ASTRONOMİ II 8. KONU: Tayfsal Sınıflama Hazırlayan: Doç. Dr. Tolgahan KILIÇOĞLU Dikkat: Bu ders notu dersin tamamını içermez! 8.3 Boltzmann ve Saha Kanunları 8.3.1 Boltzmann Kanunu Boltzmann kanunu bir ortamdaki b uyartılma seviyesindeki bir elementin a uyartılma seviyesindekilere oranını verir. = g b e χ uyartılma N a g a Na : a uyartılma seviyesindeki atomların sayısı Nb : b uyartılma seviyesindeki atomların sayısı ga : a seviyesi için istatistiksel ağırlık gb : b seviyesi için istatistiksel ağırlık H atomu için gn = 2n 2 ifadesinden hesaplanır. uyartılma = Eb Ea : b seviyesinin enerjisi ile a seviyesinin enerjisi arasındaki fark (uyartılma potansiyeli) H atomu için E n = 13.6 ev n 2 ifadesinden hesaplanır. k : 1.38 10-16 erg K -1 = 1.38 10-23 J K -1 = 8.617 10-5 ev K -1 (Boltzmann sabiti) T : Sıcaklık (K)
Örnek 1. Hidrojen atomlarından oluşan bir yıldız atmosferi hangi sıcaklıkta olursa elektronu ikinci seviyede (n=2) bulunan hidrojen atomlarının sayısı nötr hidrojen atomlarınınkinin %1 i olur? N 2 N 1 = 0.01 g1 = 2 1 2 = 2 g2 = 2 2 2 = 8 uyartılma = E2 E1 = 13.6 2 2 13.6 1 2 = 10.2 ev = g b e χ uyartılma N a g a Na g b = e χ uyartılma g b Na χ uyartılma = e g b ln ( ) = χ uyartılma Na T = χ uyartılma b k ln (g ) Na T = χ uyartılma 2 g1 k ln (g N 2 ) N1
T = 10.2 ev 8 8.617 10 5 ln ( 2 0.01 ) T = 19757 K 20000 K Örnek 2. Hidrojen atomlarından oluşan bir yıldız atmosferi hangi sıcaklıkta olursa elektronu ikinci seviyede (n=2) bulunan hidrojen atomlarının sayısı nötr hidrojen atomlarınınkinin %10 u olur? Cevap: T 32000 K Örnek 3: Hidrojen atomlarından oluşan bir yıldız atmosferi hangi sıcaklıkta olursa elektronu ikinci seviyede (n=2) bulunan hidrojen atomlarının sayısı nötr hidrojen atomlarınınkine eşit olur? Cevap: T 85386 K (Çok sıcak!) Yorum: b uyartılma durumunda bulunan atomların sayısının a uyartılma durumunda olanlarınkine oranı sıcaklık ne kadar yüksek ve uyartılma potansiyeli ne kadar düşükse o kadar daha büyüktür (Bkz. Şekil 8.1). Şekil 8.1 Boltzmann Kanunu ndan sıcaklığa göre hidrojen elementinin uyartılması (Telif Hakkı: Carroll and Ostlie, Modern Astrophysics, Addison-Wesley Publishing Co., 1996.)
Balmer serisi çizgileri elektronu n=2 seviyesinde olan Hidrojen atomlarındaki geçişler ile oluştuğuna göre, bu seviyeye uyartılmış olan Hidrojen atomlarının sayısının artmasıyla Balmer serisi çizgilerinin şiddetlenmesi beklenir. Bu durumda bu kanuna göre yıldız ne kadar sıcaksa Balmer serisi çizgileri de o kadar güçlü olmalıdır. Ancak gözlemler bunu tam olarak desteklememektedir. Soğuk yıldızlardan A0 (~9900 K) tayf türüne doğru gelindiğinde Balmer çizgileri kanuna uygun şekilde şiddetlenirken, daha sıcak yıldızlara (örn. O ve B tayf türü yıldızlara) doğru gidildiğinde yeniden zayıflamaktadır. Bu hali ile Boltzmann kanununun yıldız tayflarını tek başına açıklayamadığı görülmektedir. 8.3.2 Saha Kanunu Saha kanunu bir ortamdaki i+1 kez iyonlaşmış bir elementin i kez iyonlaşmış olanlarınkine oranını verir. n e N i+1 N i = 2U i+1 U i ( 2πm 3 2 e h 2 ) e χ iyonlaşma Ni : i iyonlaşma seviyesindeki atomların sayısı Ni+1 : i+1 iyonlaşma seviyesindeki atomların sayısı U : Bölümleme fonksiyonu (Partition function) Hidrojen atomu için; U1 = g1, U2 = 1 alınabilir. h = 6.63 10-34 J s (Planck sabiti) me = 9.11 10-31 kg iyonlaşma = iyonlaşma potansiyeli Hidrojen için: iyonlaşma = 13.6 ev İdeal gaz kanunundan P e = n e dir. Bu durumda; N i+1 N i = 2U i+1 P e U i ( 2πm 3 2 e h 2 ) e χ iyonlaşma
Burada Pe değeri yaklaşık 0.1 N m -2 ile100 N m -2 arasında değişmektedir. Örnek 4. Hidrojen atomlarından oluşan bir yıldız atmosferi 8000 K sıcaklığında ise bir kez iyonlaşmış hidrojen atomlarının sayısının nötr hidrojen atomlarınınkine oranı (NHII/NHI) ne olur (Pe ~ 20 N m -2 olarak sabit alınız)? NHII/NHI 0.025 Aynı işlem 9550, 10000 ve 12000 K için de yapılırsa; 9550 K -> NHII/NHI 1 10000 K -> NHII/NHI 2.36 12000 K -> NHII/NHI 50.5 Şekil 8.2 Saha Kanunu ndan sıcaklığa göre hidrojen elementinin iyonlaşması (Telif Hakkı: Carroll and Ostlie, Modern Astrophysics, Addison-Wesley Publishing Co., 1996.) Saha kanununun en önemli sonuçlarında bir tanesi atomların iyonlaşma durumlarının sadece sıcaklığa değil, bir miktar da elektron basıncına (Pe) bağlı olduğunu işaret etmesidir. Bunun sonucu olarak OBAFGKMLTY tayfsal sınıflaması sadece sıcaklığın değil az da olsa elektron basıncının da fonksiyonudur. İyonlaşma oranı yıldızın sıcaklığı ile orantılı olarak artarken, elektron basıncı arttıkça azalmaktadır. Bu nedenle aynı etkin sıcaklığa sahip olan bir dev (veya süperdev) yıldızın tayfı bir cüce yıldızınkine göre daha erken tayf türünde görülen çizgileri sergiler.
8.3.3 Saha ve Boltzmann Kanunlarının Birlikte Yorumu He elementi: Sıcaklığa bağlı olarak sürekli tayfın değişimi ile çizgi tayfının da değişmesi Saha ve Boltzmann kanunları ile kolaylıkla anlaşılmaktadır. Mavi (çok sıcak) yıldızlar olan O yıldızlarında He I ve He II çizgileri görülmektedir. Helyumun iyonizasyon potansiyeli çok yüksektir (24 ev). Sadece çok sıcak yıldızlarda parçacıklar arasındaki çarpışmalar, helyum atomuna böyle yüksek bir potansiyel engelini aşmak için gerekli enerjiyi sağlayabilecektir ve böylece kalan tek elektronun atlamaları ile He II nin soğurma çizgileri görülecektir. He I in eksitasyon potansiyelleri de 18 20 ev mertebesindedir, bunun için sadece O ve B yıldızları gibi yüksek sıcaklıktaki yıldızlarda He I çizgileri gözlenebilecektir. Hidrojen in Balmer çizgileri: Boltzmann ve Saha kanunlarının birlikte irdelenmesiyle Balmer serisi çizgilerinin davranışları da açıklanabilir (Şekil 8.3). H nin iyonizasyon potansiyeli 13.6 ev dir; o halde çok yüksek sıcaklıktaki yıldızlarda H Saha kanunu gereği hemen hemen tamamen iyonlaşmıştır ve tek elektronunu kaybettiğinden artık çizgi veremez. Böylece O, B yıldızlarında H çizgilerinin zayıf olmasının nedeni anlaşılır. Sıcaklığın azalmasıyla nötr H atomlarının yüzdesi artar, dolayısıyla çizgilerinin şiddeti de artar ve A0 tipi yıldızlarda bir maksimum erişir. Sıcaklığın daha fazla azalması, Boltzmann kanunu gereği 2. uyartılma seviyesinde bulunan H atomlarının sayısını azaltır, böylece Balmer serisi çizgilerinin şiddeti zayıflar, buna karşılık temel seviyede bulunan atomların sayısı artacağından elektronun bu seviyeden daha üst seviyelere atlaması ile meydana gelen Lyman serisi çizgilerinin şiddetinin artması gerekir. Ancak Lyman serisi morötesine düştüğünden atmosferin soğurması nedeniyle gözlemlenemez. Metal çizgileri ve moleküllere ilişkin bantlar: Benzer şekilde, metallerin iyonizasyon potansiyeli çok düşük (6 7 ev) olduğundan sıcak yıldızlarda çok defa iyonlaşmışlardır ve çok kez iyonlaşmış metallerin çizgileri uzak morötesine düşmektedir. B tipi yıldızlarda, iki defa iyonlaşmış Fe çizgileri görülür; A ve F tipi yıldızlarda, bir defa iyonlaşmış metal çizgileri çoktur; halbuki G, K gibi daha soğuk yıldızlarda, nötr metal çizgileri daha hakimdir. Nihayet daha düşük sıcaklıklar için bant spektrumu görülmeye başlar ki bu da henüz ayrışmamış moleküllerin varlığını gösterir.
Sonuç: Bir yıldızın tayfı (dolayısıyla tayf türü) 3 parametreye bağlıdır. Bu parametreler öncelik sırasına göre sıcaklık, basınç ve kimyasal bileşimdir. Şekil 8.3 Boltzmann ve Saha Kanunlarının birlikte kullanılmasıyla Hidrojen Balmer çizgilerinin sıcaklığa göre nasıl değiştiğinin gösterimi (Telif Hakkı: Carroll and Ostlie, Modern Astrophysics, Addison-Wesley Publishing Co., 1996.)