ALTERNATİF AKIM DEVRELERİ A. DEVRE ELEMANLARI VE TEMEL DEVRELER Alternatif akım devrelerinde akımın geçişine karşı üç çeşit direnç (zorluk) gösterilir. Devre elamanları dediğimiz bu dirençler: () R omik direnci; (2) L endüktansın endüktif direnci; (3) kapasitansın kapasitif direncinden ibarettir. Bu elamanlar sembolik olarak Şekil 'de olduğu gibi gösterilir. Şekil. Daha ileride açıklanacağı gibi, birimi henri olan L endüktansı ve birimi farad olan kapasitesi sabit sayılarla çarpılarak, elektrik akımına karşı gösterdikleri zorluklar ohm olarak bulunabilir. Alternatif akımda üç çeşit temel devre vardır. Bunlar Şekil de görüldüğü gibi () R omik devre; (2) L endüktif devre; (3) kapasitif devredir. Temel devrelere uygulanan gerilimi ve devrenin I akımı etkin değerlerdir. I devre akımı, uygulanan gerilime ve devre elamanlarının direncine bağlı olarak değişir. Devre elamanları kendi aralarında seri, paralel ve seri - paralel (karışık) olarak bağlanırlar. İdeal (saf) olarak kabul edilen bu elemanlara sinüsoidal bir alternatif gerilim uygulanırsa, geçen akım sinüsoidal bir A.A. olur. Devre elamanlarının ideal özellikleri: R omik direncinde endüktif direnç etkisi yoktur. Endüktif devrede ve kapasitif devredeki L ve elamanlarında omik direnç etkisi ve güç kaybı yoktur. B. OMİK DİRENÇLİ ALTERNATİF AKIM DEVRESİ. OMİK DİRENÇ Alternatif akım devrelerinde, endüktif ve kapasitif etkisi bulunmayan saf dirence "Omik direnç" denir. R harfiyle gösterilir ve birimi ohm'dur. Elektrikli ısıtıcılar (ütü, ocak, ızgara) ile flemanlı lambalar ve benzerleri omik dirence örnek olarak gösterilebilir. Saf omik dirençli bütün almaçların (yüklerin), eşit gerilimli DA ve AA kaynaklarından çektikleri akımlar ve güçlerde birbirine eşittir. Yüksek frekanslı A.A
2 devrelerinde kullanılan büyük kesitli bir iletkenin direnci, DA da ki direncinden biraz daha (, -,2 katı kadar) büyüktür. Yani AA daki iletkenin etkin kesiti biraz daha küçük olur. A.A. da direncin büyümesi, iletkenin kendi içindeki alternatif akım değişmeleri dolayısıyla doğan emk den ileri gelir. Bu emk ler akımı iletkenin dış yüzeyine doğru iterler. Buna Deri Olayı denir. 5 Hz frekanslı A.A devrelerinde bu olay o kadar önemli değildir. 2. OMİK DEVREDE OHM KANN Şekil 2. Omik devre Şekilde (4,2) gibi omik bir devrede gerilim () ve akım (I) aynı fazdadır. I m Vektör olarak; m veya m I m.r R e m.sinwt formülde m.,77 dir. Ohm kanunu vektöryel olarak I RQ R Q R Çünkü akım ile gerilim aynı fazdadır. Yani açı sıfırdır. R Böylece Q R açısıda sıfırdır ve Q R Buna göre I R R R
3 Şekil 3. Omik devrede emk ve akımın eğrileri ÖRNEK Vektör matematiği kullanarak şekil 4 deki devrede i akımını bulunuz. Gerilim ve akıma ait eğrileri çiziniz. Şekil 4 Çözüm: Şekil 5 Şekil 5 v sin ωt vektör olarak v 7.7 / I V R.7/ 5/ 4.4/ i 2 (4.4) sin ω t 2 sin ω t
4 ÖRNEK 2 Vektöryel olarak şekil 6 daki devrede gerilimi bulunuz. Ayrıca akım ve gerilime ait eğrileri çiziniz. Şekil 6. Çözüm: ve Şekil 7. i 4 sin (ωt + 3 ) vektör olarak I 2.83 I.R (2.83 / 3 ) (2 / ) 5.66 / 3 v 2 (5.66) sin (ωt + 3 ) 8 sin (ωt + 3 ) / 3 Şekil 7. ENDÜKTİF REAKTANS Özindükleme bobinine uygulanan emk, bobinden geçen alternatif akın indüklediği özindüklem emk'ine eşit ve ters yöndedir. 2.π.f.L.I ; ωli Bobine uygulanan alternatif gerilimin efektif (etkin) değeri, volt ω Alternatif akımın açısal hızı, Radyan/Saniye
5 L Endüktans, henri I Bobinden geçen alternatif akımın efektif (etkin) değeri, amper. 2.π.f.L.I ; ωli nolu formülün her iki tarafını (I) ye bölelim. / I ω L Bobine uygulanan gerilimin bobinden geçen akıma oranı bize bobinin elektrik akımına karşı gösterdiği zorluğu (direnci) verir. Özindükleme bobininin içinden geçen alternatif akıma karşı gösterdiği zorluğa "endüktif reaktans" denir. Endüktif reaktans ( L ) harfi ile gösteri Birimi ohm'dur. L ω L veya L 2 π f L Bir bobinin endüktif reaktansı, frekansla ve bobinin endüktansı ile doğru orantılıdır. Hava ve manyetik olmayan madde nüveli bir bobinin endüktansı işi olduğu için reaktansı yalnız frekansla değişir. Reaktans, bobine uygulanan gerilimi ile değişmez. ÖRNEK 3: Endüktansı henri olan bir bobinin frekansı (a) 5 Hz ve (b) Hz olan alternatif akıma karşı göstereceği zorluğu (endüktif reaktansı) hesaplayınız. Çözüm: (a) L 2 π f L 2. 3,4. 5. l 34 Ω (b) L 2 π f L 2.π.. 628 Ω ÖRNEK 4: Örnek 3 deki bobine (a) 22 v, 5 Hz'li (b) 22 v, Hz'li gerilimler uygulandığında bobinden geçen akımı bulunuz.. Çözüm: (a) I / 22/34,7 A, (b) I / 22/628,35 A. Şekil 8 deki gibi tamamen indüktif bir devrede akımla gerilim arasında 9 lik açı olup gerilim akımdan ileridir. Böyle bir devrede reaktans L harfiyle gösterilir ve ωl değerine eşittir. Şekil 8.
6 v m sin ωt vektör olarak V Om kanununa göre I / / 9 L L / Q L / Çünkü gerilim akımdan 9 ileridir. Yani akım -9 lik bir açıya sahiptir. Böylece Q L +9 dir. Formülde Q L 9 yazılırsa I / / 9 L L / 9 L / 9 Zaman domaini içerisinde ifade edilirse i 2 sin (ωt 9 ) L Bu denklemi komplex içerisinde sayı olarak ifade edersek L L / 9 Bu eşitlik sinüsoidal fonksiyonu vektör domaini içerisinde ifade edemez. Bu komplex alanda sabit büyüklüğü L ve 9 lik açıya ait bir vektördür. ÖRNEK 5 çiziniz. Vektörsel olarak şekil 9 daki devrede i akımını bulunu. Akım ve gerilime ait eğrileri Şekil 9. Çözüm: Şekil. Şekil.
7 l 24 sin ω t vektör olarak 6,9 / I L 6.9/ 3/ 9 5.66/ 9 i 2 (5.66) sin (ωt 9 ) 8 sin (ωt 9 ) ÖRNEK 6 çiziniz. Vektörsel olarak şekil deki devrede gerilimi bulunuz. Akımla gerilime ait eğrileri Çözüm: Şekil 2. Şekil. Şekil 2. i 5 sin (ωt + 3) vektör olarak 3.53 / 3 V I. L (3.53 / 3 ) (4 / 9 ) 4.4 / 2 v 2 (4.4) sin (ωt + 2 ) 2 sin (ωt + 2 ) Bundan önceki her iki örneğe ait faz diyagramı şekil 3 de görülmektedir. Her iki şekilden anlaşıldığı gibi gerilim akımdan 9 ileridedir. Şekil 3.
8 ÖZİNDÜKLEME BOBİNLERİNİN BAĞLANMALARI Özindükleme bobini denildiğinde, omik direnci sıfır kabul edilen yalnız L endüktansından meydana gelen bobin anlaşılır. Fakat bütün bobinler telle sarıldığından, omik direncin sıfır olması imkansızdır. Endüktans, daima omik dirençle beraber bulunur. Aşağıdaki hesaplamalarda Özindükleme (şelf) bobininin yalnız endüktanstan meydana geldiği yani omik direncinin sıfır olduğu kabul edilmiştir. Tatbikatta, bobinler demir nüve üzerine sarılırsa (trafo, motor, kontaktör v.b.) bobinin reaktansı, omik direncinin yanında çok büyük olur. Özindükleme bobinleri pratikte çeşitli şekilde bağlanırlar. Bu devrelerin çözümleri için eşdeğer endüktansın ve eşdeğer reaktansın bulunması gereklidir. Özindükleme bobinleri, dirençler gibi üç şekilde bağlanırlar, (a) Seri bağlama; (b) Paralel bağlama, (c) Seri paralel bağlamadır. Bu bağlamaları sırasıyla inceyelim. (a) Özindükleme Bobinlerinin Seri Bağlanmaları Endüktansları L,2 H. ve L 2,5 H olan iki bobin seri bağlandıktan sonra 22 v. 5 Hz. li sinüsoidal kaynak uygulayalım. Şekil 4.2 de görüldüğü gibi devreden geçen I akımı L endüktanslı bobinin uçlarında I. ve L 2 bobininin uçlarında da 2 I. 2 gerilim düşümlerini meydana getirir. Bu gerilim düşümleri akımdan 9 ilerdedir. ve 2 gerilimleri aynı fazda olduğu için cebirsel toplamları alınır. + 2 22 I. + I. 2 2. π.5.,2 62,8 Ω 2 2.π.5.,5 57 Ω 22 I (62,8 + 57) 29,8 I I 22/29,8 A. e + 2 ωl + ωl ω (L + L 2 ) e ωl e, Le Lı + L 2 +... Seri devrenin eşdeğer endüktansı, devredeki endüktansların cebirsel toplamına eşittir. Şekil 4.
9 ÖRNEK 7: 22 v. 5 Hz frekanslı bir A.A. kaynağına endüktansları 3 ve 2 henri olan seri iki özindükleme bobini bağlanmıştır, (a) Devrenin toplam endüktansını; (b) Devrenin endüktif reaktansını, (c) Devrenin akımını, (d) Endüktanslarda düşen gerilimleri hesaplayınız. Çözüm: (a) Le L + L 2 3 + 2 5 henri (b) L ωle 2 π f Le 2π.5.5 57 Ω (c) I / L 22/57,4 A. (d) I. L I.ω.L,4.34.3 3,88 V. 2 I. L2 I.ω.L 2,4.34. 2 87,92 V. Seri Bağlı Endüktanslarda Gerilimin Bölünüşü Seri bağlı endüktanslarda düşen gerilimleri birbirine bölelim. / 2 L / L 2 bulunur. Bobinlerin uçlarındaki gerilimlerin birbirine oranı, endüktansların oranına eşittir. + 2 olduğuna göre, Endüktansların uçlarındaki gerilimler, 2.L 2 / (L +L 2 ).L / (L +L 2 ) formülleri ile bulunabilir. Şekil 5. Özündikleme bobinlerinin paralel bağlanması ve vektör diyagramı (b) Özindükleme Bobinlerinin Paralel Bağlanmaları Endüktansları L ve L 2 olan iki bobini paralel bağladıktan sonra, şekil 4. (a) da görüldüğü gibi devreye alternatif gerilim uygulayalım. Şekil 5.(a) daki devrede A düğüm noktasına Kirşof un akım kanunu uygulayalım. I I + I 2
L endüktanslı bobinden geçen I akımı ile L 2 endüktansh bobinden geçen I 2 akımı, geriliminden 9 geri kalırlar. Vektör diyagramı Şekil 5. (b) de görülüyor. Bobinlerden geçen akımlar, I / /ωl ; I 2 / 2 /ωl 2 Bu değerleri yukarıdaki ifadede yerlerine yazalım. I (/ı) + (/ 2 ) veya I (/ωl ) + (/ωl 2 ) Paralel bağlı L ve L 2 endüktanslı bobinlerin yerini tutacak eşdeğer bobinin endüktansı (Le) olduğuna göre, I /ωle (/ωl ) + (/ωl 2 ) /Le (l/l ) + (l/l 2 ) +... ; L e... + L L bulunur. Şu halde, paralel bağlı endüktanslardan meydana gelen devrenin eşdeğer endüktansının tersi, paralel bağlı dirençlerde olduğu gibi, endüktansların tersleri toplamına eşittir. 2 ÖRNEK 8: Endüktansları ve 2 Henri olan iki Özindükleme bobini paralel bağlanmıştır, (a) Devrenin toplam endüktansını; (b) 22 v. 5 Hz. kaynaktan çekilen devrenin toplam endüktif reaktansını; (c) Devre ve kol akımlarını hesaplayınız. Çözüm: (a) Le L. L 2 / Ll + L2,66 (b) e ωle 2 π. 5.,66 248 Ω (c) I /e 22/248,88A. I / 22/34,,29 A I 2 /ωl 2 22/34,2,59 A Paralel Bağlı Endüktanslarda Akımların Bölünüşü Paralel kollardan geçen akımları oranlayalım. I /I 2 (/ωl ) / (/ωl 2 ) ; I /I 2 L 2 /L bulunur. Paralel kollardan geçen akımların birbirine oranı, endüktanslar oranının tersine eşittir. Kaynaktan çekilen akım, I /ωl e olduğuna göre, I /I L e /L yazılabilir, I I.Le/L Le (L. L 2 ) / (L + L 2 ) yerine yazıldığında I (I.L 2 ) / (L + L 2 )
yazılır. I 2 (I.L ) / (L + L 2 ) (c) Özindükleme Bobinlerinin Seri - Paralel Bağlanması Dirençlerde olduğu gibi, Özindükleme bobinleri de seri-paralel bağlanabilir. Şekil 6 (a) da L, L 2 ve L 3 endüktanslarının seri paralel bağlanışı görülüyor. Bu devrede L ve L 2 paralel bağlı, L 3 de seri bağlıdır. Böyle bir devrenin çözümünde, dirençlerin seri - paralel bağlandığı devrelerde olduğu gibi, devre basitleştirilerek eşdeğer endüktans bulunur. L ve L 2 paralel endüktansların yerine eşdeğer endüktans hesaplanarak devre yeniden çizildiğinde şekil 6 (b) deki seri devre elde edilir. Bu devrenin eşdeğer endüktansı, endüktansların toplamına eşittir. Le L AB + L 3 Şekil 6 (c) deki basit devre, 6 (a) daki seri - paralel devrenin eşdeğer devresidir. L AB (L. L 2 ) / (L + L 2 ), Le L 3 + (L. L 2 ) / (L + L 2 ) bulunur. 2.L 2 / (L +L 2 ) ve.l / (L +L 2 ) formüllerden, AB ve B gerilimleride hesaplanabilir. AB.L AB / (L AB + L 3 ) B.L 3 /(L AB + L 3 ) Şekil 6. Endüktansların seri-paralel bağlanması KAPASİTİF DEVRELER Kondansatöre uygulanan gerilim etkin değeri ve geçen akımın etkin değeri de I olsun. Belirli bir kondansatör için /I oranı sabittir. Direnç ve bobinde olduğu gibi, bu oran kondansatörün alternatif akımın geçişine kargı gösterdiği zorluğu temsil eder. Kondansatörlü devrelere, kapasitif devreler de denildiğinden, bu zorluğa "kapasitif reaktans" adı verilir.
2 Şekil 7 : Kondansatörün akım ve gerilim vektörleri Şu halde kapasitif reaktans, kondansatörün alternatif akımın geçişine karşı gösterdiği zorluktur. Kapasitif reaktans c sembolü ile gösterilir ve birimi ohm'dur. c I c c Burada; c, kapasitif reaktans (ohm) c, kondansatörün uçlarındaki gerilim (volt) Ic, kondansatörden geçen akım (amper) c I c c, kapasitif devrelerde ohm kanununun ifadesidir. KONDANSATÖRLERİN BAĞLANTILARI Kondansatörlerin çeşitli bağlantılarında da eşdeğer kapasitif reaktans, direnç bağlantılarında görüldüğü gibi bulunur. Çünkü kapasitif reaktans da bir cins dirençtir. Seri bağlantı: Şekil 8 de seri bağlı kondansatörler ve bunların eşdeğeri olan kondansatör görülmektedir. Direnç bağlantılarında olduğu gibi eşdeğer kapasitif reaktans formülü ile bulunur. Şekil 8: Seri bağlı kondansatörler ve eşdeğeri
3 + 2 +... + n Kondansatörlerin kapasiteleri ile kapasitif reaktansları ters orantılı olduğundan, seri bağlantıda eşdeğer kapasitenin tersi, kondansatör kapasitelerinin terslerinin toplamına eşittir. + +... + 2 n Eğer ve 2 kapasitelerinde iki kondansatör seri bağlı ise eşdeğer kapasite,. 2 + formülü ile bulunur. 2 Yukarıdaki formüllerden görüldüğü gibi kondansatörlerin seri bağlantısında eşdeğer kapasitif reaktans büyür, eşdeğer kapasite ise küçülür. Seri bağlantıda bütün kondansatörlerden aynı I akımı geçer. Her bir kondansatör üzerindeki gerilim düşümlerinin toplamı da devrenin gerilimini verir. Şekil 9. + 2 +... + n Şekil 9. c I c c formülünden gerilim düşümleri için, I, 2 I 2,..., n I n yazılıp, + 2 +... + n formülünde yerine konulursa, I + I 2 +... + I n bulunur. Bu formüllerdeki gerilim düşümlerinin her biri devre akımından 9 geri fazlıdır. Böylece hepsi aynı fazlı olan bu gerilim düşümlerinin toplamı cebirsel olarak yapılır. Şekil 9 daki devrenin vektör diyagramı şekil 2 de verilmiştir.
4 Şekil 2: Şekil 9 deki devrenin vektör diyagramı Paralel bağlantı: Şekil 2 de paralel bağlı kondansatörler ve bunların eşdeğeri görülmektedir. Dirençlerin paralel bağlantılarında olduğu gibi, paralel bağlı kondansatörlerde de eşdeğer kapasitif reaktansın tersi, paralel bağlı kapasitif reaktansların terslerinin toplamına eşittir. + 2 +... + Paralel bağlantının eşdeğer kapasitesi ise, + 2 +... + n n olmaktadır. Bu formüllerden görüldüğü gibi kondansatörlerin paralel bağlantıda, eşdeğer kapasitif reaktans küçülür ve eşdeğer kapasite büyür. Şekil 2. Paralel bağlı kondansatörler ve eşdeğeri Şekil 22 deki paralel bağlı iki kondansatörün eşdeğer kapasitif reaktansı da,. 2 + formülü ile bulunur. 2
5 Şekil 22. Paralel bağlı kondansatörlerin uçlarındaki gerilimler aynı olduğu halde, her kondansatörden geçen akım farklıdır. Şekil 23 ye Kirşofun akımlar kanunu uygulanarak, I I + I 2 +... + I n yazılır. Yine bu akımların hepsi birer vektördür. Fakat hepsi de aynı fazlı olduklarından, toplam cebirsel olarak yapılır. Şekil 23 deki devrenin kol akımları, Şekil 23 I, I2,..., In 2 n olduğundan, I I + I 2 +... + I n formülü aşağıdaki gibi yazılabilir. I + +... + 2 n Şekil 23 deki devrenin vektör diyagramı, şekil 24 de gösterilmiştir. Şekil 24. Şekil 23 deki devrenin vektör diyagramı
6 İki kondansatörün paralel bağlı olduğu bir devrede kol akımları (Şekil 25). I 2 I + 2 Şekil 25. veya I I 2 I + I + 2 2 formülleri ile bulunur. I 2 2 I + 2 ÖRNEK 9: Kapasitif reaktansları 2 Ω, 4 Ω ve 6 Ω olan kondansatörler; Çözüm: reaktansı, a) Seri bağlandıklarında, b) Paralel bağlandıklarında eşdeğer kapasitif reaktans ne olur? a) + 2 +... + n formülü kullanılarak seri bağlantının eşdeğer kapasitif + 2 + 3 2 + 4 + 6 b) 22 Ω kapasitif reaktansı, den, + +... + formülü kullanılarak paralel bağlantının eşdeğer + 2 2 + 3 n 2 + 4 + 6 + 3 + 2 2 6 2
7 2 c 2 Ω 6 bulunur. ÖRNEK : Şekil 26 daki devrede her kondansatörden geçen akımı ve uçlarındaki gerilimleri bulunuz. Devrenin vektör diyagramını çiziniz. Şekil 26. Çözüm: 2 V luk gerilim paralel kollara uygulandığına göre kol akımları, I + 2 2 5 + 2A ve, I 2 3 2 3 4A olur. Devre akımı ise Kirşofun akımlar kanunundan, I I + I 2 2 + 4 6 A bulunur. Burada toplama işlemi cebirsel olarak yapılmıştır. Çünkü I ve I 2 akımları aynı fazlıdır. 2 gerilimi kaynak gerilimine eşittir. 3 2 V
8 ve 2 gerilimleri ise, I 2. 5 V 2 I 2 2. 2 V olur. Devrenin vektör diyagramı da şekil 26da verilmiştir. Şekil 27. Şekil 28 deki gibi tamamen kapasitif bir devrede daha önceden vurgulandığı gibi akımla gerilim arasında 9 lik açı olup akım geriliminden ilerdedir. Böyle bir devrede kapasitif reaktans c ile gösterilir ve /ω değerine eşittir. Şekil 28. l m sin ω t vektörsel olarak Om kanunu vektörsel olarak I / Q / Q Çünkü biliyoruz ki akım geriliminden 9 ilerdedir ve akım +9 lik bir açıya sahiptir. Böylece Q -9 dir.
9 I / Q / ( 9 ) / 9 Zaman domaini içerisinde i V 2 sin (ωt + 9 ) Payda komplex sayılarla ifade edilirse / 9 ÖRNEK Şekil 29 da görülen devrede vektörsel olarak i akımını bulunuz. Akım ve gerilimin eğrilerini çiziniz. Şekil 29. Çözüm: Şekil 3. Şekil 3. v V.6/ 2/ 9 5.3/ 9 i 2 (5.3) sin (ωt + 9 ) 7.5 sin (ωt + 9 )
2 ÖRNEK 2 Şekil 3 de görülen devrede vektörsel olarak v gerilimini bulunuz ve akım-gerilim eğrilerini çiziniz. Şekil 3. Çözüm: Şekil 32. Şekil 32. ve i 6 sin (ωt 6 ) vektör olarak I 4.23 / 6 V I c (4.23 / 6 ) (.5 / 9 ) 2.2 / 5 v 2 (2.2) sin (ωt 5 ) 3 sin (ωt 5 ) Daha önce çözülen iki örneğe ait faz diyagramı şekil 33 de görülmektedir. Her iki şekilden de anlaşıldığı gibi akımla gerilim arasında 9 lik açı olup akım ileridedir. Şekil 33.