trade off)değiş tokuşu ihmal edilebilir. Hızımızı ve konumumuzu, kesinliğin ancak belirli ondalık derecesine kadar bilebiliriz. Evrim ve günlük deneyimler bu yavaş hızların etrafındaki sezgilerimizi şekillendirmiştir. Bu nedenle Heisenberg in kuantum mekaniği dünyasını kavramamız Einstein ın özel görelilik dünyasını kavramamız için geçen süre kadar, milyonlarca yıl aldı. Hiçkimse onları tahmin bile etmiyordu. Sürüklenen bir toz parçasındaki hızın belirsizliği hızın biriminin trilyonda birinin trilyonda birinden daha azdır ya da yaklaşık 10 üzeri -26 ya eşittir. Heisenberg in belirsizlik ilkesini aşağıdaki iki grafik arasındaki ilişkide görebilirsiniz. You can picture Heisenberg's uncertainty principle as a relation between two graphs.

One graph shows our knowledge of the car's position. The other graph shows our knowledge of the car's velocity. A bell curve shows the "spread" or variance in our knowledge or certainty. The wider the bell the less we know. An infinitely wide bell is a flat line. Then we know nothing. The value of the quantity, position, or speed could lie anywhere on the axis. An infinitely narrow bell is a spike that is infinitely tall. Then we have complete knowledge of the value of the quantity. The uncertainty principle says that as one bell curve gets wider the other gets thinner.* As one curve peaks the other spreads. So if the position bell curve becomes a spike and we have total knowledge of position, then the speed bell curve goes flat and we have total uncertainty (infinite variance) of speed Heisenberg found this uncertainty relation in the late 1920s. He found other relations between "conjugate" variables, be tween energy and time, electric and magnetic field strengths. Quantum theorists soon saw that uncertainty relations arose between many quantum operators or objects, (Things are oper ators in quantum mechanics.) It had to do with operators that did not "commute." The numbers we multiply always commute: 3x2 equals 2x3. Quantum operators need not commute and that can give rise to uncertainty relations between operators. Grafiklerden biri arabanın konumu hakkındaki malumatımızı gösterir. Diğer bir grafik ise arabanın hızı hakkındaki malumatımızı gösterir. Çan eğrisi malumatımızın ya da emin oluşumuzun dağılımı ya da varyasyonunu gösterir. Çan genişledikçe daha az şey biliriz. Sonsuz genişlikteki çan düz bir çizgidir. Böyle bir durumda hiçbirşey bilemeyiz. Miktar konum ya da yatay eksen üzerinde herhangi bir noktada uzanabilir. Sonsuz genişlikte bir çan sonsuz yükseklikte(uzunlukta) bir doruk gibidir. Öyleyse miktarın değeri hakkında tam bir bilgiye sahip olmuş oluruz. Belirsizlik ilkesi bir çan eğrisi genişledikçe diğerinin inceldiğini söyler. Çanlardan biri zirveye doğru yükseldikçe diğeri yana doğru yayılır(genişler) bu nedenle eğer konum çan eğrisi yükselip sivrilirse ve biz konum hakkında tam bir bilgi edinirsek, hız çan eğrisi düzleşir ve hız konusunda tam bir belirsizliğe(sonsuz varyasyon) sahip oluruz. Heisenberg bu belirsizlik ilişkisini 1920 lerin sonlarında buldu. birleşik değişkenler arasındaki diğer ilişkileri buldu, örneğin enerji ve zaman arasındaki, elektirik ve manyetik alan büyüklükleri arasındaki ilişkiler. Kuantum teoristi kısa bir süre sonra birçok kuantum operatörü ya da nesneleri arasında belirsiz ilişkiler ortaya çıktığını gördü(nesneler, kuantum mekaniğinde operatörlerdir). Söz konusu olan nesneler yer değiştirmemeliydi. Çarpılan sayılar her zaman yer değiştirir.3x2=2x3 e eşittir. Kuantum operatörlerinin yer değiştirmesine gerek yoktur ve bu durum operatörler arasında belirsizlik ilişkisi oluşmasına neden olur.

Many scientists believed, as many still do, that uncertainty relations were unique to quantum mechanics. But uncertainty relations arose from a math quirk. Many other fields use the same math and create their own uncertainty relations. We have built uncertainty relations into the structure of the information age. Natural selection seems to have built them into our brains. It all has to do with right triangles. But we must make one more stop before we get there. We must take a second look at that "strange" theory of quantum mechanics and make another distinction, this time between lines and nonlines, between flat surfaces and bumpy surfaces. Another Mismatch: Linear Math vs Nonlinear World Don't let quantum mechanics scare you. It's not "strange" at all. Quantum mechanics is linear. It's as linear a theory as we have. It's so linear and the world is so nonlinear that many of us have little faith in quantum mechanics except as a rough first cut at all the nonlinear reality that swirls around us and in us. Werner Heisenberg does not win the Hemingway prize for producing the first 100% true factual statement. The uncertainty principle is only an approximation. Birçok bilim adamları belirsizlik ilişkisisinin kuantum mekaniğine özgü olduğunu düşünürlerdi ki günümüzde de birçoğu hala aynı fikri paylaşmaya devam ediyor. Ama belirsizlik ilişkileri matemetiksel bir tuhaflıktan ortaya çıkmıştır. Diğer birçok alan aynı matematiği kullanmış ve kendi belirsizlik ilişkilerini yaratmıştır. Biz bilgi çağının yapısında belirsizlik ilişkileri inşa ettik. Doğal seleksiyon onları beynimizin içerisinde inşa etmiş gibi görünüyor. Her şey dik üçgenlere bağlı. Ama oraya ulaşmadan önce bir kez daha durmalıyız. Kuantum mekaniği isimli o garip teoriye ikinci kez göz atmlaıyız ve diğer bir ayrım yapmalıyız. Bu kez doğruşar ve doğru olmayanlar arasında, düz yüzeyler ve kavisli yüzeyler arasında. Diğer bir yanlış eşleştirme lineer matematik, lineer olamayan dünya Quantum mekaniğinin sizi korkutmasına izin vermeyin aslında o, okadar da garip değil. Quantum mekaniği doğrusaldır. Sahip olduğumuz kadar doğrusal bir teoridir. Quantum teorisi öyle doğrusaldır ve dünya öyle doğrusal değildir ki birçoğumuzun kuantum mekaniğine inancı çok azdır, etrafımızda ve içimizde dönen doğrusal olmayan gerçekliklerin tamamında oluşan kaba bir ilk kesik hariç. Werner heisenberg, ilk %100 doğru gerçekçi ifadeyi ortaya çıkardığı için hemingway ödülünü kazanmadı. Belirsizlik kuralı sadece bir yaklaşımdı. Up close you can approximate any wiggling curve with a straight line. And up close the round earth looks flat.* Yakından baktığımızda herhangi bir hareketli eğriniyi, düz bir çizgiye yaklaştırabilirsiniz. Ve yakından bakıldığında yuvarlak olan dünya düz görünür. Bilim adamları verdiler doğrusallaştırma. ve mühendisler bu varsayımı sürekli uyguladılar ve ona bir isim

In the same way, you can view a linear system as a sheet of paper and a nonlinear system as a crumpled sheet of paper. No matter how bumpy the crumpled sheet is up close, in a small or "local" region the crumpled sheet looks like a flat sheet of paper. But when you stand back and get a "global" view you see that the two pieces of paper differ. A linear theory gives you the whole from the parts. Add up the parts and you get the whole. Study how the parts behave. Then stitch the parts together and you have studied the whole. Quantum mechanics does this with matter waves and light waves. You can add up waves to get one big wave and you can decompose a big wave into several small waves. Mathematicians call it "superimposition." The uncertainty principle is part of this linear package. A nonlinear theory does not give you the whole from the parts. The parts do not add up to the whole. That is nonlinearity. Groups do not behave as their members behave. You can study arms and legs and organs and other parts and still not know how a human behaves or how a mob behaves. System complexity exceeds subsystem complexity. That still baffles atomic physicists who use big chunks of matter to study and puzzle over the finest divisions of matter. It baffles medical students who cut up cadavers and wonder where the motion and emotion went. It baffles econometricians who try to predict employment and interest rates with simple linear models of an economy. As Bertrand Russell said, every man has a mother but mankind does not have a mother. Aynı yolla, doğrusal bir sistemi temiz bir sayfa olarak, doğrusal olmayan sistemi ise buruşmuş bir sayfa olarak görebiliriz. Buruşuk sayfanın çok yakından baktığımızda ne kadar buruşmuş olduğu mesele değildir, küçük veya yerel bir alanda buruşuk sayfa bile düzgün bir sayfa olarak görülür. Fakat arkanıza yaslanıp, global bir bakış açısıyla baktığınızda, bu iki sayfa birbirinden farklıdır. Bir doğrusal teorem, size bütünü parçalarla sunar. Parçaları birleştirirseniz, bütünü elde edersiniz. Parçaların nasıl davrandığı üzerine çalışmalıyız. Daha sonra parçaları birleştirin, böylece bütünü çalışmış oluruz. Kuantum mekaniği bu meseleyi madde dalgalarıyla ve ışık dalgalarıyla halleder. Büyük bir dalga elde etmek için, dalgaları birleştiririz ve büyük bir dalgayı birçok küçük dalgalara ayrıştırabiliriz. Matematikçiler bunu, üst üste koyma olarak adlandırır. Belirsizlik prensibi bu lineer paketin bir parçasıdır. Doğrusal olmayan teori, bütünü size parçalardan vermez. Parçaları birleştirdiğinizde bütün olmaz. Bu doğrusal olmama durumudur. Gruplar üyelerinin davrandığı gibi davranmazlar. Kolları, bacakları ve organları ve diğer parçaları çalışabilirsiniz, ama hala bir insanın veya bir yaratığın, nasıl davrandığını bilemezsiniz. Sistem karmaşıklığı, alt sistem karmaşıklığını geçmiştir. Bu mesele hala, araştırmalarında maddenin büyük yığınlarını kullanan ve maddenin en iyi parçalarını çözmeye çalışan atom fizikçilerini şaşırtmaktadır. Bu mesele, aynı zamanda, kadavraları parçalara ayırıp, kımıltıların ve duyguların nereye gittiğini merak eden tıp öğrencilerini de şaşırtır. İstihdam ve faiz oranlarını, ekonominin basit doğrusal modelleriyle kestirmeye çalışan ekonometricileri de şaşırtır. Russell ın dediği gibi, herkesin bir annesi vardır ama insanoğlunun annesi yoktur.

Scientists try to make things simple. That is in good part why we are stuck with bivalence. Scientists' first instinct is to fit a linear model to a nonlinear world. This creates another mismatch problem, the math modeler's dilemma: linear main, nonlinear world. We know a great deal about linear math. In comparison we know almost nothing about nonlinear math except that almost all math is nonlinear. Mathematical research will never stop. In a finite universe physics and chemistry and biology and economics can stop. Math never stops. The sea of math is infinitely vast. And no matter how much we explore of it, even if we work at it for an eternity, we will never know more than an infinitesimal point in the sea of nonlinear math. So it is a good bet that someday quantum mechanics will fall because it is linear to its core. It says there are not things in the universe but linear "operators" awash in the cosmic ocean of matter waves. And we observe only the average footprints (the "eigenvalues") of these linear operators like energy values. A nonlinear theory will no doubt replace that. The nonlinear theory will better fit the facts. Quantum chaos and its frothing "random"-looking states of subatomic equilibrium offers the first step in the nonlinear direction. For now we are stuck with a linear quantum mechanics and the uncertainty relations it spawns. Bilim insanları, her şeyi basitleştirmeye çalışırlar. İki değerliliğe neden bu kadar tutunduğumuzun iyi bir sebebidir bu. Bilim adamlarının ilk içgüdüsü, doğrusal olmayan bir dünyaya, doğrusal bir model uydurmaktır (fit). İşte bu başka bir uyuşmazlık problemi ortaya çıkarıyor, matematik modelleyicilerinin çıkmazı olan, doğrusal olmayan dünyaya rağmen doğrusal matematik. Doğrusal matematik hakkında çok şey biliyoruz. Tam aksine, doğrusal olmayan matematik hakkında ise hemen hemen hiçbir şey bilmiyoruz sadece şunun dışında, hemen hemen bütün matematik doğrusal değildir. Matematiksel araştırmalar asla son bulmayacak. Sonlu bir dünyada, fizik ve kimya ve biyoloji ve ekonomi son bulabilir, matematik asla. Matematik denizi sonsuz derecede geniştir. Ne kadar keşfedersek keşfedelim, sonsuza kadar çalışsak da, hiçbir zaman, doğrusal olmayan matematik denizdeki çok küçük bir damladan daha fazlasını öğrenemeyeceğiz. Bu yüzden, bir gün kuantum mekaniğinin düşeceği iyi bir iddiadır çünkü o çekirdeğine göre doğrusaldır. Kuantum mekaniği der ki, madde dalgalarının kozmik okyanuslarında sağa sola yüzen doğrusal operatörler dışında, evrende başka nesneler yoktur. Ayrıca bizler, enerji değerleri gibi, bu doğrusal operatörlerin sadece ortalama ayak izlerini (özdeğerleri) gözlemliyoruz. Doğrusal olmayan bir teori hiç kuşkusuz bunun yerini tutabilir. Doğrusal olmayan teori, gerçekle daha iyi uyum sağlar. Kuantum kaos ve onun saçma görünümlü rastsal atom içerisindeki eşitlilik durumları, doğrusal olmayan yöndeki ilk adımları sunmaktadır. Şimdilik, doğrusal kuantum mekaniğine ve onun ortaya çıkardığı belirsizlik ilişkilerine saplandık.

Heisenberg's uncertainty principle is part of the linear model. A nonlinear quantum mechanics may not lead to an uncertainty principle. And in the class of linear systems, which dominate modern engineering, uncertainty principles are commonplace. The popular-science press has so tied the Heisenberg uncertainty principle to quantum physics that I want to digress to show that uncertainty principles are not special. The popular view not only gives the wrong description of uncertainty principles as measurement disturbances but misses the linear "cause" of uncertainty principles. Where you have linear theories v ou will have uncertainty relations. Electrical engineers found these long ago because they too work with linear systems. Linear navigation and guidance systems put men on the moon and bring them back home. Linear systems control microwave ovens and antennae and highspeed modems. In signal processing they cancel echoes in longdistance telephone calls and cut down on the interference in television and radio and radar receivers. Here the linear system is the LTI system, the linear timeinvariant system. Time invar-iance means the system structure does not change too fast. Math Fact: Every LTI system has an uncertainty principle. The popular-science press never told you that. Even most physicists do not know it. Heisenberg in belirsizlik prensibi, doğrusal modelin bir parçasıdır. Doğrusal olmayan bir kuantum mekaniği, bizi bir belirsizlik ilkesine götüremez. Modern mühendisliğe hakim olmuş doğrusal sistemler sınıfında, belirsizlik ilkeleri sıradan şeylerdir. Popüler bilim basını, Heisenberg in belirsizlik prensibi ile, kuantum fiziğini birbiriyle çok ilişkilendirdiler. Bu yüzden, ben belirsizlik ilkelerinin özel olmadığını göstermek istiyorum. Popüler bakış, belirsizlik ilkelerinin sadece tanımlarını ölçüm bozuklukları olarak yanlış vermekle kalmayıp, belirsizlik prensiplerinin doğrusal nedenini de kaçırıyorlar. Her nerede doğrusal teoriler varsa orada belirsizlik ilişkileri de olacaktır. Elektrik mühendisleri de doğrusal sistemlerle çalıştığı için, bunları yıllar önce bulmuşlardı. Doğrusal gezinim ve rehber sistemleri insanları aya yerleştirip tekrar eve getiriyorlar. Doğrusal sistemler, mikrodalga fırınlarını, antenleri ve yüksek hızlı modemleri kontrol ediyorlar. Sinyal işleme sürecinde, uluslararası aramalarda, ekoları saf dışı bırakıyorlar, TV.de, radyoda ve radar alıcılarında oluşabilecek karışıklıkları da yok ediyorlar. Buradaki doğrusal sistem LTI sistemidir ki açılımı, doğrusal zaman-değişmez sistemidir. Değişmezlik, sistemin yapısının çok hızlı değişmeyeceği anlamına gelmektedir. Matematiksel durum: Her bir LTI sistemi, bir belirsizlik ilkesine sahiptir. Bunu popüler bilim basını size hiç söylememiştir. Hatta çoğu fizikçi de bunu bilmez.

The LTI uncertainty principle says you cannot pin down a signal completely in time and in frequency. Signals have time duration. Bird songs. Whale songs. Pop songs. Seismic readings. Blood pressure. TV signals. We sense these signals as intensities that vary with time. They strike our surface receptors and measurement devices. Sound strikes our cochleas and light intensity strikes our retinas. These signals also have a frequency component called the frequency signal. Spectral analysis resolves the bird song into a series of frequencies. All the frequencies are present in the time signal but present to different degrees. A Fourier transform converts the time signal into the frequency signal just as a prism splits white light into beams of colored light. The uncertainty relation holds between the variance or spread of the time signal and the spread of the frequency signal.* The clearer the time signal the less clear the frequency signal. Dennis Gabor, the inventor of the hologram, proved and popularized this time-frequency uncertainty principle in his famous 1944 paper "Theory of Communication." Two decades before at Bell Labs H. Nyquist and R.V.L. Hartley each arrived at the same timefrequency uncertainty principle but with less clear mathe matical arguments. Hartley stated the uncertainty principle in communication terms as a tradeoff between signal frequency and transmission time: "The total amount of information which may be transmitted is proportional to the product of the fre quency range which is transmitted and the time which is available for the transmission." Their work preceded Heisenberg's work by a year or so. Neuroscientists have used Gabor's work to show that brain cells in the visual cortex of kittens, and perhaps in our own, fire in a way that minimizes the LTI uncertainty. It all rests on the Pythagorean Theorem. And so does fuzzy theory. LTI belirsizlik ilkesi der ki, bir sinyali tam zamanında ve sıklığında tespit edemezsiniz. Sinyallerin zaman süreleri vardır. Kuş şarkıları. Balina şarkıları. Pop şarkıları. Sismik işaretler. Kan basıncı. TV sinyali. Bizler bu sinyalleri zamanla değişen yoğunluklar olarak hissederiz. Bunlar bizlerin yüzeysel alıcılarımıza ve ölçüm aletlerimize çarparlar. Ses, kulak salyangozumuza çarpar ve ışık yoğunluğu retinalarımıza çarpar. Bu sinyaller, frekans sinyali denilen bir frekans içeriğine de sahiptir. Işın dağılımı analizleri kuşun ötüşünü frekans serilerine ayrıştırırlar. Bütün frekanslar, zaman sinyalinde mevcutturlar fakat farklı derecedendirler. Bir Fourier dönüşümü, zaman sinyalini frekans sinyaline dönüştürür tıpkı, bir prizmanın beyaz ışığı renkli ışıklar şeklinde yansıttığı gibi. Belirsizlik ilişkisi varyanslar arasında veya zaman sinyali yayılımında ve frekans sinyali yayılımında tutunur. Zaman sinyali belirginleştikçe frekans sinyalinin belirginliği azalır. Dennis Gabor, hologramın mucidi, 1944 yılında yayınladığı ünlü İletişim Teorisi makalesinde, bu zaman-frekans belirsizlik prensibini ispatlamış ve popüler etmiştir. Yirmi sene önce, Bell Laboratuarlarında, H. Nyquist ve R.V.L. Hartley aynı zaman-frekans belirsizlik prensibi sonucuna varmışlardır sadece fazla açık olmayan matematik delilleri kullanmışlardır. Hartley, belirsizlik prensibini iletişim terimleri ile, sinyal frekansları ve aktarma zamanı arasındaki değiş-tokuş olarak tanımlamıştır: Aktarılmış olabilen malumatının toplam miktarı, aktarılmış olan ve aktarma için uygun olan zaman frekans aralığının çarpımıyla orantılıdır. Çalışmaları 1 yıl kadar sonra Heisenber in çalışmalarının önüne geçmiştir. Sinir sistemi bilim adamları Gabor un çalışmasını, kedilerin görme korteksindeki beyin hücrelerinin ve belki de bizdekilerin, LTI belirsizliğini minimize etmek için yandığını göstermek için kullandılar. Bunların hepsi Pisagor Teorisine dayanmaktadır. Ve aynı zamanda fuzzy teorisine de.

PYTHAGORAS AND THE UNCERTAINTY PRINCIPLE The Pythagorean Theorem on right triangles is the most impor tant theorem in mathematics. Pythagoras was born around 580 B.C. and claimed that "all things are numbers." He first proved the theorem in the sixth century B.C. in southern Italy. Today it lies at the heart of what we call Hilbert space, which in turn lies at the heart of quantum physics and modern engineering. The Pythagorean Theorem underlies our modern notion of "optimality," the best possible solutions to problems. What is the best-prediction of how fast the AIDS retro virus spreads given all data to date? What is the best way to fill in missing bits in a transmitted message of Is and Os or missing gaps in a speech signal or missing pieces of a TV image? In math and engineering the optimal answers often arise from orthogonality conditions that describe when two abstract objects intersect at a right angle as if they were the legs of a right triangle. The orthogonality conditions show us the best way to draw a trend line through a cloud of data points or the best way to filter noise from your car radio or the best way to predict where to aim the SAM warhead when the enemy jet flies behind a cloud. Pythagoras's theorem rests on the right or 90 angle of the right triangle. The two perpendicular legs of the right triangle have lengths a and b and the hypotenuse has length c The Pythagorean Theorem relates the squared lengths of the triangle.* PİSAGOR VE BELİRSİZLİK PPRENSİBİ Dik üçgenlerdeki Pisagor teorisi matematikteki en önemli teoremdir. Pisagor, MÖ 580 yıllarında doğmuş ve her şey bir sayıdır iddiasını ortaya atmıştır. Teoremi ilk defa MÖ altıncı yy.da güney İtalya da ispatlamıştır. Günümüzde bu teorem, Hilbert uzayının kalbinde ve kuantum fiziği ile modern mühendisliğin kalbinde yer almaktadır. Pisagor teoremi, problemlere en iyi çözüm olan en iyilik modern kavramının temelini oluşturur. Bugüne kadar gerekli olan bütün veriler elimizde olsa, AIDS virüsünün ne kadar hızlı yayıldığı ile ilgili en iyi kestirim nedir? 0 ve 1 ler içeren bir mesajdaki kayıp ikilleri veya bir konuşma sinyalindeki kayıp aralıkları veya bir TV görüntüsündeki kayıp parçaları doldurmanın en iyi yolu nedir? Matematikte ve mühendislikte optimal cevap her zaman ortogonallik (dik açılara sahip olma) koşulundan ortaya çıkar. Bu koşul, 2 soyut nesnenin, sanki dik bir üçgenin bacaklarıymış gibi, bir dik açıda kesişmesini tanımlar. Ortogonallik koşulu bize, bir veri noktaları bulutu boyunca bir doğru çizmenin en iyi yolunu veya arabanızın radyosundan çıkan sesleri filtre etmenin en iyi yolunu veya düşman jetleri bir bulutun arkasından uçarken, SAM füzelerinin nereye hedefleyeceğinin en iyi yolunu kestirmeyi gösterir. Pisagor teoremi diklikte veya dik üçgenin 90 derecelik açısında yatar. Dik üçgenin, iki dikey kenarı a ve b uzunluğunda ve hipotenüs de c uzunluğundadır. Pisagor teoremi üçgenin uzunluklarının karelerini ilişkilendirir.

What do squares have to do with a right triangle? Schoolteachers sometimes forget to point this out when they first teach the Pythagorean Theorem to children. The Pythagorean Theorem really describes the area of three squares that abut the sides of the a-b-c right traingle.the Pythagorean Theorem says that the area of the largest square equals the area of both of the smaller squares. The Pythagorean Theorem arises everywhere in math. When ever you pick two abstract objects in an abstract "space" a right-triangle relationship holds between them. Consider two points A and B in the plane Points A and B are simple abstract objects. Suppose A and B define the tips of two arrows (or "vectors") drawn from the same starting point. So where's the Pythagorean relationship? It arises from an "orthogonal" or perpendicular projection of the A line onto the B line. You can think of the projection as the shadow the A line casts on the B line when a flashlight shines straight down on the A line from the top of the page The A-P-B triangle is a right triangle. So the Pythagorean Theorem applies: We can draw the three squares that abut thetriangle's sides and the area of the largest square equals the sum of the area of the two smaller squares. The point P leads to one of the most important sets of equations in science and engineer ing, the so-called "normal equations" of least-squares curve fitting! The normal equations show how to draw the best-fitting curve through a cloud of data points, a technique Karl Friedrich Gauss first developed in 1795 to predict the return of Halley's Comet from astronomical measurements. Bir dik üçgen ile, karelerin ne alakası var? Öğretmenler, çocuklara ilk defa Pisagor teoremini anlatırken, bazen bunu vurgulamayı unutuyorlar. Pisagor teoremi gerçekten, 3 tane karenin alanının, a-b-c dik üçgeninin kenarları ile bitişik olduğu durumu tanımlar. Pisagor teoremi, en büyük karenin alanının, diğer iki küçük karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu söyler. Pisagor teoremi, matematikte her yerde karşımıza çıkar. Her ne zaman, soyut bir uzayda, iki soyut nesne alsak, bunların arasında diküçgen ilişkisi tutmaktadır. Düzlemde A ve B gibi iki noktayı düşünelim. A ve B noktaları, basit soyut nesnelerdir. Farz edelim ki, A ve B iki okun veya vektörün, aynı başlangıç noktasından çizilen uç kesimleri ise; Peki, şimdi Pisagor ilişkisi nerede? A ve B doğrularının Ortogonal veya dikey tasarımından ortaya çıkmaktadır Pisagor teoremi. Tasarımı, sayfanın başındaki A noktasından aşağıya doğru ışıldayan bir ışık varmış gibi ve A doğrusunun gölgesi B doğrusuna yansıyormuş gibi düşünebiliriz. A-P-B üçgeni bir dik üçgendir. Pisagor teoremini uygularsak, üçgenin her bir kenarına üç tane kare çizeriz ve büyük olan karenin alanı, küçük olan iki karenin toplamına eşittir. P noktası bizi, bilimde ve mühendislikte çok önemli denklem kümelerinden biri olan, en küçük kareler metodu ile eğri uyuşturmaya yarayan normal denklemlere götürüyor. Normal denklemler, noktalar bulutuna nasıl en uygun eğriyi çizebileceğimizi gösterir. Bu metodu 1795 yılında ilk defa, Halley s Kuyrukluyıldızının ne zaman tekrar döneceğini astronomik tekniklerle kestirmek için, Karl Friedrich Gauss geliştirmiştir.

The A-P-B triangle contains the Heisenberg uncertainty principle and the Subsethood Theorem of fuzziness discussed earlier in the chapter "The Whole in the Part." The uncertainty principle applies the Cauchy- Schwarz inequality that relates the lengths of the A and B arrows. An inequality, or lessthan sign "<," holds when A and B are not parallel, when the A-P-B right triangle has an A-P leg. The inequality is the uncertainty principle. Equality holds when A and B are parallel, when arrow A equals arrow P.* The equality case defines the minimumuncertainty case that seems to describe how the neurons fire in the visual cortex in our brains. I found it a great letdown when I first learned that Heisenberg's uncertainty principle was just the well-known Cauchy-Schwarz inequality in physics disguise. Every U.S. college kid in science learns that formula in her second or third course in calculus. Kids in other countries learn it in high school, as Heisenberg did. It was a letdown and yet it was an insight. It meant unity. The many under the one. It took me some time before I saw the Pythagorean connection. That was a bigger letdown and bigger insight and sense of unity. It was years later when I found that you could generalize the math of the Pythagorean Theorem and that it gave you the subsethood theorem of fuzziness, the measure of the whole in the part, and that it swallowed up the old notion of "randomness" or the probability of a part. The waterbed in the sky. Tie a string to the closest point on the waterbed. Tie that string and you have made an orthogonal projection. You have defined an A-P-B üçgeni, Parçadaki Bütün isimli bölümde anlatıldığı üzere, Heisenberg in belirsizlik prensibini ve bulanıklığın Altkümelilik Teoremini içinde barındırır. Belirsizlik prensibi, A ve B oklarının uzunluğu arasındaki bağlantıyı Cauchy-Schwarz eşitsizliği kurmaktadır. Bir eşitsizlik veya küçüktür < işareti, A ve B paralel değillerse ve A-P-B dik üçgeni A-P kenarlarına sahipse uygundur. Eşitsizlik belirsizlik prensibidir. A ve B paralel ise ve A oku P okuna eşitse Eşitlik vardır. Eşitlilik durumu, beyinlerimizdeki görsel kortekslerde yanan nöronları tasvir ediyor gibi görünen, minimum belirsizlik durumunu açıklar. Heisenberg in belirsizlik teoreminin, fizikte iyi bilinen Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kılık değiştirmiş hali olduğunu ilk öğrendiğim zaman büyük hayal kırıklığına uğradım. Amerika da her kolej öğrencisi fen dersinde bu formülü Calculus dersinde 2. veya 3. konuda görmektedir. Diğer ülkelerde, Heisenberg gibi lisede öğreniyorlar. Bu bir hayal kırıklığı idi ve henüz sezgilerde idi. Teklik-birlik anlamına geliyordu. Çoğu birin altında... Bu beni, Pisagor bağıntısını gördüğüm zamandan daha öncesine götürdü. Bu daha büyük bir hayal kırıklığı, daha büyük sezgi ve teklik hissidir. Birkaç sene sonra, Pisagor Teoremi matematiğinin genelleştirilebileceğini ve bunun fuzzyliğin altkümelilik teoremi olduğunu ve parçadaki bütünün ölçeği olduğunu ve bunun da rastsallık kavramını veya bir parçanın olasılığını bitirdiğini, öğrendim. Gökyüzündeki su yatağı Su yatağındaki en yakın noktaya bir ip bağlayın. Bu ipi bağlamakla ortogonal tasarım yapmış olursunuz. Bir A-P-B dik üçgeni, tanımlamış olursunuz ve

A-P-B right triangle and the Pythagorean Theorem holds. Or shove a dictionary in the corner of a room and drop a marble on it. The marble falls at a right angle to the surface of the dictionary. Its path defines one leg of the A-P-B right triangle. The whole ensemble of square room, dictionary in the corner, and falling marble describes the geometry of the subsethood theorem of fuzziness. The fuzzy past might have been truly fuzzy if Pythagoras had made this connection almost 3,000 years ago. But he still struggled with numbers and did not even consider sets of things. The math of sets is barely a century old. Instead in the West we inherited from Pythagoras and the ancient Greeks a belief in absolutes and pure forms, in the white and the black, the true and the false. It could have turned out otherwise but it did not. Maybe it has in other civilizations in other parts of the universe. There are trillions of stars growing along their "main sequence" profiles and passing through billion-year periods when they might support water on orbiting planets and planetoids. Question: Of all civilizations who have learned to count, how many have discovered fuzzy mathematics? How many have stumbled on something as intuitive and expressive as a fuzzy set, a group of elements that belong to only some degree to the group as a man belongs to only some degree to a political party or to a circle of friends or to an economic class? I bet at least half have found fuzzy logic. The paradoxes are too common and the Pythagorean math too simple for them to miss it for long. buna Pisagor Teoremi uymaktadır. Veyahut bir odanın köşesine bir sözlük koyun ve bir misket bırakalım onun üstüne. Misket sözlüğün yüzeyine dik açı ile düşer. İzlediği yol, A-P-B dik üçgeninin bir bacağıdır. Kare odadaki bütün topluluklar, köşedeki sözlük ve düşen misket, fuzzyliğin altkümelilik teoreminin geometrisini tanımlar. Eğer Pisagor bu bağlantıyı hemen hemen 3000 sene önce yapmış olsa idi, fuzzy geçmiş, gerçekten fuzzy olabilirdi. Fakat o hala sayılarla cedelleşti ve nesnelerin kümelerini düşünmedi bile. Kümelerin matematiği hemen hemen 100 sene öncesine dayanır. Bunun yerime bizler, Batı da Pisagor un mirasını konduk ve eski Yunanlıların kesin ve saf formlarına, siyah ve beyaza, doğru ve yanlışa odaklandık. Bu farklı olabilirdi ama olmadı. Belki de, evrenin başka bir tarafındaki uygarlıklarda vardır. Ana dizisi boyunca gelişen trilyonlarca yıldız vardır ve bunlar planetlerin yörüngelerine ve küçük gezegenlere su sağlarken, milyar yıllık periyotların arasından geçiyorlar. Soru: Hesap yapmayı bilen bütün uygarlıklardan kaç tanesi, fuzzy matematiği keşfetmiştir? Kaç tanesi yenilik olarak ve fuzzy kümeleri gibi etkileyici bir şeyler keşfetmiştir? Fuzzy kümeleri, bir grup elemandan oluşur ve bu elemanlar, sadece belirli bir derecede gruba bağlıdır, tıpkı bir insanın bir partiye, bir arkadaş topluluğuna ve ekonomik bir sınıfa belirli bir dereceye kadar bağlı olabileceği gibi. Bahse girerim en azından uygarlıkların yarısı fuzzy mantığı keşfetmiştir. Paradokslar çok fazla birbirine çok müşterek ve Pisagor matematiği de onları uzun süre boyunca ıskalamak için çok basit.

Even we here on Earth have found it and in the West at that. The culture of ancient Greece was a statistical fluke. Pythagoras or Plato or Aristotle might have died young. The Hittites or Assyrians or Egyptians might have been luckier and conquered the European tribes and brought them the cultures from the East along the Silk Road. Even the rise of bivalent science was a statistical fluke. All that matters in science is the math that tests bear out and you can come upon that from many directions and from many points of view. Don't expect the "scientists" in the Magellan Cloud to wear white smocks and to advise govern ments and to bully culture and fashion. They may have forgotten so much of their past that they view the method and tools of their science as common sense or something beneath sense and interest. How many of us can chip a flint rock to a sharp point and edge and lash it to a straightened stick or can hunt and quarter and smoke game or can tan a hide or plank a ship or build an arch? Fuz-ziness has arrived even if most scientists and engineers do not know it. Thank the Buddha and thank Zeno and thank Russell and Heisenberg and all the rest. The seed took. We now turn to what we have done with fuzzy logic in the fuzzy present. Bizler, yeryüzünde olanlar bile ve Batı da da onu keşfettik. Eski Yunanlıların kültürü, istatistiksel bir rastlantı idi. Pisagor, veya Plato veya Aristo genç yaşta ölmüş olabilirler. Hititler, Asurlar veya Mısırlılar daha şanslı olabilirler ve Avrupalı kabileleri ele geçirmiş ve onlara İpek Yolu boyunca Doğu kültürünü getirmiş olabilirler. İki değerli bilimin doğuşu bile bir istatistiksel rastlantıdır. Bilimdeki bütün sorunlar matematikseldir ve buna birçok yönden ve birçok farklı görüş açısından yaklaşabilirsiniz. Macellan Bulutundaki bilim adamlarını, beyaz önlük giymiş ve hükümetlere tavsiyeler veren ve kültüre, modaya zorbalık edenler olarak beklemeyin. Onlar, geçmişlerinin çoğunu unutmuş olabilirler, bilimlerinin metodunu ve aletlerini ortak algı veya algının aşağısında bir şey ve merak olarak görebilirler. Bizden kaç tanemiz, bir çakmak taşını keskinleştirinceye kadar yontabilir ve onu bir çubuğa iple bağlayabilir veya avlanabilir tahtalarla bir gemi yapabilir veya bir kemer inşa edebilir? Bilim adamlarının ve mühendislerin çoğu bilmemesine rağmen fuzzylik bize ulaşmıştır. Zeno ve Buda, Russell ve Heisenberg ve geri kalan sağ olsunlar. Tohum tuttu. Şimdi, fuzzy mantık ile günümüzde neler yaptığımıza bakalım.